【书城】2017年高考数学基础突破——导数与积分：第5讲导数与函数的极值、最值.doc

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高考数学讲义微专题17函数的极值(含详细解析)

微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.【例2】(1)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，174(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23 D ．2或－23[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1，4)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，174.(2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 【例3】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.4．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值[答案] C[解析] 由函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象知，当x<－1及3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<3及x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞).f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，因此C不正确.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 【类题通法】1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：第一步，求函数在(a ，b )内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【对点训练】已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． [解析] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝1x 2－1x＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)． ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例5】已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R)． (1)证明：当x >0时，f (x )<x ；(2)证明：当k <1时，存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． [解析] (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)，则有F ′(x )＝11＋x －1＝－xx ＋1.当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递减，故当x >0时，F (x )<F (0)＝0，即当x >0时，f (x )<x . (2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋－kx ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )>0，故G (x )在[0，＋∞)上单调递增，G (x )>G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0<k <1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1>0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )>0，从而G (x )在[0，x 0)上单调递增，所以G (x )>G (0)＝0，即f (x )>g (x )．综上，当k <1时，总存在x 0>0，使得对任意x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )．【类题通法】1．证明不等式的常用方法——构造法(1)证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)证明f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )>0，则F (x )在(a ，b )上是增函数，同时若F (a )≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )>0，即证明了f (x )>g (x )．2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b .(3)f (x )>g (x )恒成立 F (x )min >0（F (x )＝f (x )－g (x )）. (4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max ； ②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min ； ③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min ； ④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【对点训练】已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x－1－2ax ，令h (x )＝e x－1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1，即a ≤12时，h ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，h (x )单调递增，∴h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，当x ∈[0，ln 2a )时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈[0，ln 2a )时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间[0，ln 2a )上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意．综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。

导数与极值题型总结(含答案)

导数与极值一．知识梳理知识点一函数的极值点和极值思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．知识点三1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． 2．极大值点与极大值(1)特征：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，并且f ′(b )＝0.(2)符号：在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.(3)结论：点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值． 3．用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(3)求出方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；(4)以表格形式检查f ′(x )＝0的所有实根两侧的f ′(x )是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.二．题型探究类型一求函数的极值点和极值命题角度1 不含参数的函数求极值例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x x 2＋1－2；(2)f (x )＝ln xx .考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝x 2e －x .考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值f (－1)＝143，当x ＝3时，函数有极小值，且极小值f (3)＝－6. (2)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且极大值为f (2)＝4e －2. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，由a ≠23知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a－2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．类型二利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 考点利用导数研究函数的极值题点已知极值点求参数答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.跟踪训练3 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值点求参数解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点. 类型三由极值的存在性求参数的范围例1 (1)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案 (1)(－∞，1) (2)B解析 (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1. (2)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，且f (x )有两个极值点， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练1 已知函数f (x )＝1＋ln x x，若函数在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题解 ∵f (x )＝1＋ln xx ，x >0，则f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值．∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.类型四利用函数极值解决函数零点问题例2 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案 ⎝⎛⎭⎫－43，283 解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827. 反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练2 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x >－2)．当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数在x ＝0处取得极大值，极大值为g (0)＝2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．达标测试1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y ＝x 3； ②y ＝x 2＋1； ③y ＝|x |； ④y ＝2x . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案 B解析 ①④为单调函数，无极值．2．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为函数f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________.考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数答案－2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2. 5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋4，讨论方程f (x )＝m 的解的个数．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解由题意知，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )极小值＝f (2)＝－12，f (x )极大值＝f (－2)＝20.又因为f (x )的定义域是R ，画出函数图象(图略)，所以当m >20或m <－12时，方程f (x )＝m 有一个解；当m ＝20或m ＝－12时，方程f (x )＝m 有两个解；当－12<m <20时，方程f (x )＝m 有三个解．。

高等数学基础概念解读及例题演练-导数与积分

x
、‘，，f
在
x
处的
(A）左、右导数都存在 (C）左导数不存在、右导数存在
(B）左导数存在、右导数不存在 (D）左、右导数都不存在
［答案］ B
2.导数的几何意义
）（））） y =f(x
’
在Xo处的导数／
x。）就是曲线 y = f(x
在点（布， f(xo
的切线斜率k，则：
L二．（（切线方程是y-f 与1J =f＇与）（x一与）
f｝忡忡忡）
n
可 si十巾子），
忡忡忡）］伊） =anc十仙子）；
[ln(ax+b)](n)
={-If-
,,
a
(n-1)!
（αx+b)"
机）
（�）
=(-If an
(ax+nb!）川
·
［例6］设y=(l+sinxY，则dy= _
［答案J -mix
e lr-0 ＝［例7］设叫树脚＋川确定则主＝二
5.隐函数求导法
）设y=y(x 由方程 F(x扑＝ 0确定，为求y’ ，可在方程 F(x,y)=O 两端直接对X求导，
解出y
’ ．
6.参数方程求导法
7.高阶导数
，（叫 (u 士νt) =u(n) ±v(n)
n) =ku("),(uv
k=O
注z
几个常用函数的高阶导数
） γ (eax+b 伊＞＝a
＋b ;
（（法线方程是 y-f(x。）＝二� f’ x。一） x-x0 )
(f’ （与）=t:O).
y x ［例 3] (2010数二）曲线 = 2 与曲线 y = a In x （α:;c O）相叨，则 a ＝一一－－

