人教版九年级数学下册27.3.3相似三角形的性质课件ppt(共36张PPT)
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九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
人教版九年级数学下册相似三角形的性质优质PPT
E G C
人 教 版 九 年 级数学 下册相 似三角 形的性 质优质 PPT
例3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边
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例人教版九年级数学下册相似三角形的性质优质PPT
题
讲
解
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，
AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，
面积12是5 ，求ΔDEF的周长和面积。
A
解：在△ABC和△DEF中，
D
∵AB=2DE，AC=2DF，
积
等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC
的
A
1: 2
相似比是_______
D
E
B
C
人 教 版 九 年 级数学 下册相 似三角 形的性 质优质 PPT
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*变式：如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面 积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则
人 教 版 九 年 级数学 下册相 似三角 形的性 质优质 PPT
基本图形： 1.等分边长：
D
B
2.等分面积
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D B
A
D E
F
CB
A A
D EF
新人教版九年级数学下册 第27章 相似 课件
图形的缩小
相似图形的关系
两个图形相似，其中一个图形可以 看做是由另一个图形_________ 放大 或 缩小 得到的，实际的建筑物 _________ 相似 的，用 和它的模型是___________ 复印机把一个图形放大或缩小后所 得的图形，也是与原来的图 _________ 相似 的.
1、如图，从放大镜里看到的三角尺 和原来的三角尺相似吗？
• 认识形状相同的图形。
• 对相似图形概念的理解。
• 抓住形状相同的图形的特征，认
识其内涵。
回顾旧知
全等图形
A' B
A
B'
C'
C
形状、 大小完全相 同的图形是 全等图形。
新课导入
多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变 了吗？大小呢？
符合国家标准的两面共青团团旗的形状 相同吗？大小呢？
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？
A
E A E B B
D C C
D
A
D
A
D
B
C
B
C
A
A
C B C
B
你从上述几组图片发现了什么？
它们的大小不一定相等，
形状相同.
知识要点
两个图形的形状 完全相同 ________，但图形 的大小位置 不一定相同 __________，这样的图形叫 做相似图形。
图形的放大
图形的放大
两个图形相似
不规则四边形
B
A
请分别量出 这两个不规则四 边形各内角的度 数，求出对应边 的长度。
C
缩小 B1
A1
对 应 角 有 什 么 D 关 系？
对应边有什么关系？ C1
人教版九年级数学下册 课件：27.2相似三角形(共24张PPT)
重点：相似三角形的性质和判定
难点：利用相似进行有关计算和推理解决问题
版权所有-
引导练习（自主完成后参考九年级下册教材梳理题目中用到的相似三角形的知识） Ｄ
1、已知：如图所示:△ABC∽△DEF, AB=8， AC=10， DE=4， ∠C=∠F=45°，∠Ｂ=７5° 则 ∠E = ，DF= . A
版权所有-
应用提升
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm， 高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正 P 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB， AC上．问：加工成的正方形零件的边长是 多少毫米？ B
A N
E
Q
D M
C
变式1：如果原题中要加工的零件是一个矩形，如图1，且 此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩 形零件的两条边长又分别为多少毫米？ 变式2：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2， 这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积 有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
三角形与原三角形 相似
判定2: 三边 判定3: 两边
。
对应成比例的两个三角形相似。 对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
版权所有-
判定4:
两角 分别相等的两个三角形相似。
ห้องสมุดไป่ตู้
三、位似图形
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是 相似图形 ，而且对应顶点的连线相交于一点，那
相似三角形(复习)
人教版九年级下数学
曲阜市息陬镇中学
版权所有-
孔峰
复习目标：
（1）理解掌握以下重要的概念和定理
（相似三角形、位似概念；相似三角形的判定和性质）
27相似三角形的性质PPT课件数学九年级下册(人教版)
合作探究
新知二 相似三角形面积的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它 们的面积比是多少？
A
A'
B
C
B'
C'
由前面的结论，我们有
S△ABC
1 BC AD 2
BC
AD k k k 2.
