2013届南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学试题(正卷) (定稿)
数学_2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷(含答案)
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 记函数f(x)=√3−x 的定义域为A ，函数g(x)=lg(x −1)的定义域为B ，则A ∩B =________．2. 已知复数z 满足(z +1)i =3+5i ，其中i 为虚数单位，则|z|=________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为________．4. 如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是________．5. 已知函数f (x)＝2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________．6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →=(3, −1)，OB →=(0, 2)．若OC →⋅AB →=0，AC →=λOB →，则实数λ的值为________．8. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β，②若m ⊂α，α∩β=n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α // β，则m // n ； ④若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，则m // n ．上述命题中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）． 9.如图，在△ABC 中，∠B =45∘，D 是BC 边上的一点，AD =5，AC =7，DC =3，则AB 的长为________．10. 记定义在R 上的函数y =f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a, b]，使得f(b)−f(a)=f′(x 0)(b −a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a, b]上的“中值点”．那么函数f(x)=x 3−3x 在区间[−2, 2]上“中值点”的个数为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B ．若FB →=2FA →，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:x 2+y 2−(6−2m)x −4my +5m 2−6m =0，直线l 经过点(1, 0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n =−n +p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n−5．设c n ={a n ，a n ≤b n b n ，a n >b n，若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N ∗, n ≠8)，则实数p 的取值范围是________．14. 设点P 是曲线y =x 2上的一个动点，曲线y =x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y =x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．二、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知α，β∈(0, π)，且tanα=2，cosβ=−7√210． (1)求cos2α的值； (2)求2α−β的值．16.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A =√2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF // 平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．17. 已知函数f(x)=12m(x −1)2−2x +3+lnx ，m ∈R ．（1）当m =0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当m >0时，若曲线y =f(x)在点P(1, 1)处的切线l 与曲线y =f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．18. 将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为lcm ． （1）若l =4，求S 1的最大值；（2）若S 1:S 2=1:2，求l 的取值范围．19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2m +y 28−m =1．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； （2）若m =6，①P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1, 0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN 是定值，并求出这个定值． 20. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）求证：数列{Snn }是等差数列；（2）若a 1=1，且对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立，求数列{a n }的通项公式；（3）记b n =a a n (a >0)，求证：b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D ，E 分别为PB ，PC 中点．（1）若PA =2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； （2）若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．22.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（1）求p 1，p 2的值； （2）求证：∑14p i −1n i=1>n 2n+1．三、【选做题】在23、24、25、26四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 选修4−1：几何证明选讲如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，线段OP 交⊙O 于点C ．若PA =12，PC =6，求AB 的长．24. 选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =|1ab 1|对应的变换将点A(1, 1)变为A′(0, 2)，将曲线C:xy =1变为曲线C′．（1）求实数a ，b 的值； （2）求曲线C′的方程．25. 选修4−4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π6)，点M 的极坐标为(6, π6)，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．26. 选修4−5：不等式选讲解不等式x|x −4|−3<0．2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷答案1. (1, 3]2. 53. 84. 127 5. 236. 710 7. 2 8. ①④ 9.5√6210. 2 11. 212. 2x +y −2=0 13. (12, 17) 14.3√3215. 