中南大学数学院数理统计的基本概念课件

的分布称为样本分布。
X n为简单随机样本，简称iid 样本。
注意：样本分布反映样本取不同实现的概率规律，其与总 体分布相联系，一般求算比较麻烦，但对于iid样本有下列 结果。
如果总体X 的概率函数为P X x px，X 1 , X 2 , , X n 为抽自总体X 的iid 样本，则样本分布的概率函数为
样本 X 1 , X 2 , , X n
抽定
样本实现 x1 , x 2 , , x n
样本应满足的性质 (1) 代表性；(2) 随机性。 简单随机样本(Independence identical distribution) Def
设X 1 , X 2 , , X n为总体X 的一个样本，如果X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且均与总体X 具有相同的分布，则称X 1 , X 2 , ,
解 ： 由 统 计 量 的 定 义 知 X 1 X 2 3 X 3， X 1 3 X 2 X 3
2
是统计量；X1 X 2 X3则不是统计量。
2
几个常用的统计量 样本平均值 X 样本方差 S 2
1
X n
i 1
n
i
它反映了总体 均值的信息
2
1 n 1
(Xi X )

其 中 (x)

0
e t
t
x 1
d t ,x 0 称 为 伽 玛 函 数 。
2. 分布的性质
2
( 1 ) 设 X 1 ~ ( n 1 ) , X 2 ~ ( n 2 ) 且 X 1与 X 2 相 互 独 立 ，
2 2
则 有 X 1 + X 2 ~ ( n1 n 2 ).
数理统计
第五章
数理统计的概念
E (Y x )
数理统计 f ( y x)
总体与总体特征数 y 样本与统计量 统计三大分布与抽样分布
x1
x2
x3
x
回归关系图
数理统计
一、数理统计及其任务 数理统计是一门以概率论为基础的应用学科。 它是研究 如何有效地收集、 整理、分析带有随机性的数据，以便对所 考察的问题作出推断和预测，从而为决策提供依据。 数理统计的任务就是研究有效地收集数据，科学地整理 与分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作 出精确而可靠的结论。
x
1 x
x 0 ,1
设 样 本 任 意 一 组 实 现 为 x1 , x 2 , , x n， p i (1 p )
x
1 x i
x i 0 ,1 i 1, 2 , , n
于是，样本分布的概率函数为 P ( X 1 , X 2 , , X n ) ( x1 , x 2 , , x n )
数据
整理
我们这门课所学的数理 统计实际上是统计推断 及其应用（方差分析与 回归分析）的一部分内 容。
为什么要用数理统计方法研究问题？随机现象有它的规律 性，随机现象的特点注定了进行足够多次观察，其规律性才 能清楚地呈现出来。但是，客观上只允许对随机现象进行有 限次观察试验，只能获得局部观察资料.
总体与总体特征数
注意：设X 1 , X 2 , , X n是来自总体X 的一个样本，而 x1 , x2 , , xn是样本的一个实现，则T ( x1 , x2 , , xn )也是 统计量T (X1 , X 2 , , X n )的一个实现.
例5.3 设是 X 1 , X 2 , X 3 从正态总体 N ( , 2 ) 中抽取的 一个样本，其中 为已知参数， 为未知参数，确定 下列那些量是统计量 2 X 1 X 2 3 X 3 X 2 3 X X X1 X 2 X3 1 2 3
如 果 用 X 1 , X 2 , , X n 表 示 抽 自 总 体 的 一 个 样 本 的 样 本 单 元 指 标 ， 显 然 ， X 1 , X 2 , , X n是 一 组 随 机 变 量，我们就称其为样本。而将一个具体抽定的样 本 的 观 测 结 果 x1 , x 2 , , x n 称 为 样 本 实 现 ， 它 是 随 机 变 量 组 X 1 , X 2 , , X n 许 多 取 值 种 的 一 组 。
例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每 次抽取一件产品观测后放回原来的总量中再抽第二件产 品，则这样获得一个简单随机抽样。 实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个 简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单 随机抽样。 样本分布 Def 设X1 , X 2 ,, X n为总体X的一个样本，则(X 1 , X 2 ,, X n )
P X ( n ) ， 则 称
2 2
f ( x; n )
( n ) 为 自 由 度 为 n的 分 布 关
于 的 上 侧 分 位 数 。
2

