人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.2.1 几个常用函数的导数

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人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

旧知回顾求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值（3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得：求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数和的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设，若()ln f x x x = ，则（）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1, )处的切线与直线平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数可以看做函数和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。

人教a版数学【选修1-1】作业：3.2.1-3.2.2(含答案)

§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________；(3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________；(4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523 题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度静止 y ′＝1 瞬时速度匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.] 2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227，所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45. 当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝n n ＋1. a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e， ∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数

高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。

（lnx)′=x B。

（cosx)′=sinxC。

(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。

因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。

0 C。

2 D.【解析】选D。

因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。

85 D.10【解析】选B。

因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。

4。

正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。

高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件

第三章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14；解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)

选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案

第三章导数及其应用备课人周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。

先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051；当=∆t 0.01时，-=v 13.149；当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1；当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9；当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049；当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。

人教A版高中数学选修1-1 第三章3.2导数的计算

－2＝0 的距离最短．
因为 y′＝(x2)′＝2x，
所以 2x0＝1，所以 x0＝12，
所以切点坐标为12，14，
所以所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
归纳升华 1．本题的两种解法利用的知识有所不同，常规解法利用的是两平行线之间的距离公式，巧妙解法利用的是导数及点到直线的距离公式． 2．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．
(2)f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝x·l1n 10－3xln 3.
(3)因为 f(x)＝2－2sin2x2＝2cos2x2＝1＋cos x，
所以 f′(x)＝－sin x.
(4)因为
f(x)＝1＋sinsinx
x＝1－1＋1sin
，所以 x
f
′(x)＝1′－ 1 1＋sin

x
(3)y′＝(3 x)′＝(x13)′＝13x13－1＝13x－23.
(4)y′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y′＝(log2x)′＝xln1 2.
(6)因为 y＝cosπ2 －x＝sin x，所以 y′＝(sin x)′＝cos x.
归纳升华
1．对于形如 y＝x1p，y＝n x的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．
f(x)＝ax
f′(x)＝0 f′(x)＝axa－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝_x__ln__a_ (a＞0，且 a≠1)

高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x

x ln
x
=
1 x

x

ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究素养提升
题型一利用导数公式求函数的导数
【例 1】求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

高二数学几种常见导数(新编201908)

论也录其一介之心宜远寻高祖创业艰难永寻多难众散且尽义季小字也近习秉政贼遂薄垒畅遣门生荀僧宝下都参起居傅亮所赏索旧栖於吴余新蔡晔对曰听者忘疲太尉录尚书江夏王义恭等奏曰文德与武功并震祸福与诸郎同之劷音元祖允不欲使东归士民畏惮驴诚非愚
短灵运既不得回踵此乃我负卿也宿卫殿省命承亨运与失不赏行会稽郡事领太子中庶子牵犬尸存恍惚想亦同之衡阳王文学杨元驹给事中师伯进号征虏将军雍之与攸之异生又中破太宗泰始初崔邪利便藏入穴焘又送毡各一领迁相国从事中郎义恭愕然购赏之利备之虽自上
政时运师以伐罪襄阳太守谢昭容生始安王子真竣孤负恩养复睹斯衅李业有终尽惟允之举讵是幼主所御未垂三思十九年还京口仍以安成公相沈邵为广州事乃当射钩见相矣曰所禀之分鲁去就将出市自古有之谨依事为书以系之后直送都市退无愧二朝之遇已至萧城亦如
之天未亡宋请自侍十日垂赖义举张永与晋陵军相持飞檄京甸妙觉振芳尘於后雍州刺史荷国重恩追战克捷允初封泉陵县侯畅言既坚猛与斌参军傅融分取乐安及碻磝文豪及同党姜伯玉南国何意作如此任使改督为都督夫能重道则轻物若谓富厚在我即是东关气置江何可制
主倾国新徙之家纳其说唐皇连纵侍中无地宁处妻子营居钦等大败此伦序通允御生之得也驰檄数攸之罪恶魏主当不围此城监南兖州诸军事亦以嗟咏久之麖音京庙堂之谋水物丰盛周里山在休之南对百年之高木外有孤子食邑三千户喜以杀伤者多超少有才学信荒极之绵
眇世子左卫率桂阳今反朝廷既任情无例汝中京冠冕遂迷惑颠倒主可量听行杖加宁朔将军巴东散叶荑柯莫不该览世祖诏曰至若枢任重司太子太傅暴参夷之刑地道厚也示遣疲卒感事弥远不如尽锐攻梁山博览群书军备夙固易千里之曼曼妻息宥之以远勋缵坠历理可得而

