湖北省黄冈中学2010年春季高二数学期末考试(理)
湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)
2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x <<． ...............................2分当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤，即q为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y 212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共1个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分 因为43cos sin 55C C =∴=则1=2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A (2)分 则16,162121-==+x x x x ，...............................3分 ∴=++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80；...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P),2,2(p p Q (8)分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分 故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分 方法二：由=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为S B⊥，AB⊥BC ，所以BC⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分 （2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，， 124,(0)333SE SD E =∴ ，， (8)分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ==== 则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅ 即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
湖北省黄冈中学2010年春季高一期末考试数学试题(理)
湖北省黄冈中学2010年春季高一数学期末考试试题（理）命题：汤彩仙 校对：董明秀本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1、已知{}1|21,|,3A x x B x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭则A B 等于（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2131，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D ．∅2、如果两个球的体积之比为1:27，那么两个球的表面积之比为（ ） A ．1:27 B. 1:9 C. 1:3 D. 2:93、三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．1条或2条4、如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．22+B ．221+ C ．222+ D ．21+ 5、下列各函数中，最小值为2的是 （ ）A ．y=B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y =D ．1y x x=+6、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m //7、设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、设变量x 、y 满足约束条件20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z=3x －4y 的最大值和最小值分别为（ ）A ．3，－11B ．－3， －11C ．11， －3D ．11，39、如图在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,61===AA AD AB ，分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为11111112AEA DFD A EBE D FCF V V V V --==,,11113B E B C F C V V -=，若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为（ ）A ．104B ．38C ．134D ．16 10、设M是其中定义且内一点),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11、函数y =__________．12、若圆锥的表面积是16π，侧面展开图的圆心角是120，则圆锥的体积是__________． 13、已知240x y +-=，则39xy+的最小值为__________．14、长方体A B C D A B C D -1111中，B C C D D D ===2214251，，，则6 A C B D 111和所成角的大小为______________．15、将一个长、宽分别是,b a (0)a b <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）若a=4时，求集合M ．（2）若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．17、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．18、{an}为等差数列，公差d ＞0，Sn 是数列{an}前n 项和，已知14427,24a a S ==． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和T n ． BCDA 1C1B1A 1D19、如图，已知AB ⊥平面AC D ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．20、甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ） 及任意的0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ） 万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ） 万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险．（1）请解释(0)f 、(0)g 的实际意义； （2）当()4f x x =+，()8g x 时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能的少投入宣传费用，问此时甲乙两公司应各投入多少宣传费用？21、（本小题满分14分）已知公差为)1(>d d 的等差数列}{n a 和公比为)1(>q q 的等比数列}{n b ，满足集合ABCDEF}5,4,3,2,1{},,{},,{543543=b b b a a a（1）求通项n n b a ,；（2）求数列}{n n b a 的前n 项和n S ； （3）若恰有4个正整数n 使不等式nn np n b p b a a 821++≤++成立，求正整数p 的值．（重点班）已知定义域在R 上的单调函数)(x f y =，存在实数0x ，使得对于任意的实数21,x x ，总有)()()()(2102010x f x f x f x x x x f ++=+恒成立．（1）求x 0的值；（2）若)(0x f =1，且对任意正整数n ，有1)21(,)(1+==n n n f b n f a ，记12231n n n T bb b b b b +=+++ ，求n a 与T n ；（3）在（2）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+ 对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．参考答案及解析：1、B2、B3、C4、A5、A6、B7、C8、A9、C 10、D 11、1[1,]2- 1213、18 14、60° 15、514b a <<16、解析：1、11{|},|,23A x xB x x⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭故A B=⎪⎭⎫⎝⎛∞+，212、由球的体积公式知两个球的半径之比为1:3，再由表面积公式知表面积之比为1:9．3、此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．4、恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S=⨯=+5、对于A：2y=≥，对于B：不能保证1sinsinxx=，对于C：不能保证=，对于D：不能保证0x>．6、对于A，l与α可以平行，也可以为平面α的斜线；对于C，l与m可以异面；对于D，l与m可以平行，可以相交，也可异面．7、由题可得：11(1)()(1),2n na f n f n f a+=+==∴1(),2nna=111()11221()[,1)12212nnnS+-==-∈-．8、画出平面区域如图所示：可知当直线3-4z x y=平移到点（5，3）时，目标函数3-4z x y=取得最大值3；当直线3-4z x y=平移到点（3，5）时，目标函数3-4z x y=取得最小值－11，故选A．9、由于1:4:1::321=VVV，所以111124AE A A AD BE A A EF⋅⋅=⋅⋅，且AD EF=，所以122AE BE==，所以1A E==，则截面11EFDA的面积为134．10、由条件可得，||||4AB AC ⋅= ，∴1||||sin 12S AB AC BAC =⋅∠=，而12M BC S ∆=，∴12x y +=，∴141442()()2(5)18y x x y x y x y x y+=++=++≥，当且仅当123y x ==时等号成立．11、1(12)(1)012x x x -+⇒-≥≤≤． 12、设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题可得：21622623r rlr l r l πππππ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，=2123π⨯⨯=． 13、239332918x y x y+=+≥=⨯=，当且仅当233xy=，即21x y =⎧⎨=⎩时取等号，即39x y+的最小值为18．14、将B D 11平移到A F 1，则在∆AF C1中1111123cos 260A F AC CF FAC FAC ===∠==∴∠=︒；；15、长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，故只需考虑体对角线有最小值即可，设切去的正方形边长为(0)2ax x <<， 长方体的体对角线为l ， 则 2222222()(2)(2)9(44)f x l a x b x x x a b x a b ==-+-+=-+++，()f x 要在区间(0,)2a内有最小值，则二次函数的对称轴必要此区间内，即44182a b a+<且22236()(44)036a b a b +-+>，令b t a =代入得54t <，故514t <<．16、解：（1）当a=4时，原不等式等价于24504x x -<-，解得x ＜－2或524x <<，即集合M={x|x ＜－2，或524x <<}． （2）由3∈M ，得3509a a-<-，解得a ＞9或53a <．由5∉M ，得55025a a--≥或25－a=0，解得1≤a ≤25． 综上所述，所求a 的取值范围为513a <≤或9＜a ≤25． 17、解：由题知该几何体是一底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P ABCD -．（1）体积1(86)4643V =⨯⨯⨯=（2）该四棱锥有两个侧面PADPBC 、是全等的等腰三角形，且BC边上的高为1h ==；另外两个侧面PAB PCD 、也是全等的等腰三角形，AB边上的高25h ==．故侧面积112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=．18、解：（1）144144()24,122a a S a a +==∴+= 又1427a a =， d ＞0，∴143,9,2,a a d ===，∴21n a n =+． （2）111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++ 1111111111[()()()]()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++ =69n n +．19、（1） 证：取CE 的中点G ，连FG BG 、.∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB .又12AB DE =，∴GF AB =.∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CD DE D = ，故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ．（3）解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ． ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ． ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角．设22AD DE AB a ===，则sin 45FH CF =︒=，2BF a ===，R t △FHB中，sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCE所成角的正弦值为4． 20、解：（1）(0)f 表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少要投入(0)f 万元的宣传费；(0)g 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入(0)g 万元的宣传费．（2）将甲公司投入的宣传费用x 来表示， 乙公司投入的宣传费用y 来表示，依题意， 当()4y f x x ≥=+时，乙公司无失败的风险．当()8x g y ≥=时，甲公司无失败的风险．如图示：阴影部分区域表示甲、乙两公司均无失败的风险由48y x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，知1216x y =⎧⎨=⎩故在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入12万元，甲公司至少投入16万元．21、解：（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4而{}{}{}345345,,,,1,2,3,4,5a a a b b b = ，∴3453451,3,5,1,2,4a a a b b b ======∴1113,2,,24a d b q =-===，∴()1311125,2n n n n a a n d n b b q --=+-=-=⨯=（2）∵()3252n n n a b n -=-⨯∴()()()2103321212252n n S n ---=-⨯+-⨯+⨯++-⨯()()()()103223212272252n n n S n n ---=-⨯+-⨯++-⨯+-⨯ ，两式相减得()()2103232222222252n n n S n -----=-⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()123122524n n n --=--+--⨯∴()272724n n S n -=+-⨯ （3）不等式128n p n n na b p a b ++++≤等价于()2322528252n n n p p n --+-⎡⎤++⎣⎦≤- 即348252n p p n -+≤-，0p > ，∴1,2n =显然成立当3n ≥时，有342582n p n p --≤+，即118(25)82225125n n n p n n ---≤=-+-- 设1225n n c n -=-，由()1225123n nn c c n +-=>-，得 3.5n >． ∴当4n ≥时，{}n c 单调递增，即18(25)225n n n --⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭单调递减而当3n =时，223p ≤；当4n =时，445p ≤；当5n =时，7311p ≤；当6n =时，6225p ≤；∴恰有4个正整数n 使不等式128n p n nna b p a b ++++≤成立的正整数p 值为3．（重点班）解：（1）令得,021==x x①)0()()0(2)()0(f x f f x f f o o -=∴+=令得,0,121==x x ②)0()1()0()1()()(f f f f x f x f o o -=∴++=由①②得是单调函数又因为)(),1()(x f f x f o = 1=∴o x（2）由（1）可得1)()()()()1()(212121++=++=+x f x f x f x f f x x f第 11 页 共 11 页 则2)(1)1()()1(+=++=+n f f n f n f 又121)(12)(1)1(-=∴∈-=∴=*n a N n n n f f n11)21(,0)21()1()21()21()2121()1(1=+==∴++=+=f b f f f f f f 111111111()()2()(1)2()122222n n n n n f f f f f ++++=+=+=+ 1111111122()2()2()12222n n n n n n b f f f b ++++=+=+=+= 111)21()21(--=⋅=∴n n n b b 12311211)21()21()21()21()21()21()21()21()21(--+⋯++=⨯+⋯+⨯+⨯=n n n o n T ])41(1[32n -=令122()n n n F n a a a ++=+++ 则0121341141)()1(>+-+++=-+n n n n F n F 当3512)2()1()(,243=+=>⋯>->∈≥*a a F n F n F N n n 时， 21122124[log (1)log (91)1]3535x x ∴>+--+ 即21122log (1)log (91)2x x +--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>->+∴411910190122x x x x 解得或1313195<<-<<-x x 或故)1,31()31,95(⋃--∈x。
湖北省黄冈中学-度高二数学下学期期末(理科)试卷
湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二下学期期末数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号填在第三大题前面的表中相应位置上． 1．0sin 2lim x x →的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．222A lim A nn n n n →∞+的值是（ ）A ．0B ．2C ．12D ．143．当z =时，z 100+z 50+1的值等于（ ） A ．1 B ．–1 C ．i D ．–i4．函数y =x sin x +cos x 的一个单调递增区间是（ ） A ．(–2π，0) B ．(0，2π) C ．(2π，π) D ．(π，32π) 5．无穷等比数列{a n }的首项为a 1=3，前n 项和为S n ，且8S 6=7S 3，则lim n n S →∞等于（ ） A ．2 B ．–2 C ．6 D ．–66．已知cos sin lim cos sin n nnn n θθθθ→∞-+=–1(0≤θ≤2π)，则θ的取值范围是（ ） A ．4π B ．0≤θ<4π C ．4π<θ≤2π D ．4π≤θ≤2π7．0e 1lim xx x→-的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e8．数列{a n }中，a 1=13，2a n +a n +1=173n +，则12lim()n n a a a →∞+++的值是（ ）A ．23B ．12C ．2318D ．729．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2410．已知函数f (x )是R 上的可导函数，下列命题：(1)若f (x )是奇函数，则f ′(x )是偶函数；(2)若f (x )是偶函数，则f ′(x )是奇函数；(3) 若f (x )是周期函数，则f ′(x )也是周期函数．其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．过点P(1，1)作y =x 3的两条切线l 1、l 2，设l 1、l 2的夹角为θ，则tan θ等于（ ） AB ．913C ．1513D ．9512．函数f (x )=a ln x +bx 2+6x 在x =1和x =2处有极值，则函数f (x )在区间[13，3]上最小值是（ ）A ．f (1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (3)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在第三大题前面的表中相应位置上． 13i 对应的向量按顺时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是14．已知函数f (x)=0),x >⎩是R 上的连续函数，则实数a 的值是 15．已知222lim 2x x ax b x x →++--=2，则a +b 的值是 16．已知a n 是f n (x )=(1+x )n +1的展开式中含x n 的项的系数，S n 为数列{a n }的前n 项和，则12111lim()n nS S S →∞+++的值是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知O 是坐标原点，向量1OZ ，2OZ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1=36a ++(19–a 2)i ，z 2=21a-+(2a –5)i （其中a ∈R ），若1z +z 2可以与实数比较大小，试求向量1OZ ，2OZ 的数量积．