第2讲集合综合运用

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第02讲集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。

符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。

4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。

符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。

【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。

《新高一数学衔接教程》集合的综合运用(刘蒋巍编著)

教学内容【知识点回顾】1．集合含义与表示（1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

其中每个对象叫做元素，简称元。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、 Venn 图法。

它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法。

2．集合间的关系（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“ B A ⊆”或“ A B ⊇ ”。

（2）若A ⊆B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“ B A ⊂ ”或“ A B ⊃。

（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”。

判断集合相等还可以用下面两种方法：方法1：B A ⊆且A B ⊆；方法2：A B A =⋂且B B A =⋂ 要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

换言之，集合的子集至少有一个，它是空集。

3．集合的基本运算（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集，记作“A ∪B”。

用数学语言表示为 =⋃B A {}B x or A x x ∈∈ ,| 。

（2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集，记作“A∩B”。

用数学语言表示为 =⋂B A {}B x and A x x ∈∈ ,| 。

（3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集。

记作“A C U ”。

用数学语言表示为 {}A x and U x x A C U ∉∈= ,| 。

【综合运用】例1．已知全集U=R ，集合M={x|－2≤x －1≤2}和N={x|x=2k －1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：集合{}212|≤-≤-=x x M {}31|≤≤-=x x ；集合{},...2,1,12|=-==k k x x N 表示一切正奇数的集合；图中阴影部分所示的集合的元素区有：{}3,1，共2个元素。

【精品课件】第2课时补集及综合应用

B.{1，3，5}
C.{0，1，3}
D.{0，1，3，5}
【解析】选C必.因备为知U识=·{0自，主1，学2习，3，4}，A={2，4}，
所以∁UA={0关，键1，能3力}.·合作学习课堂检测·素养达标
2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部
分所表示的集合为
【题组训练】
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，
B={2，3，6，7}，则B∩(∁UA)= ( )
A.{1，6}
B.{1，7}
C.{6，7}
D.{1，6，7}
【解析】选C必.由备已知知识得·∁自UA主=学{1习,6，7}，
所以B∩(∁UA关)=键{6能，力7·}，合故作选学C习. 课堂检测·素养达标
3.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤2}，若B∪(∁RA)=R，B∩(∁RA)={x|0<x<1或 2<x<3}，求集合B.
【解析】因为A={x|1≤x≤2}，所以∁RA={x|x<1或x>2}. 又B∪(∁RA)必=R备，知A识∪·(∁自RA主)=学R习，可得A⊆B. 而B∩(∁RA)=关{x键|0能<力x<·1合或作2<学x习<3}，所以{x|0<x课<1堂或检2测<x·<素3}养⊆B达.借标助于数轴
2.补集 (1)定义
必备知识·自主学习关键能力·合作学习课堂检测·素养达标
(2)本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的基本运算之一.
补集是一个相对的概念，只相对于相应的全集而言.
(3)作用：

第2课时全集、补集及综合运用

解析：∁UB＝{x|x≤1}，所以 A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．
B．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}
2．已知全集 U＝{1， 2， a2－2a＋3}， A＝{1， a} ， ∁UA＝{3}，则实数 a 等于( D ) A．0 或 2 C．1 或 2 B．0
D．2 a＝2，解析：由题意，知 2 则 a＝2. a －2a＋3＝3，
(2)设集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{3，4，
{2，5} ． 5}，C＝{3，4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________
解析： (1)因为 A＝{x|x≤0}， B＝{x|x≥1}，所以 A∪B＝{x|x≤0 或 x≥1}，在数轴上表示如图．
所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}． (2)因为 A∪B＝{2，3，4，5}，∁UC＝{1，2，5}，所以(A ∪B)∩(∁UC)＝{2，3，4，5}∩{1，2，5}＝{2，5}．
a＝2.
经检验，知 a＝2 符合题意，故 a 的值为 2.故填 2.
(2)由已知 A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为 B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，
所以－m≤－2，即 m≥2，所以 m 的取值范围是 m≥2.
1．求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－ 3≤x≤2}，求 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[解 ]
(1)因为∁UA＝{2，4，6，7，9}，∁UB＝{0，1，3，7，

第2课时组合的综合应用

[解 ] (1)在 9 个点中，除了 α 内的四点共面和 β 内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多，此时，最多能确定直线 C2 9＝ 36(条 )．又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定
1 1 2 C2 4C5＋ C4C 5＋2＝72 个平面． (2)同理，在 9 个点中，除了 α 内的四点共面和 β 内的五点共栏Βιβλιοθήκη 导引第一章计数原理
[解 ]
(1)五位数中不含数字 0. 1分
2 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C3 C 5 4种选法 .
第 2 步，排成偶数 ——先排末位数，有 A1 2种排法，再排其他四位数字，有 A4 4种排法 .
2 1 4 ∴ N1＝ C3 · C A 2· A 4.4 分 5 4·
栏目导引
第一章
计数原理
3．已知∠AOB 的边 OA 上有 5 个点，边 OB 上有 6 个点，用这些点和 O 点为顶点，能构成多少个不同的三角形？
栏目导引
第一章
计数原理
解：法一：以 O 为三角形顶点，其余两顶点分别在 OA 和 OB
1 上取，能构成 C1 5C6＝ 30 个三角形；O 不为顶点，又可分为两
故共有 90＋360＋90＝ 540 种方法．
栏目导引
第一章
计数原理
几何问题中的组合问题
α、 β 是两个平行平面，在 α 内取四个点，在 β 内取五个点． (1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？ (2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？ (链接教材 P24 例 7)
栏目导引
第一章
计数原理
3分
(2)五位数中含有数字 0.