(n)
x
分 布 上 侧 分 位 数 ( n )的 概 率 意 义
2 2
如 图 所 示 ， ( n )可 以 通 过 查 分 布
指标值全
随机变量
集
总体可以用随机变量及其分布来表示，研 究总体等价于研究表达总体的随机变量概 率分布；在理论上可以把总体与概率分布 等同起来，总体分布就是表达总体的随机 变量的分布。 例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的指标是寿命，那么， 该总体就可以用随机变量X和其概率分布表示。
总体特征数
设总体用随机变量X 表示，那么E ( X )称为总体均值 D( X )称为总体方差，并分别记为 . 即有
2
D ( X ) 2n
X n n (4)若X ~ (n)，则 ~ N (0,1). 2n
（用中心极限定理证明） 其概率密度函数的图像如图所示
3 . 分 布 上 侧 分 位 数
2
D ef 使得
2
设 X ~ ( n )， 对 于 给 定 的
2 2
( 0 1)， 可 找 到 实 数 ( n )
m in x1 , x 2 , , x n 0
1 i n
其他
xi n i 1 e 0
n
m in x1 , x 2 , , x n 0
1 i n
其他
二、统计量 统计量(Statistic)
Def 设X 1 , X 2 , , X n是来自总体X 的一个样本， T ( X 1 , X 2 , , X n )是X 1 , X 2 , , X n的函数，且不含 未知参数，则称T ( X 1 , X 2 , , X n )是一个统计量。
2
E ( X ) D( X )
2
如 果 总 体 为 有 限 总 体 ， 指 标 值 的 全 体 为 x1 , x 2 , , x N ， 则
E(X )
1 N

i 1
N
xi
N

2
D(X )
1
N i 1 如果总体容量为N，具有某特点总体单元数为M ，则

( xi )
i 1
n
它反映了总体 方差的信息
1 n 2 2 X i nX n 1 i 1
样本标准差 S
(X n 1
1
i 1 n
1
n
i
X)
k
2
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶原点矩 Ak 样本k阶中心矩 Bk
n
Xi
i 1
k 1, 2,
2
p
M
N 称为总体频率或总体重数。
, , p 统 称 为 总 体 特 征 数 。 显 然 ， 它 们 是 由 总 体 唯 一
2
决定的常数。实践中，由于它们的值未知又称为参数。
样本与统计量
一、样本 样本(Sample) Def 按一定规则从总体中抽取一部分总体单元进行观 测或试验，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部 分总体单元的整体称为总体的一个样本(子样)。 样本 中所包含的总体单元称为样本单元，样本中样本单元 的数目称为样本容量。
i
n
i 1
总体、样本、样本实现的关系 总体 样本
推断 样本实现
例5.1 设 总 体 X 服 从 0 - 1分 布 ， X 1 , X 2 , , X n 是 抽 自 总 体
X 的 iid 样 本 ， 求 样 本 分 布 。
解 ： 总 体 X 的 概 率 函 数 为 P X x p (1 p )
一、总体与总体标志
总体(Population) Def 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或母 体，而把组成总体的每个单元称为总体单元。 个体 … 总
… 体
研究某批灯泡的质量 描述总体单元在某方面特性的名称称为总体指标； 每个总体单元对总体指标的响应称为指标值。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。
P ( X 1 , X 2 , , X n ) ( x1 , x 2 , , x n )

i 1
n
px
i
如果总体X 的概率密度函数为f X ( x)，X 1 , X 2 , , X n为 抽自总体X 的iid 样本，则样本分布的概率密度为 f ( x1 , x2 , , xn ) f X ( xi )
2 2
上侧分位数表求得。例如：自由度
2 为 1 2 的 分 布 关 于 0 .0 5的 上 侧 分 位 数 ( n ) 2 1 .0 2 6。
2
t分布(学生氏t分布)
1.Def 设随机变量X ~ N (0,1)，Y ~ (n)，X 与Y 相互
所以 e f X ( xi )= i 0