18．（本小题满分12分）一个电视节目要求参加者回答A、B两个问题，若没正确回答任何一个问题则赠送价值20元的纪念品；若正确回答一个问题则赠送价值100元的礼品；若两个问题都正确回答则赠送价值400元的礼品．某观众应邀参加这个节目，已知该观众正确回答A问题的概率是0.75，正确回答B问题的概率是0.2．（1）求该观众正确回答的问题的个数ξ的分布列；（2）求该观众参加这个节目获得物品的价值η的数学期望．19．（本小题满分12分）设函数f(x)=–13x3+2ax2–3a2x+b，其中0<a<1，b∈R．（1）求函数f(x)的的单调区间和极值；（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有f′(x)≥–a，试确定a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数f(x y= f(x)上一点P(x0，f(x0))作曲线的切线l分别交x、y轴于M、N两点，O为坐标原点．（1）求x0=1时，切线l的的方程；（2）求SΔMON的最小值及此时点P的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(2–x)+ax在区间(0，1]上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）若数列{a n}满足a1∈(0，1)，a n+1=ln(2–a n)+a n(n∈N*)，证明：0<a n<a n+1<1．22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(0,+ )上是增函数，在[–1,0]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α，–1，β．（1）求c的值；（2）求证：f(0)≤–12；（3）求|α–β|的取值范围．黄冈中学高二下学期数学（理科）期末试卷（答案）17．解：∵1z +z 2=36a +–(19–a 2)i +21a -+(2a –5)i=(36a ++21a-)+ (a 2+2 a –24)i ∈R ，∴a 2+2 a –24=0，解得a =4或a =–6（舍去）． ∴z 1=310+3i ，z 2=–23+3i ，∴向量1OZ ，2OZ 的数量积为(310，3)· (–23，3)=445．18．解：（1）∵P(ξ=0)=(1–0.75)×(1–0.2)=0.2,P(ξ=1)= 0.75×(1–0.2) +(1–0.75)×0.2=0.65,P(ξ=2)=0.75×0.2=0.15,19．解：（1）∵f ′(x )=–x 2+4ax –3a 2=–(x –3a )( x –a ),∴当x <a 时，f ′(x )<0；当a <x <3a 时，f ′(x )>0；当x >3a 时，f ′(x )<0,∴(–∞,a )和(3a ,+∞)是f (x )的的单调递减区间，(a ,3a )是f (x )的的单调递增区间． 当x =a 时，f (x )有极小值f (a )=–13a 3+2 a 3–3a 3+b =–43a 3+b ；当x =3a 时，f (x )有极大值f (3a )=–13(3a )3+2 a (3a )2–3a 2(3a )+b =b ．（2）∵f ′(x )=–x 2+4ax –3a 2=–(x –2a )2+ a 2,其图象对称轴是直线x =2a , 而2a <a +1<a +2, ∴在区间[a +1，a +2]上，单调递减，从而f ′(x )≥f ′(a +2)，即 f ′(x )≥4a –4． 又∵f ′(x )≥–a 恒成立，∴01,4 4.a a a <<⎧⎨-≤-⎩解得45≤a <1．20．解：（1）∵f ′(x⇒f ′(1)=14, f (1)=2,∴切线l 的的方程是y –2=14(x –1)，即x –4y +7=0(2)∵切线l 的方程是y(x –x 0), ∴点M 、N 的坐标分别是M (–x 0–6,0),N),∴S ΔMON =12|–(x 0+6)•2,其中x 0>–3.从而S ΔMON 对x 0的导数S ′ΔMON2,∴当–3<x 0<–2时，S ′ΔMON <0；当x 0=–2时，S ′ΔMON =0；当x 0>–2时，S ′ΔMON >0．故当x 0=–2时，S ΔMON2=4．此时点P 的坐标为(–2,1)．21．解：（1）∵f ′(x )=12x -+a ，∴12x -+a ≥0在x ∈(0,1)上恒成立， 即a ≥–12x -在x ∈(0,1)上恒成立．又∵x ∈(0,1)时，–12x -∈(12,1),∴a ≥1.(2)由（1）知，g (x )= ln(2–x )+x 是(0，1]上的增函数． ∴当0<x <1时，g (x )<g (1)=1.下面用数学归纳法证明题中结论成立：当n =1时，一方面a 2=g (a 1) <g (1)=1；另一方面， a 1∈(0，1)⇒2–a 1∈(1,2)⇒ ln(2–a 1)>0⇒a 2>a 1,所以0<a 1<a 2<1.假设当n =k 时不等式成立，即0<a k <a k +1<1，则由0<a k +1<1，同上法可证0<a k +1<a k +2<1. 综上所述，0<a n <a n +1<1对任何正整数n 都成立． 22．解：（1）f ′(x )=3x 2+2bx +c.由题意知函数f (x )在x =0处有极小值，所以c = f ′(0)=0.（2）∵f (x )在(0,+∞)上是增函数，在[–1,0]上是减函数，∴f ′(x )= 3x 2+2bx ≥0在(0,+∞)上恒成立，f ′(x )= 3x 2+2bx ≤0在(–1,0)上恒成立, 即b ≥–32x 在(0,+∞)上恒成立, 在(–1,0)上也恒成立，∴b ≥32．又∵f (–1)=–1+b –c +d =b +d –1=0⇒d =1–b , ∴f (0)=d =1–b ≤–12．（3）∵f (x )=x 3+bx 2+1–b =(x +1)[x 2+(b –1)x +1–b ]，∴α，β是x 2+(b –1)x +1–b =0的两根，∴|α–β 注意到b ≥32，所以|α–β|≥32．22．已知x 1,x 2是函数f (x )=3a x 3+2b x 2–a 2x (a >0)的两个极值点，且|x 1|+|x 2|=2．(1)证明：0<a ≤1； (2)求b 的取值范围；(3)若函数g (x )=f ′(x )–2a (x –x 1),证明：当x 1<x <2且x 1<0时，0<g (x )≤4a ． 解：（1）∵f ′(x )=ax 2+bx –a 2⇒ x 1,x 2是方程ax 2+bx –a 2=0的两根． ∴x 1x 2=–a <0⇒x 1,x 2异号⇒|x 1|+|x 2|=| x 1–x 2|=2,，∴b 2=4a 2(1–a )≥0, 由a >0解上式得0<a ≤1．（2）令h (a )= 4a 2(1–a )= 4a 2–4a 3,则h ′(a )=8a –12a 2=4a (2–3a ), ∴当0<a <23时，h ′(a )>0；当23<a <1时h ′(a )<0,即函数在区间(0，23)上单调递增，在区间(23，1)上单调递减，又h (0)=0，h (23)=1627， h (1)=0， ∴当0<a ≤1时0≤h (a )≤16,∴0≤b 2≤16b ．（3）由x 1<0知，x 2>0⇒|x 1|+|x 2|=x 2–x 1=2⇒x 2=x 1+2>0⇒–2<x 1<0, ∴g (x )=a (x –x 1)(x –x 2)–2a (x –x 1)= a (x –x 1)( x –x 2–2)= a (x –x 1)( x –x 1–4)= a (x –x 1–2)2–4a .∴当x1<x<2时,–2<x–x1–2<–x1<2 0≤(x–x1–2)2<4, ∴0<g(x)≤4a．。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题理新人教A版
湖北省黄冈中学2013年秋季高二数学（理）期末考试试题第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列结论不正确．．．的是 ( ) A ．若ln 3y =，则0y '= B．若y =，则y '= C．若y =y '= D ．若3y x =，则3y '=2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：计算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照附表一（见Ⅰ卷后），得到的正确．．结论是（ ） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”3．若曲线()y f x =在点(5,(5))P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+=（ ） A ． 5B ． 4C ． 3D ． 24．设~(100.8)X B ，，则2+1D X （）等于（ ） Ａ．1.6B ．3.2C ．6.4D ．12.85．两变量y 与x 的回归直线方程为23y x ∧=-，若17101=∑=i ix,则∑=101i i y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．4.0D ．406．右图实线是函数()(02)y f x x a =≤≤的图象，它关于点),(a a A 对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ） A ．22B ．1C ．2D ．27.ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ( ) A ．4π B ．14π- C ．8πD ．18π-8．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．(,3)-∞-B ．(0,3)C ．(3,)+∞D ．(,3)-∞-(0,3)U9．已知函数2()3f x x ax =-+在(0,1)上为减函数，函数2()ln g x x a x =-在(1,2)上为增函数，则a 的值等于（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．310．已知()f x 为R 上的可导函数，且对x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ）A. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<< B. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -<> C. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->< D. 20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->>附表一：2()P K k ≥ 0.0500.010 0.001 k3.8416.635 10.828oyx-33第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,),(2)0.72N P x σ≤=，则(0)P x ≤= ． 12．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 ． 13．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ． 14．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是 ．15．设)(''x f 是函数)(x f y =的导函数)('x f 的导数，定义：若32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点())(,00x f x 为函数)(x f y =的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题： 设32115()33212g x x x x =-+-，则 （1）函数()g x 的对称中心为 ； （2）1232014()()()()2015201520152015g g g g ++++=L ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，已知直线1:10l x y +-=以及1l 上一点(23)P -，,直线2:40l x y +=，求圆心在2l 上且与直线1l 相切于点P 的圆的方程．17．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点(0,2)P ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间． 18．（本小题满分12分）一组数据4、7、10、6、9,n 是这组数据的中位数,设()21()nf x x x=-.（1）求()x f 的展开式中1-x 的项的系数；（2）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项．19．（本题满分12分）黄冈中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．20．（本小题满分13分）在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.01元/千克）.21．（本小题满分14分）已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数,0a >）. （1）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）当02a <≤时，判断()f x 在1[, )2+∞上的单调性；（3）若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.期末考试数学参考答案（理科）1、答案：B解析：若y =，则'12y =-，选B2、答案：D解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选D.3、答案：D 解析(5)3,(5)1,(5)(5)2f f f f ''==-∴+=4、答案：C 解析：(2x 1)4D(x)4100.8(10.8) 6.4D +==⨯⨯⨯-=，选C ；5、答案：B 解析：1011 1.7,2 1.730.410i i x x y ===∴=⨯-=∑，101104i i y y ===∑6、答案：A 解析：曲线与x 轴围成的面积为1，=∴=⋅⋅∴a a a ,12221 7、答案：B 解析：:长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π， 取到的点到O 的距离大于1的概率为14π-8、答案：D 解析：当x∈(,-∞时，()0f x '>，则0x <，故(,-∞是解集的一部分；同理也是解集的一部分.故选D. 9、答案：C 解析：()f x 在(0,1)上单减，则1,2,2aa ≥∴≥()g x 在(1,2)上单增，则()20ag x x x'=-≥在(1,2)上恒成立，即22a x ≤恒成立，故 2.a ≤，故2a =. 10、答案：C解析：构造函数()()x f x F x e=，求导得2()()()()()0()x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''--'==<，故函数()F x 是定义在R 上的减函数，故(2014)(0)(2014)F F F ->>，即201402014(2014)(0)(2014)f f f e e e-->>，即20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f ->< 11、答案：0.28 解析：(0)=P x ≤(2)=1(2)0.28P x P x ≥-≤=12、答案：35 解析：抽样比为3162=，故应抽取女生2人，男生1人，所以组成此课外学习小组的概率是214236C C C ⋅35= 13、答案：-∞（，0）解析：120ax x+=有正实数解，即2210ax +=有正实数解，0a ∴< 14、答案：23 解析：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有323123⨯-=种. 15、答案：1(,1)2；2014解析： 32115()33212f x x x x =-+-Q ，则又2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-．令()0f x '=得12x =．故函数()f x 的对称中心为1(,1)2．设00(,)P x y 在()f x 上可知P 关于对称点1(,1)2的对称点00(1,2)P x y --也在函数()f x 上， ∴00(1)2f x y -=-．∴0000()(1)(2)2f x f x y y +-=+-=． ∵122014()()()201520152015f f f +++=L 1201420072008()()()()2015201520152015f f f f ⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L 210072014=⨯=．16、解： 设圆心为(,)C a b ，半径为r ，依题意，4b a =-.设直线2l 的斜率21k =-，过,P C 两点的直线斜率PC k ，因2PC l ⊥，故21PC k k ⨯=-， ∴3(4)12PC a k a--==--，解得1,4a b =-=.||r PC ==.所求圆的方程为22(1)(4)2x y ++-=.17、解：（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令 解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故32()332f x x x x =--+的单调增区间为(,1-∞-和),21(+∞+，单调减区间为)21,21(+-.18、（1）解：依题意有：这组数据的中位数是7，即7n =，故()f x 的展开式中17237177()()(1)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，由371r -=-可知2r =，故展开式中1-x 的项的系数为()211227=-C ．．．．．．．6分 （2）()x f 的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大， 而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大， 即最大项为()()5423147535x x xC T =-=-，第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小， 即最小项为()()2324137435x x x C T -=-=- ．．．．．．．12分19、解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ．．．．．．． 1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ．．．．．．．3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ．．．．．．． 4分51)2()(26232====C C P A P ξ． ．．．．．．． 5分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE ． ．．．．．．．6分 （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件12A B A B +．而事件B A 1、B A 2互斥， 所以，1212()()()P A B A B P A B P A B +=+．由条件概率公式，得2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ） 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 128129()+=251575P A B A B +=那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率29429=75560P =÷ 20、解：（1）因为x =2时，y =700；x =3时，y =150，所以1502700ba b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得400,300a b == 每日的销售量2300400(3)(13)170490(35)x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩ ； ．．．．．．．5分 （2）由（I ）知， 当13x <≤时：每日销售利润2300()[400(3)](1)1f x x x x =-+--2400(3)(1)300x x =--+32400(7159)300x x x =-+-+（13x <≤） '()f x =2400(31415)x x -+，当53x =或3x =时'()0f x =当5(1,)3x ∈时'()0f x >，()f x 单增；当5(,3)3x ∈时'()0f x <，()f x 单减．∴53x =是函数()f x 在(1,3]上的唯一极大值点，532()400300327f =⨯+700>；．．．9分 当35x <≤时：每日销售利润()(70490)(1)f x x x =-+-=270(87)x x --+()f x 在4x =有最大值，且(4)630f =5()3f <． ．．．．．．．．．12分 综上，销售价格51.673x =≈元/千克时，每日利润最大． ．．．．．．．．．．13分＇21、解：2212()22()211122a ax x aa f x x a ax ax --'=+-=++.（1）由已知，得 1()02f '=且 2202a a-≠，220a a ∴--=，0a >Q ，2a ∴=. （2）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a ----+-==≤Q ,21222a a-∴≥, ∴当12x ≥时，2202a x a --≥.又201ax ax>+，()0f x '∴≥，故()f x 在1[, )2+∞上是增函数.（3）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()122f a a =++-， 于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. 记211()ln()1(1)22g a a a m a =++-+-，（12a <<） 则1()12[2(12)]11ag a ma ma m a a'=-+=--++，当0m =时，()01ag a a-'=<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=，由于210a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立，故必有0m >,21()[(1)]12ma g a a a m'∴=--+. 若1112m ->，可知()g a 在区间1(1, min{2, 1})2m-上递减， 在此区间上，有()(1)0g a g <=与()0g a >恒成立矛盾，故1112m-≤，这时()0g a'>，()g a在(1, 2)上递增，恒有()(1)0g a g>=，满足题设要求，01112mm>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m≥，所以，实数m的取值范围为1[,)4+∞.。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题(理科)
湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．过点P （-1，1）的直线l 与圆2240x y x ++=相交于A 、B 两点，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．123．若a, b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a+b |>1成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C ∩BC 1=O ，若1AO xAB yAD zAA =++，则x y z ++等于（ ） A ．1 B ．56C ．52D ．25．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( )A ．,a b αα⊂⊂B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥ 6．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点(1,2)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点PABDO C A 1 D 1 C 1B 1恰好为AB 的中点，则AF BF +的值是 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．1787．曲线221259x y +=和曲线221(925)259x y k k k+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．准线相同 D ．焦点到准线距离相等8．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）错误！未找到引用源。
湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末考试数学理科
湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末考试数学试题（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 2．设集合A={ln(1)x y x =-}，集合B={2y y x =}，则A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(,1)-∞ D ．∅3．[)22,(,1)(),1,x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ，则[])2(-f f = ( )A ．16B ．4C ．41 D ．1614．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件5．如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为 ( )A ．14B ．12C ．13D ．166．如图，A B 为O 的直径，弦A C ，B D 交于点P ，若3,AB =1C D =， 则sin A P D ∠= ( ) A3B3C ．13D37．若直线20(0,0)mx ny m n -+=>>和函数1()1(01)x f x aa a +=+>≠且的图像恒过同一个定点，则21m n+的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．28．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)0,)(f x x '-<设1(0),(),(5),2a fb fc f ===则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时2()2(3)f x x =--，若函数()log (1)a y f x x =-+在0+∞（，）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A．(0,2B．(0,3C．(0,5D．(0,610．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数； ③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知命题“x ∃∈R ,|||1|2x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________． 12．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________．13．已知函数()f x 在R 上满足22()(1)321f x f x x x +-=-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．14．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 ．15．已知====(a ，t ，n 为正实数，2n ≥），通过归纳推理，可推测a ，t 的值，则a t += ．（结果用n 表示）yxf (x )x三．解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知命题p ：函数2lg(1)y ax ax =-+的定义域为R ，命题q :函数223aa y x --=在(0,)x ∈+∞上是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）如果对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．19．（本小题满分12分）一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下．．工程的费用为y 万元． （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？20．（本小题满分13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使A E 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()xf x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn xxxg x x n =+++++L （n +∈N ）．（Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；（Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：123222212341(1)nn g n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （n +∈N ）．ABCA 1B 1C 11 1黄冈2012年春季高二年级期末数学试题（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ ，故选A ．2．设集合A={ln(1)x y x =-}，集合B={2y y x =}，则A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(,1)-∞ D ．∅ 【解析】A={}10x x ->={}1x x <，B={}0y y ≥，故选B ．3．[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈∞-∈=-,1)1,(2)(2x xx x f x ，则[])2(-f f =( )A ．16B ．4C ．41 D ．161【解析】42)2(2==-f ，16)4())2((==-f f f ，故选A ．4．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】若()y f x =是奇函数，则()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比如偶函数()y f x =，满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，故选B ． 5．如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为 ( ) A ．14 B ．12C ．13D ．16【解析】以O 为原点建系，抛物线方程为212y x =，12111223x S x d =-=⎰，故选C ．6．如图，A B 为O 的直径，弦A C ，B D 交于点P ，若3,1AB CD ==，则sin A P D ∠= ( ) A．3B．3C ．13D．3【解析】连结A D ，则sin A D A P D A P∠=，又C D P BAP ∆∆ ，从而1cos 3P D C D A P D P AB A∠===，所以sin 3APD ∠==，故选D ．7．若直线20(0,0)mx ny m n -+=>>和函数1()1(01)x f x a a a +=+>≠且的图像恒过同一个定点，则21m n+的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．2【解析】1()1x f x a +=+过定点(1,2),-又点在直线上，22,m n ∴+=1142)4242221(n mm n n m n m∴⨯+=++≥=++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当21m n ==时取等）, 故选C ．8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)0,)(f x x '-< 设1(0),(),(5),2a f b f c f ===则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解析】由题意知函数()f x 关于1x =对称，(,1)x ∈-∞，()f x 单调递增，(5)(3)f f =-，130,2c a b ∴-<<∴<<,故选C ．9．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈ 时2()2(3)f x x =--，若函数()log (1)a y f x x =-+在0+∞（，）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2B ．(0,3C ．(0,5 D ．(0,6【解析】由(2)()(1)f x f x f +=-恒成立可知()f x 图像以2x =为对称轴，周期2T =，作出()f x 的图像，log (1)a y x =+ 的图像与()f x 的图像至少有三个交点，即有log (21)(2)2a f +>=-且01a <<，解得3a ∈，故选B ．10．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表． ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】画出原函数的大致图象，得：①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减； ③为假命题，当t=5时，也满足x ∈[-1，t ]时，()f x 的最大值是2； ④为假命题，()y f x a =-可能有有2个或3个或4个零点．故选D ．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知命题“x ∃∈R ,|||1|2x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞【解析】“x ∃∈R ，,|||1|2x a x -++≤”的否定“x ∀∈R ，,|||1|2x a x -++>”为真命题，|||1||1|2x a x a -++≥+>，解得31a a <->或．12．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】0m <或10m >【解析】曲线的普通方程是22(1)(2)1x y -++=，圆心()1,2-到直线340x y m ++= 的距离55m d -==，令515m ->，得10m >或0m <．13．已知函数()f x 在R 上满足22()(1)321f x f x x x +-=-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．【答案】210x y --=【解析】由22()(1)321f x f x x x +-=-+， ①得222(1)()3(1)2(1)1342f x f x x x x x -+=---+=-+， ②即①2⨯-②得，2()f x x =，∴()2f x x '=，∴故所求的切线为210x y --=． 14．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 ．【答案】【解析】由柯西不等式，222222211(2)()(2)x y z x y z ++-++≥+-⎡⎤⎣⎦，知2a b x y z ⋅=+-[∈-．15．已知====(a ，t ,n 为正实数, 2n ≥），通过归纳推理，可推测a ，t 的值，则a t += ．（结果用n 表示）【答案】21n n +-【解析】通过归纳推理，,a n =22=1,1t n a t n n -∴+=+-．三．解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知命题p ：函数2lg(1)y ax ax =-+的定义域为R ，命题q :函数223a a y x--=在(0,)x ∈+∞上是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【解答】命题p ：0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，04a ∴≤<； 命题q ： 2230a a --<，13a ∴-<<； 由题意知命题,p q 有且只有一个是真命题， 当p 为真，q 为假时，01343a a a a ≤-≥≤<⎧⇒≤<⎨⎩或 4 ，当p 为假，q 为真时，041310a a a a <≥-<<⎧⇒-<<⎨⎩或 ， 综上可得，1034a a -<<≤<或． 17．（本小题满分12分）已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）如果对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围． 【解答】（I ） 函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，2()()(2),g x f x x x ∴=--=-- 故2()2.g x x x =-+(II)由()()|1|g x c f x x +≤--可得：221c x x ≤--，令22211()=211x x x F x x x x ⎧-+≥⎪⎨+-<⎪⎩，，，当x ≥1时， m in ()2F x =； 当1x <时，m in 19()()48F x F =-=-，因此，实数c 的取值范围为9(,]8-∞-．18．（本小题满分12分）已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．【解答】（Ⅰ）21(2)x x f x a'=--+，当0x =时，()f x 取得极值，∴0()f x '=，解得2a =，检验2a =符合题意．（Ⅱ）令2()()2ln(2),g x f x b x x x b =+=+--+则 22(,)1(2)2x x g x x =-->-'+当(2,0)x ∈-时，0,())(g x x g '>∴在(2,0)-上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，0,())(g x x g '<∴在(0,)+∞上单调递减， 要使()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，只需(1)00(0)02ln 20,(1)02ln 320g b g b g b -≤≤⎧⎧⎪⎪>+>⎨⎨⎪⎪≤-+≤⎩⎩即2ln 222ln 3.b ∴-<≤- 19．（本小题满分12分）一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下．．工程的费用为y 万元． （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解答】（Ⅰ）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m n x+=-，即=，所以()(2m m y f x n n x x xx=+=256+(=256(-1)+2562256.m m x=+-（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，1322222561(512)22()m m mxx xxf x -=-+=-'，令()0f x '=，得32512x =，所以x =64当0<x <64时，()f x '<0，()f x 在区间（0，64）内为减函数；当64640x <<时，()f x '>0，()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640119.64m n x=-=-=故需新建9个桥墩才能使y 最小．方法二：2562562256(225622m y m m m xx =+-=++-+3225614256m m ≥+-=-（当且仅当2562x=即64x =取等）20．（本小题满分13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使A E 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A A B C -是直三棱柱，12A B B C A A ==，90ABC ︒∠=，连结1A C ， 1AC 交于点O ，连结O D ． 由 111C B A ABC -是直三棱柱，得四边形11AC C A 为矩形，O 为1A C 的中点．又D 为BC 中点，∴O D 为1A BC △中位线，∴ 1A B ∥O D ，因为 O D ⊂平面1A D C ，1A B ⊄平面1A D C ， 所以 1A B ∥平面1A D C ． （Ⅱ）由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直． 如图建立空间直角坐标系xyz B -．2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B ．所以 (1,2,0)A D =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n ．易知平面A D C 的法向量为(0,0,1)=v ． 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v，即二面角1C AD C --的余弦值为23．（Ⅲ）假设存在满足条件的点E ．因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤． 所以 (0,2,1)A E λ=-，1(1,0,1)DC = ．因为A E 与1DC 成60︒角，所以1112A E D C A E D C ⋅= ．12=，解得1λ=，舍去3λ=， 所以当点E 为线段11B A 中点时，A E 与1DC 成60︒角．21．（本小题满分14分）设函数()xf x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn xxxg x x n =+++++L （n +∈N ）．（Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；（Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：123222212341(1)nn g n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （n +∈N ）． 【解答】（Ⅰ）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>． 即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥． （Ⅱ）当0x >时，()f x >()n g x ． 用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >；②假设当n k =（k +∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ， 令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->，即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->,即对任意0x >，有1()()k f x g x +>， 这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①,②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ． （Ⅲ）证明1：先证对任意正整数n ，()1n g e <．由（Ⅱ）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=n g f e <．所以()1e n g <． 再证对任意正整数n ，()1231222211111123412!3!!nng n n +++++≤=++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（k +∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +≤⎛⎫⎪⎝⎭．则()()()1111!1!1222kk k k k k k k ++++=+≤+=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．111101111112211121C C C 2,111112k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++==+=+++≥+++++⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭()11121!222k k k k k ++++∴+≤≤⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．方法2（基本不等式法）：12n +≤12n +≤12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末模拟测试试题(1)理
