河北省二十冶综合学校高考数学总复习 圆的一般方程学案
河北省沙河市二十冶综合学校高中分校高中数学必修二导学案_4.1.2圆的一般方程(无答案)
§4.1.2圆的一般方程【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识★为挑战题目【学习目标】：1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
【学习重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．【学习难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
【教学过程】：一：回顾预习案：a,），半径为r的圆的标准方程是；1、（1）圆心为（b（2）圆心为原点，半径为r的圆的标准方程是。
2、请你写出课本121页思考的答案：①②3、课本121页探究：●4、当时，方程表示一个。
方程叫做圆的一般方程。
圆心坐标为，半径为。
5、课本122页思考：二、讨论展示案：合作探究 展示点评例1、（1）圆01422=+-+x y x 的圆心是 ，半径是 。
(2)圆086222=++-+y x y x 的周长等于 。
（3）若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则实数k 的取值范围是 。
例2、课本123页练习2.例3、写出圆的圆心和半径。
（1）0222=++x y x （2）0126422=--++y x y x例4、求过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A 的圆方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
（参考课本122页例4）★ 例5、已知线段AB 的端点B 的坐标是)4,2(，端点A 在圆1622=+y x 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程。
（参考课本122页例5）三、知识小结：用待定系数法求圆的方程的步骤：四、巩固练习案：课本123页练习1，124页A 组第1、5题。
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
圆的方程的教案
圆的方程的教案引言：圆是我们日常生活中经常会遇到的几何形状之一。
掌握圆的概念及其方程对于理解物理、数学等学科都有着很大的帮助。
然而在教学实践中，如何让学生更深入地理解圆的方程，却是一个比较棘手的问题。
这里将介绍一份圆的方程的教案，希望能对广大教师提供些许借鉴和帮助。
一、教学目标1. 理解圆的基本概念，熟悉圆的相关术语及其性质。
2. 掌握圆的标准式和一般式，并能够灵活地在相关问题中应用。
3. 理解圆的参数方程和极坐标方程，并能够应用于实际题目中。
4. 通过圆的方程的练习，提高学生的抽象思维能力和解题能力，培养学生的数学兴趣。
二、教学内容1. 圆的基本概念和术语。
引导学生回忆圆的基本定义和相关术语，如圆心、半径、直径、弧、弦等。
2. 圆的标准式和一般式。
介绍圆的标准式和一般式的概念，并结合具体例子讲解圆的方程如何转化为标准式或一般式。
要求学生能够通过给出的圆的方程求出其圆心和半径。
3. 圆的参数方程和极坐标方程。
引入圆的参数方程和极坐标方程的概念，结合具体例子说明其应用场景和转化方法。
要求学生能够通过所给的参数方程或极坐标方程画出相应的圆形。
4. 综合练习。
设计多种类型的圆的方程练习题，包括基本概念的运用、标准式和一般式的转化、参数方程和极坐标方程的求解等多个方面。
要求学生能够独立思考、发现问题，提高解决问题的能力。
三、教学方法1. 以实例为引导，抓住重点，引导学生深入理解圆的基本概念和性质。
2. 采用关联性教学，将圆的方程和其他学科相联系，如物理学中的匀速圆周运动等。
3. 采用问题导向法，引导学生在解决问题中发现问题，并进行讨论和探究。
4. 以小组合作为主要教学方式，鼓励学生分享思路和解题方法，并进行合作探究。
四、教学评估1. 课堂练习。
2. 个人作业。
3. 小组合作探究报告。
4. 期末考试。
五、教学注意事项1. 要尊重学生的思维习惯和学习方法，采用多元化的教学方法才能激发学生的学习兴趣。
2. 关注学生的反馈，及时调整教学内容和方式，确保教学效果。
高中数学_2.4.2 圆的一般方程教学设计学情分析教材分析课后反思
第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程2.4.2 圆的一般方程教学设计一、教学目标1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；2. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题；3. 初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.二、教学重难点1. 教学重点圆的一般方程.2. 教学难点圆的一般方程的应用.三、教学过程（一）新课导入复习：圆心为()，，半径为r的圆的标准方程为222A a bx a y b r-+-=.()()问题1 以(12)，为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？-（学生自由回答）答：22-++=.(1)(2)4x y问题2 若将此方程展开，得到什么？答：222410+-++=.x y x y问题3 上面两个式子都能表示圆，由此我们得到圆的标准方程222x a y b r-+-=可()()以变形为220++++=（1）的形式.反过来，形如（1）的方程一定能通过恒等变x y Dx Ey F形变为圆的标准方程吗？（学生自主思考，举手回答，教师引导，并引出下面内容）（二）探索新知例如，对于方程222460-+-=-，因x y+--+=，对其进行配方，得22x y x y(1)(2)1为任意一个点的坐标()x y ，都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形. 所以，形如（1）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明，形如（1）的方程不一定是圆的方程.问题4 方程220x y Dx Ey F ++++=中的D ，E ，F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ （学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导，讲解） 将方程（1）的左边配方，并把常数项移到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.① （1）当2240D E F +->时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（1）表示以22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（2）当2240D E F +-=时，方程（1）只有实数解22D Ex y =-=-，，它表示一个点22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；（3）当2240D E F +-<时，方程（1）没有实数解，它不表示任何图形.