集合的综合应用

集合的综合应用在数学领域中，集合是一个重要的概念，它作为一种工具被广泛应用于各个领域。

本文将介绍集合的综合应用，包括数学、计算机科学、经济学等领域。

一、集合在数学中的应用1.1 集合的描述与表示在数学中，集合可以通过列举元素的方式进行描述。

例如，我们可以用集合A来表示所有小于10的自然数，可以写成A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

另外，我们还可以通过集合的特性来描述，例如写成B = {x |x是偶数, x > 0}，表示B是一个由正偶数构成的集合。

1.2 集合的运算集合运算是指对集合进行操作的一系列运算，包括并集、交集、差集和补集等。

并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起，用符号∪表示。

交集是指两个集合中共有的元素，用符号∩表示。

差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素，用符号-表示。

补集是指指定全集中除去原集合中的所有元素，用符号表示。

1.3 集合的应用举例集合在数学中有广泛的应用，例如在概率统计中，我们可以用集合来表示事件的集合。

在数论中，集合可以用来表示整数的性质，例如素数的集合。

在代数学中，集合可以表示向量的集合，从而研究线性相关性。

此外，集合还经常用于解决实际问题，如集合论中的选择公理就用于证明无理数的存在性。

二、集合在计算机科学中的应用2.1 集合的数据结构在计算机科学中，集合是一种重要的数据结构，可以用来存储一组不重复的元素。

集合的实现一般有两种方式：数组和链表。

数组实现的集合可以通过下标直接访问元素，插入和删除元素的时间复杂度较高；链表实现的集合插入和删除元素的时间复杂度较低，但查找元素较为费时。

2.2 集合的应用举例在实际编程中，集合的应用非常广泛。

例如，在算法设计中，集合可以用来去重，即去除一组数据中的重复元素。

在图论中，集合可以用来表示图的顶点集合或边集合。

在数据库中，集合可以用来表示表中的一组数据。

三、集合在经济学中的应用3.1 集合的经济学模型在经济学中，集合被广泛用于建立经济学模型。

课件7：1.1.3 第2课时补集及综合应用

课堂总结
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外，全集是一个相对概念．
2．符号∁UA存在的前提是A⊆U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质： ∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.
故集合 M＝mm≥－14
，∴∁UM＝mm<－14
.
而对于 N，Δ＝1－4n≥0，即 n≤14，∴N＝nn≤14
.
∴(∁UM)∩N＝xx<－14
.
Байду номын сангаас
纠错心得：(1)当方程的二次项系数为参数时，要对参数进行讨论，不可忽视；
(2)要特别注意进行集合运算时的“端点元素”，如本题中在求集合 M 的补集时对于元素－14的取舍要格外注意．
典例剖析
题型一补集的运算【例1】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∁UB＝{1,4,6}，求集合B. 思路点拨：由集合A与∁UA可求出全集U，本题用Venn图来解答比较简单．
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如下图所示，
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时补集及综合应用
自学导引
1．全集如果一个集合含有我们_所__研__究__问__题__中__所__涉__及__的__所__有__元__素_，那么就称这个集合为全集，通常记作_U__．
2．补集
对于一个集合A，由全集U中__不__属__于__集__合__A__

1.1.3 集合的基本运算第2课时补集及综合应用

第2课时补集及综合应用
思考1
如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选
出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、„„一一确
定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容补集的现实基础．
思考2
想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如
何用描述法表示呢？
（ {x | x S且x A}）像这样的集合也正是我
们这节课所要研究的——全集与补集.
1. 理解全集和补集的概念.（重点）
2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算.
3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关
系的研究．（难点）
的补集∁UA. 解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
∁UA= {x|x≤－2或x≥1}
思考交流
补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集合时，在记号∁UA中的U要相应变换．从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下面我们逐一探求.
A
5,13,23
2， 17 3,7
B
U
11,19，29
Venn图的灵活运用
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ð A) B {1, 6}, A (ðU B ) { 2, 3}， U
ðU ( A B ) {0, 5}，求集合A,B.
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.