2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（1）高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：必修5、选修2-1。
第I 卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p ：2,2nn n ∃∈>N ，则p ⌝为 A ．2,2nn n ∀∈>N B ．2,2nn n ∃∈≤N C ．2,2nn n ∀∈≤ND ．2,=2nn n ∃∈N2．等差数列{}n a 中，6916a a +=，41a =，则11a =A ．64B ．31C ．16D ．153．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若坐标原点到抛物线2y mx =的准线的距离为2，则m = A ．8 B ．8±C ．14±D ．18± 5．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)=-n ，平面β的一个法向量为2(2,4,)k =--n ，若αβ∥，则k =A ．2B ．4-C ．2-D ．46．已知ABC △中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，且30,2,2A a b ===o，那么满足条件的ABC △ A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解7．设变量x ,y 满足约束条件2210,2510x y x y z x y x y +≥⎧⎪--≥=-⎨⎪-≤⎩则A ．有最小值7-，最大值2B ．有最大值1-，无最小值C ．有最小值7-，无最大值D ．既无最小值，也无最大值8．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC △是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．(2,2]-D ．(,2]-∞-10．过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点, 且点M 平分弦AB ,则直线AB 的方程为A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=11．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++L L 成立的自然数n 的最大值为A ．9B ．8C ．7D ．512．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A ．(1,2)B ．(1,10)C ．(2,10)D ．(5,10)第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，空间四边形ΟΑC Β中，ΟΑ=u u u r a ，ΟΒ=u u u r b ，ΟC =u u u rc ，点Μ在OA 上，且23OM OA =u u u u r u u u r，点N 为BC 中点，则MN u u u u r 等于 ．（用向量,,a b c 表示）14．已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．小华同学骑电动自行车以24km /h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是___________km ． 16．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则9||4||AB CD +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设命题:p 函数y =lg(x 2＋2ax ＋4)的定义域为R ；:q 函数()(42)x f x a =--在(−∞，＋∞)上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11()2n na b n a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在ABC △中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，34A π=，1010sin =B ，D 为BC 边中点，1=AD ． （1）求cb的值； （2）求ABC △的面积.20．（本小题满分12分）某公司生产一批A 产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元，该公司通过设备升级，生产这批A 产品所需原材料减少了x 吨，且每吨原材料创造的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 吨原材料全部用于生产公司新开发的B 产品，每吨原材料创造的利润为1312()1000a x -万元，其中0a >． （1）若设备升级后生产这批A 产品的利润不低于原来生产该批A 产品的利润，求x 的取值范围；（2）若生产这批B 产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A 产品的利润，求a 的最大值．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅OB OA 成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（1）高二理科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CDCDDBABCBCC13．211322-++a b c14．15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩15．3216．37217．（本小题满分10分）【解析】当命题p 为真时，即x 2＋2ax ＋4>0对x ∀∈R 恒成立. 所以222(2)4144160422a a a a ∆=-⨯⨯=-<⇒<⇒-<<,令{}|22P a a =-<<；（3分）当命题q 为真时，根据指数型函数的单调性分析知其底数大于1，即3421232a a a ->⇒<⇒<，令3{|}2Q a a =<，（6分） 将集合P Q 、在数轴上表示如下：由命题p q ∨为真，p q ∧为假可知命题p ，q 一真一假. 由上图可知，当(,2]a ∈-∞-时，命题p 为假，命题q 为真；当3[,2)2a ∈时，命题p 为真，命题q 为假,（8分）所以当命题p q ∨为真，p q ∧为假时，实数a 的取值范围是3(,2][,2)2-∞-U ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意可知: 3311222()()()S a S a S a +=+++， ∴31321232S S S S a a a -+-=+-,即314a a =,于是23114a q a ==，（3分） ∵0q >，∴12q =，∵11a =，∴11()2n n a -=.（6分） （2）∵11()2n n a b n a +=，∴11()()22n n a bn =，即n n n a b =，∴12n n nnb n a -==⋅，（8分） ∴211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅, ①∴2321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅, ②（10分）①−②得: 2112122222(1)2112nn nn n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--,∴1(1)2nn T n =+-⋅.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）在ABC △中，10sin 10B =，34A π=，22cos ,22sin ,10103cos -===∴A A B ， （3分） ∴23102102205sin sin()210210205C A B =+=⨯-⨯==. sin 1052sin 1025b Bc C ∴==⨯=．（6分） （2）D Q 为BC 的中点，2AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，22242AD AB AB AC AC=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22242()2c b bc =++⋅-， 化简得bc c b 2422-+= ①， 由（1）知22=c b ②，联立①②解得2=b ，22=c ，（10分） 1sin 22ABC S bc A ∴==△.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意得：12(500)(10.5%)12500x x -+≥⨯． 整理得：23000x x -≤，又0x >，故0300x <≤．（4分） （2）由题意知，生产B 产品创造的利润为1312()1000a x x -万元， 设备升级后， 生产A 产品创造的利润为12(500)(10.5%)x x -+万元，（5分） 则1213()12(500)(10.5%)1000a x x x x -≤-+恒成立，（6分） ∴235001252x ax x ≤++，且0x >，∴50031252x a x ≤++．（8分） ∵50050024125125x xx x +≥-g 50024125x x ⋅=，当且仅当500125x x =，即250x =时等号成立， ∴0 5.5a <≤，∴a 的最大值为5.5．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）∵Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===，1BC =， ∴PQ AD ⊥，QD BC ∥，∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴DC QB ∥， ∵底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=o ，∴BQ AD ⊥．（4分） 又BQ PQ Q =I ，∴AD ⊥平面PQB ．∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分）（2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =，∴PQ⊥底面ABCD，以Q为原点，QA所在直线为x轴，QB所在直线为y轴，QP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)Q，(0,3,0)B，(1,3,0)C-，(0,0,3)P.（6分）设(,,)M a b c，则34PM PC=u u u u r u u u r，即333333(,,3)(1,3,3)(,,)4444a b c-=--=--，∴34a=-，334b=，34c=，∴3333(,,)444M-，（8分）∴3333(,,)444QM=-u u u u r，(0,3,0)QB=u u u r，设平面MQB的法向量(,,)x y z=r，则333344430QM x y zQB y⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u u ru u u rrr，取1x=，得(1,0,3)=r.易知平面BQC的一个法向量(0,0,1)=n．（10分）设二面角M BQ C--的平面角为θ(显然θ为锐角)，则3cos||||2θ⋅==⋅r nr n，∴6θπ=，∴二面角M BQ C--的大小为6π．（12分）22．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，半焦距为c . 依题意得12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=．（4分）所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（5分） （2）存在直线l ，使得0=⋅OB OA 成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．则∆222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．（7分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+． 若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即221212(1)()0k x x km x x m ++++=，所以222224128(1)03434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++,化简得2271212m k =+，即227112k m =-． 将227112k m =-代入2234k m +>中，得22734(1)12m m +->，解得234m >．（10分）又由227121212m k =+≥，得2127m ≥，从而2217m ≥或2217m ≤-． 所以实数m 的取值范围是22(,21][21,)77-∞-+∞U ．（12分）。
湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
湖北省黄冈中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1、总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A．08 B．07C．02 D．012、甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④3、当输入x=－4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8C．9 D．154、下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“”为假命题，则“”为真命题5、一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153C．152 D．1516、“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件7、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：如果从全校学生中随机抽取一名学生，抽到二年级女生的概率为0.19．现用分层抽样的方法在全校学生中分年级抽取64名学生参加某项活动，则应在三年级中抽取的学生人数为（）A．24 B．18C．16 D．128、已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=－4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．9、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A．B．C．D．10、已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C． D．11、如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．12、椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2－y1|的值为（）A．B．C． D．二、填空题13、三进制数121（3）化为十进制数为__________．14、若命题“，使x2＋（a－1）x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为__________．15、在区间上随机地取出一个数x，若满足|x|≤m的概率为，则m=__________．16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|－|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则|AB|=7．其中真命题的序号为__________（写出所有真命题的序号）三、解答题17、（本小题满分10分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：（Ⅰ）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（Ⅱ）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．18、（本小题满分12分）p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19、（本小题满分12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C 刚好是边长分别为5cm，6cm，的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间解析：．15、3解析：．16、①②④17、（1）检测数据的频率分布直方图如图：（5分）（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是．（6分）估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．（8分）估计检测数据中酒精含量的平均数是．（10分）18、（1）由，得，又a＞0，所以a＜x＜3a．（2分）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（3分）由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）若p∧q为真，则p真且q真，（5分）所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（6分）（2）是的充分不必要条件，即，且推不出．即q是p的充分不必要条件，（8分）则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．（12分）19、（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1、x2、x3，后三次成绩依次记为y1、y2、y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：，共15个，（3分）其中可使|a－b|＞1发生的是后9个基本事件．故．（6分）（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A、B、C为圆心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分．（7分）因为（9分）满足题意部分的面积为，（11分）故所求概率为．（12分）20、（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，（1分）与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－16x－16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．（2分）则x1＋x2=16，x1x2=－16，（3分）；（5分）（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－4px－4p=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1＋x2=4p，x1x2=－4p，（7分）P（2p，4p＋2），Q（2p，2p）．（8分）方法一：（9分）（10分）（11分）故存在且满足△＞0．（12分）方法二：由得：．（9分）即，（10分），（11分）代入得4p2＋3p－1=0，．故存在且满足△＞0．（12分）21、（1）证明：在图中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，（2分）因为SB⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，（4分）又SA平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD．（6分）（2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，（7分）A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2）．（8分）．（10分）即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）方法二：在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以EO//SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，（7分）则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E—AC—D的平面角，（9分），在Rt△AHO中，．（11分），即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）22、（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|＋|PQ|=4．（2分），由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，（3分）2a=4，即a=2，，∴Q的轨迹方程E：．（5分）（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx－2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，将y=kx－2代入中得（7分）（8分），当且仅当即t=2时面积最大，最大值为1．（10分）（11分）．（12分）。