因此，当2240D E F +->时，方程（1）表示一个圆. 我们把方程（1）叫做圆的一般方程.例1 求过三点12(00)(11)(42)O M M ，，，，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=.①因为12O M M ，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解. 把它们的坐标依次代人方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解这个方程组，得860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=. 故所求圆的圆心坐标是(43)-，，半径5r ==.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； （3）解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，得到标准方程或一般方程.例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(43)，，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：如图，设点M 的坐标是()x y ，，点A 的坐标是00()x y ，.由于点B 的坐标是(43)，，且M 是线段AB 的中点，所以004322x y x y ++==，. 于是有002423x x y y =-=-，.①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即2200(1)4x y ++=.②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这就是点M 的轨迹方程，它表示以3322⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，半径为1的圆.（三）课堂练习1.以(12)-，5为半径的圆的方程为( ) A.22240x y x y +-+= B.22240x y x y +++= C.22240x y x y ++-= D.22240x y x y +--=答案：C解析：由圆心坐标为(12)-，，半径5r ，则圆的标准方程为：22(1)(2)5x y ++-=， 化为一般方程为：22240x y x y ++-=.故选C.2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A.2a <-或23a > B.223a -<<C.20a -<<D.223a -<<答案：D解析：方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆， ∴2224420()1a a a a +-+->， ∴23440a a +-<， ∴232()()0a a +-<， ∴223a -<<.故选D. 3.圆22220x y x y ++-=的半径为______.解析：由22220x y x y ++-=，得22(1)(1)2x y ++-=4.在平面直角坐标系中，经过三点()()()001120，，，，，的圆的方程为__________. 答案：2220x y x +-=解析：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点(00)(11)(20)，，，，，，则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则圆的方程为2220x y x +-=.5.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于()()0402A B --，，，两点，求圆C 的方程. 答案：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线270x y --=上，27022D E ⎛⎫⎛⎫∴⨯----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即702ED -+=.① 又点()()0402A B --，，，在圆C 上， 1640420E F E F -+=⎧∴⎨-+=⎩，② 由①②，解得4,6,8D E F =-==， ∴圆C 的方程为224680x y x y +-++=.（四）小结作业 小结：1. 圆的一般方程；2. 应用圆的方程解决简单的数学问题. 作业： 四、板书设计2.4.2 圆的一般方程1. 圆的一般方程；2. 求圆的方程的步骤.2.4.2圆的一般方程高二数学编辑：审核:高二数学组使用时间：2020.10.22 【目标引领】学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.【自学探究】思考：(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当________ 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为________ ，圆的半径为r＝________.(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论①D2＋E2－4F＞0时表示________．②D2＋E2－4F＝0时表示点________.③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？【合作解疑】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．( ) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． ( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．( ) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． ( )2．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15D ．R3．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．【精讲点拨】类型一 求圆的一般方程例1 求过三点12(00)(11)(42)O M M ，，，，，的圆的方程，并求这个圆的 圆心坐标和半径.类型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(43)，，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动， 求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【展示交流】1. 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．2．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？【当堂达标】1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线 D ．不存在2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤23．若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则实数k 等于________．4．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中心M 的轨迹方程是________．5．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆P 的方程．圆的一般方程课后反思圆的一般方程一节课是高中数学的一个重要内容，并为后面学习圆锥曲线打下基础。
