Bigbird高中数学复习 - 极限
数学极限知识点总结
数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。
具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。
换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。
在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。
比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。
而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。
因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。
二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。
换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。
这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。
2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。
这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。
3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。
归纳极限知识点总结高中
归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。
二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。
三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。
如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。
2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。
3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。
四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。
通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
(整理)高三数学重点难点：函数的极限
第三节 函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim 0。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。
注：=-→)(lim 0x f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx +→； ②0x x→时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
高中数学复习――数列的极限(精选.)
●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n limnn n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于A.0B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21 思考讨论●典例剖析【例1】 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nnn +++=52.（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim cc c n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n . 又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n +1）x +n =0,∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n +1）（n 2+1）. ∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c , ∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6 解析:由∞→n limcbn can ++=2,得a =2b . 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b . ∴ca =6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim22na c n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n . ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）. （1）求{b n }的通项公式； （2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值. 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）. ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 能力提高7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜p q ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得 .1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n nS S =p . 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim1-n n S S =qb p a q bp a -+--+-11111111=1. 探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n . 解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）. ∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32.教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1.当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先，我们来了解极限的定义。
在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。
接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后，我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。
最后，我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。
高中数学知识点归纳极限基础知识
高中数学知识点归纳极限基础知识极限是高中数学中重要的概念之一，它不仅在数学中具有重要的应用价值，也为后续学习更深层次的数学知识打下了基础。
本文将对高中数学中的极限基础知识进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
1. 函数极限函数极限是极限的一种常见形式，描述了函数在某一点趋于无穷或趋于某一特定值时的性质。
在计算函数极限时，可以使用极限的定义、极限的运算法则以及洛必达法则等方法。
2. 数列极限数列极限是极限的另一种形式，它描述了数列中的元素随着自变量趋于无穷或趋于某一特定值时的变化规律。
计算数列极限时，可以使用数列极限的定义、数列极限的性质以及常用的极限运算法则等方法。
3. 极限的性质极限具有一些基本的性质，对于计算和理解极限有着重要的帮助。
其中包括唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼准则等。
这些性质在具体的计算中经常被使用，能够简化计算过程，提高效率。
4. 极限的运算法则极限的运算法则是极限计算的重要工具，它包括了函数极限和数列极限的加法、减法、乘法、除法、乘方等基本运算法则。
熟练掌握这些运算法则可以快速准确地计算各种极限，并解决一些复杂的数学问题。
5. 无穷大与无穷小在极限的计算中，会遇到一些无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于无穷时函数值也趋于无穷大的情况，可以用来描述函数的增长趋势；无穷小是指当自变量趋于某一特定值时函数值趋于零的情况，可以用来描述函数在某一点附近的性质。
6. 极限的应用极限在现实世界中有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域。
通过对极限的研究和运用，人们可以更准确地描述和分析各种变化过程，找出规律并得出结论。
综上所述，高中数学中的极限基础知识包括函数极限、数列极限、极限的性质与运算法则、无穷大与无穷小以及极限的应用等。
掌握这些知识点，不仅可以帮助同学们理解和解决数学问题，还能为后续学习提供良好的基础。
通过不断巩固和实践，相信同学们能够更好地掌握和运用极限知识，取得优异的成绩。
高考数学极限知识点总结
高考数学极限知识点总结高考复习已经开始，小编在此为大家整理了高考数学极限知识点，供大家参考，希望对高考生有所帮助。
预祝大家取得理想的成绩!考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果①当 ( )时，成立;②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立.那么，根据①②对一切自然数时，都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：②当时， .⑵几个常用极限：① ( 为常数)③对于任意实常数，当时，当时，若a = 1，则 ;若，则不存在当时，不存在⑶数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 .(化循环小数为分数方法同上式)注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限;⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， .注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限：② (0 ( 1)4. 函数的连续性：⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续.⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件：①函数f(x)在点处有定义;② 存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即 .⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定：如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点.①f(x)在点处没有定义，即不存在;② 不存在;③ 存在，但 .5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且 .那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点 ( )使 .⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得 ( ).⑶夹逼定理：设当时，有，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.( 为最小整数)高考数学极限知识点就为大家分享到这里，更多精彩内容请持续关注。
极限知识点高三数学
极限知识点高三数学在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。
它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。
本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。
例如lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。
二、常见的极限运算法则1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。
2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则：(1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)(3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)(4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0)3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有lim(x→a)f[g(x)]=L。
4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。
例如，如果lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。
三、例题分析为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题：例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰勒级数展开来计算该极限。
高中数学——2、极限、导数(研究函数最重要的工具)