S△A'B'C' 1 B 'C ' A' D ' B 'C ' A' D '
2
A
A'
BD
C
B' D'
D 通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题。
∵ AB=2DE，AC=2DF， 典例精析1 利用相似三角形面积的比求面积或线段
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
DE DF 1 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，求△ADE与△FGH的面积之比．
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.
分别是
△ABC和
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 2．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.
人教版 ·数学· 九年级（下）
第27章 相似图形 27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1.在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角 形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的 比等性质，并运用其进行计算与推理。
人教版数学九年级下册相似三角形的性质课件
M
C
D
(两角对应相等的两个三角形相似),
AM AB k DN DE
E
(相似三角形对应边成比例).
F N
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
人教版数学九年级下册相似三角形的 性质课 件
人教版数学九年级下册相似三角形的 性质课 件
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，AM1、 DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
应高的比为_1__:4______,对应角的角平分线 的比为__1__:4_____.
3．两个相似三角形对应中线的比为
1 4
，
1
1
则相似比为___4___,对应高的比为__4____ .
人教版数学九年级下册相似三角形的 性质课 件
人教版数学九年级下册相似三角形的 性质课 件
典例分析
如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB 上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形， 则 (1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？ （2）求正方形FGHI的边长。
AB BC AC k A'B' B'C ' A'C '
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，AC＝kA'C '
从而 AB BC AC kA' B ' kB 'C ' kA'C ' k
A' B ' B 'C ' A'C ' A' B ' B 'C ' A'C '
人教版九年级数学下册：27.2.2 相似三角形的性质 课件(共35张PPT)
C'
猜想 AF k
你能类比前
A' F'
面的方法证
明吗？
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
知识要点
相似三角形对应高的比，对应中线的比， 对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
A'
A
B
C B'
C' 相似三角形
猜想 C△△ABC k C△△A'B'C '
的周长有什 么关系？
A
B
C
二、学习新知
？ 思考
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些 几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
探究1
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．
A
则∠ADB =∠A'D'B'.
使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、
AC上，这个正方形零件的边长是多少？ A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
P
E
N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE
PN =
B
AD
BC
Q DM C
因此
80–x =
x
，得 x=48（毫米）。答：-------。A'来自ABE
C
B'
人教版九下27.2.3相似三角形 的性质优质课件
∴ AD AB k. AD AB
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平
分线的比也等于k.
归纳
这样，我们得到： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分 线的比都等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
例1 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形EFGH 内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比 为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH 的周长．
27.2 相似三角形的性质
温故知新
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似 三角形.
(2)如何判定两个三角形相似？
①定义； ②预备定理(平行)；
直角三角形（HL )
③三边对应成比例；
④两个角对应相等；
⑤两边对应成比例，且夹角相等；
知识点 1 相似三角形对应线段的比
问题
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内 角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如 果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 平分∠ABC. ∴∠ABC＝2∠ABG. 又∵∠ABC＝2∠BAM， ∴∠BAG＝∠ABG. ∴AG＝BG.
(2)若M 为BC 的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG 的面积．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴△BGM∽△DGA.
D．4∶9
2 如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E 是OA的中点，连接
BE 并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平
分线的比也等于k.
归纳
这样，我们得到： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分 线的比都等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
例1 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形EFGH 内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比 为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH 的周长．
27.2 相似三角形的性质
温故知新
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似 三角形.
(2)如何判定两个三角形相似？
①定义； ②预备定理(平行)；
直角三角形（HL )
③三边对应成比例；
④两个角对应相等；
⑤两边对应成比例，且夹角相等；
知识点 1 相似三角形对应线段的比
问题
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内 角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如 果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 平分∠ABC. ∴∠ABC＝2∠ABG. 又∵∠ABC＝2∠BAM， ∴∠BAG＝∠ABG. ∴AG＝BG.
(2)若M 为BC 的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG 的面积．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴△BGM∽△DGA.