2 第2课时　全集、补集及综合应用(共42张PPT)

B．{1，3，5}
C．{1，2，4}
D．U
()
解析：选 A.因为集合 U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝ {2，4，6}．
3．设全集 U＝R，集合 P＝{x|－1≤x≤1}，那么∁UP＝
A．{x|x＜－1}
B．{x|x＞1}
()
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
1．(变问法)在本例条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示：
观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x<25.
2．(变条件)将本例中的集合 P 改为{x|x≤5}，且全集 U＝P，A，B 不变，求 A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示：
观察数轴可知 A∪(∁UB)＝{x|x<2 或 3<x≤5}．
所以－m≤－2，即 m≥2，所以 m 的取值范围是 m≥2.
(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？解：由已知得 A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得 m≤－4.
由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．

§1.3 第2课时全集、补集及综合运用

第2课时全集、补集及综合运用学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．导语有人请客，7个客人到了4个，主人焦急地说：“该来的不来．”顿时气走了2个，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了．”又气走一个，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他，”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了，请问客人们为什么生气？实际上，客人们不自觉地使用了一个数学概念：补集，如：该来的补集是不该来的，主人说：“该来的不来”，客人立马会想到不该来的来了，既然不该来，当然就生气地走了！一、全集与补集问题如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？提示集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．知识梳理1．全集定义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集记法全集通常记作U 2.补集定义文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言性质(1)∁U A⊆U；(2)∁U U＝∅，∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A；(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅注意点：(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．(2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A包含三层含义：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是U中所有不属于A 的元素构成的集合．例1(1)设U＝{x|x是小于7的自然数}，A＝{2,3,4}，B＝{1,5,6}，求∁U A，∁U B.解根据题意可知，U＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁U A＝{0,1,5,6}，∁U B＝{0,2,3,4}．(2)已知A＝{x|0≤x<9}，B＝{x|0<x≤5}，求∁A B.解根据数轴可知∁A B＝{x|x＝0或5<x<9}．反思感悟两种求补集的方法(1)若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．(2)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．跟踪训练1若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁U A.(1)U＝R；(2)U＝{x|x≤2}；(3)U＝{x|－4≤x≤1}．解(1)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁U A＝{x|x<－1或x≥1}．(2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁U A＝{x|x<－1或1≤x≤2}．(3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁U A＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．二、交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案 D解析A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，则∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2 已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}．又P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52，所以(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <52，所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <52 ＝{x |0<x <2}．三、利用集合间的关系求参例3 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，B ＝{x |2m ＋1<x <m ＋7}，若(∁U A )∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解因为A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，所以∁U A ＝{x |－2<x <3}，因为(∁U A )∩B ＝B ，所以B ⊆(∁U A )．当B ＝∅时，即2m ＋1≥m ＋7，所以m ≥6，满足(∁U A )∩B ＝B . 当B ≠∅时，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≥－2，m ＋7≤3，无解．故实数m 的取值范围是{m |m ≥6}．延伸探究若把本例的条件“(∁U A )∩B ＝B ”改为“(∁U A )∪B ＝B ”，则实数m 的取值范围为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－4≤m ≤－32 解析因为(∁U A )∪B ＝B ，所以(∁U A )⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≤－2，m ＋7≥3，解得－4≤m ≤－32，故实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－4≤m ≤－32. 反思感悟由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．跟踪训练3 已知集合U ＝R ，A ＝{x |x >2或x <－2}，B ＝{x |x ≤a }． (1)当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若∁U A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |x >2或x <－2}，所以A ∩B ＝{x |x <－2}，A ∪B ＝{x |x ≤1或x >2}． (2)因为∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，且∁U A ⊆B ，所以a ≥2.1．知识清单： (1)全集与补集及性质； (2)混合运算；(3)利用集合间的关系求参．2．方法归纳：观察法，分析法，数形结合，分类讨论．3．常见误区：自然数集容易遗漏0这一重要元素，解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况．1．设全集U ＝{x |x 是小于5的非负整数}，A ＝{2,4}，则∁U A 等于( ) A ．{1,3} B ．{1,3,5} C ．{0,1,3}D ．{0,1,3,5}答案 C2．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x<3}C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}答案 A3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是() A．－1 B．1 C．3 D．±1答案 A4．已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝________.答案{x|0<x<2或x≥6}解析如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2或x≥6}．课时对点练1．已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)等于() A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案 A解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}．又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤5}，B＝{x|x>0}，则集合∁U(A∩B)等于()A．{x|x≤0} B．{x|x>5}C．∅D．{x|x≤0或x>5}答案 D解析由已知A∩B＝{x|0<x≤5}，故∁U(A∩B)＝{x|x≤0或x>5}．3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B等于()A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}答案 B解析由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}答案 D解析由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于() A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅答案 A解析因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以∁U B＝{3,4}，A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩(∁U B)＝{3}．6．(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是()A．若A∩B＝∅，则(∁U A)∪(∁U B)＝UB．若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅C．若A∪B＝U，则(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅答案ACD7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x 2＋mx ＝0的两个根，所以m ＝－3.8．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x <a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 答案 2解析 ∵A ＝{x |1≤x <a }，∁U A ＝{x |2≤x ≤5}， ∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅， ∴a ＝2.9．已知集合U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，集合B ＝{x |－3≤x ≤2}．求：A ∩B ；(∁U A )∪B ；A ∩(∁U B )；(∁U A )∪(∁U B )； ∁U (A ∩B )．解因为U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}，所以(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}， A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ≤－2或2<x ≤4}， ∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或2<x ≤4}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0，解得a ＝87，b ＝－127，即为所求．11．已知U 为全集，集合M ，N 是U 的子集．若M ∩N ＝N ，则( ) A ．(∁U M )⊇(∁U N ) B ．M ⊆(∁U N ) C ．(∁U M )⊆(∁U N ) D ．M ⊇(∁U N )答案 C解析 ∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，∴(∁U M )⊆(∁U N )．12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则()A．k<0或k>3 B．2<k<3C．0<k<3 D．－1<k<3答案 C解析∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}．若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠∅，则0<k<3.13．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案 C解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.14．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁U A＝{x|x≤1}，由(∁U A)∪B＝R，可知a≤1.15．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U＝A∪B，D＝(∁U A)∪(∁U B)，card(U)＝m，card(D)＝n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n答案 D16．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}，当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3，综上所述，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12.。