解：(1)cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α， 因为tanα=2， 所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tanα=2，所以α∈(0,π2)， 又cos2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin2α=45.因为β∈(0, π)，cosβ=−7√210．所以sinβ=√210，β∈(π2,π)，所以sin(2α−β)=sin2αcosβ−cos2αsinβ=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22，又2α−β∈(−π2,π2 )，所以2α−β=−π4．16. 证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵ F为C1B的中点，∴ FG= // 12C1C．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A= // C1C，E为A1A的中点，∴ FG= // EA，∴ 四边形AEFG是平行四边形．∴ EF // AG．∵ EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴ EF // 平面ABC．（2）∵ 点D是正△ABC的AC边的中点，∴ BD⊥AC，由正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴ BD⊥侧面ACC1A1．∴ BD⊥C1E．∵ A1C1AE =A1EAD=√2，∴ Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴ ∠A1EC1=∠ADE．∴ ∠AED+∠A1EC1=90∘，∴ C1E⊥ED．∵ ED∩DB=D．∴ C1E⊥平面BDE．17. 解：（1）当m=0时，函数f(x)=−2x+3+lnx由题意知x>0，f′(x)=−2+1x =−2x+1x，令f′(x)>0，得0<x<12时，所以f(x)的增区间为(0, 12)．（2）由f′(x)=mx−m−2+1x，得f′(1)=−1，知曲线y=f(x)在点P(1, 1)处的切线l的方程为y=−x+2，于是方程：−x+2=f(x)即方程12m(x−1)2−x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g(x)=12m(x−1)2−x+1+lnx，(x>0)．则g′(x)=mx 2−(m+1)x+1x=(x−1)(mx−1)x，①当m=1时，g′(x)=(x−1)(x−1)x≥0，g(x)在(0, +∞)上为增函数，且g(1)=0，故m=1符合题设；②当m>1时，由g′(x)>0得0<x<1m或x>1，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x <0得1m<x<1，故g(x)在区间(0, 1m )，(1, +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→0时，g(x)→−∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故m>1不合题意；③当0<m<1时，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x >0得0<x<1或x>1m，由g′(x)<0得1<x<1m，故g(x)在区间(0, 1)，(1m , +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→+∞时，g(x)→+∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故0< m<1不合题意；∴ 由上述知：m=1．18. 解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x 2+y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时取等号，所以S 1=12xy ≤4，当且仅当x =y =2√2时取等号，即S 1的最大值为4．（2）由题意知，长方形的面积为S =6×8=48， 因为S 1:S 2=1:2，S 1≤S 2，所以S 1=16，S 2=32．当折痕是情形①时，设AM =xcm ，AN =ycm ，则12xy =16，即y =32x，由{0≤x ≤80≤32x ≤6，解得163≤x ≤8，所以l =√x 2+y 2=√x 2+322x 2，163≤x ≤8，设f(x)=x 2+322x2，x >0，则f′(x)=2x −2×322x 3=2(x 2+32)(x+4√2)(x−4√2)x 3，x >0，故当x ∈(163,4√2)时f′(x)<0，f(x)递减，当x ∈(4√2, 8)时，f′(x)>0，f(x)递增，且f(163)=6449，f(8)=80，所以f(x)的取值范围为[64, 80]，从而l 的范围是[8, 4√5]．当折痕是情形②时，设AM =xcm ，DN =ycm ，则12(x +y)×6=16，即y =163−x ，由{0≤x ≤80≤163−x ≤8，解得0≤x ≤163，所以l =√62+(x −y)2=√62+4(x −83)2，0≤x ≤163，所以l 的范围为[6, 2√1453]； 当折痕是情形③时，设BN =xcm ，AM =ycm ，则12(x +y)×8=16，即y =4−x ， 由{0≤x ≤60≤4−x ≤6，得0≤x ≤4，所以l =√82+(x −y)2=√82+4(x −2)2，0≤x ≤4， 所以l 的取值范围为[8, 4√5]， 综上，l 的取值范围为[6, 4√5]． 19. 解：（1）由题意得，m >8−m >0，解得4<m <8， 所以实数m 的取值范围是(4, 8)； （2）因为m =6，所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1，①设点P 坐标为(x, y)，则x 26+y 22=1，因为点M 的坐标为(1, 0)，所以PM 2=(x −1)2+y 2=x 2−2x +1+2−x 23=23x 2−2x +3=23(x −32)2+32，x ∈[−√6，√6]，所以当x =32时，PM 的最小值为√62，此时对应的点P 坐标为(32,±√52)；②由a 2=6，b 2=2，得c 2=4，即c =2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2, 0)，右准线方程为x =3，离心率e =√63， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 的中点H(x 0, y 0)， 则x 126+y 122=1，x 226+y 222=1，两式相减得，x 12−x 226+y 12−y 222=0，即k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−x3y 0，令k =k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y −y 0=−1k (x −x 0)， 令y =0，则x N =ky 0+x 0=23x 0，因为F(2, 0)，所以FN =|x N −2|=23|x 0−3|， 因为AB =AF +BF =e(3−x 1)+e(3−x 2)=2√63|x 0−3|．故ABFN =2√63×32=√6，即ABFN 为定值√6．20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，（1）由于S n =na 1+n(n−1)2d ，从而S nn =a 1+n−12d ，所以当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=(a 1+n−12d)−(a 1+n−22d)=d 2，即数列{Snn }是等差数列．