【名师点睛】高中数学人教A版必修二4.3.2《空间两点间的距离公式》word课时作业
高一数学人教版A版必修二课件:4.3.2 空间两点间的距离公式

第四章 § 4.3 空间直线坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程;2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 空间两点间的距离公式思考 如图,在长方体ABCD-AB1C1D1中,若长方体的长、宽、高分别为1a,b,c,则其对角线AC1的长等于多少?题型探究 重点难点 个个击破类型一 求空间两点间的距离例1 如图,正方体OABC-D′A′B′C′的棱长为a,|AN|=2|CN|,|BM|=2|MC′|.求|MN|的长.跟踪训练1 如图所示,在直三棱柱ABC-AB1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|1=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.类型二 求空间点的坐标解 因为P在x轴上,所以设P点坐标为(x,0,0),因为|PP1|=2|PP2|,所以x=±1,所以点P坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).跟踪训练2 已知点P,P2的坐标分别为(3,1,-1),(2,-2,-3),分1别在x,y,z轴上取点A,B,C,使它们与P1,P2两点距离相等,求A,B,C的坐标.解 设A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z),所以x=-3,同理,由|BP1|=|BP2|得y=-1,类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(1)求|MN|的长;(2)当a为何值时,|MN|的长最小.跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是( )A A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形∵|BC|=|AC|,∴△ABC为等腰三角形,|BC|2+|AC|2≠|AB|2,∴△ABC不是直角三角形,故选A.(2)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.达标检测 45123AD A.-3或4 B.6或2C.3或-4D.6或-2解得x=6或x=-2.B4.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为________.5.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1),B(1,0,-3).在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.规律与方法1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.2.若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.。
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式

例 2 设 P 在 x轴上,它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍,求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上,设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式:
• 点 P(x,y,z)与坐标原点O的距离公式:
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点:
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线,则点P1、P2
的距离如何计算?
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下,点P1(x1,y1,z1)与P2 (x2,y2,z2)之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗?
z
O
P
y
x
【数学】4.3.2《空间两点间的距离公式》课件(新人教A版必修2).pptx

在此输入您的封面副标题
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点:空间两点间的距离公式 • 难点:一般情况下,空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1.在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么?
2.在空间直角坐标系中,若已知两 个点的坐标,则这两点之间的距离 是惟一确定的,我们希望有一个求 两点间距离的计算公式,对此,我 们从理论上进行探究.
z),C(x,0,z),与坐标原点O
的距离分别是什么?
z
B
| OA |= x 2 + y 2
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中,设点P (x,y,z)在xOy平面上的射影为M, 则点M的坐标是什么?|PM|,|OM|的 值分别是什么?
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下,点P1(x1,y1, z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离是 它对| P1任P2意|= 两(点x1 P- 1、x2)P2 2+都(y成1 -立y吗2)2?+ (z1 - z2)2
理论迁移
例1在空间中,已知点A(1,0,-1), B(4,3,-1),求A、B两点之间的距离.
例2已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2), 点P在z轴上,若|PA|=|PB|,求点P 的坐标.
例3如图,点P、Q分别在棱长为1的 正方体的对角线AB和棱CD上运动, 求P、Q两点间的距离的最小值,并 指出此时P、Q两点的位置.
高中数学人教A版必修2第4章 4.3 4.3.2 空间两点间的距离公式