2017年高考数学基础突破导数与积分第3讲导数的几何意义——求切线的斜率

2017年高考数学基础突破——导数与积分第3讲导数的几何意义——切线的斜率【知识梳理】1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0. 变式训练1．【2016高考新课标3】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_____________________．命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．变式训练2．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0)命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．命题点5 导数与函数图象的关系【例5】函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（）（A ）（B ）（C ）（D ）考点2．导数几何意义的综合应用【例6】已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围.【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，134D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；2017年高考数学基础突破——导数与积分第3讲导数的几何意义——切线的斜率（教师版）【知识梳理】1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.解析： (1)∵2()385f x x x '=-+，∴(2)1f '=，又(2)2f =-，∴曲线在点(2,(2))f 处的切线方程为22y x +=-，即40x y --=.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点320000(,454)P x x x x -+-，∵200()385f x x x '=-+，∴切线方程为200(2)(385)(2)y x x x --=-+-，又切线过点320000(,454)P x x x x -+-，∴322000000452(385)(2)x x x x x x -+-=-+-，整理得200(2)(1)0x x --=，解得02x =或1.∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为40x y --=，或20y +=.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.变式训练1．【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线的斜率为(1)2f '=-，所以切线的方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0答案 D解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-．【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数ln 2y x =+相切于111(,)P x y ，与ln(1)y x =+相切于222(,)P x y ，则11ln 2y x =+，22ln(1)y x =+，则点111(,)P x y 在切线上得：1111(ln 2)()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得：2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解得112x =，所以112k x ==，所以1ln 211ln 2b x =+-=-．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．变式训练3．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0) 答案：C解析：由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1，3)．命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解析：设y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于P (x 0，y 0)，则y 0＝kx 0，①y 0＝x 30－3x 20＋2x 0.②又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.③ 由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0. ∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.命题点5 导数与函数图象的关系【例5】函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（）（A ）（B ）（C ）（D ）答案：A解析：()cos sin f x y x x x ''==-，()()f x f x ''-=，所以()f x '-是一个偶函数，排除C ；(0)1f '=，排除D ，由于在[,]x ππ∈-上，()cos sin cos 1f x y x x x x ''==-≤=，所以当0x =时，()f x '最大，排除B ，选A.考点2．导数几何意义的综合应用【例6】已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围.解析 (1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)·(1－x 0).整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”.g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，于是，当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：所以g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值；g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值.当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (0)>0且g (1)<0，即－3< t <－1时，因为g (－1)= t －7<0，g (2)= t+11>0，所以g (x )分别在区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上单调，所以g (x )在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(3,1)--．【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 D解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x +cos x ，故选D.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. 5．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0 答案 A 解析 y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0. 故选A.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．故选A7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，134D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2 答案 B解析设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S普通梯形＝g＋g2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________．解：(1)当P 为切点时，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)，则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0；综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9解析先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，① 求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．答案－e解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A【解析】由题意得：12,,x R x R ∀∈∃∈使得12(1)(2sin )1xe a x ---=-，即函数111x y e =+的值域为函数22sin y a x =-的值域的子集，从而(0,1)[2,2]a a ⊆-+，即20,2112a a a -≤+≥⇒-≤≤，故选A.13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x＋4y ＋17＝0.14．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x－3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y ＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

高中数学同步导学(2017新课标)(导数与积分)一导数的概念及运算含解析

1.导数的概念(1)定义如果函数y ＝f （x ）的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx ）－f (x 0)，比值错误!就叫函数y ＝f (x ）从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即错误!＝错误!.如果当Δx →0时，错误!有极限，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作或y ′0|x x =,即f ′(x 0)＝0lim →∆x 错误!＝0lim →∆x 错误!. （2）导函数当x 变化时，f ′（x )便是x 的一个函数,我们称它为f （x ）的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x ）＝y ′＝0lim →∆x f (x ＋Δx ）－f （x )Δx。

（3)求函数y ＝f (x ）在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率错误!＝；③取极限,得导数f ′(x 0）＝0lim →∆x 错误!. 2。

导数的意义(1)几何意义函数y＝f（x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率。

也就是说,曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率是。

相应的切线方程为.（2)物理意义函数S＝s(t)在点t0处的导数s′（t0)，就是当物体的运动方程为S ＝s（t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即。

设v ＝v(t）是速度函数，则v′（t0)表示物体在t＝t0时刻的。

3。

基本初等函数的导数公式(1)c′＝（c为常数），（xα）′＝（α∈Q＊）；（2)（sin x）′＝______________，(cos x）′＝;(3)(ln x）′＝，(log a x）′＝;（4）（e x）′＝，（a x) ′＝。

