福建省福建师范大学附属中学2019届高三下学期高考模拟(最后一模)数学(理)试题含答案

2019届福建省福建师大附中理科数学高考模拟试卷本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合，若，则的值可以是（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．42.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的， 如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。

设直角三角形的一个锐角为，且，若在大正方形内随机取一点，则改 点取自小正方形区域的概率为（ ） A ． B ． C. D ．3.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(12)()z i a i =-+在复平面内对应的点为M ，则“2a >”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ） A ． B ． C. D ．5、已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =u u u r ，6AC =u u u r，12AE ED =u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r等于（ ）A. 14-B. 9-C. 9D. 146．执行如图所示的程序框图，输出的n 值为（ ）A ．6B ．8C ．2D ．47.学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ） A.70种 B.140种 C.840种 D. 420种8. 将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若函数为偶函数，则函数在的值域为( ) A ． B ． C. D ．θtan 2θ=14152535)(x f 0>x 0)1(=f 0)1(>-x f x }210|{><<x x x 或}20|{><x x x 或}30|{><x x x 或}11|{>-<x x x 或()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<6π()y g x =()y g x =()y f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2-[]1,1-32⎡⎤⎣⎦，3,3⎡⎤-⎣⎦9．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是（ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值10.将函数x y e =（e 为自然对数的底数）的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角后第一次与轴相切，则角θ满足的条件是（ ）A ．sin cos e θθ=B ．sin cos e θθ=C ．sin 1e θ=D ．cos 1e θ=11.已知双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的左，右焦点分别为12,F F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．655C ．355D ．312.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则=( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分. 13.展开式中的系数为 .14.记不等式组22012x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的解集为D ，若,(1)x y D y a x ∀∈≤+，,则实数的最小值是 .15．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ,0(2,)A y 是E 上一点，且AF =2,设点B 是E 上异于点A的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M 则直线BM 过定点，定点坐标为 .16. 已知在平面四边形中，.则四边形的面积的最大值为______________.46()4sin 2,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3F x f x =-123,,,,n x x x x L 123n x x x x <<<<L 1231222n n x x x x x -+++++L 12763π445π455π14573π25211(1)(1)x x x+++2x ABCD 2,2,,AB BC AC CD AC CD ==⊥=ABCD三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列前5项和为50，，数列的前项和为，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）若数列满足,求的值18.（本小题满分12分）如图1，在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点．将沿折起到的位置，使得，如图2．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车。

