高考数学刷题首秧专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题文含解析

专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题

一、选择题。

1．设AB 为过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A ．p

2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C

解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p

2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p ．故选C ．

2．已知F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |

＋|PA |的最小值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．9 答案 D

解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|PA |＝2a ＋|PF ′|＋|PA |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当

A ，P ，F ′三点共线时等号成立．故选D ．

3．已知M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2

＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )

A ．(0，2)

B ．[0，2]

C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 C

解析 由题意知圆心F 到抛物线的准线的距离为4，且|FM |>4，根据抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2，所以y 0＋2>4，得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．

4．过椭圆x 225＋y 2

16＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则

△PQF 周长的最小值是( )

A ．14

B ．16

C ．18

D ．20 答案 C

解析 如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|FQ |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 的周长为|PF |＋|FQ |＋|PQ |＝|PF |＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C ．

5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )

A ．

55 B ．105 C ．255 D ．2105

答案 A

解析 点A 关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点A ′(－3，2)，连接A ′B 与直线l 相交，当点P 在交点处时，2a ＝|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |＝|A ′B |＝25，此时a 取得最小值5，又c ＝1，所以椭圆C 的离心率的最大值为

5

5

，故选A ． 6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 都在曲线x 29＋y 2

4＝1上，且BC

→

＋2OB →

＝0(其中O 为坐标原点)，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，若直线OM ，ON 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则|k 1|＋|k 2|的取值范围为( )

A ．8

9，＋∞ B．[0，＋∞) C ．0，43 D ．4

3，＋∞

答案 D

解析 由于A ，B 都在曲线x 29＋y 24＝1上，则有x 2A 9＋y 2A 4＝1，x 2B 9＋y 2B

4

＝1，两式相减并整理可

得y 2A －y 2

B x 2A －x 2

B ＝－49

，由BC →＋2OB →＝0知，BC →＝－2OB →，则B ，C 关于坐标原点对称，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则k 1＝k AC ，k 2＝k AB ，则|k 1|＋|k 2|＝|k AC |＋|k AB |≥2|k AB ||k AC |＝

2×

y A －y B x A －x B ·y A －y C

x A －x C ＝2 y A －y B x A －x B ·y A ＋y B

x A ＋x B ＝2y 2A －y 2

B

x 2A －x 2B ＝43

，

当且仅当|k AB |＝|k AC |时，等号成立．故选D ．

二、填空题

7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆x 2

4＋y 2

＝1上任意一点A 到两条直线x ±2y ＝0的

距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2的最大值为________．

答案 45

解析 设点A 的坐标为(2cos α，sin α)，则d 1d 2＝

|2cos α＋2sin α|5·|2cos α－2sin α|5

＝4|cos2α|5≤45，所以d 1d 2的最大值为4

5．

8．(2018·河南六市联考一)已知P 是双曲线C ：x 2

2－y 2

＝1右支上一点，直线l 是双曲

线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值是________．

答案 1＋2 2

解析 设双曲线的右焦点为F 2(3，0)，不妨设渐近线l ：x －2y ＝0，则点F 2(3，0)到渐近线l 的距离为1，由于点P 在双曲线右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝22＋|PF 2|，|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |≥22＋1，当且仅当点Q ，P ，F 2三点共线，且P 在Q ，F 2之间时取等号，故|PF 1|＋|PQ |的最小值是1＋22．

9．(2018·厦门质检一)过抛物线E ：y 2

＝4x 焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点

A ，

B 处的切线分别与y 轴交于

C ，

D 两点，则42|CD |－|AB |的最大值是________．

答案 8

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线AC 的方程为x ＝t (y －y 1)＋x 1＝t (y －y 1)＋y 21

4，代

入抛物线的方程，消去x ，得y 2

－4ty ＋4ty 1－y 2

1＝0．由Δ＝16t 2

－4(4ty 1－y 2

1)＝0，得t ＝

y 1

2，所以直线AC 的方程为x ＝y 12(y －y 1)＋y 214，其中令x ＝0，得y C ＝y 12，同理可求得y D ＝y 2

2

，

所以|CD |＝1

2|y 1－y 2|．由题意，知抛物线的焦点为F (1，0)，则设直线AB 的方程为x ＝my

＋1，代入抛物线的方程，消去x ，得y 2

－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以42|CD |－|AB |＝2

2|y 1－y 2|－

1＋m 2

·|y 1－y 2|＝2

2

(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2－

1＋m 2

·(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2＝821＋m 2

－4(1＋m 2

)＝－4×(1＋m 2

－2)2

＋8，所以当1＋m 2

＝2时，42|CD |－|AB |取得最大值为8． 三、解答题

10．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：x 2

＝4y ，直线l 与抛物线

C 1交于A ，B 两点．