（2）∵ 对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立， ∴ √S n+1+√S n−1=2√S n ，即数列{√S n }是等差数列，设其公差为t ， 则√S n =√S 1+(n −1)t =1+(n −1)t ，所以S n =[1+(n −1)t]2，所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=[1+(n −1)t]2−[1+(n −2)t]2=2t 2n −3t 2+2t ， 又由等差数列{a n }中，a 2−a 1=a 3−a 2，即(4t 2−3t 2+2t)−1=(6t 2−3t 2+2t)−(4t 2−3t 2+2t)所以t =1，即a n =2n −1．（3）由于a n =a 1+(n −1)d ，b n =a a n ，则b n+1b n=a a n+1−a n =a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q(q >0)． 以下证明：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∵ (b 1+b n )−(b p +b k )=b 1+b 1q n−1−b 1q p−1−b 1q k−1=b 1(q p−1−1)(q k−1−1)， 当q >1时，因为y =q x 为增函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≥0，q k−1−1≥0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ； 当q =1时，b 1+b n =b p +b k ；当q =1时，因为y =q x 为减函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≤0，q k−1−1≤0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ，综上：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∴ n(b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )+…(b 1+b n )≥(b 1+b n )+(b 2+b n−1)+…(b n +b 1) =(b 1+b 2+...+b n )+(b n +b n−1+...+b 1)，即b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 解：（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(0, 0, 0)，B(√3, 1, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)∴ PB →=(√3, 1, −2)，AE →=(0, 1, 1)设直线AE 、PB 所成的角为θ，则cosθ=||PB →|⋅|AE →|˙|=14 即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14；（2）设PA =a ，则P(0, 0, a)，可得PB →=(√3, 1, −a)，PC →=(0, 2, −a)设平面PBC 的法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⋅PB →=0且n 1→⋅PC →=0∴ {√3x +y −az =02y −az =0，令z =2，得y =a ，x =√33．可得n 1→=(√33a, a, 2)是平面PBC 的一个法向量 ∵ D 、E 分别为PB 、PC 中点，∴ D(√32, 12, a2)，E(0, 1, a 2) 因此，AD →=(√32, 12, a2)，AE →=(0, 1, a 2)，类似求平面PBC 法向量n 1→的方法，可得平面ADE 的一个法向量n 2→=(−√33a, −a, 2) ∵ 平面ADE ⊥平面PBC ，∴ n 1→⊥n 2→，可得n 1→⋅n 2→=−13a 2−a 2+4=0，解之得a =√3因此，线段PA 的长等于√3．22. 解：（1）棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A 出发．由3条路径，所以p 1=23．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p 2=23×23+13(1−23)=59． （2）因为移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n ． 故落在下底面顶点的概率为1−p n ．于是，移了n +1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=23p n +13(1−p n )=13p n +13，从而p n+1−12=13(p n −12)，所以数列{p n −12}是等比数列，首项为16公比为13，所以p n −12=16×(13)n−1，用数学归纳法证明：∑14p i−1n i=1>n 2n+1．①当n =1时左式=14×23−1=35，右式=12，因为35>12，所以不等式成立． 当n =2时，左式=14×23−1+14×59−1=7855，右式=43，所以不等式成立；②假设n =k(k ≥2)不等式成立，即∑14p i −1k i=1>k 2k+1．则n =k +1时，左式=∑14p i−1k i=1+14pk+1−1>k 2k+1+14(12+12×13k+1)−1=k 2k+1+3k+13k+1+2，要证k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，只要证3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2−k 2k+1，即证：3k+13k+1+2≥k 2+3k+1k 2+3k+2， 只要证23k+1≤1k 2+3k+1，只要证3k+1≥2k 2+6k +2，因为k ≥2，所以3k+1=3(1+2)k ≥3(1+2k +4C k 2)=6k 2+3=2k 2+6k +2+2k(2k −3)+1>2k 2+6k +2 所以k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，即n =k +1时不等式也成立，由①②可知∑14p i−1n i=1>n 2n+1对任意n ∈N ∗都成立．23. 解：如图所示，延长PO 交⊙O 于D 点，连接AO ，BO ，AB 交OP 于点E ． ∵ PA 与⊙O 相切，∴ PA 2=PC ⋅PD ． 设⊙O 的半径为R ，∵ PA =12，PC =6． ∴ 122=6(6+2R)，解得R =9．∵ PA ，PB 与⊙O 都相切，∴ PA =PB ． 又∵ OA =OB ，∴ OP 垂直平分AB ． 即OP ⊥AB ，AB =2OE ．在Rt △OAP 中，12OA ⋅AP =12OP ⋅AE ． ∴ AE =9×126+9=365．∴ AB =725．24. 解：（1）由已知得M [1′1′]=[0′2′]，即[1a b 1][1′1′]=[0′2′]，∴ {1+a =0b +1=2 ∴ {a =−1b =1． （2）设点P(x ′, y ′)是曲线C:xy =1上的任意一点，变换后的点为P ′(x, y)则[1−111][x′′y′′]=[x′y′]，即{x′−y′=x x′+y′=y ，解得{x′=x+y 2y′=y−x 2， 因为x′y′=1，所以y+x 2×y−x 2=1，即y 24−x 24=1．即曲线C′的方程为y 24−x 24=1．25. 解：圆C 的直角坐标方程为(x −√3)2+(y −1)2=4．…点M 的直角坐标为(3√3, 3)，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为；y −3=k(x −3√3)， 圆心到直线的距离为r =2，…因为圆心到直线l 的距离d =√3k−2|√k 2+1=2，所以k =0或k =√3．故所求直线的方程为y =3或√3x −y −6=0， 其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin(π3−θ)=3…26. 