4.导数运算法则(1) ′＝。

（2）′＝；当g(x)＝c(c为常数)时，即′＝。

高考数学基础突破导数与积分第1讲变化率与导数

2017年高考数学基础突破——导数与积分第1讲变化率与导数【知识梳理】1．函数()y f x =在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在x ＝x 0处的导数，记作0()f x '或0|y x x '=，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．【基础考点突破】考点1．求平均变化率【例1】若一质点按规律28s t =+运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1【归纳总结】求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量21())()(f x f x f x ∆=-；（2）计算平均变化率2121)()()(f x f x f x x x x -∆=∆- 考点2 瞬时速度与瞬时变化率【例2】自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s 1＋Δt －s 1 Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【例3】某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒C ．8米/秒 D ．674米/秒考点3．定义法求函数的导数【例4】.求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数【归纳小结】1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．变式训练1．用定义求函数f (x )＝x 2在x ＝1处的导数．【例5】=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （）A. )(210x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f '【基础练习巩固】1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B ．Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C ．Δs Δt 不一定与Δt 有关D ．lim Δt →0ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 2．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（）A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()x x f ∆⋅0D ．()()00x f x x f -∆+ 3．某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min ）（）A. 03.0B. 03.0-C.003.0D. 003.0-4．.函数y ＝x 3在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－35．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)6．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（）A ．2B ．－2C ．3D ．－37．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是8．一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．9．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律作直线运动，求自运动开始到4 s 时物体运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度．10．求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．11．若2)1()(-=x x f ，求(2)f '．12．)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式．2017年高考数学基础突破——导数与积分第1讲变化率与导数（教师版）【知识梳理】1．函数()y f x =在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在x ＝x 0处的导数，记作0()f x '或0|y x x '=，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．【基础考点突破】考点1．求平均变化率【例1】若一质点按规律28s t =+运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1解析：v ＝Δs Δt ＝(8＋2.12)－(8＋22)2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故应选B.【归纳总结】求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量21())()(f x f x f x ∆=-；（2）计算平均变化率2121)()()(f x f x f x x x x -∆=∆- 知识点2 瞬时速度与瞬时变化率【例2】自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s 1＋Δt －s 1 Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】由平均速度的概念知：v ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝5Δt ＋10.故应选D.【例3】某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒C ．8米/秒 D ．674米/秒【解析】∵ΔsΔt ＝ 4＋Δt 2＋34＋Δt －16－34Δt ＝Δt 2＋8Δt ＋－3Δt 4 4＋Δt Δt ＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0Δs Δt ＝8－316＝12516. 故选B.考点3．定义法求函数的导数【例4】.求函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数【解析】法一 ∵Δy ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋11)＝Δx －1＋11＋Δx ＝ Δx 21＋Δx ，∴ΔyΔx ＝Δx1＋Δx. ∴y ′|x ＝1＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0Δx 1＋Δx＝0. 法二 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －(x ＋1x )＝Δx －1x ＋1x ＋Δx＝Δx x 2＋x ·Δx －1 x x ＋Δx，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x 2＋x ·Δx －1x x ＋Δx ＝x 2－1x 2＝1－1x2.∴y ′|x ＝1＝1－1＝0.【归纳小结】1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．变式训练1．用定义求函数f (x )＝x 2在x ＝1处的导数．解析：法一 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2Δx ＋(Δx )2，∴ f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02Δx ＋ Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2，即f (x )＝x 2在x ＝1处的导数f ′(1)＝2.法二 Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－x 2＝2Δx ·x ＋(Δx )2，∴ ΔyΔx＝2Δx ·x ＋ Δx2Δx＝2x ＋Δx .∴0()lim (2)2x f x x x x ∆→'=+∆=，∴ (1)2f '=，即f (x )＝x 2在x ＝1处的导数f ′(1)＝2.【例5】=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （）A.)(210x f ' B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(-0x f ' 【解析】00000x 0x 000()()()()limlim =()2()()f x x f x x f x x f x x f x x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆--∆'=∆+∆--∆，故选B.【基础练习巩固】1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( )A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B ．Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C ．Δs Δt 不一定与Δt 有关D ．lim Δt →0ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度【解析】D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度，选D2．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（）A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()x x f ∆⋅0D ．()()00x f x x f -∆+ 2. 解析】D.3．某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min ）（）A. 03.0B. 03.0-C.003.0D. 003.0-【解析】B4．.函数y ＝x 3在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 【答案】C【解析】Δy Δx ＝ x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3Δx ·x 2＋3 Δx 2·x ＋ Δx 3Δx ＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，∴limΔx →0Δy Δx＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3. 5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【答案】 B【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3Δx 2＋6Δx ， ∴limΔx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0.，∴x 0＝－1，y 0＝－2. 6．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（）A ．2B ．－2C ．3D ．－3【解析】A7．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是3.【答案】 17.58．一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【答案】 10米/秒【解析】v ′(5)＝limΔt →0s 5＋Δt －s 5Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10.9．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律作直线运动，求自运动开始到4 s 时物体运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度．【解析】自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度v (t )＝s t t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s).由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4)＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2.limΔt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2＋6t ＋3·Δt )＝2＋6t ， ∴4 s 时物体的瞬时速度为2＋6×4＝26(m/s).10．求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解析：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2， 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆．11．若2)1()(-=x x f ，求)2('f ．解析：xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(xx x f x f ∆---∆+=∆-∆+=22)12()12()2()2(=x xx x ∆+=∆∆+∆222所以：f ’(2)= 2)2(lim 0=∆+→∆x x12．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，求)(x f y =的表达式．解析：设2)()(m x a x f -=，则2222)(2)(+=-=-='x am ax m x a x f 解得1,1==m a ，所以12)1x ()(22++=-=x x x f 。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第5讲定积分与微积分基本定理课件理

－6
0
＝16.
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x2，x∈[0，1，
5．(2019·南昌模拟)设 f(x)＝1x，x∈[1，e]
(e 为自然对数的底数)，
则ef(x)dx 的值为________． 0
答案
4 3
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答案
解析 0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋ln x|e1＝13＋ln e＝43.
第5讲定积分与微积分基本
定理
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基础知识整合
1．定积分的概念
在bf(x)dx 中，___□0_1_a_，__b____分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，___□0_2_f_(x_)_____叫做被积函数，____□0_3_x______叫做积分变量， ___□0_4_f_(x_)_d_x___叫做被积式．
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4．(2019·海南模拟)已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx＝8，则6 －6f(x)dx 等于
0
－6
() A．0
B．4
C．8
D．16
答案 D
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答案
解析
6
f(x)dx＝0
f(x)dx＋6f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象
－6
－6
0
关于 y 轴对称，所以对应的面积相等，即0 f(x)dx＝6f(x)dx，故所求为 8×2
几何意义为1个圆的面积． 4
∴1 0
1－x2dx＝π4.
(2)1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e1－1＝e. 0
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高考数学基础突破导数与积分第5讲导数与函数的极值、最值