1.3 第2课时补集及综合运用

第2课时补集及综合运用学习目标1．了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．知识点一全集1．定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的□1所有元素，那么就称这个集合为全集．2．记法：全集通常记作U.知识点二补集1．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的□2所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为□3集合A的补集，记作□4∁U A符号语言∁U A＝□5{x|x∈U，且x∉A}图形语言2.补集的性质(1)A∪(∁U A)＝□6U．(2)A∩(∁U A)＝□7∅．(3)∁U(∁U A)＝□8A．(4)(∁U A)∩(∁U B)＝□9∁U(A∪B)．(5)(∁U A)∪(∁U B)＝□10∁U(A∩B)．1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．2．若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．[微练1]设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁U A＝() A．∅B．{1，3，5}C．{2，4} D．{0，1，3，5}解析：D因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁U A＝{0，1，3，5}．[微练2]设全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么∁U P＝()A．{x|x<－1} B．{x|x>1}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1}解析：D因为P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以∁U P＝∁R P＝{x|x<－1，或x>1}．[微练3]已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________．答案：5题型一补集的简单运算(链接教材P13例5)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}[解析]因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3，5，6}．[答案] C求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解．(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁S A．(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁S A＝{x|x<－1，或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁S A＝{x|x<－1，或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．由图知∁S A＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}．题型二交、并、补集的综合运算(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A．{5} B．{1，2}C．{3，4} D．{1，2，3，4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|2＜x＜8}．①求(∁U A)∩B；②求(∁U A)∩(∁U B)．(1)[解析]因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}．又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．故选A．[答案] A(2)[解]①∵A＝{x|1≤x＜5}，∴∁U A＝{x|x＜1，或x≥5}．又B＝{x|2＜x＜8}，∴(∁U A)∩B＝{x|x＜1，或x≥5}∩{x|2＜x＜8}＝{x|5≤x＜8}．②法一：由①知∁U A＝{x|x＜1，或x≥5}，又∁U B＝{x|x≤2，或x≥8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x＜1，或x≥8}．法二：∵A∪B＝{x|1≤x＜8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|x＜1，或x≥8}．1．解集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁U A)∩B时，要先求出∁U A，再求交集；求∁U(A∪B)时，要先求出A∪B，再求补集．2．当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如用不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．2．(2023·山西省大同市四校联考)已知集合M＝{－4，－3，－2，－1，0，1，4}，N＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，且M，N都是全集I的子集，则图中阴影部分表示的集合为()A．{－1，－2，－3} B．{0，1，2，3}C．{2，3} D．{0，－1，－2，－3}解析：C题图中阴影部分表示的集合是集合N的子集，又阴影部分在表示集合M的区域外，所以阴影部分表示的集合是N∩(∁I M)，根据补集和交集的定义，在集合N中去掉集合N与集合M的公共元素，即得阴影部分表示的集合是{2，3}．3．设全集为U＝{x|x＜10}，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁U(A∪B)＝________，(∁U A)∩B＝________．解析：在数轴上作出全集及集合A，B，如图．则A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁U(A∪B)＝{x|x≤2}，(∁U A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．答案：{x|x≤2}{x|2<x＜3，或7≤x<10}题型三与补集有关的参数问题(1)(2023·安徽省安庆市检测)设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________．(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，或x ≥3}，B ＝{x |2m ＋1<x <m ＋7}，若(∁U A )∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．(1)[解析] 若x ＝2，则x 2－2＝2，U ＝{1，2，2}，这与集合中元素的互异性矛盾，故x ≠2，从而x ＝x 2－2，解得x ＝－1或x ＝2(舍去)．故U ＝{1，2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}． [答案] {2}(2)[解] 因为A ＝{x |x ≤－2，或x ≥3}，所以∁U A ＝{x |－2<x <3}，因为(∁U A )∩B ＝B ，所以B ⊆(∁U A )．当B ＝∅时，即2m ＋1≥m ＋7，所以m ≥6，满足(∁U A )∩B ＝B ．当B ≠∅时，所以⎩⎨⎧2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≥－2，m ＋7≤3，无解．故实数m 的取值范围是{m |m ≥6}． [发散思维](变条件)若把本例(2)的条件“(∁U A )∩B ＝B ”改为“(∁U A )∪B ＝B ”，则实数m 的取值范围为________．解析：因为(∁U A )∪B ＝B ，所以(∁U A )⊆B ，所以⎩⎨⎧2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≤－2，m ＋7≥3，解得－4≤m ≤－32，故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪－4≤m ≤－32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪－4≤m ≤－32由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)解与集合交、并、补运算有关的参数问题，若集合中元素有无限个时，常利用数轴分析法求解．4．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．解：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x＜－m}，因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁U A)∩B＝∅，在数轴上画出∁U A与B，如图，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．1．知识网络2．特别提醒解决集合的交、并、补的运算要重点关注以下两点：一是弄清元素所具有的形式；二是弄清集合由哪些元素组成．这就需要对集合的三种语言进行“互译”，使抽象的问题具体化、形象化．课时规范训练A基础巩固练1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B等于() A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}解析：B由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．