解：原不等式转化为：{x ≥4x 2−4x −3<0或{x <4x 2−x +3>0解得{x ≥42−√7<x <2+√7或{x <4x <1或x >3即4≤x <2+√7或3<x <4或x <1．综上不等式的解集为：{x|x <1或3<x <2+√7}．。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数 学 2013．05注意事项：1．本试卷共160分、考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ▲ ．2．已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝ ▲ ． 3．某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则 输入x 的值为 ▲ ．4．右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么 这组数据的方差是 ▲ ．5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的部分图象如图所示， 则ω＝ ▲ ．6．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为 ▲ ．8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2x End If Print y （第3题）8 8 9 9 9 0 1 1 2 （第4题）9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5， AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为 ▲ ．10．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B ．若FB →＝2FA →，则双曲线的离心率为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 ▲ ． 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5．设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ▲ ．14．设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210．（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值．ABDC（第9题）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝12m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．（1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．18．(本小题满分16分)将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ．（1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2m ＋y 28－m ＝1．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； （2）若m ＝6，①P 是椭圆C 上的动点， M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN是定值，并求出这个定值．20．(本小题满分16分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ． （1）求证：数列{S nn}是等差数列；（2）若a 1＝1，且对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，求数列{a n }的通项公式；（3）记b n ＝a a n (a ＞0)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2．南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分 （2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4． 所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4． 所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分 （2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1， 所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6． 即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ． 所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分 设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立， 因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分 （3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ． 因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分 所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )高三数学试卷第11页（共4页） ≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)，即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n 2． …………………… 16分。
南京市、盐城市高考数学一模试卷及答案(word解析版).doc
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（2013•盐城一模）已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1}，则∁U A= {0，2} ．2．（5分）（2013•盐城一模）复数（1﹣2i ）2的共轭复数是 ﹣3+4i ．3．（5分）（2013•盐城一模）已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s 2=0.8 ．[4．（5分）（2013•盐城一模）袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为．解：从袋中任意地同时摸出两个球共C C故其概率是=．故答案为：．．5．（5分）（2013•盐城一模）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为27 ．==9a=6．（5分）（2013•盐城一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为26 ．解：作出不等式组7．（5分）（2013•盐城一模）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 3 ．8．（5分）（2013•盐城一模）将函数y=sin （2x ﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为．﹣﹣）的图象向左平移）﹣]﹣=k ，．9．（5分）（2013•盐城一模）现有如下命题： ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 则所有真命题的序号是 ①③④ ．10．（5分）（2013•盐城一模）在△ABC中，若9cos2A﹣4cos2B=5，则的值为．==，从而得到答案．=．=，．11．（5分）（2013•盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则= 0 ．）