2017年高考数学基础突破——导数与积分第5讲导数与函数的极值、最值【知识梳理】1．函数的极值一般地，当函数()f x 在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么f (x 0)是极小值．2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数()f x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数()f x 在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数()f x 在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【基础考点突破】考点1．用导数解决函数极值问题命题点1．求不含参数函数的极值【例1】求函数()31443f x x x =-+的极值．【归纳总结】求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数()f x '； ③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．变式训练1．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．命题点2．求含参数函数的极值【例2】已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．变式训练2．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．变式训练3．若函数()ln a f x x x x=++，试讨论函数()f x 的极值存在情况．命题点3．已知极值求参数【例3】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103) 变式训练4．设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．考点2．用导数解决函数最值问题【例4】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x－y ＋1＝0，在点x ＝23处y ＝f (x )取得极值．【归纳总结】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例5 】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0．(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．变式训练5．已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．变式训练6．已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．题型三函数极值和最值的综合问题【例6】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在区间[－3，3]上的最小值．变式训练7．（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【基础练习巩固】1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x 等于( ) A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 3．已知a ，b 是实数，x ＝1和x ＝－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则f (－1)的值为（）A ．－2B ．2C ．0D ．14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )6．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________．7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．10．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．12．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．13．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．15．（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －e e x ，其中a ∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．2017年高考数学基础突破——导数与积分第1讲导数与函数的极值、最值（教师版）【知识梳理】 1．函数的极值一般地，当函数()f x 在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么f (x 0)是极小值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数()f x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数()f x 在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数()f x 在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【基础考点突破】考点1．用导数解决函数极值问题命题点1．求不含参数函数的极值【例1】求函数()31443f x x x =-+的极值．解析：因为()31443f x x x =-+，所以()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得2x =,或2x =-．下面分两种情况讨论: （1）当()0f x '>，即2x >或2x <-时；（2）当()0f x '<，即22x -<<时．当x 变化时，()f x 、()f x '的变化情况如下表：∴当2x =-时, f(x)的极大值为28(2)3f -=；当2x =时, f(x)的极小值为()423f =-．【归纳总结】求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．变式训练1．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案－3解析 (1)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1．当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0．∴当x ＝－1时，y 取极大值－3．命题点2．求含参数函数的极值【例2】已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax．(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0． (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．变式训练2．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．解析：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ．令f ′(x )＝0得x ＝0或2a．当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↘↗∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1．当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↘↗↘∴f (x )极大值＝f (0)＝1－a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－a 2－a＋1．综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a＋1．变式训练3．若函数()ln af x x x x=++，试讨论函数()f x 的极值存在情况．解析：2221()1(0)a x x af x x x x x +-'=-+=>令()0f x '=，即20x x a +-=，14a ∆=+（注意这里方程根的个数需要讨论）．（1）当0∆≤ ，即14a ≤-时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值．（2）当0∆>，即14a >-时，解20x x a +-=得10x =<，2x =①若0a >，则20x >．列表如下：由上表知，2x x =时函数()f x 取到极小值，即0a >函数()f x 存在极小值．②若104a -<≤，则120x x <≤，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，函数不存在极值．综上所述，当0a >时，函数()f x 存在极值；当0a ≤时，函数()f x 不存在极值．命题点3．已知极值求参数【例3】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．( )答案 (1)－7 (2)C解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7．(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103．因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．变式训练4．设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．答案－14解析由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝11＋x－2ax －1＝－2ax 2－2a ＋1x1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －11＋x，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14．考点2．用导数解决函数最值问题【例4】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x －y ＋1＝0，在点x ＝23处y ＝f (x )取得极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值和最小值．解析：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ．由f ′(1)＝3，可得2a ＋b ＝0．① 由f ′（23）＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0．②由①②，解得a ＝2，b ＝－4．由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5．(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，则f ′(x )＝3x 2＋4x －4．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527．【归纳总结】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【例5 】[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0．(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x－x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0．故f (x )在（－∞，－1－4＋3a 3）和（－1＋4＋3a3，＋∞）内单调递减，在（－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a3）内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0． ①当a ≥4时，x 2≥1．由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1．由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．变式训练5．已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：h ′(x )＝3x 2＋6x －9，令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，所以当x 变化时，h ′(x )，h (x )在区间(－∞，2]上的变化情况如下表所示：由表可知，当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．变式训练6．已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14．又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0．(2)因为f (x )＝a x＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2．令f ′(x )＝0，得x ＝a ．①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a ．③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值；当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ；当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae ．题型三函数极值和最值的综合问题【例6】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在区间[－3，3]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝3ax 2＋b ．由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f （2）＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2．当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－2，2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16．由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12．此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在区间[－3，3]上的最小值为－4．变式训练7．（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=；（Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41. 【解析】（1）()()31f x x ax b=---，()()2'31f x x a =--① 0a ≤，单调递增；②0a >，()f x 在,1⎛-∞- ⎝单调递增，在11⎛+ ⎝单调递减，在1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增（2）由()0'0f x =得()2031x a -=∴()()()320000131f x x x x b =----()()200121x x b =----()()()()32000032223132f x x x x b -=-----()[]200018896x x x b =---+- ()()200=121x x b ----()()()00132=f x f x f x ∴-=1023x x ∴+=（3）欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ，使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减(2)12f a b =-- (0)1f b =--1(0)(2)2242f f a -=->≥递减，成立当03a <<时，311f a b ⎛⎛⎛=--- ⎝⎝⎝a b =+23a b =--11f a b ⎛⎛=- ⎝⎝23a b =-- ∵(2)12f a b =-- (0)1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立当34a >时，411132f f ⎛⎛-=> ⎝⎝，所以，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14成立【基础练习巩固】1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析由题意知在x ＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x 等于( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 答案 B解析令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．3．已知a ，b 是实数，x ＝1和x ＝－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则f (－1)的值为（）A ．－2B ．2C ．0D ．1解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝1和x ＝－1是函数f (x )的两个极值点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f ′（－1）＝3－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－3 x ，所以f (－1)=2，选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0. 所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.6．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________．答案 8解析 y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23．∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，所以最大值为8． 7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案－173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1. 比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，可知最小值为－173. 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x<－1， ∴a ＝－e x<－1.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22，∴a 的取值范围是(22，＋∞)．10．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－1,1)解析令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －2x －3x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )↘－ek －1↗所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 13．设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1212⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞↗↘↗所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．14．已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )(e 2x－e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，当且仅当2e 2x＝2e－2x，即x ＝0时，“＝”成立．故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t－c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164>0，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．15．（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －e e x ，其中a ∈R，e=2．718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立．（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>(0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减． 0a >当时，由'()f x =0，有x =当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增．（II ）令()s x =1ex x --，则'()s x =1e 1x --．当1x >时，'()s x >0，所以1ex x ->，从而()g x =111ex x -->0．（iii ）由（II ），当1x >时，()g x >0．当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<．故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >．当102a <<>1．由（I ）有(1)0f f <=,从而0g >，所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立．当12a ≥时，令()h x =()f x -()g x (1x ≥)．当1x >时，'()h x =122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>．因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增．又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立．综上，a ∈1+)2∞[，．。