极限、导数函数的极限1、0x x lim →f （x ）=a ⇔左极限-0x x lim →f （x ）=右极限+→0x x lim f （x ）=a 例：0x lim →|x |=0，因为左极限-0x lim →|x |=右极限+→0x lim |x |=0 2、运算法则：0x x lim →f （x ）=a ，0x x lim →g （x ）=b 0x x lim →【f （x ）+g （x ）】=a+b ，0x x lim →【f （x ）-g （x ）】=a-b 0x x lim →【f （x ）•g （x ）】=ab ，0x x lim →【）（）（x g x f 】=ba （b ≠0） 3、2个重要极限0x lim →x sinx =1，∞→x lim （1+x 1）x =e 或0x lim →x 1x 1）（+=e （e 为自然常数） 4、求极限的常用方法（1）直接代入：例：3x lim →（x 2-x ）=9-3=6 （2）分解因式例：3x lim →3-x 9-x 2=3x lim →3-x 3-x 3x ））（（+=3x lim →（x+3）=6 （3）化∞为无穷小例：∞→x lim cosx -x sinx x +=∞→x lim xcosx -1x sinx1+=∞→x lim 0-101+=1 （4）分子有理化 例：∞→x lim （x -x x 2+）=∞→x lim x x +++++222x x x x x -x x ））（（=∞→x lim x x x x 2++=∞→x lim x 1x x x++）（=∞→x lim x x x +=21 （5）分母有理化例：0x lim →x -1-x 1x +=0x lim →））（（）（x -1x 1x -1-x 1x -1x 1x +++++= 0x lim →x2x -1x 1x ）（++=0x lim →2x -1x 1++=211+=1（6）利用重要极限例1：求极限0x lim →（x •tanx ） 原式=0x lim →（x •cosx sinx ），变形，利用重要极限，=0x lim →（xsinx •cosx x 2），根据极限乘法运算法则，=0x lim →x sinx •0x lim →cosx x 2=1×0cos 0=0 例2：求极限0x lim →x1x 2-1）（ 变形，利用重要极限，原式=0x lim →2-x2-1x 2-1】）【（=e -2=e 1 导数1、可导必连续，连续未必可导函数y=f （x ）在x=x 0处可导是函数y=f （x ）在x=x 0处连续的充分不必要条件 例：y=|x|在x=0处连续，但不可导2、运算法则【f （x ）+g （x ）】´=f ´（x ）+g ´（x ）【f （x ）-g （x ）】´=f ´（x ）-g ´（x ）【f （x ）•g （x ）】´=f ´（x ）•g （x ）+f （x ）•g ´（x ） 【）（）（x g x f 】´=）（x g ）x ′（g ）x （f -）x （g ）x ′（f 2⨯⨯（g （x ）≠0） 3、常用导数公式常数C ´=0，（e x ）´=e x ，（a x ）´=a x lna ，（x n ）´=nx n-1（lnx ）´=x 1，（log a x ）´=lnax 1⨯，（sinx ）´=cosx ，（cosx ）´=-sinx 4、复合函数求导先对整体求导，再对部分求导例：求函数y=x sinx 的导数两边取自然对数，lny=sinx •lnx ，由复合函数求导法则及常用导数公式，两边对x 求导，y 1•y ´=cosx •lnx+sinx •x 1，y ´=y （cosxlnx+sinx •x 1）=x sinx （cosxlnx+xsinx ） 5、利用导数研究函数（注：一般考一阶导数，如果一阶导数仍然复杂，再求二阶导数研究）（1）f（x）在x=x0处的导数f´（x0）即f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率（2）取极值、最值处的导数一般=0，且左右的单调性相反例：研究三次函数f（x）=-x3+9x的单调性求导，f´（x）=-3x2+9=-3（x+3）（x-3），∵f´（x）在区间（-∞，-3）、（-3，3）、（3，+∞）上分别＜0、＞0、＜0，∴f（x）分别递减、递增、递减，∵f´（x）在±3处均=0，∴根据极值左右的单调性，f（x）分别在-3、3处取得极小值、极大值6、根据导函数构造原函数例：已知函数f（x）（x>0），f´（x）为f（x）的导函数，f（x）<-xf´（x），解不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）根据f（x）<-xf´（x）构造原函数g（x）=xf（x），∴g´（x）<0，g（x）（x>0）单调递减，为利用g（x），变形不等式，得到（x+1）f（x+1）>（x+1）（x-1）f（x2-1），即g（x+1）>g（x2-1），∴x2-1>0（满足定义域）、x+1<x2-1（单调递减），x∈（2，+∞）。
高中常用极限知识点整理
高中常用极限知识点整理好的，以下是为您创作的一篇符合您要求的作文：在高中数学的知识海洋里，极限这个概念就像一座神秘的岛屿，初看让人有些摸不着头脑，但深入探索，却能发现其中无尽的趣味和奇妙。
咱们先来说说极限的定义。
想象一下，有个调皮的数字，它像个不安分的小孩，一直在靠近某个固定的值，但就是差那么一点点到不了。
这个一直靠近的过程，就是我们说的极限。
比如说，当 x 无限趋近于 1 的时候，（x 1)²这个式子的值就无限趋近于 0 。
这就好像你朝着一个目标拼命跑，虽然可能永远到不了那个精确的点，但离它越来越近，近到可以忽略那一点点的距离。
再讲讲极限的运算。
这可有点像搭积木，不同的式子有不同的搭法。
比如两个函数的和的极限，就等于它们各自极限的和。
举个例子，函数 f(x) 的极限是 A ，函数 g(x) 的极限是 B ，那么 f(x) ＋ g(x) 的极限就是 A ＋ B 。
这就好比你有两堆糖果，一堆有 A 颗，一堆有 B 颗，加在一起不就是 A ＋ B 颗嘛。
还有极限存在的准则，这可是解决难题的好帮手。
就像走路时有个可靠的指南针，能帮咱们不迷路。
其中有个夹逼准则，特别有意思。
比如说，有三个数列，一个比要研究的数列大，一个比它小，而且这两个数列的极限都一样，那中间这个数列的极限也就和它们相同啦。
这感觉就像被两个大力士紧紧夹住，想跑也跑不掉，只能跟他们一样。
说到这儿，我想起之前做过的一道题，那可真是让我抓耳挠腮。
题目是这样的：求当 x 趋近于无穷大时，（1 ＋ 1/x)＾x 的极限。
我一开始看到这题，脑子嗡嗡的，完全不知道从哪儿下手。
然后我就开始翻书，找之前学过的那些知识点，一个一个试。
先试着把式子变形，可弄了半天也没什么进展。
心里那个着急呀，感觉这道题就像一座大山，怎么都翻不过去。
后来我冷静下来，重新梳理了一下思路。
想到了极限的定义，就想着能不能从一直靠近那个值的角度去思考。
我试着把式子一点点展开，算呀算，写了满满几张草稿纸。
极限分析知识点总结图
极限分析知识点总结图1. 极限的概念极限是函数在某一点附近的局部行为，通俗地说就是当自变量趋于某个值时，函数的值会趋于一个确定的值。
数学上通常用“x趋于a时，f(x)趋于L”来表示函数的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
其中a为自变量x的取值，L为函数值f(x)的极限。
在极限概念中，有重要的一点是函数在该点附近可以不被定义。
极限的概念是整个极限分析的基石，理解和掌握好这一概念对于后续的学习至关重要。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，可以方便我们进行极限计算和推导。
这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则、复合函数法则、夹逼定理等。
其中，四则运算法则指出了函数的和、差、积、商的极限计算法则；复合函数法则用于计算由复合函数构成的整体函数的极限；夹逼定理则用于确定函数极限的存在性。
这些性质在极限计算过程中有着重要的作用，掌握这些性质可以简化问题的处理过程。
3. 极限的计算方法对于不同形式的函数，极限的计算方法也有所不同。
常见的极限计算方法包括有理函数极限、指数函数极限、三角函数极限、对数函数极限、幂函数极限、复合函数极限等。
在计算极限的过程中，需要结合具体的函数形式来选择合适的计算方法，有时还需要进行变量代换、分子有理化、分拆成简单函数等技巧。
熟练掌握各种函数类别的极限计算方法对于进一步深入学习和应用是非常必要的。