湖北省黄冈市高二上学期期末考数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末考数学（理）试题一、单选题1．已知命题p ： x 0∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A. 00x ∃≤，使得()0011xx e +≤ B. 0x ∀>，总有()11xx e +≤C. 00x ∃>，使得()0011xx e +≤ D. 0x ∀≤，总有()11xx e +≤【答案】B【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题p ： x 0∀>，总有()11xx e +>，有0p x ⌝∀>：，总有()11xx e +≤.故选B.2．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球 【答案】B【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,在A 中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A 不成立;在B 中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B 成立;在C 中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C 不成立;在D 中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D 不成立. 故选B.点睛:事件A 和B 的交集为空,A 与B 就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A 与事件B 互斥,从集合的角度即A B ⋂=∅;若A 交B 为不可能事件,A 并B 为必然事件,那么事件A 与事件B 互为对立事件,即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.3．中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有11644⨯=人 4．“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.5．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=∴b ＞a ，符合b ＞a 的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况， 总共有6种情况．∴概率为．故选A6．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】由程序框图可得， 1n =时， 4462242a b =+=>⨯==，继续循环； 2n =时，6692482a b =+=>⨯==，继续循环； 3n =时，9279281622a b =+=<⨯==， 继续循环；结束输出3n =. 点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错. 7．已知，，则的最小值（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，,当t=0时，取得最小值.故答案为：.8．如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴=（0，，1），=（0，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则∴∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ=.故答案为:D.9．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．10．直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。
湖北省黄冈中学2010-2011学年高二上学期期末考试(数学理)
湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“x Z ∃∈，x2＋x ＋m ＜0”的否定是（ ）A ．存在x ∈Z 使x2＋x ＋m ≥0B ．不存在x Z ∈使x2＋x ＋m ≥0C ．∀x Z ∈，x2＋x ＋m ≤0D ．∀x Z ∈，x2＋x ＋m ≥02．下列说法错误的是（ ）A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B ．线性回归方程对应的直线＝x ＋至少经过点其样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的一个点；C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好． 3．两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>对应的曲线如图所示，则有（ ）A ． 1212,μμσσ>>B ． 1212,μμσσ><C ． 1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ<<4．对实数,,a b c ，命题“若a b >，则22ac bc >”，在这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．2B ．0C ． 4D ．35．设语句甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，语句乙：“P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知随机变量X 的分布列如下表，随机变量X 的均值()1E X =，则x 的值为（ ）A ．0.3B ．0.2C ．0.4D ．0.24 7．已知等式4321234x a x a x a x a ++++4321234(1)(1)(1)(1)x b x b x b x b =++++++++，定义映射12341234:(,,,)(,,,)f a a a a b b b b →，则(4,3,2,1)f =（ ）A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0,3,4,1)--D ．(1,0,2,2)--8．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为（ ）A ．13B ．12C ．536D ．5129．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁4位学生发出录取通知书．若这4名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有2名学生被录取到同一所大学的概率为（ ）A ．12B ．916C ．1116D ．72410．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）A ．48B ． 96C ． 144D ． 192二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．除夕夜，一位同学希望给他的4位好友每人发一条短信问候，为节省时间看春晚，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有 种不同的发短信的方法．12．已知命题p ：x R ∃∈，使sin 2x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p ∧q”是真命题；②命题“p∧⌝q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q”是假命题，其中正确的是_____________．（填写正确的序号） 13．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机平落在纸板内（硬币不出纸板边界），则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 ．14．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．15．对任意正整数n 定义双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，!!(2)(4)42n n n n =--⋅⋅⋅；当n 为奇数时，!!(2)(4)31n n n n =--⋅⋅⋅，现有如下四个命题：①(2011!!)(2010!!)2011!=； ②2010!!21005!=⨯；③设1010!!10(,*)ka a k =⨯∈N ，若a 的个位数不是0，则k =112；④设15!!1212mn n n ma a a =（ia 为正质数，in 为正整数(1,2,,)i m =），则max ()4i n =；则其中正确的命题是_________________（填上所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式x2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数()(32)xf x a =-是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσ-<≤ 2)0.9544μσ+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服~(90,100)X N ．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在(100,120)之间的考生约有多少人； （Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？18．（本小题满分12分）在22nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）展开式的哪几项是有理项（回答项数即可）； （Ⅲ）求出展开式中系数最大的项． 19．（本小题满分13分）袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X 表示所有被取球的编号之和． （Ⅰ）求X 的概率分布； （Ⅱ）求X 的数学期望与方差．20．（此题平行班做）（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，请完成上面的22⨯列联表；（Ⅱ）在（10.1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由． 20．（此题8、9、10班做）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为nS ，对一切*N n ∈，点(,)n S n n 都在函数()2n af x x x =+ 的图象上．(Ⅰ)求123,,a a a 及数列{}n a 的通项公式na ；(Ⅱ) 将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）令2()(1)n n g n a =+（*n N ∈），求证：2()3g n ≤<．21．（本小题满分14分）有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有,,,A B C D ，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为A 面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为,,B C D 中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为nP （n N ∈）．（Ⅰ）求012P P P ，，；（Ⅱ）求证：1121()4n n n n P P P P ----=--；（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．期末考试数学参考答案（理科） 1．【答案】D 解析：由定义知选D.2．【答案】B 提示：回归直线方程y bx a =+经过样本点的中心(，)，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近． 3．【答案】C 解析：显然12μμ<，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小．4．【答案】A 解析：若a>b ，c2＝0，则ac2＝bc2.∴原命题为假；若ac2>bc2，则c2≠0且c2>0，则a>b.∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；又∵逆否命题与原命题等价， ∴逆否命题为假． 5．【答案】A 提示：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A 、B 不是对立事件.6．【答案】B 提示：0.6x y +=， ()21E X x y =+=，解得0.2x =． 7．【解析】：C 依题意得331431a C Cb =+,得10b =，同理有2224312a C Cb b =++,得23b =-，再利用排除法选C ．8．【答案】：D 提示：记A ：“蓝骰子的点数为3或6”，A 发生时红骰子可以为16中任意一个，()12n A =，记B ：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB 包含(3,6),(6,3),(6,4),(6,55种情况，所以()5(|)()12n AB P B A n A ==．9．【答案】B 提示：所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一，共有44种，仅有两名学生被录取到同一所大学，可先把四个同学分成1+1+2三份，有24C 种分法，再选择三所大学就读，即有2344C A 种就读方式．故所求的概率为234449416C A =． 10．【答案】 C 提示：分析知8必在第3位，7必在第5位；若5在第6位，则有：324248A A =，若5在第7位，则有144496C A =，合计为144种．11．【答案】81 提示：给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法4381=种．12．【答案】②③ 提示：因p 为假命题，q 为真命题，故非p 是真命题，非q 是假命题；所以p ∧q 是假命题；p ∧非q 是假命题；p ∨q 是真命题；命题“⌝p ∨⌝q”是真命题．13．【答案】：8177 提示：几何概型问题，2229(11)77(9)81P πππ⨯-+==． 14．【答案】21；5 解析： 设成功次数为随机变量ξ，服从二项分布(100,)B p ，要使标准差最大，即须方差()100(1)D npq p p ξ==-最大，当12p =时满足．此时()5δξ==．15．【答案】①④ 提示：由定义(2011!!)(2010!!)(2011200931)(2010200842)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，∴①为真命题；10052010!!201020084221005!=⨯⨯⨯⨯=⨯，∴②为假命题；由条件就是要求从个位数算起到第1个不是0的数字之间10101008⨯⨯⨯的尾数中共有多少个连续的0，也即为101010009902010⨯⨯⨯⨯⨯中各数的尾数所含0的个数的总和，共有119121112⨯++=个，而52⨯还能产生0（如502⨯等）∴③是假命题；2415!!151311975311311753=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，∴④为真命题，∴正确的命题是①④．16．解：设2()24g x x ax =++，由于关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝24160a -<，∴22a -<<. ………………………………………………3分 又∵函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，∴321a ->，∴1a <.………………………6分 由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假. …………………………7分若P 真q 假，则221,a a -<<⎧⎨⎩≥∴12a ≤<； ………………………………………9分 若p 假q 真，则2,21,a a a -⎧⎨<⎩或≤≥∴2a ≤；……………………………………………11分综上可知，所求实数a 的取值范围为12a ≤<或2a ≤.………………………………12分17．解：（Ⅰ）1(100120)[(90309030)(90109010)]2p X p X p X <≤=-<≤+--<≤+ 1(0.99740.6826)0.15742=-=；……………………………5分数学分数在(100,120)之间的考生约有：50000.1574787⨯=人；………………6分（Ⅱ）注意到114人占5000的比例为11410.0228[1(70110)]50002P p X ===-<≤，所以录取分数线应该在110． ……………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）展开式第3项为262322nT Cx ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，倒数第3项是2222122n n n nT C x ---+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………………………（写出两个通项得3分）所以有：222221162n n n n C C --=，解得8n =；………………………………4分（Ⅱ）当8n =时，822x ⎫⎪⎭展开式的通项为8822188222rrrr r r r r T C C x x ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭要为有理项则822rr --为整数，此时r 可以取到0,2,4,6,8，……………………7分所以有理项分别是第1项，第3项，第5项，第7项，第9项；………………8分 （Ⅲ）设第1r +项系数的最大，则118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥， ∴2191281r r r r ⎧⎪⎪-⎨⎪⎪-+⎩≥≥， 解得：56r ≤≤，……………………………………………………………10分 故系数的最大的项是第6项和第7项，分别为1721792x-，111792x -……… 12分19． 解：（Ⅰ）在1X =时，表示第一次取到的1号球，1(1)3P X ==；………………1分在3X =时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，1114(3)3339P X ==⋅+=；………………………………………………………4分在5X =时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，122(5)339P X ==⋅=．…………………………………………………………6分X 的概率分布为……………………………………………………………………………7分（Ⅱ）14225()1353999E X =⋅+⋅+⋅=， ………………………………………………10分 222251254252176()(1)(3)(5)93999981D X =-+-+-=．………………………13分20．解：（Ⅰ） 如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，所以积极参加班级工作的学生有12502425⨯=人，以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级共工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一边拿的人数为………………………………………………6分 （Ⅱ）k ＝＝≈11.5，∵k >10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．………12分21．解：（1）依题意，得01314P P ==，，.………………………………………2分 21331344416P =+⨯=……………………………………………………4分（Ⅱ）设棋子跳到第n 站（2≤n ≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第2n -站，又掷出后得到A 面，其概率为214n P -；第二种，棋子先到第1n -站，又掷出后得到,,B C D 中的一面，其概率为134n P -，由于以上两种可能是互斥的，所以123144n n n P P P --=+，即有1121()4n n n n P P P P ----=--.………………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列1{}n n P P --是首项为1014P P -=-，公比为14-的等比数列.于是有2399102132999811114444P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，. 把以上各式相加，得29910099011151144444P P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因此，获胜的概率为10051144⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．………………………………………………14分8、9、10班的20题答案：因为点(,)n S n n 在函数()2n a f x x x =+的图象上，故2n n S a n nn =+，所以212n n S n a =+ ①．令1n =，得11112a a =+，所以12a =； 2n ≥时2111(1)2n n S n a --=-+ ②2n ≥时①－②得142n n a a n -=-+-令1(1)()n n a A n B a An B --+-=---，即122n n a a An A B-=-+++与142n n a a n -=-+-比较可得24,22A A B =+=-，解得2,2A B ==-．因此12(1)2(22)n n a n a n --++=--+又12(11)20a -++=，所以2(1)20n a n -++=，从而2n a n=． ………………………4分（2）因为2n a n=（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010. ………………………9分（3）有（1）中知2n a n=，∴21()(1)(1)n n n g n a n =+=+，当1n =时，(1)2[2,3)f =∈；当2n ≥时，00112211111(1)()()()()n n nn n n n C C C C n n n n n +=+++显然00112200111111111(1)()()()()()()2n n n n n n n n n C C C C C C n n n n n n n +=+++≥+=而1(1)(2)(1)11111()!!(1)(1)k kn kn n n n k C n n k k k k k k ---+=<≤=---（2k ≥）00112211111(1)()()()()n n n n n n n C C C C n n n n n +=+++11111111(1)()()332231n n n <++-+-++-=-<-．………………………14分。