D．4∶9
2 如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E 是OA的中点，连接
BE 并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
AF
人教版九年级下册数学课件 相似三角形的性质
相似三角形的面积比与相似比有什么关系？
如果△ABC和△A′B′C′是 两个相似三角形，相似比为 k，高为AD，A′D′那么
根据三角形的面积计算公式及定理1，得
SABC
1 BC AD 2
BC AD k2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,
∴∠BAM=∠EDN,
B
∴△AMB∽△DNE
(两角对应相等的两个三角形相似),
A MD C
AM AB k DN DE
(相似三角形对应边成比例). E
F N
你能证明相似三角形对应中线的比等于相似比吗？
相似三角形对应中线的比等于相似比.
27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1.知道三角形对应高的比，对应中线的比与对 应角平分线的比都等于相似比.
2.知道相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
新课导入
1.什么叫做相似三角形？ 对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形. 2.你有几种方法判定两个三角形是相似三角形？ （1）两角分别相等的两个三角形相似.
如图，∵△ABC∽△DEF，
A
∴∠B =∠E, AB BC .
DE EF
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线， B BM BC . AB BM ， 且∠B =∠E，
MD
C
EN EF DE EN
∴△AMB∽△DNE(两边对应成比例且
夹角相等的两个三角形相似).
人教版九年级数学下册课件相似三角形的性质ppt
探究归纳
相似三角 为k，问对题应：线如段果的△比A呢BC？∽△A′B′C形 什′，的么相周关似长系比有？
对应边的比
对应高的比
对应中线的比
＝相似比k
对应角平分线的比
……
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 结论：相似三角形的周长比等于相似比．
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
∴△DEF的边 EF 上的高为 1 6 3 ,
面积为 (1)212 53 5.
2
2
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
应用提高
1．判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来
√ 的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
情境引入
三角形中有各种各样的几何量． 如： 三条边的长度 三个内角的度数 高、中线、角平分线的长度 周长、面积等等
如果两个三角形相似， 那么它们的这些几何量之 间有什么关系呢？
拓展提升
1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们 的面积之差是60cm2 ，那么它们的面积之和是 多少？
解：∵两个三角形的周长之比是2:3， ∴它们的相似比是2:3， ∴它们的题
意得：9x﹣4x＝60
解得 x＝12，∴9x+4x＝156
答：它们的面积之和是156cm2.
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积．
相似三角 为k，问对题应：线如段果的△比A呢BC？∽△A′B′C形 什′，的么相周关似长系比有？
对应边的比
对应高的比
对应中线的比
＝相似比k
对应角平分线的比
……
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 结论：相似三角形的周长比等于相似比．
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
∴△DEF的边 EF 上的高为 1 6 3 ,
面积为 (1)212 53 5.
2
2
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
应用提高
1．判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来
√ 的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
情境引入
三角形中有各种各样的几何量． 如： 三条边的长度 三个内角的度数 高、中线、角平分线的长度 周长、面积等等
如果两个三角形相似， 那么它们的这些几何量之 间有什么关系呢？
拓展提升
1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们 的面积之差是60cm2 ，那么它们的面积之和是 多少？
解：∵两个三角形的周长之比是2:3， ∴它们的相似比是2:3， ∴它们的题
意得：9x﹣4x＝60
解得 x＝12，∴9x+4x＝156
答：它们的面积之和是156cm2.