高中数学《圆的一般方程》学案1 新人教B版必修
高中数学《圆的一般方程》学案1 新人教B版必修一、【学习目标】1、圆的一般方程的代数特征，会用待定系数法求圆的一般方程；2、理解求轨迹方程的步骤，掌握求轨迹方程的一般方法、二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材121-122页内容，回答问题（圆的一般方程）<1>方程在什么条件下表示圆？结论：<1>因为我们学习了圆的标准方程，根据圆的标准方程的特点，来讨论上述二元二次方程什么条件下表示圆、首先我们配方可得、所以， 当时，比较圆的标准方程，表示以为圆心，以为半径圆长的圆； 当时，方程只有一个解，x=-D/2,y=-E/2，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形、因此，当时，上述二元一次方程表示一个圆，叫做圆的一般方程、思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？结论：圆的一般方程的特点：、的系数相同，没有这样的二次项、圆的一般方程中有三个待定系数、、，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了、与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显、练习一：教材123页练习1、2（注意练习2，判断方程是否是圆的方程我们要用的方法）、2、题型总结（待定系数法，求轨迹方程）<2>请同学们自学教材例4，总结待定系数法求圆的方程的步骤；<3>请同学们自学教材例5，总结求轨迹方程的步骤、结论：<2>待定系数法求圆的方程的大致步骤是 根据题意，选择标准方程或者一般方程； 根据题意列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； 解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程；<3>求轨迹方程的一般步骤： 建立适当的坐标系，用有序数对（x，y）表示曲线上任意一点M 的坐标； 写出适合条件的点M的集合； 列出方程f（x，y）＝0；④化方程f（x，y）＝0为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上、练习二： 教材123页练习3； 教材124页习题4、1第 1、3小题、3、附加知识点（点圆关系）<4>由圆的一般方程判断点与圆的关系、结论：<4>设点，圆的方程为, 若点M在圆外，则 0； 若点M在圆上，则有 0； 点M在园内，则 0、三、作业1、必做题：教材第124页习题4、1A组第1题，B组第2题；2、选做题：已知圆M经过抛物与两坐标轴的所有交点，求圆M的标准方程、。
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 圆的一般方程学案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】【学习重难点】重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．难点：圆的一般方程的特点．【学习过程】（一）检查预习、交流展示写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。
（二）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．2．引出圆的一般方程的定义当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0(2)没有xy项，即B=0；(3)D+E-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．练习:下列方程各表示什么图形?例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．（三）课堂小结：1.圆的一般方程的特点．2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．。
圆的方程教案
圆的方程教案圆的方程教案一、教学目标1. 理解圆的定义和性质。
2. 掌握圆的标准方程和一般方程的求解方法。
3. 运用圆的方程解决相关问题。
二、教学重点1. 圆的标准方程的推导过程。
2. 圆的一般方程和标准方程之间的转化。
三、教学内容1. 圆的定义和性质（1）定义：平面上到定点的距离等于一个定值的点的轨迹叫做圆。
（2）性质：所有到圆心距离相等的点，都在圆上；圆心到圆上任何一点的距离都相等；过圆心的直径为直径的两个端点都在圆上。
2. 圆的方程（1）圆的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦。
（2）圆的标准方程：已知圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
（3）圆的一般方程：圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
四、教学方法1. 示范教学法：通过示例讲解圆的标准方程和一般方程的推导过程，引导学生理解和掌握。
2. 合作探究法：让学生自主探究圆的性质和方程推导的过程，在小组合作中进行讨论和总结。
3. 实践运用法：通过解决具体问题和应用题，培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 引入新知识：介绍圆的定义和性质，激发学生的兴趣。
2. 学习圆的标准方程：通过示例演示，引导学生理解圆的标准方程，并进行练习。
3. 学习圆的一般方程：通过讲解和练习，引导学生掌握圆的一般方程和标准方程之间的转化。
4. 小组探究：让学生自主分组，通过观察和讨论，总结圆的性质和方程的特点。
5. 巩固练习：组织学生进行练习题，巩固所学的知识和技能。
6. 拓展应用：通过一些实际问题和应用题，培养学生的综合应用能力。
7. 总结归纳：对所学的知识进行总结归纳，做重点概括和提醒。
六、教学评价1. 观察学生的学习状态，了解学生对课堂内容的理解和掌握程度。
2. 收集学生的练习和作业，对学生的答题能力和解题思路进行评价。