15
高中数学人教版必修2课件
4-1.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1), 点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 (0,-1,0) . __________ 解析:设 M(0,y,0),由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得
1
高中数学人教版必修2课件
,过 P 作 yOz 平面的垂线, 1 , 2 , 3 3.点 P 的坐标是
(0, 2, 3),过 P 作 y 轴的垂线, 垂足为 Q,则 Q 点的坐标是____________
(0, 2,0) . 垂足为 H,则 H 点的坐标是___________
∴6x-4y-13=0 即为所求点所满足的条件.
5
高中数学人教版必修2课件
1-2.已知空间三点 A(0,0,3),B(4,0,0),C(4,5,0),求三角形 的周长.
解:∵A(0,0,3),B(4,0,0),C(4,5,0), ∴|AB|= 0-42+02+3-02 =5, |BC|= 4-42+0-52+02 =5, |AC|= 0-42+0-52+3-02 =5 ∴三角形的周长为 10+5 2. 2,
则
M
2 2 2 2 ,N a, a,0, 2 a,0,1- 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + 2 a- 2 a 0- 2 a 1- 2 a-0 a-
|MN|=
2
= a - 2a+ 1=
4.已知 A(1,-2,1),B(2,2,2),点 P 在 z 轴上,且|PA |=|PB|, (0,0,3) . 则点 P 的坐标为_______ 5.已知△ABC 的三个顶点分别为点 A(3,1,2),B(4,-2,
人教版高中数学必修二《4.3.2空间两点间的距离公式》

y
y2 y1 O
P2(x2, y2)
计算公式,对此,我们从理论
上进行探究.
P1(x1,y1) Q(x2,y1)
x1
x2
x
一、探究:空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)到xOy平面的距 离,怎么求?
z
垂线段 的长
d xOy z
y
O y x
z P x
d yOz x d xOz y
|P1P2|=|z1-z2|
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面,则点P1、P2之 z 间的距离如何?
P1 O x M P2 y
N
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线,则点P1、 P2 P2的距离如何计算? z
P1 O x M
A
y
N
思考5:在上述图形背景下,点P1(x1,y1,z1)与 P2(x2,y2,z2)之间的距离是
x
知识探究(二):空间两点间的距离公式
在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2) P2 在xOy平面上的射影分别为M、N.
z O
x P1 N y
M
思考1:点M、N之间的距离如何?
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面,则点P1、P2之间 的距离如何? P2
z O x P1 y
2
M 3 M 1 = (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
所以 M2 M3 = M3 M1 ,
原结论成立.
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)
等距离的点. 解:设所求的点为M(0, 0, z),依题意有
MA MB
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式精品教案 新人教A版必修2

4.3.2 空间两点间的距离公式(一)教学目标1.知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2.过程与方法3.情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导,使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程(二)教学重点、难点重点:空间两点间的距离公式;难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导。
(3)如果|OP | 是定长r 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式巩固练习1.先在空间直角坐标系中标出A、B两点,再求它们之间的距离:(1)A(2,3,5),B(3 1,4);(2)A(6,0,1),B(3备选例题例1 已知点A 在y 轴 ,点B (0,1,2)且||AB =A 的坐标为.【解析】由题意设A (0,y ,0)=解得:y = 0或y = 2,故点A 的坐标是(0,0,0)或(0,2,0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足:(1)横、纵、竖坐标之和为2;(2)到点A (3,2,5),B (3,5,2)的距离相等,求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0,y ,z ),则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得:11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0,1,1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2),B (4,–2,–2),C (0,5,1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0,y ,z ),由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y zy z--=⎧⎨+-=⎩,所以12yz=⎧⎨=-⎩,所以P的坐标是(0,1,–2).。
高中数学教案之高一数学人教版必修二4.3.2空间两点间的距离公式

高一数学必修二教案
科目:数学
课题
空间两点间的距离公式
课型新课
教学目标(1)使学生掌握空间两点间的距离公式
(2)过程与方法
(3)情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导,使学生经历从易到难,从特
殊到一般的认识过程
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
二、质疑提问由平面上两点间
的距离公式,引
入空间两点距离
公式的猜想
先推导特殊情况
下空间两点间的
距离公式
推导一般情况下
的空间两点间的
距离公式
三、问题探究
四、课堂检测
五、小结评价。
高中数学人教A版必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》教学案4