2017年全国2卷数学导数

2017年全国2卷数学导数
导数是数学中的重要概念，可以用于研究函数的性质，例如单调性、极值和最值等。

全国卷数学在考察导数时，一般会涉及以下几个方面的知识点：
1. 导数的定义和几何意义：导数描述的是函数在某一点的切线斜率，即函数在该点的变化率。

2. 导数的计算：包括基本初等函数的导数、复合函数的导数、幂函数的导数等。

3. 导数的应用：包括利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及利用导数解决实际问题等。

4. 导数的综合应用：包括导数与其他知识点的综合，例如导数与不等式、导数与数列等。

具体到2017年全国2卷数学导数部分，可能涉及的题目类型包括选择题、填空题和解答题。

题目难度通常为中等或较难，需要学生熟练掌握导数的相关知识和解题技巧。

2017版高考数学二轮突破：专题二-函数与导数-课件(227页,含答案)

＝0，则 a＝________．
考点考向探究
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案]
（1）D （2）－1－e
[解析] （1）1－1x>0，即x－x 1>0，解得 x<0 或 x>1，故所
求的定义域为（－∞，0）∪（1，＋∞）.
考
（2）因为 f（－e）＝g（－e）＋e＝e ，所以 f（e）＝－e
－f(x2)<x1－x2，且 f(－3)＝－4，则不等式 f log13x－1 >log1
2
2
考
3x－1－1 的解集为(
)
点
A.2，＋∞ B.－∞，2
考
向
C.0，1∪1，2 D.－∞，0∪0，2
探
究
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案] D
[解析] 已知条件可以化为 f（x1）－x1<f（x2）－x2 对任意 x1<x2 成立，令 g（x）＝f（x）－x，故 g（x）为 R 上的增函数，且 g（－3）＝f（－3）－（－3）＝－1.
知识
y2)，…，(xm，ym)，则 m(xi＋yi)＝________． i＝1
聚焦
测试要点：函数图像对称性的应用
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
核
[答案] m
心
知
识
[解析] 由 f（－x）＝2－f（x）得 f（x）的图像关于（0，
聚焦
1）对称，∵y＝x＋ x 1＝1＋1x的图像也关于（0，1）对称，
的函数值转化为求已知区间上的函数值；(2)函数的奇偶
性、函数图像的对称性、函数的周期性之间有密切的关