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 圆的标准方程学案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 圆的标准方程学案一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3.已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.课时小结：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教材分析：1.地位与重要性本节课是高中数学必修2第四章平面解析几何初步中《圆的方程》一节重要内容。
其主要内容是通过圆的标准方程推出圆的一般方程。
使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。
并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。
2.教学目标知识目标：1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程能力目标：1).认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
情感目标：培养学生勇于思考问题，勇于探究问题的精神。
3.教学重难点教学重点：1.圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的形式特征。
2.待定系数法求圆的方程。
3.求轨迹方程教学难点：方程220x y Dx Ey F ++++=对224D E F +-分类讨论如下：当 224D E F +-=0 时，方程表示一个点(,)22D E -- 当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形。
当2240D E F +->时，方程表示一个圆。
以(,)22D E --为圆心，以R =为半径的圆。
难点突破：通过对224D E F +-的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。
二．教法分析根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想。
具体的教法为1）启发式教学：通过学生对圆的标准方程的观察，提出问题，让学生讨论，交流，总结并发表意见，说出圆的一般方程的形式。
2）分析与讨论结合：教师对问题的适时启发，引导，与学生的讨论相结合，将问题的三种情况分析清楚。
3）多媒体辅助教学：借助多媒体教学，提高课堂教学的效率，加大课堂的信息量，使教学目标更好的实现。
三．学法分析数学教学不但要传授学生课本知识，更要培养学生的数学学习能力。
圆的一般方程教案
圆的一般方程武钢三中【一】教学背景分析1、教材结构分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2、学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定了如下教学目标：3、教学目标知识与技能：(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点；(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径；(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程；(4)能用相关点法求动点的轨迹方程。
过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力；(3)增强学生应用数学的意识。
情感、态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神；(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：4、教学重点与难点重点： (1)圆的一般方程；(2)待定系数法求圆的方程；(3)相关点法求动点的轨迹方程。
难点：圆的一般方程的应用，待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。
【二】教法学法分析1、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“诱思探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
高考数学总复习 圆的一般方程学案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】【学习重难点】重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．难点：圆的一般方程的特点．【学习过程】（一）检查预习、交流展示写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。
（二）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．2．引出圆的一般方程的定义当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0(2)没有xy项，即B=0；(3)D+E-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．练习:下列方程各表示什么图形?例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．（三）课堂小结：1.圆的一般方程的特点．2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
高中数学必修24.1圆的一般方程教案2
圆的一般方程教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．教学疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1) 整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a ＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．。
高考数学总复习 直线的两点式方程学案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 直线的两点式方程学案一、复习引用复 习1．直线的点斜式方程_________________复 习2．直线的斜截式方程_________________问 题1.直线的点斜式方程和斜截式方程的使用条件_____________________问 题2．直线除了用点和倾斜角（斜率）确定外还常用的还有什么方法______________问 题3已知直线l 经过)2,1(A ，)5,3(B ，求直线l 的方程二、新课学习探究1：若直线l 经常两点),(111y x P ，),(222y x P ，21x x ≠，且21y y ≠你能否写出直线l 的方程呢？1. 直线的两点式方程：已知直线上两点),(111y x P ，),(222y x P ，且（21x x ≠，21y y ≠），则通过这两点的直线方程为 ，由于此方程是由直线上 确定，所以把它叫做直线的两点式方程，简称 。