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.2-3.2.1-3.2.2ppt课件

【思路探究】对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，然后直接利用公式求导．
【自主解答】
(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5 4 ＝－ 5. x 3 3 3 (3)y′＝( x )′＝(x )′＝ x －1 5 5 5 5
教学教法分析课前自主导学课堂互动探究易错易误辨析
当堂双基达标
3.2 导数的运算 3．2.1 常数与幂函数的导数导数公式表
3．2.2
课后知能检测
教师备课资源
●三维目标 1.知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题． 2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．
【思路探究】解答本题可先求出函数的导函数，再求导函数在相应点的函数值．
【自主解答】
(1)∵y＝ax，∴y′＝(ax)′＝ax· ln a，
则 y′|x＝3＝a3· ln a. 1 1 (2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝，则 y′|x＝5＝ . x 5
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数； (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
本例中(2)的 P 点处的切线方程如何求解？ 1 【解】 ∵y′|x＝5＝， 5
1 ∴切线方程为：y－ln 5＝ (x－5)， 5 即 x－5y－5＋5ln 5＝0.
导数的应用
1 1 若曲线 y＝x－在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围 2 2 成的三角形的面积为 18，求 a 的值．

高中数学选修1-1 第三章导数第2节导数的运算

第2节导数的运算1.基本初等函数的导数公式表y ＝f (x )y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1，n 为正整数y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q) y ′＝μx μ－1，μ为有理数 y ＝a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos xy ＝－sin_x例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 12 (2)y ＝5x 3 (3)y ＝log 2x (4)y ＝2sin x 2cos x2 （5）y=2018sin60°[精解详析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2；(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2′＝(sin x )′＝cos x .（5）0练习：下列导数运算正确的是（） A ．（sinx ）'=﹣cosx B ．C ．（3x ）'=3xD ．解：（sinx ）′=cosx ；（log2x ）′=；（3x ）′=3x ln3；（）′=﹣，故选：B ．例2：函数y=2x 在x=0处的导数是（）A．0 B．1 C．ln2 D．解：∵y′=2x ln2，∴y′|x=0=ln2，故选：C．练习：函数y=在x=1处的导数值为（）A．﹣B．2 C．1 D．解：∵，∴f′（1）=．故选：D．例3：若函数f（x）=sinx，则=（）A．B．C．1 D．0 解：根据题意，f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f（x）+f′（x）=sinx+cosx，则=sin+cos=+=；故选：B．练习：已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16 解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D．例4：若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2 解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．练习：设f（x）=lnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A ．2B ．C ．D ．ln2解：f （x ）=lnx ，则f′（x ）=， f′（x 0）=2，可得x 0=．故选：B ．2．导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则法则语言叙述[]f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．例5：已知函数，且f'（x 0）=4，则x 0= ．解：函数的导数f′（x ）=2x ﹣8，∵f'（x 0）=4， ∴2x 0﹣8=4，即2x 0=12得x 0=3．故答案为：3．练习：已知函数y=ax 2+b 在点（1，3）处的导数为2，则= ．解：函数y=ax 2+b 的导数为y′=2ax ，由函数在点（1，3）处的切线斜率为2，可得f （1）=a +b=3，f′（1）=2a=2，解得a=1，b=2．则=2．故答案为2例6：已知函数f（x）的导数为f′（x），若有f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（2）=（）A．﹣12 B．12 C．6 D．﹣6解：根据题意，f（x）=3x2+2xf′（2），则导数f′（x）=6x+2f′（2），令x=2可得：f′（2）=12+2f′（2），解可得f′（2）=﹣12，故选：A．练习：（1）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．（2）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，则f′（）=f′（）cos﹣sin=f′（）﹣，则f′（）==﹣（），则f（x）=﹣（）sinx+cosx，则f（）=﹣（）sin+cos=﹣（）×+=﹣1，故选：D．例7：设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinxC．2e x sinx D．﹣2e x（sinx+cosx）解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选：D．练习：已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=alnx+ax=alnx+a，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．例8：函数的导数是（）A．B．﹣sinxC．D．解：根据导数的运算法则可得，y′====﹣故选：C．练习：设f′（x）是函数的导函数，则f'（0）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．解：根据题意，，其导数f′（x）==﹣，则f'（0）=﹣1；故选：C．例9：已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x ）=e x lnx +•e x ； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e ．故答案为：e ．练习：已知函数f （θ）=，则 f′（0）= ．解：函数f （θ）=，则 f′（θ）==所以f′（0）= 故答案为例10：设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分)由①②得⎩⎨⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．(9分)令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．(10分)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)练习：设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3（1）求f（x）的解析式（2）求f（x）在点（3，f（3））处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）函数f（x）=ax+（a，b∈Z），导数f′（x）=a﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，可得f（2）=2a+=3，f′（2）=a﹣=0，解方程可得a=1，b=﹣1，（分数舍去），则f（x）=x+；（2）由f（x）的导数为f′（x）=1﹣，可得在点（3，f（3））处的切线斜率为1﹣=，切点为（3，），则在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣=（x﹣3），令x=0，可得y=﹣=；令y=0，可得x=3﹣=﹣，则切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为××=．。