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数 f (x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数f' (x) ；第二步求方程 f ' ( x) 0 的根；第三步判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值 .例 1 已知函数 f( x)1ln x，求函数 f x 的极值 .x【答案】极小值为 1 ，无极大值 .【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 f ' ( x) 0 ，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x) 的增减性，进而求出函数 f (x) 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数f( x)x 3 2 2在 x 1处有极值10，则等于（）ax bx af(2)A．11 或 18 B．11C．18 D．17 或 18 【答案】 C【解读】1/36试卷分析： f (x)3x 22ax b , 3 2a b 0b 3 2a a 4或 a 31 a b a 210a 2a 12 0b 11 ．b 3当 a 3时 ,f () 3( x 1)20, 在 x 1 处不存在极值．当a 4 时，b 3 x b 11f (x) 3x 28x 11 (3x 11)( x 1) ， x ( 11 ,1), f ( x) 0 ；x (1, ), f ( x)0 ,符合题意．所 3以 a 4． f(2) 8 16 22 16 18 ．故选 C ． b 11考点：函数的单调性与极值．【变式演练 2】设函数 f x ln x 1 ax 2bx ，若 x 1 是 f x 的极大值点，则 a 的取值范围为2（）A ．1,0B ． 1,C ． 0,D ． , 1 0, 【答案】 B 【解读】考点：函数的极值．【变式演练 3】函数 f ( x) 1 x 3 1 ( m 1) x 22(m 1)x 在( 0,4) 上无极值，则 m _____.3 2【答案】 3 【解读】试卷分析：因为 f (x) 1 x 3 1(m 1)x 22(m 1) x ，3 2所以 f '(x) x 2(m 1)x 2(m 1) x 2 xm 1 ，由 f ' x0 得 x 2 或 x m 1，又因为2/36函数 f x 1 x3 1 (m 1) x22(m 1)x在 (0,4) 上无极值，而 2 0,4 ，所以只有 m 1 2 ，m 3 ( )3 2时， f x 在 R 上单调，才合题意，故答案为 3 .考点： 1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性 .【变式演练 4】已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n 2n 1k ，则 f ( x) x3kx22x 1的极大值为（）A ． 2 B．5C． 3 D ．72 2【答案】 B【解读】考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数f (x) x3(1 a) x2ax 有两个不同的极值点x1， x2，且对不等式f ( x1) f( x2 )0 恒成立，则实数 a 的取值范围是．【答案】(, 1] 1, 2 2【解读】试卷分析：因为 f (x1) f (x2 )0 , 故得不等式 x13x23 1 a x12x22 a x1 x20 , 即x1 x2x123x1x2 1 a x122x1 x2 a x1x2 0 , x2x2由于 f ' x 3x2 2 1 a x a , 令 f ' x 0 得方程 3x2 2 1 a x a 0 , 因x x 2 1 a4 a2 a 1 0 ,1 23 ，代入前面不等式,并化简得故x1 x2a33/361 a 2a 25a 2 0 ,解不等式得 a 1 或 1a 2 ，因此 , 当 a1 或 1a 2 时 , 不等式22 f x 1 f x 2 0 成立 ,故答案为 ( ,1] 1,2 .2考点： 1、利用导数研究函数的极值点； 2、韦达定理及高次不等式的解法 .【变式演练 6】已知函数 f x x 3ax 2x 2 a 0 的极大值点和极小值点都在区间 1,1 内, 则实数 a 的取值范围是．【答案】 3 a 2 【解读】考点：导数与极值．类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步求出函数 f ( x) 在开区间 ( a,b) 内所有极值点；第二步计算函数 f ( x) 在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 .例 2 若函数 f xe xx 2mx ，在点 1, f 1 处的斜率为 e1．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）求函数 f x 在区间 1,1 上的最大值．【答案】（） m 1；（）f x max e .12【解读】试卷分析：（ 1）由 f (1) e 1解之即可；（ 2） f x e x 2 1 为递增函数且f 1 e 1 0, f 1 e 13 0 , 所以在区间 ( 1,1) 上存x4/36在 x 0 使 f ( x 0) 0 ，所以函数在区间[ 1,x 0 ] 上单调递减，在区间 [ x 0 ,1] 上单调递增，所以f xmax max f 1 , f 1 ，求之即可 .试卷解读：（1） f x e x 2 ，∴ f 1 e 2 m ，即e 2 m e 1，解得 m 1 ；x m 实数 m 的值为；1 （）x 2 1 为递增函数，∴ f1 e 1 0, f1 e 13 0 ，2 f x e x存在 x 01,1 ，使得 f x 0 0 ，所以 f xmax max f 1 , f 1， f 1 e 1 2, f 1 e ，∴ f x max f1 e考点： 1.导数的几何意义； 2.导数与函数的单调性、最值 .【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（ 1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围 .【变式演练 7】已知 f ( x) x x 1. e （ 1）求函数 y f (x) 最值；（ 2）若 f ( x 1 )f( x 2 )( x 1 x 2 ) ，求证： x 1 x 2 0 .【答案】（1） f ( x) 取最大值 f ( x)max f (0) 1，无最小值；（ 2）详见解读 . 【解读】e x (x 1) e xx试卷解读：（ 1）对 f (x) 求导可得 f ( x)2x x ， e e令 f ( x) x0 得 x=0.e x当 x ( ,0) 时， f (x) 0，函数 f ( x) 单调递增；5/36当 x (0,) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，当 x=0 时， f ( x) 取最大值 f ( )f (0) 1，无最小值 . x max （ 2）不妨设 x 1 x 2 ，由（ 1）得当 x ( ,0) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；当 x (0,) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，若 f (x 1 ) f ( x 2 ) ，则 x 1 0x 2 ，考点： 1.导数与函数的最值； 2.导数与不等式的证明 . 【变式演练 7】已知函数 f ( x) xln x ， g (x)x 2ax 2 .（Ⅰ）求函数 f ( x) 在[t, t2](t 0) 上的最小值；（Ⅱ）若函数 y f ( x) g ( x) 有两个不同的极值点 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) 且 x 2 x 1 ln 2 ，求实数 a 的取值范围 .1 ， 10 t 2 ln 2 ln( ln 2) 1 .【答案】（Ⅰ） f (x)min ee；（Ⅱ） a 1 3 3t ln t, te【解读】6/36试卷分析：（Ⅰ）由 f '( x) ln x 1 0 ，得极值点为 x 1，分情况讨论 0 t1及 t 1时，函ee e数 f (x) 的最小值；（Ⅱ）当函数 y f ( x) g(x) 有两个不同的极值点，即 y 'ln x2x 1 a 0有两个不同的实根 x 1, x 2 (x 1x 2 ) ，问题等价于直线 y a 与函数 G( x)ln x 2x 1 的图象有两个不同的交点，由 G(x) 单调性结合函数图象可知当 a G ( x)min 1 ) ln 2 时， x1 , x2 存在，且G (2x 2 x 1 的值随着 a 的增大而增大，而当 x 2 x 1 ln 2 时，由题意 ln x 1 2x 1 1 aln x 22x 2 1 a， x 24x 1代入上述方程可得 x 2 4x 1 4ln 2 ，此时实数 a 的取值范围为 a2ln 2 ln( ln 2) 1 .33 3 试卷解读：（Ⅰ）由 f '(x) ln x 1 0 ，可得 x 1 ，e① 0 t 1时，函数 f ( x) 在 (t, 1) 上单调递减，在( 1,t 2) 上单调递增，e ee函数 f ( x) 在 [t, t 2](t 0) 上的最小值为 f ( 1)1 ，1时， f ( x) 在 [t,te e②当 t 2] 上单调递增， ef (x)minf (t ) t ln t ，1 ，1 0 tf (x)mine e ； t ln t ,t 1e7/36两式相减可得 ln x12( x1x2 ) 2ln 2x2x24x1代入上述方程可得 x24x14 ln 2，3此时 a 2 ln 2 ln( ln 2 ) 1 ，3 3所以，实数 a 的取值范围为 a 2 ln 2 ln( ln 2) 1 ；3 3考点：导数的应用．【变式演练 8】设函数 f x ln x 1 .（ 1）已知函数 F x f x 1 x2 3 x1,求F x 的极值；4 2 4（ 2）已知函数 G x f x ax22a 1 x a a 0 ,若存在实数 m 2,3 ,使得当 x 0,m 时, 函数 G x 的最大值为 G m ,求实数 a 的取值范围 .【答案】（1）极大值为 0 ，极小值为 ln 2 3；（2） 1 ln 2,.4【解读】F x , F ' x 随 x 的变化如下表 :8/36x 0,1 1 1,2 2 2,F ' x 0 0F x 0 ln 234当 x 1时,函数 F x 取得极大值 F 1 0 。

2017年高考数学基础突破——导数与积分：2017年高考数学基础突破——导数与积分——第10讲微积分的应用

2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx =∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→+∞=-=∑⎰．在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bbba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bcb aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|b a F x ，即()()|()()bbaaf xd x F x Fb Fa ==-⎰．【基础考点突破】考点1.定积分的计算【例1】 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________.命题点2 利用定积分求平面图形面积【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____. （2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________ 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____．考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－23．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______7．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx =∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→+∞=-=∑⎰．在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bbba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bcb aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|b a F x ，即()()|()()bbaaf xd x F x Fb Fa ==-⎰．【基础考点突破】考点1.定积分的计算【例1】 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在答案 C解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10)＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21)＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案 (1)B (2)－4解析 (1)∵⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝223＜403，∴当k ≥2时，⎠⎛k3f (x )d x ＜403，∴k ＜2，∴⎠⎛k3f (x )d x ＝⎠⎛k2(2x＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2＋1)d x ＝403，化简得k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1.(2)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1).所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2. 故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x44－x 320＝－4.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.答案9π4解析由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 答案 π2＋e －1e－2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x－1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e－2.命题点2 利用定积分求平面图形面积【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____. （2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________ 答案 (1)136(2)2解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1).130111d 2d 33S x x x x x ⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰⎰ 31322201211214132.3633636||x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____．答案（1）D (2)163解析（1）由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14.（2）解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2答案 C解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－2答案 D解析由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cos x－sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为43 3 J. 4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 答案 B解析根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43. 5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A. 6．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1).∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝33120142.4123||x x x ⎡⎤⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 7．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x ＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12. 8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案 36解析由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.。