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积．
人教版九级数学下《相似三角形的性质》教学课件
相似三角形的面积比
相似三角形的面积比可以帮助我们计算不规则 图形的面积。
相似三角形的高线、中线和中位线的比
相似三角形的比例关系可以帮助我们求解三角 形的高线、中线和中位线之间的比例。
相似三角形的倒数关系
通过相似三角形的倒数关系，我们可以求解未 知边长的比例。
习题练习
1
基础练习
通过基础练习巩固对相似三角形的理解。
应用练习
2
通过应用练习，将相似三角形的知识应
用到实际问题中。
3
思考题
在思考题中深入思考相似三角形的性质 和应用。
总结与展望
在这份课件中，我们学习了相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。 希望通过这些知识的学习，你对相似三角形有了更深入的理解。继续努力学 习数学，探索更多数学的奥秘吧！
相似三角形的性质
欢迎来到《相似三角形的性质》教学课件！在这个课件中，我们将一起探索 相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。让我们开始吧！
相似三角形的定义
1 相似三角形
相似三角形是指具有相同形状但可能具有不同大小的三角形。
相似三角形的性质
1 对应角相等
相似三角形的对应角相等，即相等角的一对 顶点将三角形的形状保持不变。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即对应边的长 度之比保持不变。相似三源自形的判定方法1 AA判定法
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
2 AAA判定法
如果两个三角形的三个对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的应用
比例定理
通过相似三角形的比例定理，我们可以计算未 知长度。
人教版九年级数学下册 (相似三角形的性质)教育教学课件
探究新知
5．相似三角形的面积之比与相似比有什么关系？
猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
证明：如图，若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和
A′D′分别是△ABC和△A'B'C'的 对应高．
相似三角形对应周长的比的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们对应面积的比是多少？
相似三角形对应面积的比等于相似比的平
方。
01
归纳
相
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似．
2．从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什
么性质？
相似三角形的对应角相等、对应边成比例．
导入新课
3．说出相似三角形的相似比．
相似三角形对应边的比是相似三角形的相似比．
4．相似三角形的其他几何量（如对应高、对应中线、对应角平
分线及周长、面积）可能具有什么性质？
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3、利用相似三角形的性质解决简单的问题。
01
判定三角形相似条件知识点回顾
判定定理：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.两角分别相等的两个三角形相似。
探究新知
相关主题
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27.3.3 相似三角形
的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①三边对应成比例； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③两个角对应相等.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？
A A/
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, ABD与ABD相似吗？
解 : 因为ABC∽ ABC , ( 已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相等 ） 又ADB ADB 90.
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2 对应高的比
B
A
（1）
D
C A′
1 AD AD __________ 2 _
B′
D
C′
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2
A
（2）
B
D
C A′
对应中线的比
1 AD AD __________ 2 _
B′
D
C′
A
（3）
ABC ∽ ABC
1 相似比为 B 2 对应角平分线的比
D
C A′
AD 1 AD __________ 2 _
k
B
C B′
C′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 三 对应中线的比 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么
2∶ 3 相似比为_________, 对应角的角平分线 的比为______. 2∶3 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 1:4 则对应高的比为_________, 对应角的 1:4 角平分线的比为_________.
S ADE (3) S ABC
(4)
1 _______ . 16
D
E
S ADE S四边形 BCED
1 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 4 1 1 4 则相似比为______, . 4 对应高的比为______
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
用心观察
图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 、 2 、 3 的等边三 角形，它们都相似吗？ （都相似）
(1)B′DFra bibliotekC′1 当ABC ∽ ABC , 且相似比为 时 2 1 AD 可得： 对应高的比 2 _ AD __________ 1 AD 对应中线的比 AD __________ 2 _ AD 1 对应角平分线的比 AD __________ 2 _
观察这些数据，你会有怎样的猜 想呢？
S ABC
A
B
D
C
A'
∴
B'
D'
C'
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比 面积的比等于相似比的平方
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4 1∶ 4 (2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______. A
因为ABD ∽ ABD,
AD AB (相似三角形的对应边成比例) AD AB
图 18.3
所以
k
结论：相似三角形对应 图 18.3.9 高的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC , 相似比为k ,
其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的中线, AD k . A 则 ____ AD A'
B'
B
D
C
D'
C'
结论：相似三角形对应中线 的比等于相似比.
