复变函数与积分变换课程3-3

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复变函数与积分变换第3章

y
Z
C z n −1
zk
z0
把曲线C分割为n个小段. (如图)
o
z1 z2
zk −1
x
在每个小弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,⋯ , n ) 上任取一点 ζ n ( k = 1, 2,⋯ , n ), 做和数
n
S n = ∑ f (ζ k )∆zk ,
k =1
其中， ∆zk = zk − zk −1
∫
C
f ( z )dz 存在，并且
n k =1
n k =1
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ k ,ηk )∆yk ]
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫
其中C是圆周: z − z0 = r ( r > 0) 的正向. 解积分路径的参数方程为
y
z
θ ⋅ z r
0
θ
z = z0 + re iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
x
∫C
2π 1 ire iθ dz = ∫ n+1 i ( n+1)θ dθ n+1 0 r ( z − z0 ) e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
C
∫
C
zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以α为起点, 以β 为终点的曲线C上的积分记成
∫
β
α
f ( z )dz , 因为

复变函数与积分变换-第3章

第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
上述Cauchy定理都是考虑的单连通区域内解析函数的积分，如果换成多连通区域会有什么样的结果呢？我们该怎么处理呢？
D
C
C
第三章
第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式
复合闭路定理
C C正向： D 逆时针方向
K
C
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
第三章
第三节 Cauchy积分公式
f ( z ) f ( z0 ) | f ( z ) f ( z0 ) | dz | dz | z z0 | z z0 | K K

dS 2 R R R
C C C
C2

f ( z )dz =
C1 C2

f ( z )dz
第三章
第一节复变函数的积分
积分计算
x x(t ), y y (t ), 则合成z (t ) x(t ) iy (t ), z (t ) x(t ) iy(t )
b
C
f ( z )dz = {u ( x(t ), y(t )) x(t )dt v( x(t ), y (t )) y(t )dt}
C C
因此
f ( z )连续
C
f ( z )dz存在
第三章
第一节复变函数的积分
(1) kf ( z )dz =k f ( z )dz (2) f ( z ) dz = f ( z ) dz
C C C C
积分性质
(3) f ( z )dz
C1

(完整版)复变函数与积分变换课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程代码：ELEA3035英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：周纯大纲审核人：余雷一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。

对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。

并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。

并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

复变函数与积分变换课件 3.3

4
由牛顿-莱布尼兹公式知,
b
z
3dz
1
z4
b
1 (b4 a4 ).
a
4a 4
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8
例2 求 i z cos zdz 的值. 0
i
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z)
[z sin z]0i
i
sin zdz
0
[z sin z cos z]0i e1 1.
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
D
z0 •
z z z
K
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4
因为 f (z) 在 D 内解析, 所以连续, 故 0, 0, 使得 z 时, 即 z 时, 有
从而
f ( ) f (z) ,
F (z z) F (z) f (z) z
证因为 z f ( )d 也是 f (z) 的原函数, z0
所以 z f ( )d (z) c, z0
当 z z0 时, 得 c (z0 ),
所以
z z0
f ( )d
(z) (z0 ).
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7
例1
求
b 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z4 ,
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
1 z .
z
即 F(z) f (z).
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5
原函数和不定积分的定义: 设函数f (z)在区域D内连续，若D内的一个函数 (z)满足
(z) f (z), z D
则称(z)为f (z)的一个原函数，f (z)的所有原函数的集合称为函数f (z)的不定积分.

复变函数与积分变换-第3章

0 0 2π n i nt
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy

复变函数3-3PPT课件

故 f (z)dz 0,
f (z)dz 0.
AEBBEAA
︵︵︵AAFBBFA
︵
︵︵ AEBBEAA A︵EB BB B︵EA AA,
AAF BBFA AA AF B BB BFA,
C
F
F
A A
D
D1 C1 E
E
B B
5
由 f (z)dz f (z)dz 0,
由例3可知, c (z )ndz 0.
17
总结（计算积分的方法）：
(1)在单连通区域中的解析函数，沿区域内任一闭合曲线的积分为零；（柯西-古萨定理） (2) 在复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和．（复合闭路定理） (3)在复连通区域中的解析函数，沿所有边界线构成的复合闭路的正方向积分为零；其中外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向（复合闭路定理）
7
由 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
得 f (z)dz 0
那末 f (z)dz 0
C C1
若把这两条简单闭曲线 C 及 C1
看成一条复合闭路 , C C1 ,
的正方向为:
外面的闭曲线按逆时针进行, 内部的闭曲线按顺时针进行,
C
C1
即沿的正向进行时,
的内部总在的左手边,
第三节基本定理的推广
复合闭路定理
一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题四、小结
一、问题的提出
B
C
B
C
B
C
B
C
2
二、闭路变形原理
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变积分值，只要在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.