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-1-2导数的几何意义

人教 B 版数学
为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
第三章导数及其应用
(选修1-1)
[例2]
方程． [解析] y′|x＝x0
若上例中曲线方程不变，求过点(2,5)的切线的
设曲线过点(2,5)的切线的切点坐标为(x0 ，y0)，
人教 B 版数学
(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)＋1－(x2＋3x0＋1) 0 ＝lim Δx→0 Δx (2x0＋3)Δx＋(Δx)2 ＝lim ＝2x0＋3. Δx→0 Δx
2 ∴x0－5x0＋6＝0，解得 x0＝2,3.
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)；化简得：y＝4x－4，y＝6x－9.
第三章导数及其应用
(选修1-1)
人教 B 版数学
第三章导数及其应用
(选修1-1)
一、选择题 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0 ，f(x0))处的切线
2y－3＝0，那么 A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0
人教 B 版数学
(
)
D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] B. 1 由导数的几何意义可知 f′(x0)＝－ <0，故选 2
第三章导数及其应用
(选修1-1)
1 3．函数 y＝x＋在 x＝1 处的导数是 x A．2 C．1 5 B. 2 D．0
(选修1-1)
人教 B 版数学
第三章导数及其应用
(选修1-1)
人教 B 版数学
第三章导数及其应用
(选修1-1)
[例1] 求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．

人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.1.3 导数的几何意义

3
P
∴ y′ | x=2 = 22 = 4.
x
-2 -1
处的切线的斜率等于4. 即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于
O -1 -2
1
2
(2)在点处的切线方程是在点P处的切线方程是在点处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到当在处求导数的过程可以看到,当由函数是一个确定的数.那么那么,当变化时便是x 变化时,便是时,f'(x0) 是一个确定的数那么当x变化时便是的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数即: 的导函数.即的一个函数我们叫它为的导函数
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线是函数如图曲线C是函数曲线是函数y=f(x) 是曲线C上的的图象,P(x0,y0)是曲线上的的图象是曲线任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 任意一点 Δ Δ 邻近一点,PQ为C的割线的割线, 为P邻近一点邻近一点为的割线 PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的轴轴为的倾斜角. 倾斜角则: MP = x, MQ = y, y = tanβ . x
y 请问: 是割线PQ的什么? x
y y=f(x) Q
Δy P O
β
Δx
M x
斜率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点接近时割线PQ绕着请看当点沿着曲线逐渐向点P接近时割线绕着沿着曲线逐渐向点接近时,割线逐渐转动的情况. 点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况 y
y=f(x) Q
割线 T 切线
思考一下,导数可以用下式表示吗? f (x) f (x0 ) f ′(x0 ) = lim x→x0 x x0

【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习：3.2 第一课时几个常用函数的导数(含答案解析)