2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题07 导数及其应用理

导数及其应用【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2017年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【变式探究】函数f(x)＝e xsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6【答案】C【解析】因为f′（x ）＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f′（0）＝1，即曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线的斜率为1，所以在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为π4.【命题热点突破二】函数的单调性与最值例2、【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x--=--+=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=+. （1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，22321122()()ln (1)x f x f 'x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x .则()()()()f x f 'x g x h x -=+，由1()0x g 'x x-=≥可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326()x x h'x x --+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ，所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减，由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号，所以3()()(1)(2)2f x f 'xgh ->+=，即3()()2f x f 'x >+对于任意的]2,1[∈x 恒成立。

《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件

典例分析
例2 已知函数f（x）＝ 1 x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图． 3
为方便起见，上面步骤也可以用表格形式表示（↗表示递增，↘表示递减），x fΒιβλιοθήκη （x） f（x）（－∞，－2）
－2
＋
0
↗
极大值 9 1
3
（－2，2）
2
－
0
↘
极小值 11
3
（2，＋∞）＋ ↗
典例分析
求可导函数极值的步骤为： ➢ 确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ➢ 求方程f′（x）＝0的根； ➢ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
a
（2）函数f（x）在a、b点的导数值是多少？
（3）在a、b点附近，y＝f（x）的导数的符号分别是什么？
O b
x y＝f（x）
追问3：观察y＝f（x）的图像在x＝b点的函数值f（b）与x＝b附近的其他点的函数值的特征，并描述在x＝b点及其附近导数的正负．
新知探究
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有（1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值；（2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．

高中数学一轮复习导数与定积分：第5节导数与函数的极值

第5节导数与函数的极值【基础知识】1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【规律技巧】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．【典例讲解】例1已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x.【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．【针对训练】1、设函数()x x x x f 2141ln 2--=. （1）求()x f 的单调区间和极值；（2）若()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1412x x f x x g ，当1>x 时，()x g 在区间()1,+n n 内存在极值，求整数n 的值. 2、设函数f(x)满足22x '(x)+2x (x)=,(2)=,8x e e f f f x 则x>0时，f(x)( ) A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D【练习巩固】1、对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】23．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．5．已知函数f (x )＝x 3－ax －1(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．6．设函数f (x )＝ln x ＋a x －1在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围；(2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1e.注：e 是自然对数的底数．【解析】(1)解易知函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，由函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值，可知方程f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有解，令g (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1＝(x －α)(x －β)．不妨设0<α<1e，则β>e ，又g (0)＝1>0，所以g ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e 2－a ＋2e ＋1<0，解得a >e ＋1e－2. (2)证明由(1)知f ′(x )>0⇔0<x <α或x >β，f ′(x )<0⇔α<x <1或1<x <β，所以函数f (x )在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．由x 1∈(0,1)得f (x 1)≤f (α)＝ln α＋a α－1，由x 2∈(1，＋∞)得f (x 2)≥f (β)＝ln β＋a β－1，所以f (x 2)－f (x 1)≥f (β)－f (α)．由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a ＋2，所以记h (β)＝2ln β＋β－1β(β>e)，则h ′(β)＝2β＋1＋1β2＝⎝⎛⎭⎫1β＋12>0，所以函数h (β)在(e ，＋∞)上单调递增，所以f (x 2)－f (x 1)≥h (β)>h (e)＝2＋e －1e.。