4. 无穷小量和无穷大量在极限分析中，无穷小量和无穷大量是重要的概念。
无穷小是指当自变量趋于某一值时，函数值趋于零；无穷大则是指函数的绝对值可以大到任意大。
无穷小和无穷大的概念是极限分析中非常关键的一部分，它们广泛应用于微积分、微分方程等领域，并且有很强的应用性。
5. 极限存在条件对于函数的极限而言，并非所有函数都存在极限。
学习极限分析的过程中，需要注意函数极限存在的一些条件，比如局部有界、单调有界、柯西收敛原理等。
理解这些条件对于确定函数极限的存在性有着重要的指导意义。
6. 夹逼准则夹逼准则是极限分析中的一个非常重要的原理，它通常用于证明极限存在或者计算不确定形式的极限。
高中数学极限公式
高中数学极限公式高中数学中，极限是一个重要的概念。
它在各种数学分支中都有重要的应用，并且是理解和掌握高中数学的基础。
为帮助读者更好地理解和应用极限，下面将介绍一些常用的极限公式和性质。
1.基本极限公式：(1)极限的四则运算法则：a) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$。
b) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) = L \cdot M$。
c) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，且$M \neq 0$，那么$\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$。
(2)常数极限公式：a) $\lim_{x \rightarrow a} k = k$（常数的极限等于它本身）。
b) $\lim_{x \rightarrow a} x = a$（自变量的极限等于它的取值点）。
c) $\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$（幂函数的极限等于各次幂的极限）。
2.无穷大与无穷小：(1) 无穷大的定义：如果对于任意的正数$M$，都存在正数$\delta$，使得当$0 < ，x-a， < \delta$时，有$，f(x)， > M$，那么我们称函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限为无穷大，记为$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$。
大一高数知识点归纳极限
大一高数知识点归纳极限在大一的高等数学中，极限是一个非常重要的概念和知识点。
它是数学中的基础，也是许多高级数学概念的起点。
下面我们将对大一高数中的极限知识点进行归纳和总结。
1. 极限的定义在数学中，极限可以用来描述一个函数或者数列在某一点或者无穷远处的趋势。
对于函数f(x)，当x无限接近于一个常数a时，如果f(x)无限接近于一个常数L，那么我们可以说f(x)的极限为L，表示为lim (x->a) f(x) = L。
2. 无穷大与无穷小量在讨论极限时，我们经常会接触到无穷大与无穷小量的概念。
无穷大量是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于无穷大；无穷小量则是指当x趋近于某一点时，函数的值趋近于0。
3. 常见的极限计算方法我们可以通过一些常见的极限计算方法来求解各种函数的极限：- 代数运算法则：包括加减乘除四则运算的极限性质。
- 复合函数极限法则：当函数是由多个函数复合而成时，可以通过复合函数极限法则来求解极限。
- 洛必达法则：当求解函数的极限遇到形如0/0或者∞/∞的不定型时，可以利用洛必达法则进行求解。
- 数列极限：数列是一系列数字按照特定规律排列的集合，其中的极限也是一种重要的研究对象。
4. 基本的极限性质和定理在极限的研究中，我们还有一些基本的性质和定理：- 极限的唯一性定理：如果一个函数存在极限，那么这个极限是唯一的。
- 保号性定理：如果一个函数在某一点的左侧有极限，且极限大于0，那么在该点的右侧也有极限，且极限仍大于0。
- 夹逼定理：如果一个函数在某一点的左侧和右侧存在两个函数，且这两个函数的极限相等，那么原函数的极限也等于这个公共的极限。
- 连续函数定理：如果一个函数在某一点存在极限，并且这个极限等于函数在该点的值，那么这个函数在该点是连续的。
5. 极限在微积分中的应用极限在微积分中应用广泛，下面是一些常见的应用：- 求导：导数就是某一点的函数斜率，而极限可以用来表示这个点的函数值无限接近于该点的斜率。
高考数学二轮复习极限重点知识点总结
高考数学二轮复习极限重点知识点总结2021年高考温习曾经末尾，查字典数学网小编在此为大家整理了极限重点知识点总结，希望对高考生有所协助。
考试内容：教学归结法，数学归结法运用，数列的极限. 函数的极限.根限的四那么运算.函数的延续性.考试要求：(1)了解数学归结法的原理，能用数学归结法证明一些复杂的数学命题.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四那么运算法那么;会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数延续的意义，了解闭区间上延续函数有最大值和最小值的性质.13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归结法：①证明当取第一个时结论正确;②假定当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立.⑵第二数学归结法：设是一个与正整数有关的命题，假设①当 ( )时，成立;②假定当 ( )时，成立，推得时，也成立.那么，依据①②对一切自然数时，都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：②当时， .⑵几个常用极限：① ( 为常数)③关于恣意实常数，当时，当时，假定a = 1，那么 ;假定，那么不存在当时，不存在⑶数列极限的四那么运算法那么：⑷数列极限的运用：求无量数列的各项和，特别地，当时，无量等比数列的各项和为 .(化循环小数为分数方法同上式)注：并不是每一个无量数列都有极限.3. 函数极限;⑴当自变量有限趋近于常数 (但不等于 )时，假设函数有限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， .注：当时，能否存在极限与在处能否认义有关，由于并不要求 .(当然，在能否有定义也与在处能否存在极限有关. 函数在有定义是存在的既不充沛又不用要条件.) 如在处无定义，但存在，由于在处左右极限均等于零.⑵函数极限的四那么运算法那么：4. 函数的延续性：⑴假设函数f(x)，g(x)在某一点延续，那么函数在点处都延续.⑵函数f(x)在点处延续必需满足三个条件：①函数f(x)在点处有定义;② 存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即 .⑶函数f(x)在点处不延续(连续)的判定：假设函数f(x)在点处有以下三种状况之一时，那么称为函数f(x)的不延续点.①f(x)在点处没有定义，即不存在;② 不存在;③ 存在，但 .5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数在闭区间上延续，且 .那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点 ( )使 .⑵介值定理：设函数在闭区间上延续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么关于之间恣意的一个数，在开区间内至少有一点，使得 ( ).⑶夹逼定理：设当时，有，且，那么必有注：：表示以为的极限，那么就有限趋近于零.( 为最小整数)。