章节必修二4.3.2 课题空间两点间的距离公式学习目标1,通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2,掌握空间两点间的距离公式重、难点重点:空间两点间的距离公式;难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导。
学法指导学习过程预习检测在平面上任意两点A),(11yx,B),(22yx之间距离的公式为|AB|=221221)()(yyxx-+-,那么对于空间中任意两点A),,(111zyx,B),,(222zyx之间距离的公式会是怎样呢?你猜猜?由平面上两点间的距离公式,引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式222z y x OP ++=2212212212)()()(z z y y x x P P -+-+-=的距离:达标检测题练习:1.如图,正方体OABD –D′A′B′C′的棱长为a,|AN|= 2|CN|,|BM| = 2|MC′|.求MN的长.2. 已知点A在y轴,点B(0,1,2)且||5AB ,则点A的坐标为.3. 坐标平面yOz上一点P满足:(1)横、纵、竖坐标之和为2;(2)到点A (3,2,5),B(3,5,2)的距离相等,求点P的坐标.。
2021-2022高中数学人教版必修2教案:4.3.2空间两点间的距离公式(系列四)Word版含答案

师:为了验证一下同学们的猜测,我们来看比拟特殊的情况,引导学生用勾股定理来完成
学生:在教师的指导下作答
得出
问题
问题设计意图
师生活动
〔3〕如果 是定长r,那么 表示什么图形?
任何知识的猜测都要建立在学生原有知识经验的根底上,学生可以通过类比在平面直角坐标系中,方程 表示原点或圆,得到知识上的升华,提高学习的兴趣。
师:注意引导类比平面直角坐标系中,方程 表示的图形,让学生有种回归感。
生:猜测说出理由
〔4〕如果是空间中任意一点 到点 之间的距离公式会是怎样呢?
[2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生:一起推导,但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论:
1、空间直角坐标系
2、空间直角坐标系有三要素
3、右手直角坐标系
1.教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2.教学重点和难点
重点:空间两点间的距离公式
难点:上两点间的距离公式,引入空间两点距离公式的猜测
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A ,B 之间距离的公式为|AB|= ,那么对于空间中任意两点A ,B 之间距离的公式会是怎样呢?你猜猜?
通过类比,充分发挥学生的联想能力。
师:、只需引导学生大胆猜测,是否正确无关紧要。
生:踊跃答复
〔2〕空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢?
[1]
4、空间中点之间的距离
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(1)教案 新人教A版必修2

课题: 2.4.3.2 空间两点间的距离公式(1)教材分析:距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常设计距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算两点之间的距离,所以本节内容为解决实际问题提供了方便.课 型: 新授课教学要求:使学生掌握空间两点的距离公式由来,及应用.教学重点:空间两点的距离公式.教学难点:空间两点的距离公式的推导教学过程:一、复习准备:1. 提问:平面两点间的距离公式?2. 给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的理由 .3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式,你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗?二、讲授新课:1.空间两点的距离公式(1)设问:你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗?如何证明?,因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上,经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线,因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式,考虑到此距离与竖坐标有关,猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=.故在介绍空间两点间的距离公式时,没有直接呈现公式结论,而是先让学生猜想、证明,从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题,要敢于提出猜想的意识.在推导空间两点间的距离公式时,教材故意让学生经历一个从易到难,从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯.(2)学生阅读教材136P - 137P 内容,教师给与适当的指导.思考:1)点M (x ,y ,z )与坐标原点O (0,0,0)的距离?2) M 1,M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2,两点重合,也即x 1=x 2,y 1=y 2,z 1=z 2. 讨论:如果OP 是定长r ,那么2222x y z r ++=表示什么图形?2.例题1:求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离.要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习:求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3.例题2:已知A(x ,2,3)、B(5,4,7),且|AB|=6,求x 的值.分析:利用空间两点间的距离公式,寻找关于x 的方程,解方程即得.解:|AB|=6,∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ,解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结:求字母的值,常利用方程的思想,通过解方程或方程组求解.练习:已知A(2,5,-6),在y轴上求一点B,使得|AB|=7.答案:B(0,2,0)或B(0,8,0).4.思考:1.在z轴上求与两点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点.2. 试在xOy平面上求一点,使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等.三.巩固练习:P练习 1、31.1382.已知三角形的顶点为A(1,2,3),B(7,10,3)和C(4,10,0).试证明A角为直角.四.小结:1.空间两点的距离公式的推导.2.公式的应用五.作业P练习第2,4题1.课本138P习题4.3 A组第3题B组第1题2.课本138课后记:。
高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案 新人教A版必修2