．∵D．=，，∴，解得，∴==12．（5分）（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．|=a+c=时，即解：∵椭圆，∴=，|=a+c=时，即的取值范围是故答案为，13．若实x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y exy y xy +=-+,则cos 4y x 的值为 ． 答案：－1 解析：设f(y)＝lny －y2＋lne22，则f ′(y)＝1y－12＝2－y2y.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e22≤1；又由基本不等式得⎣⎡⎦⎤4cos2（xy ）＋14cos2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2(xy)＝14cos2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14，所以log 2⎣⎡⎦⎤4cos2（xy ）＋14cos2（xy ）≥1，所以log 2[4cos 2(xy)＋14cos2（xy ）]＝lny －y 2＋ln e22成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos2（xy ）＝14，所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题． 14．（5分）（2013•盐城一模）已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x）=kx （k ＞0）有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g （t ）=﹣6t+7的值域为 [﹣，﹣1） ．﹣=，），=（，，﹣﹣二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（2013•盐城一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．16．（14分）（2013•盐城一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．A+，从而得到cosA=，a=） cosAcos﹣sinAsin化简可得cosA= tanA=A=cosA=，b=，再由正弦定理可得．17．（14分）（2013•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？=24=24F=15×+0.5x=+0.5x）因为2当且仅当18．（16分）（2013•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF2外接圆的方程；②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．，），即可求椭圆，故椭圆方程为，），则，解得所以椭圆的方程为…，所以3），（的中点为的中垂线方程为的半径为的外接圆的方程为…+﹣…=19．（16分）（2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）试判断f（x）=x﹣1在区间[﹣2.1]上是否封闭，并说明理由；（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；（1）若函数h（x）=x3﹣3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．=，分=3+=3+上单调递减，故它的值域为，得上有，显然不合题意．，，得，解得﹣上递减，，即上递增，所以20．（16分）（2013•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．=b，由此进行作差，得﹣、m∴，则=2n+•，）﹣时，则≤，即，则当t=（m），即+≤（t=…的取值范围是（三、[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.21．（10分）（2013•盐城一模）[A ．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．∴22．（10分）（2013•盐城一模）B ．（选修4﹣2：矩阵与变换） 已知矩阵M 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．M=23．（2013•盐城一模）C．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ﹣3=0 上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0 上的动点，求AB 的最小值．d=24．（2013•盐城一模）D ．（选修4﹣5：不等式选讲）设a 1，a 2，…a n 都是正数，且 a 1•a 2…a n =1，求证：（1+a 1）（1+a 2）…（1+a n ）≥2n． 2．再由不等式的各项都大于222四、[必做题]第25、26题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25．（10分）（2013•盐城一模）某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果E ξ≥5，求P2的取值范围．）根据甲的命中率为，乙的命中率为）∵•）（）（•）（=知，（）解得：26．（10分）（2013•盐城一模）已知，其中n ∈N *．（1）若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值； （2）当x=3时，求证：f （x ）必可表示成（s ∈N *）的形式．=，，则=）（）•••=••+．=x+y=+==．）（=•=1必可表示成。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－ ， )，所以 2α－ β＝－ ．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－ ， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416． 证明 （ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17． 解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解， 即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4． 所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19． 解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20． 解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立， 因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明 如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解 （ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ， ， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223． 解（ 1）p 1＝ ，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n － ＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。
2013届南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学试题(附加卷)(定稿)