复变函数与积分变换第三章

1
tdt
o
C
0
0
x
(3 4i)2 . 2
另解：因为Czdz C ( x iy)(dx idy)
y
C zdz C xdx ydy iC ydx xdy
A
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 o
x
曲线,
zdz (3 4i)2 .
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt, y
1
1
i
C Re zdz 0 tdt 0 1 idt
1 i.
2
o
1 i
y x2 x
1
积分路径不同,积分结果也可能不同.
例3.2
计算积分
z z
x
C
(z

1 z0
)n1
dz

2π 0
ire i r n1ei(n1)
d

i rn
2π ein d ,
0
当 n 0时,
C
(z

1 z0 )n1
dz

i rn
2π ein d ,
0
y
z
C
1 (z z0 )n1 dz i
2π d
0
2i;
当 0时，均是
n
n
实函数的曲线积分.
i[ v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
k 1
f (z)在C上连续, u( x, y), v( x, y)在C上连续

复变函数与积分变换第3章积分PPT课件

0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in

复变函数与积分变换课堂PPT第三章

C1O C3
则根据复合闭路定理可得
C2 C1O C3
y
C i -i x
§4 原函数与不定积分
定理一则积分
C1
如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,
与连接起点及终点的路线C无关。
B B C2 z1
z2
C2
z1
z2
C1
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与
起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向，并记作 C 。常将两个端点中一个作为起点，另一个作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。
O C1 y
在复平面内除z=0和z=1两个奇点外
G
x C2 1
包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。
则根据复合闭路定理可得
y
G
x C2 1
O C1
从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些
比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分
来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。
例计算
是 f (z)的一个原函数。
, 则称定理二表明
容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则所以
c为任意常数。
因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),
则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式

复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

设曲线 C 的方程： z ( t ) x ( t ) i y ( t ) ( t [ a , b ] ）
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的积分的一个绝对上界，其中 C
为从原点到 34i的直线段 .
区域包含于 D . 若 f(z)在区域 D 内解析，则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其中为 C 与 C k

围成的复合闭路 ,C 与 C k均取正方向
例 3.7计算2z1dz,其中 C是包含 0和 1的 Cz2z
定理 3 . 6设 f(z)在单连通区域 D 解析， F (z)为 f(z)的一个原函数，则对任意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计算 bznd z,其中 n是正整数。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿曲线 C 的负方向的积分记为 f( z ) d z C

《复变函数与积分变换》课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。

对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。

并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。

为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。

第3章复变函数与积分变换

常用此式作积分估计。常用此式作积分估计。
结束
的直线段，例4：设C 为从原点到点3 + 4i 的直线段，试估计： 1 dz 模的一个上界。模的一个上界。积分 ∫C C的方程为的方程为z=(3+4i)t (0≤t ≤1)由估值不等式：由估值不等式：由估值不等式解：的方程为
z −i
∫
C
关和方向有。
特例： (1 特例： ) 若 C表示连接点 a , b的任一曲线 , 则
∫ dz = b − a
C
b2 − a 2 ∫Czdz = 2
( 2 ) 若 C表示闭曲线 , 则
∫ dz = 0, ∫ zdz = 0
C C
结束
3、积分存在的条件及其计算法
定理3.1.1（复变函数积分与实函数积分的关系）（复变函数积分与实函数积分的关系）定理沿有向曲线C可积的函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 沿有向曲线可积的充要条件是充要条件是（4）式右端的两个对坐标的曲线积分）都存在
β
z′(t ) ≠ 0,α < t < β
= ∫ [u( x(t ), y(t )) + iv( x(t ), y(t ))] [ x′(t ) + iy′(t )]dt
β β α
= ∫ f (z(t ))z′(t )dt
α
结束
如果 C是由 C1 , C 2 ,L , C n 等光滑曲线段一次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义：连接所组成的按段光滑曲线，那么定义：
C ֠ (1)若闭曲线
记作 f (z)dz ∫
C
b C a
(2)C : t ∈[a, b], f (z) = u(t ), 则 f (z)dz = ∫ u(t )dt ∫