2．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∩B)等于()A．{－2，3}B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}解析：D∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∩B＝{1}．又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U(A∩B)＝{－2，－1，0，2，3}．3．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T＝()A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：C因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：D由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．5．(多选题)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是()A．∁U A＝{x|x<1，或3<x<4，或x>6}B．∁U B＝{x|x<2，或x≥5}C．A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}D．(∁U A)∪B＝{x|x<1，或2<x<5，或x>6}解析：BC因为集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，所以∁U A＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}，A错误；因为B＝{x|2≤x<5}，所以∁U B＝{x|x<2，或x≥5}，故B正确；由∁U B＝{x|x<2，或x≥5}，可得A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}，故C正确；由∁U A＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}可得，(∁U A)∪B＝{x|x<1，或2≤x<5，或x≥6}，故D错误．6．(多选题)下列可以推出A⊆B的是()A．A∩B＝B B．A∩(∁U B)＝∅C．A∪B＝B D．∁U B⊆∁U A解析：BCD对于A，A∩B＝B⇔B⊆A，故A错误；对于B，当A∩(∁U B)＝∅时，有A⊆B，故B正确；对于C，当A∪B＝B时，有A⊆B，故C正确；对于D，由∁U B⊆∁U A⇔∁U(∁U B)⊇∁U(∁U A)⇔B⊇A，故D正确．7．设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁U A)∩(∁U B)＝________．解析：根据三角形的分类可知，∁U A＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁U B ＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x是直角三角形}．答案：{x|x是直角三角形}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁U A＝{x|x≤1}，由(∁U A)∪B＝R，可知a≤1.答案：{a|a≤1}9．已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}．求：A∩B；(∁U A)∪B；A∩(∁U B)；(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∩B)．解：因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2<x≤2}，∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}，所以(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2，或2<x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或2<x≤4}．B能力进阶练10．(2023·浙江杭州四中高一检测)设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为()A．M∩(P∩∁I N)B．M∩(N∩∁I P)C．M∩(∁I N∩∁I M)D．(M∩N)∪(M∩P)解析：B观察题中图形得，图中的阴影部分表示的集合为M∩(N∩∁I P)，故选B．也可以结合选项分析，利用排除法求解．11．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则()A．k<0或k>3 B．2<k<3C．0<k<3 D．－1<k<3解析：C∵A＝{x|x≤1，或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}．若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠∅，则0<k<3.12．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%解析：C设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%，解得x ＝46%. 13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，A ∪B ＝________；(2)当B ⊆∁R A 时，实数m 的取值范围为________．解析：(1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，则 A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1，或x >3}．当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎨⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12. 答案：(1){x |－1<x <4}(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－12，或m >3 14．(2023·湖北荆州中学高一检测)已知全集为R ，集合A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }．(1)求A ∪B ，∁R (A ∩B )；(2)若M ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ⊆∁R M ，求a 的取值范围．解：(1)∵B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}， ∴A ∪B ＝{x |x ≥2}，A ∩B ＝{x |3≤x ≤6}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ＜3，或x ＞6}．(2)由题意知M ≠∅，且∁R M ＝{x |x ＜a －4，或x ＞a ＋4}． ∵A ＝{x |2≤x ≤6}，A ⊆∁R M ，∴a －4＞6或a ＋4＜2，解得a ＞10或a ＜－2.故实数a 的取值范围为{a |a ＜－2，或a ＞10}．C 探索创新练15．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B ．将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎨⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0，解得a ＝87，b ＝－127.。

集合的基本运算第2课时补集及综合应用课件高一上学期数学人教A版

1.3 集合的基本运算
第2课时补集及综合应用
学习目标
通过实例，理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；
能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用，提升直观想象的素养；
能进行集合的综合运算，并能解答有关的简单问题.
一、新课引入
在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果.我们今天要学习的内容就与此有关.
2.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2___.
解析：∵A＝{x|1≤x＜a}，UA＝{x|2≤x≤5}， ∴A∪(UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(UA)＝∅，因此a＝2.
五、课堂小结
1.补集：UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 2.利用数轴或Venn图求补集； 3.性质：（1）A∪(UA)=U；（2）A∩(UA)=∅.
六、布置作业
1.完成分层作业； 2.课本第13页练习.
谢谢！
3.性质：（1）A∪(UA)=U；（2）A∩(UA)=∅.
三、新知应用
例1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求UA ， UB.
解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以UA ={4，5，6，7，8}， UB = {1，2，7，8}.
二、新知探究
问题：全集与补集的含义是什么？如何用Venn图表示给定集合的补集？
1.全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA. 即UA＝{x|x∈U，且x∉A}，用Venn图表示为：