南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选考物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡．．．上．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在 A、 B、 C 、 D 四小题中只能选做2 题，每小题题卡指定10 分，共 20 分．请在答．．．．．区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， PA，PB 是⊙ O 的切线，切点分别为A，B，线段 OP 交⊙ O 于点C．若 PA＝ 12， PC＝ 6，求 AB 的长．APO CB（第 21 题 A ）B．选修 4— 2：矩阵与变换1 a已知矩阵M ＝对应的变换将点A(1，1)变为A' (0，2)，将曲线C：xy＝ 1 变为曲线C'．b 1（1）求实数 a， b 的值；（2）求曲线 C' 的方程．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程已知圆 C 的极坐标方程为ππρ＝ 4cos(θ－)，点 M 的极坐标为(6，)，直线 l 过点 M，且与圆 C 相66切，求 l 的极坐标方程．D．选修 4— 5：不等式选讲解不等式x|x－ 4|－ 3＜ 0．第 1 页共 2 页【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答 题卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分 10 分 )如图，三棱锥 P － ABC 中，已知 PA ⊥平面 ABC ， △ABC 是边长为2 的正三角形， D ，E 分别为 PB ， PC 中点．P （ 1）若 PA ＝ 2，求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值；（ 2）若平面 ADE ⊥平面 PBC ，求 PA 的长．E DACB（第 22 题）23． (本小题满分 10 分 )如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为 13，刚开始时，棋子 在上底面点 A 处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（ 1）求 p 1，p 2 的值；ABC n 2（ 2）求证： ∑ 1 ＞n ．i=14Pi － 1 n ＋ 1D EF（第 23 题）第 2 页共 2 页。
江苏省盐城中学高三数学第三次模拟考试试题苏教版
2013届高三年级第三次模拟考试数学试题【考试时间：120分钟 分值：160分】参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑； 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1、集合{}3,6A =，{}3,9B =，则A B =U ▲ ．2、若复数1(4),()z a a i a R =++-∈是实数，则a = ▲ ．3、如果22sin 3α=，α为第一象限角，则sin()2πα+=▲ ．4、已知正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1cm ，高为1cm ，则棱锥的体积 为 ▲ 3cm ．5、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应 为 ▲ ．6、已知某一组数据8,9,10,11,12，则其方差为 ▲ ．7、阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为 ▲ ．8、若)(x f y =是定义在R 上周期为2的偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=xx f ，则函数3()()log g x f x x=-的零点个数为 ▲ ．9、若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 ▲ ．10、在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan C ＝43，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为 ▲ ．11、设等比数列{}n a 的公比1q ≠，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，n T 表示数列{}n a 的前n 项的乘积，()n T k 表示{}n a 的前n 项中除去第k 项后剩余的1n -项的乘积，即()(),,n n k T T k n k N k n a *=∈≤，则当11a =，2q =，数列()()(){}12n n n n nS T T T T n +++L 的前n 项的和是 ▲ ．12、已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>,()(),xf x ag x =⋅（01a a >≠且）,(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({Λ=n n g n f 中，任意取正整数k （110k ≤≤），则前k 项和不小于1615的概率是 ▲ ．13、设A ,B ,C 为单位圆O 上不同的三点，则点集{(,)|,A x y OC xOA yOB ==+u u u r u u u r u u u r02,02}x y <<<<所对应的平面区域的面积为 ▲ ．14、函数21()23ln 2f x x tx x =-+，2()3x t g x x +=+，函数()f x 在,x a x b ==处取得极值（0a b <<）， ()g x 在[,]b a --上的最大值比最小值大13，若方程()f x m =有3个不同的解，则函数152m y e +=的值域为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分14分)在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边, c b a ,,满足222b ac ac =+-(Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ)在区间(0,)B 上任取θ，求cos 12θ<<的概率；（Ⅲ）若AC＝，求ΔABC 面积的最大值.16、(本小题满分14分)直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； (Ⅱ)求三棱锥C AB A 11-的体积．17、(本小题满分14分)工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入()P x （元）与当天生产的件数x （*x N ∈）之间有以下关系：()23183,01035201331,10x x P x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ,设当天利润为y 元.