湖北黄冈中学高二下学期期末考试数学理
湖北省黄冈中学2010年高二数学（理科）期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知0(1)(1)lim2x f x f x→+-=-，则(1)f '的值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．二项式()na b +展开式中，奇数项系数和是32，则n 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．一袋中有大小相同的2个白球，4个黑球，从中任意取出2个球，取到颜色不同的球的概率是（ ） A ．29 B ．49 C ．415 D ．8154．一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；……第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x ，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,455．已知423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值是（ ）A ．1B ．16C ．41D ．816．从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（ ）A ．280B ．240C ．180D ．967．已知n a 是多项式23(1)(1)(1)nx x x ++++++L (n ≥2,n ∈N *)的展开式中含2x 项的系数,则3limnn a n →∞的值是（ ）A ．0B ．16 C ．13 D ．128．当点P 在曲线sin y x =((0,)x π∈)上移动时，曲线在P 处切线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,)2π B ．(,)44ππ-C ．3(,)44ππD ．[0,)4π∪3(,)4ππ 9．暑期学校组织学生参加社会实践活动，语文科目、数学科目、外语科目小组个数分别占总数的12、13、16，甲、乙、丙三同学独立地参加任意一个小组的活动，则他们选择的科目互不相同的概率是（ ）A ．136 B ．112 C ．16 D ．353610．经过点(3,0)的直线l 与抛物线2y x =交于不同两点，抛物线在这两点处的切线互相垂直，则直线l 的斜率是（ ） A ．112 B ．16 C ．112- D ．16-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量(,)B n p ξ:，若3,2E D ξξ==，则n 的值是 12．已知lim(21)1n n n a →∞-=，则lim n n na →∞=13．设随机变量(1,1)N ξ:，(2)P p ξ>=，则(01)P ξ<<的值是14．4名男生和2名女生共6名志愿者和他们帮助的2位老人站成一排合影，摄影师要求两位老人相邻地站，两名女生不相邻地站，则不同的站法种数是15．已知函数31(1),()11(1).a x f x x xb x ⎧-≠-⎪=++⎨⎪=-⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，则b 的值是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知二项式2(n x +(n ∈N *)展开式中，前三项的二项式系数．．．．．和是56，求： (Ⅰ)n 的值；(Ⅱ)展开式中的常数项． 17．（本小题满分12分）某工厂生产两批产品，第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验．（I ）求从两批产品各抽取的件数；（Ⅱ）记ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）已知数列{}n P 满足：（1）123P =，279P =；（2）212133n n n P P P ++=+．（Ⅰ）设1n n n b P P +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求lim n n P →∞．19．（本小题满分12分）已知函数21()1x f x x +=-，其图象在点(0,1)-处的切线为l ．（I ）求l 的方程；（II ）求与l 平行的切线的方程． 20．（本小题满分13分）如图，设点00(,)A x y 为抛物线22xy =上位于第一象限内的一动点，点1(0,)B y 在y 轴正半轴上，且||||OA OB =，直线AB 交x 轴于点P 2(,0)x ．（Ⅰ）试用0x 表示1y ； （Ⅱ）试用0x 表示2x ；（Ⅲ）当点A 沿抛物线无限趋近于原点O 时，求点P 的极限坐标．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：（1）13a =；（2）2212(31)2n n n a n n a a +=--++(n ∈N*)．(Ⅰ)求2a 、3a 、4a ；(Ⅱ)猜测数列{}n a 的通项，并证明你的结论； (Ⅲ)试比较n a 与2n的大小．湖北省黄冈中学2010年高二数学（理科）期末考试试题参考答案一、DCDAD BBDCCξ的分布列如ξ0123P 675287531751075……………………………………………………………………2分∴6283110012375757575Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯……………………………………………… 2分85=．……………………………………………………………………………………1分5(2)y x -=--，……………………………………………………………………2分即7y x =-+．……………………………………………………………………………2分20．解：（Ⅰ）222000||2x OA x y x =+=+，………………………………………2分 2001422x x =+， ∴21001||422y OB x x ==+．…………………………………………………………1分(Ⅲ)当1n =时，1132a =>；当2n =时，2252a =>； 当3n =时，3372a =<；当4n =时，4492a =<；………………………………………………………………1分猜想n ≥3（n ∈N *）时，2nn a <．………………………………………………… 1分。
湖北省黄冈市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．012．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④ B．①②④C．②④ D．①③④3．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．154．下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题5．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．1516．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 zA．24 B．18 C．16 D．128．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A．B．C．D．10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．11．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C．D．12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．213．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（）A．B．C．D．二、填空题14．三进制数121（3）化为十进制数为．15．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= ．17．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 酒精含量（mg/100ml）人数 3 4 1 4 2 3 2 1（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．19．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．22．在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．23．已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．01【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故选：D．2．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④ B．①②④C．②④ D．①③④【分析】由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．【解答】解：根据茎叶图数据知，①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，∴甲的中位数小于乙的中位数；②甲同学的平均分是==81，乙同学的平均分是==85，∴乙的平均分高；③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85，∴甲比乙同学低；④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．∴正确的说法是③④．故选：A．3．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．15【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=﹣4，代入可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵x=﹣4＜3，故y=（﹣4）2﹣1=15，故选：D4．下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题【分析】通过对选项判断命题的真假，找出错误命题即可．【解答】解：若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题，满足命题的真假的判断，是正确的．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，所以不一定得到m＞0，所以B错．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为：若a≤b，则ac2≤bc2，显然是真命题．若命题“￢p∨q”为假命题，则p是真命题，￢q是真命题，则“p∧￢q”为真命题，正确．故选：B．5．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．151【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．【解答】解：由题意， =7.5， =131代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，∴∴x=10时， =153故选B．6．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0，a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6，故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件，故选：D．7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 zA．24 B．18 C．16 D．12【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C．8．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合，∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0），设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…①∵双曲线的离心率等，∴ =，即…②由①②联解，得a2=，b2=，∴该双曲线的方程为5x2﹣=1．故选B．9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A．B．C．D．【分析】建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，∴建立以A为坐标原点，AC，AB，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A1（0，0，），A（0，0，0），B1（0，2，），C1（2，0，），则=（0，2，），=（2，0，），设平面AB1C1的法向量为=（x，y，z），=（0，0，），则•=2y+z=0，•=2x+z=0，令z=1，则x=﹣，y=﹣，即=（﹣，﹣，1），则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos＜，＞|==，则θ=，故选：A．10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．【分析】用空间向量解答．【解答】解：∵ =+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故选A．11．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，从集合A中任取三个数有=10种取法，其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，故概率P=．故选：C．12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用k PM k PN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．由k PM k PN=，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．故选：A．13．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为（）A．B．C．D．【分析】求出椭圆的焦点坐标，结合椭圆的定义，通过三角形的面积转化求解即可．【解答】解：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），△ABF2的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=，而△ABF2的面积=△A F1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）又△ABF2的面积=×r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=（2a+2a）=a=5．所以 3|y2﹣y1|=5，|y2﹣y1|=．故选：D．二、填空题14．三进制数121（3）化为十进制数为16 ．【分析】利用累加权重法，即可将三进制数转化为十进制，从而得解．【解答】解：由题意，121（3）=1×32+2×31+1×30=16故答案为：1615．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤316．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= 3 ．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．17．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆其中真命题的序号为①②④（写出所有真命题的序号）【分析】①根据椭圆和双曲线的c是否相同即可判断．②根据抛物线的性质和定义进行判断．③根据双曲线的定义进行判断．④根据抛物线的定义和性质进行判断．⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断．【解答】解：①由得a2=16，b2=9，则c2=16+9=25，即c=5，由椭圆得a2=49，b2=24，则c2=49﹣24=25，即c=5，则双曲线和椭圆有相同的焦点，故①正确，②不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故②正确，③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴故③不正确；④过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴=5，解得k2=，∴这样的直线有且仅有两条．故④正确，⑤设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），由=（+）得，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即动点P的轨迹为圆，故⑤错误；故答案为：①②④三、解答题18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：酒精含量[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] （mg/100ml）人数 3 4 1 4 2 3 2 1（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．【分析】（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的，绘制出频率分布直方图即可；（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数，再计算数据的平均数值．【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，在[30，40）的为=0.020，在[40，50）的为=0.005，在[50，60）的为=0.20，在[60，70）的为=0.010，在[70，80）的为=0.015，在[80，90）的为=0.010，在[90，100]的为=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是；…根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…估计检测数据中酒精含量的平均数是0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…19．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【分析】（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，利用列举法求出基本事件个数，并找出可使|a﹣b|＞1发生的基本事件个数．由此能求出事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，利用几何概型能求出此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率．【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，…其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，则着弹点就不能落在分别以6为中心，半径为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分…因为，…满足题意部分的面积为，…故所求概率为．…21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），方法一利用弦长公式，求出p．方法二：通过化简，结合韦达定理，求解p即可．【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，…与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）…则x1+x2=16，x1x2=﹣16，…∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣4px﹣4p=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1+x2=4p，x1x2=﹣4p，…P（2p，4p+2），Q（2p，2p），…方法一∴|PQ|=2p+2，……，∴4p2+3p﹣1=0，…故存在p=且满足△＞0…方法二：由得：（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（y1﹣2p）（y2﹣2p）=0…即（x1﹣2p）（x2﹣2p）+（2x1+2﹣2p）（x2+2﹣2p）=0，…∴，…代入得4p2+3p﹣1=0，．故存在p=且满足△＞0，∴p=…22．在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值为解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值为23．已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．【分析】（1）直接由题意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b2=a2﹣c2求得b2，则点Q的轨迹方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可设直l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出S△OMN．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，a=2，c=…∴b=1，∴点Q的轨迹E的方程=1．…（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，M（x1，y1），N （x2，y2），联立方程组，将y=kx﹣2代入=1得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0…当△＞0时，即k2＞时，x1+x2=，x1x2=，…则△OMN的面积S=|OB||x1﹣x2|=…设=t＞0，∴，最大值为1…∴=2，k=±，满足△＞0…∴直线的方程为y=±x﹣2…21。