为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？ （2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.① 求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++{}n a 227=a {}n b nn S 13,111+==+n n S b b {}n a {}n b {}n c *+∈=+++N n a b c b c b c n nn ,12211Λ122019c c c +++L ABCD AD BC P 90BAD ∠=︒AB =4BC =6AD =E AD 13AE AD =P BE ABE ∆BE 1A BE ∆14A C =1A CP ⊥1A BE 1B A P D --D B A D20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.（1）求圆的标准方程；（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆于P ，M 两点. （i ）求证：； （ii ）试探究是否为定值.21.（本小题满分12分）设函数. （1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得 成立，求实数a 的取值范围.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在射线上，且满足．（1）求点的轨迹的直角坐标方程； （2）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于，两点，求的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．221:14x C y +=1A 2A 1B 2B 1122A B A B 2C 2C 2C 1C OP OM ⊥2211OP OM +21()ln ,22x f x a x a R =--∈()f x []1,e 2.71828e =L []1,e 2.71828e =L 0x ()200001122x a f x x x +<---xOy x 1C ()4cos 0ρθρ=>M 1C P OM 20OM OP ⋅=P 2C 2C x D D 5π6l 1C A B DA DB ⋅()1f x x a x =++-1a =()4f x x ≥+()21f x a ≥-a2019届福建省福建师大附中理科数学高考模拟试卷参考答案一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. DBAA D,BDADB,BC三、填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. 15 14. 2 15． 16. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）设等差数列的公差为，依题意得：，解得，， 所以. 当时，， 当时，， ， 以上两式相减得，则，又，所以，.所以为首项为1，公比为4的等比数列， 所以．（Ⅱ）因为， 当时，，以上两式相减得， 所以，.当时，，所以，不符合上式，所以.18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连结．在四边形中，，，，，，， ∴，，……1分 ∴四边形为菱形，且为等边三角形．又∵为的中点，∴.………………2分 ∵，，，满足，∴，………………3分 又∵， ∴平面.………………4分∵平面，∴平面平面．……5分（Ⅱ）以为原点，向量的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系..6分 则，，，，所以，，…7分310+{}n a d 11545502622a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩14a =3d =1(1)31n a a n d n =+-=+1n =21314b b =+=2n ≥131n n b S +=+131n n b S -=+13n n n b b b +-=14n n b b +=214b b =14n n b b +=*n N ∈{}n b 14n n b -=12112n n nc c c a b b b ++++=L *n N ∈112121n n n c c ca b b b --+++=L 13n n n n c a a b +=-=1334n n n c b -==⨯2n ≥1n =121ca b =1217c a b ==2201812201973(444)c cc +++=++++L L201820194(14)734314-=+⨯=+-CE ABCD AD BC P 90BAD ∠=︒AB =4BC =6AD =13AE AD =12A E AE ==4BE DE ==BCDE BCE ∆P BE CPBE ⊥1122A P BE ==CP =14A C =22211A P CP A C +=1CP A P ⊥1A P BE P =I CP ⊥1A BE CP ⊂1A CP 1A CP ⊥1A BE P ,PB PC u u u r u u u rx y P xyz -()0,0,0P C (D -(1A -(1PA =-(PD =-u u u r设是平面的一个法向量，则即………8分 取，得．……9分 取平面的一个法向量．…10分 ∵，………11分 又二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．…………12分19.（1合计将22⨯列联表中的数据代入公式计算得841.303.345557525)10301545(100))()()(()(222<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ，所以在犯错误概率不超过05.0的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．（2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为53，女“骑行达人”的概率为52．①抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为625528)52()53(144=--=p ；②记抽出的女“骑行达人”人数为Y ，则Y X 500=．由题意得)52,4(~B Y ，ii i C i Y P -==∴4)3()2()(4（4,3,2,1,0=i ），∴Y 的分布列为所以554)(=⨯=Y E ，所以X 的数学期望800)(500)(==Y E X E 元． 20.（本题满分12分）(),,n x y z =1A PD 10,0,n PA n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r0,40,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩1z =n =1A BE ()0,1,0m =cos ,n m n m n m ===g 1B A P D --1B A P D --（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线的方程为：…………………………………………2分则原点O 到直线的距离为， 则圆的半径，故圆的标准方程为.………………………………………………4分（2）（i ）可设切线，将直线方程代入椭圆可得，由韦达定理得： 则，……6分 又l 与圆相切，可知原点O 到l 的距离，整理得，则，所以，故.……………………8分（ii ）由知，①当直线的斜率不存在时，显然，此时； ②当直线的斜率存在时，设代入椭圆方程可得，则，故，………………………………………………10分同理，则. 综上可知：为定值.…………………………………………………………12分 21.【解析】（1），其中.2A 1B 221:14x C y +=2A 1B (2,0),(0,1)21A B 22x y +=21A B 2512d ==+2C 5r d ==2C 2245x y +=()()1122:(0),,,,l y kx b k P x y M x y =+≠PM 1C 22212104k x kbx b ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭1222122214114kbx x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩()()()22221212121221414k b y y kx b kx b k x x kb x x b k -+=++=+++=+2C 2251d k ==+22514k b =-2122114b y y k -=+12120OP OM x x y y ⋅=+=u u u r u u u u r OP OM ⊥OP OM ⊥1||||2OPM S OP OM =△OP ||1,||2OP OM ==221154OP OM +=OP 1:OP y k x =222114x k x +=221414x k =+()()212222212141114k OP x y k x k +=+=+=+()221122211141414114k k OM k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()221122221114411544141k k OP OM k k +++=+=++221154OP OM +=2()a x af x x x x-'=-=[1,e]x ∈①当时，恒成立，单调递增，又∵，.函数在区间上有唯一的零点，符合题意.②当时，恒成立，单调递减，又∵，.函数在区间上有唯一的零点，符合题意.…………………………………………………………3分 ③当时，时，，单调递减，又∵，∴，∴函数在区间时，，单调递增，当时符合题意，即，∴时，函数在区间上有唯一的零点；∴a 的取值范围是.…………………………6分（2）在上存在一点，使得成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零.，……………………………………8分 ①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，∵，∴；②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由可得；………………………………………………10分③当时，即时，可得的最小值为，∵，∴，，所以不成立. 综上所述：可得所求a 的取值范围是.……………………………………12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（1）设的极坐标为，的极坐标为， 由题设知，．∴，即的极坐标方程，∴的直角坐标方程为．（2）交点，∴直线的参数方程为（为参数）， 曲线的直角坐标方程，代入得，，设方程两根为，，则，分别是，对应的参数，∴．1a ≤()0f x '≥()f x ()10f =()f x [1,]e 2a e ≥()0f x '≤()f x ()10f =()f x [1,]e 21e a <<1x <„()0f x '<()f x ()10f =(1)0f f <=()f x e x <„()0f x '>()f x ()0f e <21022e a --<212e a ->()f x 21|12e a a a ⎧⎫-≤>⎨⎬⎩⎭或[1,]e 0x ()200001122x a f x x x +<---00001ln 0a x a x x x +-+<[1,]e 1()ln ag x x a x x x=+-+[1,]e 2222211(1)(1)()1a a x ax a x x a g x x x x x x---+--'=---==1a e +≥1a e ≥-()g x [1,]e ()g x ()g e ()10a g e e a e +=+-<211e a e +>-2111e e e +>--211e a e +>-11a +≤0a ≤()g x[1,]e ()g x ()1g ()1110g a =++<2a <-11a e <+<01a e <<-()g x ()1g a +0ln(1)1a <+<0ln(1)a a a <+<1(1)1ln(1)2ln(1)211a g a a a a a a a a a +=++-++=+-+>++()10g a +<21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭U P ()(),0ρθρ>M ()()110,ρθρ>OP ρ=14cos OM ρθ==4cos 20ρθ=2C ()cos 50ρθρ=>2C 5x =()5,0D l 512x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1C ()22400x y x x +-=≠250t -+=70∆=>1t 2t 1t 2t A B 125DA DB t t ⋅==23．（1）不等式为，可以转化为：或或， 解得或，∴原不等式的解集是．（2），∴或，解得或． ∴实数的取值范围是．114x x x ++-≥+1114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩11114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩1114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩43x ≤-4x ≥443x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或()()()min 11f x x a x a =+--=+2211111a a a a a <-⎧+≥-⇔⎨--≥-⎩2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩a ∈∅12a -≤≤a []1,2-。