教学设计6：1.1.3 第2课时补集及综合应用

1.1.3集合的基本运算第2课时补集及综合应用●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集；(2)能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法通过对全集补集概念、性质、规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法．3．情感、态度与价值观(1)在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识；(2)在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识；(3)在感受生活中集合实例的同时，让学生认识到数学的科学价值、应用价值．●重点难点重点：补集概念的理解及初步应用．难点：全集的理解，补集应用中方法规律的探究．重难点的突破：结合学生的知识水平及认知特点，建议授课时以数集的扩充为切入点：如求方程x2－2＝0在不同范围内的解，使学生初步明白范围设定的必要性，接着通过师生、生生的多方交流，对全集的概念有一个确切的认识．全集概念为本节课的难点之一，必要时，可通过多举实例加深概念理解．由于全集与补集相辅相成，理解了全集，补集概念的形成轻而易举．在概括出补集定义之后，引导学生类比交、并集得出补集的符号语言和图示语言两种表示形式，以形象直观的方式，加深对新知识的理解．由于求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，故可通过具体案例，采用固定集合A变换全集U的方式，让学生切实理解补集的运算，在突出重点的同时化解难点．素之间有什么关系？【提示】集合D包含集合A、B、C中的所有元素．(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.【问题导思】A＝{高一(2)班参加排球队的同学}，B＝{高一(2)班没有参加排球队的同学}，U＝{高一(2)班的同学}．1．集合A，B，U有何关系？【提示】U＝A∪B.2．B中元素与U和A有何关系？【提示】B中元素在U中不在A中.例1(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.【思路探究】(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求集合B，也可借助Venn求解．(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．【自主解答】(1)法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．【答案】(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}互动探究若把第(2)题的条件“U＝{x|x≤5}”换成“U＝{x|－6<x<6}”，求相应问题．【解】 ∵U ＝{x |－6<x <6}，A ＝{x |－3≤x <5}，∴∁U A ＝{x |－6<x <－3或5≤x <6}．例2设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B .【思路探究】在数轴上表示集合A 、B →求A ∪B →求∁R A ∪B→求∁R A →求∁R A ∩B 【自主解答】把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：由图知，A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}．∵∁R A ＝{x |x <3，或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3，或7≤x <10}．变式训练已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 【解析】因为∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}．【答案】 B例3已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ≠⊂∁R B ，求a 的取值范围．【思路探究】先求∁R B →分情况讨论→由A ∁R B ，求a【自主解答】 ∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}≠∅，∵A ≠⊂∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． (1)若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2；(2)若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2. ∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤1，或a ≥2}．变式训练已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <3}，若A ∪∁R B ＝R ，求实数a 的取值范围．【解】 ∵B ＝{x |1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}，因而要使A ∪∁R B ＝R ，结合数轴分析(如图)，可得a 的取值范围为{a |a ≥3}.因对补集的概念认识不到位致误典例.设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值．【错解】 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴a 2＋2a －3＝5，且|2a －1|≠5，解得a ＝2或a ＝－4，即实数a 的值是2或－4.【错因分析】上述求解的错误在于忽略验证“A ⊆U ”这一隐含条件．【防范措施】准确理解补集的概念是求解此类问题的关键．实际上∁U A 的数学意义包括两个方面，首先必须具备A ⊆U ，其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．因此本题应先由5∈U 求出a 的值，再利用5∉A 验证a 的值是否合题意．【正解】法一 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴a 2＋2a －3＝5，且|2a －1|≠5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|2a －1|＝3，A ＝{2,3}，符合题意；而当a ＝－4时，A ＝{9,2}，不是U 的子集．∴a 的取值是2.法二 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，且|2a －1|＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5|2a －1|＝3. 解得a ＝2，即a 的取值是2.课堂小结1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，若直接求A 困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A .当堂达标1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁ U A ＝( )A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅【解析】 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴∁ U A ＝{3,4,5}．【答案】 B2．已知U ＝{0,1,2,3}，A ＝{1,2}，B ＝{0,1}，则(∁U A )∪B ＝________.【解析】 ∵U ＝{0,1,2,3}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{0,3}，∴(∁U A )∪B ＝{0,1,3}．【答案】 {0,1,3}3．已知全集为R ，集合A ＝{x |x <1，或x ≥5}，则∁R A ＝________.【解析】如图所示，集合A ＝{x |x <1，或x ≥5}的补集是∁R A ＝{x |1≤x <5}．【答案】 {x |1≤x <5}4．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．【解】将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．∴∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}，又∵P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤0或x ≥52，∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，又∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <52＝{x |0<x <2}. 课后练习一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【解析】 ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．【答案】 D2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )A B C D【解析】 N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，∴N ⊆M ，又U ＝R ，故选B.【答案】 B3．若全集U ＝{0,1,2,3}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{2}，∴A ＝{0,1,3}，∴集合A 的真子集共有23－1＝7个．【答案】 C4．设全集U ＝{1,3,5,7,9}，集合A ＝{1，|a －5|,9}，∁U A ＝{5,7}，则a 的值是( )A．2B．8C．－2或8D．2或8【解析】∵A∪∁U A＝U，∴|a－5|＝3，∴a＝2或8.【答案】D5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤1}B．{a|a＜1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}【解析】如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边，注意等号的选取．选C.【答案】C6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.【解析】∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．【答案】{6,8}7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【解析】法一如图，全班同学组成集合U，喜欢篮球的组成集合A，喜欢乒乓球运动的组成集合B，则A∩B中人数为：15＋10＋8－30＝3人，∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15－3＝12人．法二设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.【答案】128．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝________.【解析】∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x<a，或x>b}，又∁U A＝{x|x<3，或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.【答案】79．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．分别求∁R(A∩B)，(∁R B)∪A.【解】∵A∩B＝{x|3≤x<6}，∴∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥6}．∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}．10．设全集U ＝{2,4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，求实数a 的值．【解】由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1∈U －1∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －32＝－1a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2.当a ＝2时，A ＝{2,4}，满足A ⊆U ，符合题意；当a ＝4时，A ＝{2,14}，不满足A ⊆U ，故舍去．综上可知，a 的值为2.11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}且A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围．【解】若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，则a <2，此时∁U B ＝R ，∴A ⊆∁U B ；若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1，或x >2a －1}，由于A ⊆∁U B ，如图，则a ＋1>5，∴a >4，∴实数a 的取值范围为{a |a <2，或a >4}.。