湖北省黄冈市高二数学下学期期末考试试题 理(扫描版)
黄冈市2017年春季高二期末试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13.4514. 20x y --= 15. 135 16. 72部分题解析：9. 【答案】C 【解析】假设1y x+和1xy +都不小于2.因为x ＞0，y ＞0，所以1+x ≥2y ，且1+y ≥2x ，两式相加得1+x+1+y ≥2(x+y)，即x+y ≤2，这与x+y ＞2相矛盾，因此1+xy 与1+yx 中至少有一个小于2.故选C. 10. 【答案】C【解析】依题意知，生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系为：57301()2t P =，而生物体距发掘时有约2863年，故可得286357301()0.72P =≈,选C三、解答题：.17. 【答案】⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，.【解析】⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()100b f -==，∴1b = ……………………1分21x a a +=+……………………3分即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立．∴1a =，∴1a b ==． ……………………5分 ()f x 是R 上的减函数。
……………………6分⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-．又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-． ……………………8分∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立， ……………………10分∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，． ……………………12分（2）分布列见解析，……………………3分所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． ……………………6分（2）X 的可能取值为0，1，2，3 ……………………7分 1)1()0(3===X P ， 92)1)(2()1(213===C X P……………………10分因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= ……………………12分19. 【答案】（1（2）当在距离点B 点M 处修筑公路至C 时总运费最省．【解析】（1）依题意，铁路AM 上的运费为()280x -,公路MC 上的运费为,……………………6分, 8分……………………10分M 处修筑公路至C 时总……………………12分 20. 【答案】（1）21n nS n =+；（2）见解析. 【解析】（1）解： ()()()221112221n n n n n n n n n a S S n S n S S S S n n ---=-≥∴=-∴=≥- 11123443681,1,,,,3245a S a S S S =∴======` ……………………3分猜想21n nS n =+……………………5分（2）证明：（1）当1n =时， 1211,111S ⨯==+等式成立。
湖北省黄冈中学10-11学年高二上学期期中考试(数学理)
湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期中考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 足1．在试验中随机事件A 的频率An p n =满（ ）A ．01p <≤ B ．01p ≤<C ．01p <<D ．01p ≤≤2．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是（ )A ．50B ．41C ．51D ．61.53．将直线13y x =绕原点顺时针旋转090,再向左平移１个单位,所得到的直线的方程为（ ）A ．33y x =--B ．33y x =-+C ． 31y x =--D ．33y x =- 4．已知一组数1234,,,,x x x x 的平均数是5x =，方差24s =，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是( ）A ．11，8B ．10，8C ．11,16D ．10，165．若直线l 过点(0,),A a 斜率为1，圆224xy +=上恰有3个点到l 的距离为1,则a 的值为( ）Ａ．Ｃ．2± Ｄ．4±6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、图1乙甲75187362479543685343213 4分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2, ……，270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号1，2，……,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况:①7，34，61,88,115，142，169，196，223，250;②5,9,100，107，111，121，180，195,200，265；③11,37，65，92，119，148，173，200，227，254；④30，57,84，111，138,165，192，219,246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A ②、③都不能为系统抽样B ②、④都不能为分层抽样C ①、④都可能为系统抽样D ①、③都可能为分层抽样7．已知下面两个程序：甲：i=1 乙：i=1000S=0 S=0WHILE i<=1000 DOS=S+i S=S+ii=i+l i=i－1WEND LOOP UNTIL i<1PRINT S PRINT SEND END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同,结果不同B．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同8．用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值，有如下的说法：①要用到6次乘法和6次加法；②要用到6次加法和15次乘法；③023v =-； ④311v=，其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．①③④9．已知x 、y 满足22(1)1x y -+=，则22222S x y x y =++-+的最小值是（）A ．625-B ．51-C ．2D ．210．方程1111log log 2log log yy y y x x x x+-+-+=所表示的曲线是如下图所示的（ ）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．将十进制数524转化为八进制数为_______。
湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题 理
湖北省黄冈市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤ C ．00x ∃>，使得00(1)1x x e+≤ D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤2.袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；至少有一个红球B ．至少有一个白球；红、黑球各一个C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；都是白球3.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．64.“37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线22221x y a b -=的离心率e > ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．1366.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7.已知(1,21,0)a t t =--，(2,,)b t t =，则b a -的最小值（ ）A C D8.如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线AE 与平面11ABC D 所成角的正弦值是（ ）A C D 9.在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74 B ．94C ．4D ．2 11.给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）①若“()p ⌝或q ”是假命题，则“p 且()q ⌝”是真命题； ②命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ③已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面；④直线(3)y k x =-与双曲线22145x y -=交于A ，B 两点，若5AB =，则这样的直线有3条；A ．1B ．2C ．3D ．412.F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）13.有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为 ．14.为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知x 和y 具有线性相关关系，且回归方程为 1.238.69y x =-+，那么表中m 的值为 ．15.已知a R ∈，直线1l ：22x y a +=+和直线2l ：221x y a -=-分别与圆E ：22()(1)4x a y -+-=相交于A 、C 和B 、D ，则四边形ABCD 的面积为 ．16.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，F 为椭圆的左焦点，若AF BF ⊥，且该椭圆的离心率2e ∈⎣⎦，则θ的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)……，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.18.已知命题p ：方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 19.已知M ：22(2)1x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切M 于A 、B 两点.（1）如果AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点.20.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求n 的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ，PA 的中点，且1AB AC ==，AD =（1）证明：//MN 平面PCD ；（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在(0,)6π内变化时，求二面角P BC A --的取值范围.22.在圆224x y +=上任取一点M ，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足.3DN DM =，当点M 在圆上运动时， （1）求N 点的轨迹T 的方程；（2） 若(2,0)A ，直线l 交曲线T 于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.O 为坐标原点，点P 满足2OP OE OF =+，证明直线l 过定点，并求直线AP 的斜率的取值范围.参考答案（理科）一、选择题1-5: CBBBA 6-10: BCDDB 11、12：CC 二、填空题 13.13 14. 5.5 15. 8 16. 5[,]66ππ三、解答题17.解：学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数人；（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人；由图可知众数落在第三组，是，70.1585.17325.16385.15165.1465.131001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（x .18.解：若命题p ：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q ：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为假命题，“”为真命题，与q 必然一真一假．，或，解得或综上可得：实数m 的取值范围是．19. 解：设直线MQ 交AB 于点P ，则，又，得，．设，而点，由，得，则Q 点的坐标为或． 从而直线MQ 的方程为或．证明：设点，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为，直线AB 恒过定点（0，32 ）.20.由题意可得可解得；(2)高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c, e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种，其中a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，和b 至少有一人上台抽奖的概率为；(3)由已知，点在如图所示的正方形OABC 内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分， 由，令可得，令可得，在时满足的区域的面积为，该代表中奖的概率为．21. (1)取PD 得中点Q,连接NQ,CQ,因为点M,N 分别为BC,PA 的中点，,21,////CM AD NQ CM AD NQ ==∴ CQ MN CQNM //∴∴为平行四边形，四边形， PCD MN PCD CQ PCD MN 面面面又//,,∴⊂⊄，(2) 连接PM,因为2,1===AD AC AB ,点M 为BC 的中点，则,,,,BC PM ABCD PA BC AM ⊥⊥⊥则面又θ的平面角，设为为二面角A BC P PMA --∠∴，以AB,AC,AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(02121，，),P(θtan 2200，，)， 设平面PBC 的一个法向量为=(x,y,z),则由0,0=⋅=⋅，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-0tan 2221210θz y x y x 可取60,sin 22tan 221sin 2παθθα<<=+==∴ 22sin 0,21sin 0<∠<<<∴AMH α, 0044P BC A ππθ∴<<--，即二面角取值范围为（，）.22. (1) 设M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 0,y=32 y 0,代入圆方程有22143x y +=. 即为N 点的轨迹方程.(2)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=, 解得27x =或2,此时2,07P ⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为0； 当直线l 不垂直于x 轴时,设()()1122,,,E x y F x y ,直线l :y kx t =+(2t k ≠-),由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=, 依题意()()2222644344120k t k t∆=-+->,即22430k t -+>(*),且122834ktx x k+=-+,212241234t x x k -=+, 又AE AF ⊥,所以()()()()()()121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++2227416034t k ktk ++==+,所以2274160t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27kt =-满足(*), 所以2O P OE OF =+()1212,x x y y =++=2286,3434kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 故直线AP 的斜率22233344846234APtt k k kt k kt k+==-=++--+217878k k k k =++, 当0k <时,78k k+≤-此时0AP k ≤<； 当0k >时,78k k+≥此时056AP k <≤； 综上,直线AP的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦.。
湖北省黄冈中学高二数学理科期末考试试卷新课标人教版
湖北省黄冈中学高二数学理科期末考试一试卷新课标人教版命题人：卞清胜校正：袁小幼一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的 4 个选项中，只有1项是切合题目要求的. ）1．已知直线y kx 被圆 x2y 2 2 所截得的弦AB的长等于A．2B． 4C．2 2D．22．垂直于同一条直线的两条直线的地点关系是A．平行B．订交C．异面D．平行、订交、异面都有可能3．在棱长为 1 的正方体AC1中，体对角线AC1在六个面上的射影的长度之和是A．6 3B．6 2C． 6D．64．已知平面、，直线 m、n，若, m, n,且 m n,则必有A．m B．nC．m且 n D．m或 n5．抛物线y24x 对于直线 x y 2 对称的抛物线的极点坐标是A．（ 0， 0）B．（-2， -2 ）C．（ 2，2）D．（ 2， 0）6．一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为A．8 2B．8C．4 2D．47．已知A(1,2,1), OB与 OA 对于x轴对称， OC与OA 对于面 xOy 对称，则 BC =A．（ 0， 4，2）B．（ 0， -4 ，0）C．（ -2 ， 0，2）D．（ -2 ， 4，-2 ）8．如图，已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为 2 ，底面边长为 3 ，SE 是SA的中点，则异面直线与所成的角的大小是BE SC EA．90°B．60°C．45°D．30°CD9．椭圆有以下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光芒，经椭圆AB 反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平搁置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的两个焦点，其长轴长为 2，焦距为 2 (0) ，静放在点A的小球（小a c a>c>专心爱心专心110 号编写1球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的行程是A．2( a+c)B． 2( a-c )C．4a D．以上答案均有可能10．已知P是棱长为 2 的正八面体的一个对角面（经过正八面体四条棱的截面）上的一个动点，若 P 到不在该对角面上的一个极点的距离是它到该对角面上的某个极点的距离的2倍，则动点 P的轨迹是（）的一部分 .A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题（本大题共 5 小题，每题5分，共 25分.）11．设P是 60°的二面角—l—内的一点，PA, PB，A、B是垂足，PA=4，PB=2，则 AB的长是__________.12．双曲线x2y21的渐近线方程是y3x ，则双曲线的焦点坐标是_________. 4m213．我国有一艘马上赴南极观察的船只现停靠在北纬30°，东经 150°的洋面上，若地球半径为 R，则它离地球南极的球面距离为___________.14．一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的六个极点），则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1∶______∶ ______.15．已知命题：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②过点（ x0y0）与圆x 2y2r2相切的直线方程是x0 x y0 y r2,；③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；④抛物线上任一点M到其焦点的距离都等于点M到其准线的距离.此中正确命题的标号是____________.答题卡题号12345678910答案题号1112131415答案三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）16．（本小题满分12 分）已知直线ax4y 2 0 与直线 2x 5 y b0 相互垂直且交于点（1，c），求 a, b, c的值.专心爱心专心110 号编写217．（本小题满分 12 分）在底面边长为a，侧棱长为2a的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，（1）求证：平面BD1⊥平面AB1C；DC （2）求点B到平面的距离 .BA1D1C1A1B118．