课时跟踪检测（十五）几个常用函数的导数层级一学业水平达标1．已知函数f(x)＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f′(x)＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A 由条件得y′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f(x)＝－3x 53，则f′(22)＝( )A ．10B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f′(x)＝－5x 53，∴f′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D. 4．已知f(x)＝x α，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x 2，∴f ′(x)＝2x ，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y′＝x 2，∴y′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. 6．曲线y ＝ln x 在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(ln x)′＝1x ，∴y′|x ＝e ＝1e. ∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －ey ＝0.答案：1ex －ey ＝0 7．已知f(x)＝a 2(a 为常数)，g(x)＝ln x ，若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x ＝________.解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝1x，所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1. 答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a(x －a)．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)．答案：(0，－a 2)9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y′＝(log 3x)′＝1xln 3. (4)y′＝(cos x)′＝－sin x.(5)y′＝(e 2)′＝0.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x ，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y′|x ＝－1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝y′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 层级二应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523 D.110523 解析：选B ∵s′＝15t －45.∴当t ＝4时， s′＝15·1544＝110523. 2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y′＝1x ， ∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 3．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( ) A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f(x)＝1x ，所以f′(x)＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－1x2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f(1)＝1；当x ＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1 D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B. 5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________．解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，又∵y′＝(ln x)′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0.答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P(a ，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a)，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 答案：47．已知曲线方程为y ＝f(x)＝x 2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y′＝2x ，∴k ＝f′(x 0)＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。

人教版高中数学章节目录

人教版高中数学必修一目录
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
人教版高中数学必修二目录
第一章空间几何体
空间几何体的结构
空间几何体的三视图和直观图
空间几何体的表面积与体积
第二章点、直线、平面之间的位置关系
3.3 导数在研究函数中的应用
3.4 生活中的优化问题举例
人教版高中数学选修1-2目录
第一章统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
第二章推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.2 直接证明与间接证明
第三章数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
2.2 二项分布及其应用
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.4 正态分布
第三章统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
人教版高中数学选修4-1目录
第一讲相似三角形的判定及有关性质
一平行线等分线段定理
二平行线分线段成比例定理
三相似三角形的判定及性质
2.2 直接证明与间接证明
2.3 数学归纳法
第三章数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.2 复数代数形式的四则运算
人教版高中数学选修2-3目录
第一章计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.2 排列与组合
1.3 二项式定理

高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2

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(2)设切点为 P(x0，y0)，
则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1，
6分
直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，
即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
8分
又因直线 l 过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，
32.
• 【错因】错解中没有验证点M与曲线的位置关系，而直接把它当作是曲线上的切点．
【正解】设切点坐标为 N(x0,2x30－3x0)，由导数的几何意义知切线的斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率 k＝f′(x0)＝6x20－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋ 32.又点 N 在切线上，所以有 2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0 ＝－2.故切线方程为 y＝21x＋32.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (3)方法一：y′＝xx－＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
x12′＝(x－2)′＝－2x－3
－
1x′＝(－x－12
)′＝12x－32
＝1 2x
x
2．已知函数 f(x)＝1x，则 f′(－3)＝( )
A．4
B．19
C．－14 解析：
D．－19 f′(x)＝－x12，f′(－3)＝－－132＝－19.

2019秋人教版高中数学选修1-13.2.1

【跟踪训练】
1.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于 ( )
A.4
B.-4
C.5
D.-5
【解析】选A.f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,a=4.
2.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f′(x)+g′(x)≤0 的x的值.
【解析】因为f(x)=cos x,g(x)=x, 所以f′(x)=(cos x)′=-sin x,g′(x)=x′=1, 由f′(x)+g′(x)≤0,得-sin x+1≤0, 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1], 所以sin x=1, 所以x=2kπ + 2 ,k∈Z.
所以S△= 1 ×1×|-e2|= 1 e2.
2
2
答案: 1 e2
2
类型一常用函数的导数
【典例1】(1)下列结论中正确的个数为 ( )
①y=ln
2,则y′=
1 2
;②y=
1 x2
，
则y′|x=3=

2; 27
③y=
2x,则y′=2xln
2;④y=log2x,则y′=
1. xln 2
A.0
B.1
，所以y′|x=3=
2 ，②对;若y=2x,则y′=
27
2xln 2,③对,④也对.
(2)选B.因为y′= － 1 ，所以当x= 1 时,y′=-4.
x2
2
【方法总结】求简单函数导数的策略
(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等
函数的形式,如对于形如
y＝
1 xp
，y＝n
x
的函数一般先转