课题:2.4.3.2 空间两点间的距离公式(2)教材分析:距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常设计距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算两点之间的距离,所以本节内容为解决实际问题提供了方便. 课 型: 新授课教学要求:使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用. 教学重点:空间两点的距离公式的应用. 教学难点:空间两点的距离公式的应用. 教学过程:一.复习提问:1.两点间的距离公式. 二.例题讲解:1.例题1.在四面体P-ABC 中,PA 、PB 、PC 两两垂直,设PA=PB=PC=a ,求点P 到平面ABC 的距离.解:根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ,则P(0,0,0),A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (0,0,a ).过P 作PH ⊥平面ABC ,交平面ABC 于H ,则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离.PA=PB=PC ,∴H 为∆ABC 的外心,又∆ABC 为正三角形,∴H 为∆ABC 的重心.由定比分点公式,可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-.∴点P 到平面ABC 的距离为a 33. 2.例题2.在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中,求异面直线11CC BD 与间的距离.解:以D 为坐标原点,从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴,建立如图所求的空间直角坐标系.设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点,其坐标分别为(x , y , z)、(0,1,z a ),则由正方体的对称性,显然有x=y .要求异面直线11CC BD 与间的距离,即求P 、Q 两点间的最短距离.xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ,由在∆!BDD 中,BDBH D D PH =1,所以a x a a z -=,∴x=a-z , ∴P 的坐标为(a-z , a-z , z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时,|PQ|取得最小值,最小值为a 22. ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22. 3.例题3.点P 在坐标平面xOy 内,A 点的坐标为(-1,2,4),问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么?分析:因点P 一方面在坐标平面xOy 内,另一方面满足条件|PA|=5,即点P 在球面上,故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线. 解:设点P 的坐标为(x , y , z). 点P 在坐标平面xOy 内,∴z=0|PA|=5,∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ,即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25,∴点P 在以点A 为球心,半径为5的球面上,∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心,半径为5的球面的交线,即在坐标平面xOy 内的圆,且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1,2,0).点A 到坐标平面xOy 的距离为4,球面半径为5, ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3.∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9,z=0.小结:对于空间直角坐标系中的轨迹问题,可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决. 三:巩固练习:1.课本139P 习题4.3 B 组 第2题2.点P 在坐标平面xOz 内,A 点的坐标为(1,3,-2),问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程.答案:点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16,y=0. 四.小结1.空间两点的距离公式的应用. 五.作业1.课本139P 习题4.3 B组 第3题课后记:。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
4.3.2 空间两点间的距离公式
【课时目标】 1.掌握空间两点间的距离公式.2.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.3.能够用空间两点间距离公式解决简单的问题.
1.在空间直角坐标系中,给定两点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则|P 1P 2|=________________________________________________________________________.
特别地:设点A (x ,y ,z ),则A 点到原点的距离为:|OA |=________________. 2.若点P 1(x 1,y 1,0),P 2(x 2,y 2,0), 则|P 1P 2|=______________________. 3.若点P 1(x 1,0,0),P 2(x 2,0,0), 则|P 1P 2|=________.
一、选择题
1.若A (1,3,-2)、B (-2,3,2),则A 、B 两点间的距离为( ) A .61 B .25 C .5 D .57
2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3),则对角线AC 1的长为( )
A .9
B .29
C .5
D .2 6
3.到点A (-1,-1,-1),B (1,1,1)的距离相等的点C (x ,y ,z )的坐标满足( ) A .x +y +z =-1 B .x +y +z =0 C .x +y +z =1 D .x +y +z =4
4.已知A (2,1,1),B (1,1,2),C (2,0,1),则下列说法中正确的是( ) A .A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B .A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C .A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形 D .A 、B 、C 三点不能构成任何三角形
5.已知A (x,5-x,2x -1),B (1,x +2,2-x ),当|AB |取最小值时,x 的值为( )
A .19
B .-87
C .87
D .19
14
6.点P (x ,y ,z )满足 x -1 2
+ y -1 2
+ z +1 2
=2,则点P 在( )