复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

23
如果将定理3.3的条件加强为“f ′(z)在D内连续”，则定理的证明就变得简单，事实上，设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)在D内解析,可得
由f′(z)在D内连续，可知
均在D内连续，进而由Green公式可得
2021/7/30
24
其中是以C为边界的闭区域，再由定理3.1得单连通区域上的Cauchy积分定理还可进一步推广如下：
在闭圆
上连续，则
内解析，
2021/7/30
50
3.3.2解析函数的无穷可微性定理3.11（Cauchy导数公式）在定理3.9的假设条件下，则对任意正整数n和z∈D，有
2021/7/30
51
证只证明n=1的情形，一般情况可用数学归纳法完成．
使得
取Δz≠0,且使得
则由Cauchy积分公式可得
2021/7/30
26
定理3.5对于单连通区域D内解析的函数f(z)，由式(3.4)所定义的F(z)在 D内解析，并且
证明只需证明 z∈D，有F′(z)=f(z)即可．由f(z)在D内的连续性，对
ε>0，可取δ>0充分小，使得
,并且对
，有2021/7/30 Nhomakorabea27
设
，由于积分与路径无关，则
其中从z到z+Δz的积分路径可选择为直线段（图3.7）．
4
图3.1
2021/7/30
5
其中
．记λ为所有小弧段的弧长的最大者，当分点无限增多且λ→0
时，不论对C的分法如何，也不论对ξk的取法如何，和式Sn的极限都存在且等于J，则称f(z)沿C从A到B可积，而称J为f(z)沿C从A到B的积分，记为

复变函数与积分变换：第三节拉普拉斯逆变换

2. Q(s) 含多重一阶因子的情况
P(s) Q2 ( s)
A0
A1 ( s
a)
Am 1 ( s
a )m 1
P2 (s) Q2 ( s)
(s
a)m ,
令 sa,
即得
A0
P(s) Q2 ( s )
sa
P(a) Q2 (a)
,
两边逐次求导，并令 s a , 即得
Ak
1 dk k!d sk
P(s) Q2(s)
22
第三节 Laplace 逆变换
附：将实系数真分式 F (s) P(s) / Q(s) 化为部分分式
3. Q(s) 含单重二阶因子的情况
P(a jb) 令 s a jb , 有 Q3(a jb) jbC bD ,
则 C 1 Im[ P(a jb) ], D 1 Re[ P(a jb) ].
则 F (s) P(s) P(s) A P1(s) , Q(s) (s a)Q1(s) s a Q1(s)
将上式两边同乘以 (s a) 得
P(s) (s a) A P1(s) (s a) ,
(s a)Q1(s)
Q1 ( s )
令 s a , 即得 A P(s) P(a) . Q1(s) sa Q1(a) 18
第三节 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式二、求 Laplace 逆变换的方法
1
第三节 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导推导 (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知，
函数 f (t ) 的 Laplace 变换 F (s) F ( j )

复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题3

习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz dz x ix d x ix i -=-++=⎰⎰(2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()1220211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰3. 计算积分d Cz z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ; (3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=.θ从32π到2π 22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=.θ从32π到2π 23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz e z dz -⋅⎰,其中C为z a =>. 解()sin sin z zC C Cz e z dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0z Ce zdz ⋅=⎰从而()20220sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -=解：（1）在12z=所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =.12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)20cos 2izdz π+⎰(2)ziedz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰(4)1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos iz dz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2)2zziiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)111100sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i i z dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C 为 (1) 1z i -= (2) 1z i += (3) 2z = 解 (1)221()()zz ziz iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰(2) 221()()zz zi z iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin1111zz zi i CC C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z⎰ (3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i i dz e z ππ===⎰(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3) 0'22tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2)C内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u x x y xy y=--+0υ=∴223123ux xy y x∂=--∂ 22666u x xy y y ∂=--+∂ 22612ux y x ∂=-∂ 22612u x y y ∂=-+∂从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. (2) 设w u i υ=+,cos 1xu e y =⋅+sin 1x e y υ=⋅+∴cos x ue y x∂=⋅∂ sin x u e y y ∂=-⋅∂ 22cos xu e y x∂=⋅∂ 22cos x u e y y ∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. sin x e y xυ∂=⋅∂ cos x e y y υ∂=⋅∂ 22sin xe y xυ∂=⋅∂ 22sin x y e y υ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx y υ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明:2ux x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y ∂=-∂ ∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+ (2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xyx x y ∂=-∂+ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x 0,y 0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ 由(1)0.f =，得C=0()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()Cp z z ip z '⎰等于位于C 内的p(z )的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k, 其零点分别为12,,...k a a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi()()...()111111...2πi2πi2πi111111...1...2πi2πi n nkkn k k C Cn C C C n CC k n k z a z a z a z a z aP z dz dzP z z a z a z a dz dz dzz a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个zk=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆C R : R z =，将C 与Z 包含在内则f(z)在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πiC f d f z A z ζζζ=-+-⎰设Z 在C 内，则f(z)=0，即R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰故有：1()2πiC f d A z ζζζ=-⎰。