（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ)要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）18、(本小题满分16分) 设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围;（Ⅲ）对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入kb 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .19、(本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若圆1C 的方程为2(2)x a +＋2y ＝2a ，圆1C 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆1C 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 变化时，以ST 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论；（Ⅲ）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点,若点H 、J 的“伴随点”分别是L 、Q,且以LQ 为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOHJ 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.20、(本小题满分16分)已知函数2()ln(1),()f x ax x a R =++∈． （Ⅰ）设函数(1)y f x =-定义域为D ①求定义域D ；②若函数41()[()ln(1)]()h x x f x x x x =+-++2(0)cx f '++在D 上有零点，求22a c +的最小值； (Ⅱ) 当12a =时，2()(1)(1)(1)2g x f x bf x ab x a '=-+---+，若对任意的],1[e x ∈，都有2()2g x e e ≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．2013届高三年级第三次模拟考试数学试题（附加题）（ 满分40分，考试时间30分钟） 21、[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 、[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，M, N 是圆上两点，直线MN 交AD 的延长线于点C ，交⊙O 的切线于B ，BM ＝MN ＝NC ＝1，求AB 的长和⊙O 的半径．B 、[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵213122A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦ （Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵B ；（Ⅱ）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为730x y -=，求直线l 的方程.C 、[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,55x t y a t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=+（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于P ,Q 两点，且455PQ =.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径； （Ⅱ）求实数a 的值.D 、[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++（Ⅰ）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22、（本小题满分10分） 已知12310,,,,A A A A L 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12.（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率； （Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A L 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望. 23、（本小题满分10分） 已知,m n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx +≥+； （Ⅱ）对于6n ≥，已知11(1)32n n -<+，求证：1(1)()32n mm n -<+， (1,2,,)m n =L ；（Ⅲ）求出满足等式345(2)(3)n n n n nn n +++++=+L 的所有正整数n .2013届高三年级第三次模拟考试参考答案1、{}3,6,92、43、13 4、35、20 6、2 7、3-8、2 9、(1,3)- 10、2 11、21n- 12、710 13、2514、4(27,)e 15、解：(Ⅰ）由222b ac ac=+-得3Bπ=-------------------4分；(Ⅱ) 由2cos1θ<<，得(0,)4πθ∈，--------------6分所以2cos12θ<<的概率为34-------------8分（Ⅲ）由23b=，22212b a c ac ac==+-≥.3334ABCS ac∆=≤面积的最大值为33.--------------14分16、(Ⅰ）略；--------------8分(Ⅱ)三棱锥CABA11-的体积为16．--------------14分17、解：(1) 当0＜x≤10时，y＝x(83－x2)－100－2x＝－x3＋81x－100；当x＞10时，y＝x(－)－2x－100＝－2x－＋420.① 当0＜x ≤10时，y ′＝81－x2，令y ′＝0，得x ＝9 ------- .(9分) 当x ∈(0,9)时，y ′＞0；当x ∈(9,10)时，y ′＜0. ∴ 当x ＝9时，ymax ＝386；(10分)② 当x ＞10时，y ′＝－－2，令y ′＝0，得x ＝11. ------- (12分) 当x ∈(10,11)时，y ′＞0；当x ∈(11，＋∞)时，y ′＜0. ∴ 当x=11时，ymax ＝387.(14分) ∵ x ∈N*，∴ 综合①②知：当x ＝11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．------- (14分)18、解： （1）由题意31568a a a =+，则2468q q =+，解得24q =或22q =因为q 为正整数，所以2q =， 又12a =，所以*2()n n a n N =∈------3分2n b n=。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)-(5744)
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．1275．236．7107．2 8．①④9．56210．211．2 12．2x＋y－2＝0 13．(12，17) 14．33 2二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（1）方法一：因为tanα＝2，所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα．…………………………2分又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝45，cos2α＝15．…………………………4分所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－35．…………………………6分方法二：因为cos2α＝cos2α－sin2α…………………………2分＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1，…………………………4分又tanα＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35．…………………………6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，π2 )．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π)，sin2α＝45．…………………………8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)．…………………………10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22．…………12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4．