新教材人教A版1-3第2课时补集及集合的综合应用课件(48张)

表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ.
[解] 区域Ⅰ是三个集合的公共部分，因此Ⅰ＝A∩B∩C；区域Ⅱ是集合 A 与 B 的交集与集合 C 在 U 中的补集的交集，因此Ⅱ＝(A∩B)∩(∁UC)；区域Ⅲ是集合 A 与 C 的交集与集合 B 在 U 中的补集的交集，因此Ⅲ＝(A∩C)∩(∁UB)；区域Ⅳ是集合 B 与 C 的交集与集合 A 在 U 中的补集的交集，因此Ⅳ＝(B∩C)∩(∁UA)；
1．设全集为 R，集合 A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|－1<x≤5}，
则 A∩(∁RB)＝( C )
A．{x|－3<x<0}
B．{x|－3<x<－1}
C．{x|－3<x≤－1}
D．{x|－3<x<3}
解析：∵A＝{x|－3<x<3}，∁RB＝{x|x≤－1，或 x>5}，∴A∩(∁ RB)＝{x|－3<x≤－1}．
整理得 a＋3＝0，解得 a＝－3，此时 B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意；若集合 B 中有两个元素，则 B＝{1,2}，所以aa22＋＋24aa－＋23＝＝00，，无解．综上，可知实数 a 的取值范围为{a|a≤－3}．
(2)由 A∩(∁UB)＝A，可知 A∩B＝∅，即 1,2∉B，所以14＋＋24aa＋＋11＋＋aa22－－55≠≠00，，所以aa≠≠－－11＋且a≠3且－a3≠. －1－ 3，综上，实数 a 的取值范围为{a|a≠－1，a≠－3，a≠－1＋ 3， a≠－1－ 3}．
(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B 时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出 A∪B，再求补集．

1.3 第2课时补集及综合应用

答案：B
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解析：将已知条件用Venn图表示出来如图，
对A：card(A∪ B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A错误；对B： card(A∪ B ∪ C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正确；对C： card(B∪ C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C错误；对D：card(A∩ B ∩ C)＝0，故D错误．
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学习目标二并、交、补的综合运算例2 已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x<1，或x>5}． (1)若全集U＝R，求A∪B，(∁UA)∩ B；
解析：由题意可得，A∪ B＝{x|x≤4，或x>5}，且∁UA＝{x|x<－1，或x>4}，则(∁UA)∩ B＝{x|x<－1，或x>5}．
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学习目标三利用集合间的关系求参数范围例 3 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且 (∁UA)∩ B＝∅，求实数m的取值范围．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩ B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．
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(2)已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|2x－11≥4－3x}，则 ∁R(A∩ B)＝__________．
答案： {x|x<3，或x>5} 解析：2x－11≥4－3x⇒x≥3，所以B＝{x|x≥3}，所以A∩ B＝{x|3≤x≤5}，∁R(A∩ B)＝{x|x<3，或x>5}．
()
A．{x|1<x≤3}