高考数学基础突破导数与积分第4讲导数与函数的单调性-人教版高三全册数学试题

2017年高考数学基础突破——导数与积分第4讲导数与函数的单调性【知识梳理】1．函数的单调性与导数的关系若()f x 在某个区间(a ，b )内可导，则有：（1）如果()0f x '≥，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；（2）如果()0f x '≤，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减（3）若()0f x =，则f (x )在这个区间内是常数函数．．【基础考点突破】考点1．导数与函数的单调性命题点1．不含参数的函数的单调性【例1】求函数ln ()xf x x=的单调区间．【归纳总结】确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．变式训练1．函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间是________．命题点2．含参数的函数的单调性【例2】（2016年某某高考改编）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R ，试讨论f (x )的单调性．【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在R 上是增函数．变式训练2．已知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0，求f (x )的单调递减区间．考点2．利用函数单调性求参数【例3】已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，某某数a 的取值X 围．【归纳总结】已知函数单调性，求参数X 围的两个方法：（1）利用集合间的包含关系处理：()y f x =在(,)a b 上单调，则区间(,)a b 是相应单调区间的子集．（2）转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”来求解．变式训练3．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式训练4．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，某某数a 的取值X 围．(4)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，某某数a 的取值X 围． (5)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． (6)若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值X 围．【基础练习巩固】1．(2016·海淀区模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞) C．(－∞，1)D ．(－1，1)2．函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)4．(2016·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________． 5．函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间是________．6．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋ax 是R 上的增函数，则实数a 的取值X 围为________． 7．【2016高考】函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．8．【2014·全国卷】函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．9．（2016年某某高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．2017年高考数学基础突破——导数与积分第4讲导数与函数的单调性（教师版）【知识梳理】1．函数的单调性与导数的关系若()f x 在某个区间(a ，b )内可导，则有：（1）如果()0f x '≥，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；（2）如果()0f x '≤，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减（3）若()0f x =，则f (x )在这个区间内是常数函数．．【基础考点突破】考点1．导数与函数的单调性命题点1．不含参数的函数的单调性【例1】求函数ln ()xf x x=的单调区间．解析函数()f x 的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1－ln xx2．当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．【归纳总结】确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．变式训练1．函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间是________．解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )>0，解得x >ln 2，则函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．命题点2．含参数的函数的单调性【例2】（2016年某某高考改编）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R ，试讨论f (x )的单调性．解析：由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x-=-=>①当0a ≤时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减．②当0a >时，()2'a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭=，当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x <；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x >．故()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．变式训练2．已知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0，求f (x )的单调递减区间．解：易知函数f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )(a >0)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝－ax ＋1－11＋x ＝－ax 2－（1－a ）xx ＋1＝－ax （x －1－aa）x ＋1.令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－a a＝1a－1.①当0<a <1时，x 1<x 2，所以当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间是(－1，0)，（a－1，＋∞）.②当a ＝1时，x 1＝x 2＝0，f ′(x )＝－x 2x ＋1≤0，所以f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．③当a >1时，－1<x 2<0，所以当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递减区间是（－1，a－1），(0，＋∞)．综上，当0<a <1时，f (x )的单调递减区间是(－1，0)，（1a－1，＋∞）；当a >1时，f (x )的单调递减区间是（－1，1a－1），(0，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．考点2．利用函数单调性求参数【例3】已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，某某数a 的取值X 围．解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x＝2（x ＋1）（x －1）x，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1，故f (x )的单调递减区间是(0，1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max＝φ(1)＝0，∴a ≥0．②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值X 围为[0，＋∞)．【归纳总结】已知函数单调性，求参数X 围的两个方法：（1）利用集合间的包含关系处理：()y f x =在(,)a b 上单调，则区间(,)a b 是相应单调区间的子集．（2）转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”来求解．变式训练3．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x ＞1，∴0＜1x＜1，∴k ≥1，故选D ．变式训练4．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，某某数a 的取值X 围．(4)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，某某数a 的取值X 围． (5)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值．(6)若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0．所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值X 围是(－∞，－22)．(4)方法一： ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′－2≤0，g ′－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值X 围为(－∞，－3]．方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立，即a ≤x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]，∴a ≤－3，∴实数a 的取值X 围是(－∞，－3]．(5) ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)，∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3．（6）由(4)知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的X 围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的X 围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g (x )在(－2，－1)上不单调，实数a 的取值X 围是(－3，－22)．【基础练习巩固】1．(2016·海淀区模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞) C．(－∞，1)D ．(－1，1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x ＞0)．∴当x ∈(0，1)时f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．答案 A2．函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢．答案 B3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立．因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518．答案 C4．(2016·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x．f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2．答案 (2，＋∞)5．函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间是________．[答案] (ln 2，＋∞)[解析] f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )>0，解得x >ln 2，则函数f (x )＝e x－2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋ax 是R 上的增函数，则实数a 的取值X 围为________．[答案] [0，3][解析] 易知f ′(x )＝3x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，所以Δ＝4a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤3．7．【2016年高考理数】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞．解析：（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(．依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a 解得e b a ==,2；（2）由（Ⅰ）知ex xe x f x+=-2)(．由)1()(12--+-='x xe x ex f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号．令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g ．所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增．故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g ．综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞． 8．【2014·全国卷】函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解：易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2．(1)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )上是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)上是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．(3)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)上是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )上是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)上是增函数．9．（2016年某某高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈．（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′xx x a x f －－－322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，)(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x a x a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a，)(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(xx x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ，于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－，0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－，所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增；2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ．所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－．即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．补充题目若函数2()ln f x ax x x=++，求函数()f x 的单调区间．解析222212()(0)ax x f x a x x x x+-'=-+=>．令()0f x '=，即2()20h x ax x '=+-=（注意这里方程的类型需要讨论）．（1）当0a =时，作出()2h x x =-的图象可知，①()0,2,()0x h x ∈<，即()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减． ②()2,,()0x h x ∈+∞>，即()0f x '>，所以()f x 在()2,+∞上单调递增．（2）当0a <时，因为10,(0)202x h a=->=-<， ①若0∆≤，即18a ≤-时，在()0,+∞上()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．②若0∆>，即108a -<<时，令()0h x =得，1x =或2x =．列表如下：由上表知，()f x 的减区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()f x 的增区间为1122a a ⎛-- ⎝⎭．（3）当0a >时，因为10,(0)202x h a=-<=-<，所以()0h x =有一正一负两根，解得10x =<或20x =>．列表如下：由上表知，()f x 的减区间为⎛ ⎝⎭，增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．综上所述，0a <时，()f x 的减区间为,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的增区间为⎝⎭．0a =，()f x 的减区间为(0,2)，()f x 的增区间为()2,+∞．0a >时，()f x 的递减区间为⎛⎝⎭，增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．。

高中数学同步导学(2017新课标)(导数与积分)五定积分与微积分初步含解析

1。

定积分的定义(1）如果函数f （x )在区间上连续，用分点将区间等分成n 个小区间,在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n ）作和式∑=-n i if n a b 1)(ξ。

当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x ）在区间上的定积分，记作，即错误!f (x ）d x ＝∑=∞→-n i i n f n a b 1)(lim ξ。

其中f (x ）称为________,x 称为__________,f （x ）d x 称为__________，为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2）用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、近似代替、求和、。

2。

定积分的性质（1）错误!kf （x ）d x ＝ (k 为常数）；(2）错误!d x ＝ ;（3)错误!f （x )d x ＝（其中a ＜c ＜b ）。

3.微积分基本定理一般地,如果f (x ）是区间上的连续函数,并且F ′(x )＝f (x ），那么错误!f (x ）d x ＝ ,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作 ,即⎠⎜⎜⎛a b f (x )d x ＝＝。

4.定积分在几何中的简单应用(1）当函数f (x )在区间上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b （a ≠b ），y ＝0和曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝ .(2)当函数f （x ）在区间上恒为负时,由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b ），y ＝0和曲线y ＝f (x ）围成的曲边梯形（图乙中阴影部分)的面积S ＝ .（3）当x ∈有f (x )＞g (x ）＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f （x )，y ＝g （x )围成的曲边梯形（图丙中阴影部分）的面积S ＝。

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