A .以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上
B .以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体内
C .以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上
D .无法确定
二、填空题
7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A (3,-1,2),其中心M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.
8.已知P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,52,z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,-7),B (-2,4,3),则z =________.
9.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,-3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.
三、解答题
10.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.
11.如图所示,BC=4,原点O是BC的中点,点A的坐标为(
3
2
,
1
2
,0),点D在平面
yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,求AD的长度.
能力提升
12.已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<2).
(1)求MN的长;
(2)当a为何值时,MN的长最小.
13.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C中点,求M、N两点间的距离.
空间中两点的距离公式,是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广,反之,它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解.设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则d (P 1,P 2)= x 2-x 1 2+ y 2-y 1 2+ z 2-z 1 2,当P 1,P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时,此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式,当两点落在坐标轴上时,则公式转化为数轴上两点间距离公式.
4.3.2 空间两点间的距离公式 答案
知识梳理
1. x 1-x 2 2+ y 1-y 2 2+ z 1-z 2 2 x 2+y 2+z 2
2. x 1-x 2 2+ y 1-y 2 2
3.|x 1-x 2| 作业设计
1.C [|AB |= 1+2 2+ 3-3 2+ -2-2 2
=5.] 2.B [由已知求得C 1(0,2,3),∴|AC 1|=29.]
3.B [|AC |=|BC |⇒(x +1)2+(y +1)2+(z +1)2=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2
.即x +y +z =0.]
4.A [|AB |=2,|BC |=3,|AC |=1,
∴|AB |2+|AC |2=|BC |2
.故构成直角三角形.]
5.C [|AB |= x -1 2+ 3-2x 2+ 3x -3 2=14x 2
-32x +19,∴当x =--322×14=8
7
时,|AB |最小.] 6.C 7.239
3
8.0或-4
解析 利用中点坐标公式,则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,92,-2,|PC |=3,即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32-122+⎝ ⎛⎭
⎪⎫52-922+[z - -2 ]2=3,
解得z =0或z =-4.
9.(0,-1,0)
解析 设M 的坐标为(0,y,0),由|MA |=|MB |得(0-1)2+(y -0)2+(0-2)2=(0-1)
2
+(y +3)2+(0-1)2
,整理得6y +6=0,
∴y =-1,即点M 的坐标为(0,-1,0).
10.解 ∵点M 在直线x +y =1(xOy 平面内)上, ∴可设M (x,1-x,0).
∴|MN |= x -6 2+ 1-x -5 2+ 0-1 2
=2 x -1 2
+51≥51, 当且仅当x =1时取等号,
∴当点M 坐标为(1,0,0)时,|MN |min =51. 11.解 由题意得B (0,-2,0),C (0,2,0), 设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB =30°, ∴BD =2,CD =23,z =3,y =-1. ∴D (0,-1,3).
又∵A (32,1
2
,0),
∴|AD |=
32 2+ 12
+1 2+ 3 2
=6. 12.解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF =AB ,AB ⊥BE , ∴BE ⊥平面ABCD ,
∴AB 、BC 、BE 两两垂直.
过点M 作MG ⊥AB ,MH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,连接NG ,易证NG ⊥AB . ∵CM =BN =a ,
∴CH =MH =BG =GN =2
2a ,
∴以B 为原点,以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2
a ,0,1-22a ,
N ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22a ,22a ,0.
(1)|MN |=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a -22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫0-22a 2+⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-22a -02
=a 2
-2a +1=⎝
⎛⎭⎪⎫a -222+12,
(2)由(1)得,当a =
22时,|MN |最短,最短为2
2
,这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点. 13.解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C (3,3,0),
D (0,3,0),∵|DD 1|=|CC 1|=2, ∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2), ∵N 为CD 1的中点,
∴N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,3,1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点,∴M (1,1,2). 由两点间距离公式,得
|MN |=⎝ ⎛⎭
⎪⎫32-12+ 3-1 2+ 1-2 2=212.。