自主思考---类似结论
如图 , ABC A B C , 相似比为k , ∽ 问题3 : 其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 , BE 则 ______ . A A′ BE E E′
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察
（ 1）
1 2
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（ 2）
3
（ 3）
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ 1∶ 4 2∶ 3 (2)与(3)的相似比=______, (2)与(3)的面积比=______ 4∶ 9 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
1
(2)
2
(3)
3
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, 1∶ 2 (1)与(2)的周长比=______ (2)与(3)的相似比=______, 2∶ 3 (2)与(3)的周长比=______ 2∶ 3 相似比 结论：相似三角形的周长比等于______ ．
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比
例5:已知△ABC∽△ AB，且相似比为 k， C AD、 分别是 AD △ABC、△ 对应边 ABC BC、 S 2 ABC 上的高，求证： BC k 证明： ∵△ABC∽△ABC
AD BC k, k ∴ AD BC
S ABC ??? ∴ S ABC 1 AD BC S ABC 2 k2 S ABC 1 AD BC 2
图 18.3.9
所以ABD ∽ ABD.
图 18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, AD 由ABD ∽ ABD能否得到 等于什么？ AD
的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①三边对应成比例； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③两个角对应相等.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？
A A/
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, ABD与ABD相似吗？
解 : 因为ABC∽ ABC , ( 已知 )
所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相等 ） 又ADB ADB 90.
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2 对应高的比
B
A
（1）
D
C A′
1 AD AD __________ 2 _
B′
D
C′
ABC ∽ ABC
1 相似比为 2
A
（2）
B
D
C A′
对应中线的比
1 AD AD __________ 2 _
B′
D
C′
A
（3）
ABC ∽ ABC
1 相似比为 B 2 对应角平分线的比
D
C A′
AD 1 AD __________ 2 _
k
B
C B′
C′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 三 对应中线的比 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么
2∶ 3 相似比为_________, 对应角的角平分线 的比为______. 2∶3 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 1:4 则对应高的比为_________, 对应角的 1:4 角平分线的比为_________.
S ADE (3) S ABC
(4)
1 _______ . 16
D
E
S ADE S四边形 BCED
1 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 4 1 1 4 则相似比为______, . 4 对应高的比为______
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
用心观察
图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 、 2 、 3 的等边三 角形，它们都相似吗？ （都相似）
(1)B′DFra bibliotekC′1 当ABC ∽ ABC , 且相似比为 时 2 1 AD 可得： 对应高的比 2 _ AD __________ 1 AD 对应中线的比 AD __________ 2 _ AD 1 对应角平分线的比 AD __________ 2 _
观察这些数据，你会有怎样的猜 想呢？
S ABC
A
B
D
C
A'
∴
B'
D'
C'
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比 面积的比等于相似比的平方
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4 1∶ 4 (2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______. A
因为ABD ∽ ABD,
AD AB (相似三角形的对应边成比例) AD AB
图 18.3
所以
k
结论：相似三角形对应 图 18.3.9 高的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC , 相似比为k ,
其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的中线, AD k . A 则 ____ AD A'
B'
B
D
C
D'
C'
结论：相似三角形对应中线 的比等于相似比.
自主思考---类似结论
如图 , ABC A B C , 相似比为k , ∽ 问题3 : 其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 , BE 则 ______ . A A′ BE E E′
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察
（ 1）
1 2
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（ 2）
3
（ 3）
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ 1∶ 4 2∶ 3 (2)与(3)的相似比=______, (2)与(3)的面积比=______ 4∶ 9 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
1
(2)
2
(3)
3
1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, 1∶ 2 (1)与(2)的周长比=______ (2)与(3)的相似比=______, 2∶ 3 (2)与(3)的周长比=______ 2∶ 3 相似比 结论：相似三角形的周长比等于______ ．
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比
例5:已知△ABC∽△ AB，且相似比为 k， C AD、 分别是 AD △ABC、△ 对应边 ABC BC、 S 2 ABC 上的高，求证： BC k 证明： ∵△ABC∽△ABC
AD BC k, k ∴ AD BC
S ABC ??? ∴ S ABC 1 AD BC S ABC 2 k2 S ABC 1 AD BC 2
图 18.3.9
所以ABD ∽ ABD.
图 18.3.9
（ 两角对应相等,两三角形相似
）
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, AD 由ABD ∽ ABD能否得到 等于什么？ AD