集合综合应用

会集的综合应用一、课前准备：【自主梳理】1．会合用描述法表示时，要理解代表元素的属性．2．会集运算 ,要特别注意空集的谈论,不要忘掉．3．会集运算可借助于韦恩图,表现了数形结合的思想,含参数问题的会集问题 ,要考据会集中元素的互异性．4．会集问题经常转变成函数与方程问题,要注意转变的等价性．【自我检测】1．已知会集A a2,2a 2 a ，若3 A ，则a的值为．2．已知 A= A y y x22x 1, x R , B x2x8 ,则会集A与B的关系是____．3．设M x ax 26x 90 是含一个元素的会集，则 a 的值为 __________________．4． A {0,2}, B1,a2, A B0,1,2,4 , 则实数a的值为______________．5．M x y lg x, N y y1x , M N__________．6 ．已知集合A x | x≤1 ， B x | x a，且 A B R ，则实数a的取值范围是______________________．二、课堂活动：【例 1】（ 1）已知会集 A{1,1} ， B{ x| ax10} ，若 B? A，则实数 a 的所有可能取值的会集为 _________．（2）会集 A=x || x 2 |2, x R ，B= y | y x2 ,1x2，R（ A B）=_________．（3）设会集U{2,3, a 22a3} ， A {| 2a1|,2}， C U A {5} ，实数 a =_________．（ 4）会集M a 2 ,a,N,21，若 M N 恰好含有三个元素，则 M N _________．a a【例 2】设会集 A x | x23x 2 0 , B x | x22(a 1)x (a25) 0 .（ 1）若 A B 2 , 求实数a的值；（ 2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围；（ 3）若U R, A(C U B) A 求实数 a 的取值范围．【例 3】已知会集 A= x | x2( 2a) x 1 0, x R , B x R | x 0 ，试问可否存在实数a，使得 A B= ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原由．课堂小结三．课后作业1．会集A{ x |(2 x1)( x3)0}, B{ x N * ,| x5}, 则A IB=__________________ ．2．已知会集M{ x |3x5}, N{ x | x5或 x5}, 则M N =_________________．3．设会集A x||x-a|<1,x R ,B x |1x5, x R .若A B则实数 a 的取值范围，___________________ ．4．设M x 2x 25x30 ， N x mx 1 ．若 N M ，则实数m的取值会集为_____．5．设会集I x x3, x Z ，A1,2 ， B2,1,2 ，则 A C I B ___________．6．已知会集M x x 3 ， N x log 2 x1，则 M N =_______________________．7．设会集A5,log 2 (a3) ，会集 B a,b．若 A B2，则 A B =_______________．8．定义会集运算： A⊙B＝ { z|z＝ xy(x＋ y)， x∈A， y∈B} ，设会集A＝ {0,1} ，B＝ {2,3} ，则会集A⊙ B 的所有元素之和为 ________．9．已知会集A x / mx 2 2 x30, m R（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．10．已知会集 A= x | 0ax 1 5 ，会集 B=1 2 .x |x2(1)若 A B，求实数 a 的取值范围；(2)若 B A，求实数 a 的取值范围；(3) A、 B 可否相等？若能，求出 a 的值；若不能够，试说明原由．四、纠错解析题号错题原因分析错题卡【自我检测】1． -3x / x 06． a≤ 1 2．B A 3． 0 或 1 4．a2 5．2例 1（ 1）｛-1， 1｝（2）（ -∞,0） (0, + ∞)(3)2(4)1例 2（ 1）-1 或-3．（ 2）a≤-3．（ 3）a＜ -3 或 -3＜ a＜-1- 3 或-1- 3 ＜a＜-1或-1＜a＜-1+ 3 或a ＞-1+ 3．例 3 解假设存在实数 a 满足条件 A B=，则有（ 1）当 A≠时，由 A B, B= x R | x 0，知会集 A 中的元素为非正数，设方程 x2+(2+ a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系，得(2 a) 2 4 0x1x2(2a)0, 解得 a 0;x1x210（ 2）当 A=时，则有△=(2+ a)2-4＜0，解得-4＜a＜0．综上（ 1）、（2），知存在满足条件 A B= 的实数 a,其取值范围是（ -4， +∞）．课后作业1． {1,2}2． { x | x5或 x3}a | a 0, 或a 61 ． {0,1,2}3．4． {-2,0,} 536． (2,3) 7． {1,2,5} 8． 189 解：会集 A 是方程 mx 2-2x+3=0 在实数范围内的解集．1（ 1）∵ A 是空集，∴方程mx 2-2x+3=0 无解．∴ =4-12 m<0,即 m>3．（ 2）∵ A 中只有一个元素，∴方程mx 2-2x+3=0 只有一个解．31若 m=0，方程为 -2x+3=0 ，只有一解 x= 2 ; 若 m ≠0，则 =0，即 4-12m=0,m= 3 ．1∴ m=0 或 m= 3 ．10．（ 1） a ＜ -8 或 a ≥2．（ 2） -1a2.（ 3） a=22。

第2讲 集合综合运用

第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)

《新高一数学衔接教程》集合的综合运用(刘蒋巍编著)

【精品课件】第2课时 补集及综合应用

第2课时 全集、补集及综合运用

第2课时 组合的综合应用

集合的综合应用

课件7：1.1.3 第2课时 补集及综合应用

1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用

2 第2课时 全集、补集及综合应用(共42张PPT)

§1.3 第2课时 全集、补集及综合运用

1.3 第2课时 补集及综合运用