思考：（1）若21x x =，直线l 的方程是什么？（2）若21y y =，直线l 的方程是什么？（3）该方程还可以怎样书写？说明了什么？（4）哪些直线不能用两点式表示？探究2：已知直线经过)0,1(A ，)2,0(-B ，求直线的方程并画出图象2. 直线的截距式方程： 我们把直线与x 轴的交点 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，直线与y 轴的交点 的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。
若直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0≠a ，且0≠b ，则直线l 的方程是 ；该方程由直线在 确定，所以叫做直线的截距式方程，简称 。
思考 ：（1）b a ,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（2）哪些直线不能用截距式方程表示？三、典型例题例1. 已知三角形的三个顶点)0,5(-A ，)3,3(-B ，)2,0(C ,①求AC 边所在直线方程②求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程中点坐标公式 ：已知),(11y x A 、),(22y x B ，若 AB 的中点为),(y x M ，则 x= ,y= 。
4.1.2圆的一般方程学案
4.1.2圆的一般方程学案学习要求：1．掌握圆的一般方程及其特点；2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．学法指导：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.填一填知识要点，记下疑难点1．圆的一般方程的定义(1)当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.(3)当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：问题探究：探究点一圆的一般方程问题1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？问题2把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？问题3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径．(1)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋9＝0； (2)4x 2＋4y 2－4x ＋12y ＋11＝0.跟踪训练1 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0； (3)x 2＋y 2＋2ax ＝0.探究点二 圆的一般方程的应用问题1 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？问题2 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是怎样的？例2 求过三点A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．课堂小结：1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程．当堂检测：1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝02．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和194 B ．(3,2)和192 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1和192 3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为 ( )A ．2 B.22 C ．1 D. 2。
圆的方程复习教案
圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。
河北省高二数学第四单元《圆与方程》全套教案
《圆与方程》全套讲课设计课题一圆的方程讲课目标1.掌握确立圆的几何因素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程.2.会依据条件求圆的标准方程和一般方程.讲课要点：圆的标准方程与圆的一般方程的理解;依据条件求圆的标准方程和一般方程.讲课难点：依据条件求圆的标准方程和一般方程.【讲课过程】一、导入1、复习预习（1）初中圆的定义（2）两点间的距离公式两点 p1(x1, y1 ), p2 ( x2 , y2 ) 间距离公式：P P x2x 2y2y212112、观察引入同学们 , 我们知道直线可以用一个方程表示, 那么 , 圆可以用一个方程表示吗?圆的方程如何来求呢 ?这就是本堂课的主要内容 .设计企图：由初中知识自然过分到今日要学的知识，对初中知识进行深入，激起学生新的认知矛盾，从而调动学生踊跃性 .3、步步深入问题 1：已知两点A 2,-5 ,B 6,9 , 如何求它们之间的距离?若已知C 3,-8 , D x, y , 又如何求它们之间的距离 ?问题 2：拥有什么性质的点的轨迹称为圆?问题 3：图中哪个点是定点？哪个点是动点?动点拥有什么性质?圆心和半径都反响了圆的什么特色 ?二、知识讲解考点 1圆的方程【讲课建议】经过前方的指引，获得圆的标准方程；获得标准方程后，可以让学生自己来推出经过配方和拆方将一般方程和标准方程相互转变：(1)标准方程：x a 2y b 2r 2此中圆心为 (a, b) ，半径为r.特别地，以原点为圆心，半径为r r0 的圆的标准方程为x2y2r 2.(2)一般方程：x2y 2Dx Ey F0.此中圆心为 ( D ,E) ,半径为 r1D2 E 24F.222D )22D 2E2方程 x2y2Dx Ey F0 可变形为( x y E4F, 故有：224当 D2E24F0 时，方程表示以 D ,E为圆心， r D 2E24F为半径的圆；222当 D2E24F0 时，方程表示一个点；当 D2E24F0 时，方程不表示任何图形．考点 2点与圆的地点关系P x0 , y0x a 2y2与圆br 2 r 0 的地点关系(1)若x02y0b22 , 则点P在圆外；a r(2)若x02y0b22，则点 P 在圆上；a r(3)若x02y0b22，则点 P 在圆内．a r三、例题精析种类一圆的标准方程例题 1依据以下条件，求圆的方程：(1)经过 A 6,5 , B 0,1 两点，并且圆心在直线3x 10 y 9 0上；(2) 经过P 2,4,Q3, 1两点，并且在x 轴上截得的弦长等于 6.