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB PA2，PA⊥底面 ABCD， E 是 AD的中点， F 是 PC的中点.P（ 1）求证：EF⊥平面PBC；（ 2）求直线BE与平面PBC所成的角 .FA BECD19．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ BAC=90°， AB=a, AC=2, AA1=1,点 D在棱 B1C1上，且 B1D∶DC1=1∶3.（1）证明：不论a为任何正数，均有BD⊥A1C；（ 2）当a 为什么值时，二面角 1 — 1=60°？B—AD B20．（本小题满分13 分）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面 AA1B1B⊥底面 ABC，侧棱 AA1与底面 ABC成60°的角， AA1=2，底面是边长为 2 的正三角形，其重心为点G . E 是线段 BC1 1上一点，且BE BC1 .3（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小 .专心爱心专心110 号编写321．（本小题满分14 分）如图，三条直线a、b、c 两两平行，直线a、b 间的距离为p，直线 b、c 间的距离为p，A、B为直线a上的两个定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为22p的线段 .（1）成立适合的平面直角坐标系，求△AMN的外心 C的轨迹 E；（2）当△AMN的外心C在E上什么地点时，使d+BC最小？最小值是多少？（此中， d 为外心 C到直线 c 的距离）A BaM N bc专心爱心专心110 号编写4[ 参照答案 ]1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.A8.B9.D 10.A11. 2 7 12. ( 7,0) 、(7,0)13.2 R 14. 59 3 15. ④3216. 解：两直线的斜率分别是a 24 , ,5 ∵两直线相互垂直，∴a 24 1，即 a =10.5∵点（ 1， c ）在直线 ax +4y -2=0 上，∴ 10+4 c -2=0 ，∴ c =-2.∵点（ 1， -2 ）在直线 2x -5 y +b =0 上，∴2- 5×(-2)+b =0，∴ b =-12.∴ a =10, b =-12, c =-2 为所求 .17. （ 1）证明：∵四棱柱是正四棱柱，∴ABCD 是正方形， BB ⊥平面 AC .1∴AC ⊥ BD ，AC ⊥ BB 1. ∴AC ⊥平面 BD 1. ∴平面 BD 1⊥平面 AB 1C .（2）解：设 AC BD O ，连 OB 1，作 BH ⊥OB 1 于 H ，则 BH ⊥平面 AB 1C ，BH 的长就是点 B 到平面 ABC 的距离 .1在 Rt △ OBB 中， OB23 2a, BB 12a,OB 1a.122由面积关系得 BHOB BB 1 2 a. 12 OB 13∴点 B 到平面 ABC 的距离是a.318. 证明：（ 1）设 PB 的中点为 G ，连 EF 、AG 、FG ，由 FG 1BCEA ，2得四边形 是平行四边形，∴ ∥ .AEFGEF AG∵AP=AB,G 为 PB 的中点，∴ AG ⊥ PB .①∵PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥ BC .又 BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥平面 PAB ，∴ BC ⊥ AG .②由①、②得， AG ⊥平面 PBC ，又 EF ∥ AG ，∴ EF ⊥平面 PBC .（2）解：连 BF ，由（ 1）知∠ EBF 是直线 BE 与平面 PBC 所成的角 .在 Rt △ BEF 中， BEAB2AE23, BF1PC1 PA2 AB 2 BC 22 ,22sin EBFBF 6. ∴直线 BE 与平面 PBC 所成的角为 arcsin6 .BE3319. （ 1）证明：以 A 为坐标原点成立空间直角坐标系，则专心 爱心 专心 110 号编写 53 1a 1, AC(0, 2, 1).D a,,1 ,BD,,142421∵a 1∴ BDAC 1BD A 1C, ,1(0, 2, 1) 0.1 .42，即 BD ⊥A C（2）解： A 1D3 a, 1,0 , A 1B (a,0, 1).4 2设 n =（ x, y, 1 ），且 n ⊥平面 A 1BD ，则 nA D, nA B.11故 (x, y,1)3a, 1,00,( x, y,1) ( a,0,1) 0.4 23y0, x 1 ,13ax2a故 n,,1 .即 4a 2ax1 0.y3.2设 m =(0, 0, 1) ，则 m ⊥平面 A 1B 1C 1.m n (0,0,1)1 , 3,1 1a 2∴ cos m, n2 2.| m | | n |113 13a1a 242又<m, n >与二面角 B —A 1 D —B 1 相等，即 <m, n >=60°，∴11, a 2 2 31 13 2. ∴当 a时，二面角 B —A 1D — B 1=60°.33a 2420. （1）证明：延伸BE 交 BC 于 F ，∴ B 1 EC 1FEB , BE1 ,EC 1121 1∴BF B 1C 1BC ，进而 F 为 BC 的中点.22∵G 为△ ABC 的重心，∴ A 、G 、F 三点共线，且FGFE1 1FA FB 1, ∴GE ∥AB3又 GE侧面 AA 1B 1B , ∴ GE ∥侧面 AA 1B 1B .（2）解：作 B 1H ⊥ AB 于 H .∵侧面 AA 1B 1B ⊥底面 ABC ，∴ B 1H ⊥底面 ABC .又侧棱 AA 1 与底面 ABC 成 60°的角， AA 1=2, ∴∠ B 1BH =60°, BH =1, B 1H3.作 HT ⊥ AF 于 T ，连 B 1T . 由三垂线定理有 B 1T ⊥ AF ，专心爱心专心110 号编写6又平面 B 1GE 与底面 ABC 的交线为 AF ，∴∠ B 1TH 为所求二面角的平面角 .∴AH=AB+BH =3， ∠ HAT =30°，∴ HT AH sin 303 ,2在 Rt △ 1中，tan B 1THB 1H 2 3 B HTHT 3 ,进而平面 B 1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为2 3arctan.321. 解：（ 1）以直线 b 为 x 轴，以过点 A 且与 b 直线垂直的直线为y 轴成立平面直角坐标系，则由题意有 A (0, p ) ，设△ AMN 的外心坐标为 C ( x, y ) ，则 M ( x – p ，0) ， N ( x+p , 0)，由题意有 ||=|.∴x 2( y p)2(x x p) 22.CA CM|y化简，得x 2=2 ，它是以原点为极点、y 轴为对称轴、张口向上的抛物线.py（2）不难知道，直线c 恰为轨迹 E 的准线，由抛物线的定义知，d =| CF | ，此中 F (0, p) 是2抛物线的焦点 . ∴ +|BC|=|CF|+|BC| .d由两点间直线段最短知，线段与轨迹 E 的交点即为所求的使 d +| | 最小的点 .BFBC由两点式方程可求得直线BF 的方程为 y1 x 1p ，把它与 x 2 =2py 联立，得4 2C ( 1p(117),917p) .416故当△ AMN 外心 C 为 (1p(117),917p) 时， d+BC 最小 . 最小值|BF |17 p.4162专心爱心专心110 号编写7。
湖北省黄冈中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学
湖北省黄冈中学年秋季高二数学（理）期末考试试题命题：郭旭校对：张智★祝同学们考试顺利★第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这句诗中，哪句可作为命题（）.红豆生南国 .春来发几枝 .愿君多采撷.此物最相思. 若命题：∀∈，－＞，则该命题的否定是（）.∀∈，－＜.∀∈，－≤.∃∈，－≤.∃∈，－＞.在一个盒子里有个大小一样的球，其中个红球，个白球，则第个人摸出一个红球，紧接着第个人摸出一个白球的概率为（）. . . ..等轴双曲线的离心率的值是（）. . . .. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（）. 充分而不必要条件.必要而不充分条件. 充分必要条件.既不充分也不必要条件.若直线与双曲线的左、右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）. . . .. 抛物线上两点(，)、(，)关于直线＋对称，且－，则等于（）. . . ..过双曲线的右焦点作直线与双曲线交、于两点，若，这样的直线有（）.一条.两条. 三条. 四条.已知是正四面体的面上一点，到面的距离与到点的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）.圆.椭圆.双曲线.抛物线.定点（，），动点、分别在图中抛物线及椭圆的实线部分上运动，且∥轴，则△的周长的取值范围是（）.. . .第Ⅱ卷(非选择题 共分)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分.把答案填在答题卡的相应位置上.) . 设随机变量服从正态分布(，)，已知(<)，则(<).. 设随机变量，若，则.. 与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是..已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上．小明从曲线，上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(，)．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上．小明的记录如下：据此，可推断椭圆的方程为. .已知双曲线的左、右焦点分别、，为双曲线的中心，是双曲线右支上异于顶点的任一点，△的内切圆的圆心为，且⊙与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，下面八个命题： ①的内切圆的圆心在直线上；②的内切圆的圆心在直线上；③的内切圆的圆心在直线上；④的内切圆必通过点；⑤； ⑥； ⑦； ⑧与关系不确定． 其中正确的命题的代号是.三、解答题(本大题共小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) .（本小题满分分）设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，若或为真，且为假，求的取值范围． .（本小题满分分）已知函数．（Ⅰ）若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，求方程有两个不相等实根的概率； （Ⅱ）若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，求方程没有实根的概率． .（本小题满分分）若一个椭圆与双曲线焦点相同，且过点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）求这个椭圆的所有斜率为的平行弦的中点轨迹方程．.（本小题满分分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（Ⅱ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量参加人数的分布列及数学期望．.（本小题满分分）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．.（本小题满分分）如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为．（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）是否存在实数，使得△的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．。
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湖北省黄冈中学2010年春季高二数学（理科）期末考试试题命题：张卫兵 校对：徐敏一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知0(1)(1)lim2x f x f x→+-=-，则(1)f '的值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 2．二项式()n a b +展开式中，奇数项系数和是32，则n 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．一袋中有大小相同的2个白球，4个黑球，从中任意取出2个球，取到颜色不同的球的概率是（ ） A ．29 B ．49 C ．415 D ．8154．一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；……第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x ，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,455．已知423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值是（ ）A ．1B ．16C ．41D ．816．从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（ ） A ．280 B ．240 C ．180 D ．967．已知n a 是多项式23(1)(1)(1)n x x x ++++++ (n ≥2,n ∈N *)的展开式中含2x 项的系数,则3limnn a n →∞的值是（ ）A ．0B ．16 C ．13 D ．128．当点P 在曲线sin y x =((0,)x π∈)上移动时，曲线在P 处切线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,)2πB ．(,)44ππ-C ．3(,)44ππD ．[0,)4π∪3(,)4ππ 9．暑期学校组织学生参加社会实践活动，语文科目、数学科目、外语科目小组个数分别占总数的12、13、16，甲、乙、丙三同学独立地参加任意一个小组的活动，则他们选择的科目互不相同的概率是（ ） A ．136 B ．112 C ．16 D ．353610．经过点(3,0)的直线l 与抛物线2y x =交于不同两点，抛物线在这两点处的切线互相垂直，则直线l 的斜率是（ ） A ．112 B ．16 C ．112- D ．16-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知随机变量(,)B n p ξ ，若3,2E D ξξ==，则n 的值是 12．已知lim(21)1n n n a →∞-=，则lim n n na →∞=13．设随机变量(1,1)N ξ ，(2)P p ξ>=，则(01)P ξ<<的值是14．4名男生和2名女生共6名志愿者和他们帮助的2位老人站成一排合影，摄影师要求两位老人相邻地站，两名女生不相邻地站，则不同的站法种数是15．已知函数31(1),()11(1).a x f x x xb x ⎧-≠-⎪=++⎨⎪=-⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，则b 的值是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知二项式2(n x +(n ∈N *)展开式中，前三项的二项式系数．．．．．和是56，求： (Ⅰ)n 的值；(Ⅱ)展开式中的常数项．17．（本小题满分12分）某工厂生产两批产品，第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验．（I ）求从两批产品各抽取的件数；（Ⅱ）记ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）已知数列{}n P 满足：（1）123P =，279P =；（2）212133n n n P P P ++=+． （Ⅰ）设1n n n b P P +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求lim n n P →∞．19．（本小题满分12分）已知函数21()1x f x x +=-，其图象在点(0,1)-处的切线为l ．（I ）求l 的方程；（II ）求与l 平行的切线的方程．20．（本小题满分13分）如图，设点00(,)A x y 为抛物线22xy =上位于第一象限内的一动点，点1(0,)B y 在y 轴正半轴上，且||||OA OB =，直线AB 交x 轴于点P 2(,0)x ． （Ⅰ）试用0x 表示1y ； （Ⅱ）试用0x 表示2x ；（Ⅲ）当点A 沿抛物线无限趋近于原点O 时，求点P 的极限坐标．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：（1）13a =；（2）2212(31)2n n n a n n a a +=--++(n ∈N*)．(Ⅰ)求2a 、3a 、4a ；(Ⅱ)猜测数列{}n a 的通项，并证明你的结论； (Ⅲ)试比较n a 与2n的大小．湖北省黄冈中学2010年春季高二数学（理科）期末考试参考答案一、DCDAD BBDCC二、11． 9 12．12 13．12p - 14．7200 15．1-三、16．解：(Ⅰ)012C C C 56n n n ++=………………………………………………………2分2(1)15611002n n n n n -⇒++=⇒+-=……………………………………………2分 10,11n n ⇒==-(舍去)．…………………………………………………………… 1分(Ⅱ)210(x 展开式的第1r +项是520210210101()()2rr rrr r C x C x--=，……3分 520082rr -=⇒=，……………………………………………………………… 2分 故展开式中的常数项是8810145()2256C =．…………………………………………… 2分17．解：（I ）第一批应抽取2件，第二批应抽取1件；………………………………3分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=，…………………………………………………………1分1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，……………………………………………1分 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=，…………………………………………………………1分31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==．………………………… 1分的分布列如下：2分∴6283110012375757575E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ ……………………………………………… 2分 85=．……………………………………………………………………………………1分18．解：（Ⅰ）1211111333n n n n n n b P P P P b ++++=-=-+=-，…………………………3分 又119b =，………………………………………………………………………………1分∴数列{}n b 是等比数列．………………………………………………………………1分（Ⅱ）由（Ⅰ）知11111()()933n n n b -+=-=-， 即 111()3n n n n P P b ++-==-，……………………………………………………… 2分∴121321()()()n n n P P P P P P P P -=+-+-++-232111()()()3333n=+-+-++- ，……………………………………………2分311()443n =+⋅-．………………………………………………………………… 1分 ∴3113lim lim[()]4434n n n n P →∞→∞=+⋅-=．………………………………………………… 2分19．解：（I ）22222(1)(1)(1)(1)21()(1)(1)x x x x x x f x x x ''+--+---'==--，………………3分 ∴(0)1f '=-，…………………………………………………………………………… 1分 直线l 的方程为1y x =--．………………………………………………………………1分（II ）由2221()1(1)x x f x x --'==--得，0,2x x ==，…………………………………2分 又(2)5f =，………………………………………………………………………………1分 所以与l 平行的切线的方程是5(2)y x -=--，……………………………………………………………………2分即7y x =-+．……………………………………………………………………………2分20．解：（Ⅰ）||OA ==2分=∴1||y OB ==1分（Ⅱ）10AB y y k x -=-，………………………………………………………………… 1分=1分= 1分直线AB 的方程为0y x =+ 1分令0y =，得2x =．………………………………………………………… 2分（Ⅲ）200lim lim 1x x x ++→→==，…………………………………………2分故当点A 沿抛物线无限趋近于原点O 时，求点P 的极限坐标是(1,0)．………… 1分21．解：(Ⅰ) 25a =，37a =，49a =；………………………………………… 3分(Ⅱ)猜测21n a n =+，…………………………………………………………………1分 证明如下：当1n =时，13211a ==⨯+，结论成立；………………………………………… 1分 若n k =时，结论成立，即21k a k =+， 则1n k =+时，222212(31)22(62)(21)223k k k a k k a a k k k k k +=--++=-++++=+，……2分 于是1n k =+时，结论成立．故对所有的正整数n ，21n a n =+．………………………………………………… 1分(Ⅲ)当1n =时，1132a =>； 当2n =时，2252a =>； 当3n =时，3372a =<；当4n =时，4492a =<；………………………………………………………………1分猜想n ≥3（n ∈N *）时，2n n a <．………………………………………………… 1分证明如下：当3n =时，3373a =<，结论成立；…………………………………………………1分若n k =时，结论成立，即2(k k a k <≥3)，也就是212kk +<， 则1n k =+时，123(21)222k k a k k +=+=++<+，而11(22)2220222k k k k k +++-=-<⇒+<，………………………………………2分 ∴112k k a ++<．于是1n k =+时，结论成立．从而对任意n ≥3（n ∈N *），有2n n a <．综上所述，当1,2n =时，2n n a >；当n ≥3时，2n n a <．………………………1分。