【解析】 (1) ∵AB的中垂线方程为3x2y15 0，由 3x 2 y150 ， 3x10y90 ，解得 x7, y3∴圆心为C7,3,又CB65，x 2y32,故所求圆的方程为765 (2) 设圆的方程为x2y2Dx Ey F0 ，将 P、Q 点的坐标分别代入，得2D4E F20①②3D E F0又令 y 0 ，得 x2Dx F 0 .③设 x1、x2是方程③的两根，由x1 x26有 D24F 36.④由①、②、④解得D2, E4,F8或 D6, E8,F0故所求圆的方程为x2y 22x 4 y 80 或 x2y26x 8 y0 .【总结与反思】求圆的方程时，应依据条件采纳适合的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，经过研究圆的性质从而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解种类二圆的一般方程例题 1已知平面上三个定点 A 1,0 ， B 3,0，C 1,4．求经过A、B、C三点的圆的方程．已知三点 A 1,3 , B 4,2 ,C 1, 7 ，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）B.46C .5D .5A. 1【答案】 D【解析】设圆的方程为x 2y2Dx Ey F022M(D E4F 0)圆过三点,10d3e f0A 1,3 ,B 4,2 ,C 1,7 ,可得204d2e f0解方程可得 D2, E4,F 20 ，50d7e f0即圆的方程为 x2y 22x 4 y0 ，即为x2y222 到原点的距125,圆心1,离为 5 .应选D .【总结与反思】确立圆的方程主要方法是待定系数法, 大体步骤为：(1)依据题意，选择标准方程或一般方程；(2) 依据条件列出关于a, b, r 或 D, E, F 的方程组；(3)解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程．种类三圆的几何性质例题 1假如实数 x, y满足方程2y 32x 36,求：( 1)y的最大值与最小值 ;(2) x y 的最大值与最小值．x【解析】 (1) 设方程x226 所表示的圆 C 上的任意一点P x, y．3y 3y的几何意义就是直线 OP 的斜率, x设yk ,则直线OP的方程为 y kx . x由图①可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．3k36 ,所以点 C 到直线y kx的距离d=k 21即 k 3 2 2 时，直线 OP 与圆相切．所以y的最大值与最小值分别是 3 2 2与 3 2 2 . x(2) 设x y b,则 y x b ,由图②知,当直线与圆C相切时,截距b取最值.而圆心 C 到直线y x6 b. b的距离为d26b6，即 b62 3 时，直线y x b与圆C相切,所以x y 的最因为当2大值与最小值分别为62 3 与 62 3 .【总结与反思】与圆相关的最值问题, 常有的有以下几各种类:(1 ) 形如u y bx a 形式的最值问题,可转变成动直线斜率的最值问题；(2) 形如t ax by 形式的最值问题,可转变成动直线截距的最值问题；22(3)形如 x ay b 形式的最值问题，可转变成动点到定点的距离的平方的最值问题．种类四点与圆的地点关系例题 2求过两点 A 1,4 , B 3,2且圆心在直线y0上的圆的标准方程, 并判断点P 2,4与圆的关系 .【解析】设圆的标准方程为x a 2y22,br∵圆心在 y0 上,故b0 .∴ 圆的方程为x2y2r2.. a∵该圆过 A 1,4 , B 3,2 两点，∴解之得 a1,r 220 .∴所求圆的方程为x 1 2y220 .将P 2,4代入圆方程得 2 1 24225 20 P在圆外【总结与反思】合理的使用待定系数法例题 2点 P 5a1,12a 在圆21 的内部，则 a 的取值范围是() x 1y2A. a1111 B. a C. a D . a13513【答案】Ｄ【解析】∵ P 在圆的内部，∴ P到圆心的距离小于半径.∴(5a)2 (12a)2 1 ,1 1a1313【总结与反思】 P x , y222 r 0 的地点关系与圆 x ay b r00若 x0a 2b22 , 则点P在圆外；(1)y0r(2)若 x0a 2b22，则点 P 在圆上；y0r(3)若 x0a 2b22，则点 P 在圆内．y0r例题 3若过点 3,1 总可以作两条直线和圆x 2k 2k20) 相切,则 k 的取值范围y k (k是（） .A. 0,2B. 1,2C.2,D.0,12,【答案】 D3,1 总可以作两条直线和圆x 2k 2y k20) 相切，【解析】若过点k(k则点3,1 在圆220) 外. x 2ky k k (k22所以圆 3 2k 1 k k( k 0) ,解得k 1 或 k 2 .又 k0 ,所以 k 的取值范围是0,12,.应选 D.【总结与反思】这个题目观察的是点和圆的地点关系的应用:点在圆上能作圆的一条切线，点在圆外可以作圆的两条切线;点在圆上，则将点坐标代入方程，满足即可；点在圆外，则将点坐标代入方程大于O 即可；点在圆内，则将点坐标代入方程，小于O即可.种类五轨迹方程例题 1方程 (x y2 2y 8)x y0表示的曲线为（）A.一条直线和一个圆B. 一条线段与半圆C.一条射线与一段劣弧D. 一条线段与一段劣弧【答案】 D【解析】∵ (x y2 2y8)x y 0,∴ x y22y8 或x y 0 2 y 4,∴ x2y 1 29x 0 或x y 2 y 4 ．应选D．【总结与反思】曲线与方程.“数形联合”的思想要逐渐转变 .例题 2长为 2 a 的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．【答案】x2y2a2【解析】点M 运动时，到原点的距离为定长，即Rt △ AOB 斜边上的中线长．因为 AB2a ，即点M M | OM a ，所以点 M 的轨迹是以O为圆心，a为半径长的圆．依据圆的标准方程，点M 的轨迹方程为x2y2 a 2．【总结与反思】曲线与方程.该题观察的是圆的定义.【讲课建议】曲线和方程方面，可加入一些简单的求轨迹方程的方法，如相关点法，为下一步学习平面解析几何做准备 .四、课堂运用基础1.在平面直角坐标系中,经过三点0,0 , 1,1 , 2,0的圆的方程为 __________．2.已知圆x2y24x my40 有两点关于直线l : 2x 2y m 0 对称，则圆的半径是__________．3. P 1,1到圆x2y52__________．41上的任意点的最大距离是4.求圆心在直线3x y50 上,并且经过原点和点3,1 的圆的方程．答案与解析1.【答案】x2y22x0【解析】设圆的方程为x2y2Dx Ey F0 ,圆经过三点0,0 , 1,1 , 2,0 ,则：F0D21 1 D E F0, 解得E0402DF0F0则圆的方程为 x2y22x0 .【总结与反思】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：详尽过程中要用到初中相关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径相关，选择标准式，不然，选择一般式．无论是哪一种形式，都要确立三个独立参数，所以应当有三个独立等式．2.【答案】 3【解析】圆 x2y24x my 40 的圆心坐标为2,m2∵圆 x2y24x my40 有两点关于直线l : 2 x2y m0 对称∴将 2, m代入直线 l : 2x 2 y m 0 可得4 m m0 ,m 2 . 22222∴圆 x y4x my 4 0 为 ( x 2)( y 1)93.【答案】 6【解析】设圆心为O,O4,5,OP4125125,∴ P 到圆的最大距离为OP r5164.【答案】(x1)2( y2) 25【解析】设所求圆的方程为( x a)2( y b) 2r 2．a2b2r 2由已知 ,得a2b12r2 33a b50解此方程组，得a1,b2, r 2 5 ．所以 ,经过原点和点3,1，并且圆心在直线3x y50上的圆的方程是 ( x 1)2( y2) 25牢固1.直线x y20分别与x 轴，y轴交于A, B两点，点P在圆 (x2) 2y2 2 上，则ABP面积的取值范围是（）A. 2,6B.4,8C.，2 D .22，32 2 32. 已知圆的方程为x2y26x8y16 0，设该圆过点 3,5的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形 ABCD的面积为（）A.12 2B.3 2C.6 2D.4 23.已知A3,0, B0,4,点C在圆x2y 2 1 上运动，若ABC 的面积的最小值m为5,实数m 的值为（）2A. 1或11B.1或-11C.1或11 D . 1或- 112 2222 22 24. P 为圆 x 2 y 2 1 上的动点，则点 P 到直线 3x4y 100的距离是最小值为 （）．A. 3B. 2C. 1D . 0x 2 y2F 1、 F 2 ，过 F 1 的直线 l 1 与过 F 2 的直线 l 2 5. 已知椭圆31 的左右焦点分别为 交于点2P ，设 P 点的坐标x 0 , y 0 ，若 l 1l 2 ，则以下结论中不正确的选项是（）A.x 02y 02 1 B. x 02y 0 21C. 3x 0 2 2y 021D.xy 0 132 3232答案与解析1.【答案】 A. 【解析】直线 xy 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A, B 两点A 2,0 ,B 0, 2,则 AB2 2点 P 在圆 x2 2y22 上2,0 ,则圆心到直线距离2 0 2 2圆心为d 122故点 P到直线 x y 2 0的距离d 2 的范围为2 23 2，则SABP1AB d 22d 22,62故答案选 A. 2.【答案】 A.x 2y 429,故该圆圆心是3，4 ,半径是 3,圆心到点【解析】圆的方程可化为33，5 的距离为 1,依据题意 ,知最短弦 BD 和最长弦 (即圆的直径 ) AC 垂直 ,且BD2 32 1 4 2,AC6 ,所以四边形 ABCD 的面积为1AC BD1 6 42 12 2 ,22应选 A.3.【答案】 D.【解析】直线AB : xy1，即 4x3y 120 34若 ABC 的面积最小，则点 C 到直线AB的距离 d 最短，dmin 4m121,又ABC 的面积的最小值为 5 ，52∴ 154m125即 4m12 105122∴ m11或122应选： D.【总结与反思】当直线与圆相离时，常常涉及圆上点到直线的距离的最值问题，方法为：过圆心向直线作垂线，与圆交于两点，这两点到直线的距离即最大值与最小值..4. 【答案】C.【解析】由已知得圆的圆心为0, 0，半径为1，圆心到直线3x 4y100的距离d102 1 ，直线与圆相离，故圆上的点到直线的最小距离为211．3242应选 C.5. 【答案】A.【解析】l1l 2 ,x0 , y 0在以 F1F2为直径的圆上，圆心坐标为0, 0 ，半径为 c 1，c23,x0 , y0在椭圆内，必然有x02y02x02y021不正确，31，故32 2应选 A.拔高1.在长方体ABCD1A1B1C 1D中,已知底面 ABCD为正方形,P为 A1D1的中点，AD2, AA13Q 是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且 QC2QP ,则线段,点BQ的长度的最大值为___.2.已知圆O : x2y225圆O的圆心为 O m,0 ,圆O 与圆 O交于点P 3,4，过点,111 P 3,4 且斜率为 k k0 的直线l分别交圆O、圆O1于点 A, B ．（1）若k1且 BP7 2 ，求圆 O1的方程；（2）过点P 作垂直于l的直线l1分别交圆O、圆O1于点C, D，当m为常数时，试判断22AB CD能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，请说明原由．3.已知 z C , z 2 1 ，则 z 2 5i 的最大值和最小值分别是（）A.411和 411B.3和1C.5 2 和34D.39和34.已知正ABC的边长为 23 ，在平面ABC中，动点 P,M 满足 AP 1,M是 PC的中点，则线段 BM 的最小值为（）A.5B. 2C.31 D . 3 2答案与解析1.【答案】 6【解析】如图（1）所示，取AD 的中点为 D ，连接SQ，则PS平面 ABCD，因 SQ平面 ABCD，所以 PS SQ，所以PQ2PS 2SQ2，也就是1QC23SQ2，如图（2）所示，把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，2x 22y262x22S 0,1， C2, 2，设 Q x, y，则2 2 y 1，整理得 x2y24x0 ，也就是圆x2y2 4 ，故 BQ的最大值为 6 . 2图（ 1）图（ 2）【总结与反思】QC2QP是空间中的两条线段之间的关系，经过AD的中点S 可以转变到同一平面上QS QC的关系，再把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，经过与研究 Q的轨迹(是圆)获得BQ的最大值.2.【答案】（ 1） x2 y 2 137 ；（2）定值为 4m 2 .14【解析】（1 ） k1 时，直线 l 的方程为 x y1 0 ，m 22由 BP7 2 ，得17 2 m3214或 m 0242 ，解得 m2因为 m 0 ，所以 m 14即圆 O 1 的方程为 x142137y 2（2）直线 l 的方程为 y 4 k x 3x 2 y 2 25消去 y 得： 1 k2 x28k 6k 2 x 9k2k 9 0由4 k x 3 yx A x B8k 6k 29k 2 24 k 91 k2 , x A x B1 k 2ABx Bx Ay B y A1 k2 x B x A1 k 2x B x A4x A x B4m2222221 k 2因为直线 l 1 垂直于 l ，所以用1 24m 24m 2k 2取代上式中的k ，得 CD1 2 1 k2k1k22所以 ABCD =4 m 2 。
2019-2020学年高考数学一轮复习-圆的一般方程教案
2019-2020学年高考数学一轮复习 圆的一般方程教案教学目标：掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程 重点难点：会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？建构教学1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？3、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件为:例题剖析例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ； （5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有（ ）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．2P P B A O y x2A课堂小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．数学（理）即时反馈作业编号：011 圆的一般方程1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．3．已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b=4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，则D 、E 、F 的关系有 ．5．过圆x 2+y 2-6x +4y -3=0的圆心 ，且平行于x +2y +11=0的直线方程是 .6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程是 ．7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．8、已知圆C ：04514422=+--+y x y x ，若M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q ，则|MQ|的最大值为_____________，最小值为______________；9、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程为____________．10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．已知一个圆经过A （4,2），B （-1,3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆的方程12、已知直线04=-+y x 和02=+-y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，求外接圆的方程13．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的距离之比为21，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：h ttp://w /wxt/list.aspx?ClassID=3060。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
人教A版高中数学实验教科书选修2 —1 《圆的一般方程》教案4.2.1圆的一般方程•教学目的与要求一、知识目标：（1）理解记忆圆的一般方程的代数特征。
（2）掌握方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的条件。
二、能力目标：（1）能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
（2）能应用待定系数法求圆的一般方程。
（3）能应用代入法求一般曲线的方程。
（4）培养探索发现及分析解决问题的能力。
三、情感目标：（1）培养学生勇于探索的精神。
（2）渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。
•教学重点圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤•教学难点圆的一般方程和代入法的掌握、应用•教学方法师生合作式探究诱导启发式教学•教学辅助多媒体教学平台CAI课件•教学过程与时间分配一、复习提问，引入课题二、探索研究，讲授新课三、例题讲解，对应练习四、课堂小结，反馈回授五、分层作业，巩固提高（3分钟）（22分钟）（16分人教A 版高中数学实验教科书选修 2 — 1 《圆的一般方程》教案教学基本内容设计意图 -2 -一、 复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0), (1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识, 最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很 麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提 问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究 圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、 探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程： 2 2 2、 ,(x a) (y b) r 、圆心(a ， b)、半径 r这个方程就是圆的方程•反过来给出一个形如x 1 2 y 2 Dx Ey F 0的方程，它表 示的曲线一定是圆吗？把x 2 y 2 Dx Ey F 0配方得： 2 2 2Do. E 2 D E 4F (x —) (y )-------------------4【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
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河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习圆的一般方程学案【学习目标】
【学习重难点】
重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； (2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
难点：圆的一般方程的特点．
【学习过程】
（一）检查预习、交流展示
写出圆的标准方程，并指出圆心和半径。
（二）合作探究、精讲精练
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
2．引出圆的一般方程的定义
当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
探究二：圆的一般方程的特点
当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D+E-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．
练习:下列方程各表示什么图形?
例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
（三）课堂小结：
1.圆的一般方程的特点．
2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．。