…………………………14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)．…………………………8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17．…………………………10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1．………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4．…………………………14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．…………………………4分因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．…………………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ．…………………………9分（第16题）A BCDEC 1A 1B 1FG根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．………………………12分因为BD∩EB＝B，BD 平面BDE，EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE．…………………………14分17．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，所以f′(x)＝－2＋1x＝－2x＋1x(x＞0)．………………………2分由f′(x)＞0得x∈(0，12) ．所以函数f(x)的单调增区间为(0，12)．………………………4分（2）由f′(x)＝mx－m－2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．……………………6分由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，即关于x的方程12m(x－1)2－x＋1＋ln x＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．则g′(x)＝m(x－1)－1＋1x＝mx2－(m＋1)x＋1x＝(x－1)(mx－1)x(x＞0)．……………8分①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞1m，由g′(x)＜0得1＜x＜1m，所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，1m)上为减函数，在(1m，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故0＜m＜1不合题意．………………………10分②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1m或x＞1，由g′(x)＜0得1m＜x＜1，所以函数g(x)在(0，1m) 为增函数，在(1m，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．………………………14分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上；②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上；③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则x 2＋y 2＝16．………………………2分因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4．………………………5分（2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8．………………………8分设f(x)＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′（x)＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x3，x ＞0．故x 163（163，42）4 2 （42，8）8f ′（x) －0 ＋f(x)6449↘64↗80 所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]；………………11分当折痕是情形②时，设AM ＝xcm ，DN ＝ycm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝163－x ．由0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．ABCD（情形①）MNABCD （情形②）MNABCD（情形③）MN所以l＝62＋(x－y)2＝62＋4(x－83)2，0≤x≤163．所以l的范围为[6，21453]；………………………13分当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm，则12(x＋y)×8＝16，即y＝4－x．由0≤x≤6，0≤4－x≤6，得0≤x≤4．所以l＝82＋(x－y)2＝82＋4(x－2)2，0≤x≤4．所以l的取值范围为[8，45]．综上，l的取值范围为[6，45]．………………………16分19．解（1）由题意得，m＞8－m＞0，解得4＜m＜8．即实数m的取值范围是(4，8)．………………………2分（2）因为m＝6，所以椭圆C的方程为x 26＋y22＝1．①设点P坐标为（x，y），则x26＋y22＝1．因为点M的坐标为（1，0），所以PM2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－x23＝2x23－2x＋3＝23(x－32)2＋32，x∈[－6，6]．………………………4分所以当x＝32时，PM的最小值为62，此时对应的点P坐标为（32，±52）．………………………6分②由a2＝6，b2＝2，得c2＝4，即c＝2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x＝3，离心率e＝6 3．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则x12 6＋y122＝1，x226＋y222＝1，所以x12－x226＋y12－y222＝0，即k AB＝y1－y2x1－x2＝－x03y0．………………………9分令k＝k AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，则x N＝ky0＋x0＝23x0．因为F(2，0)，所以FN＝|x N－2|＝23|x0－3|．………………………12分因为AB＝AF＋BF＝e(3－x1)＋e(3－x2)＝263|x0－3|．故ABFN＝263×32＝6．即ABFN为定值6．………………………16分20．解（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n(n－1)2d，从而S nn＝a1＋n－12d．所以当n≥2时，S nn－S n－1n－1＝(a1＋n－12d)－(a1＋n－22d)＝d2．即数列{S nn}是等差数列．………………………2分（2）因为对任意正整数n，k(n＞k)，都有S n＋k＋S n－k＝2S n成立，所以S n＋1＋S n－1＝2S n，即数列{S n}是等差数列．………………………4分设数列{S n}的公差为d1，则S n＝S1＋(n－1)d1＝1＋(n－1)d1，所以S n＝[1＋(n－1)d1]2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝[1＋(n－1)d1]2－[1＋(n－2)d1]2＝2d21n－3d21＋2d1，因为{a n}是等差数列，所以a2－a1＝a3－a2，即(4d21－3d21＋2d1)－1＝(6d21－3d21＋2d1)－(4d21－3d21＋2d1)，所以d1＝1，即a n＝2n－1．又当a n＝2n－1时，S n＝n2，S n＋k＋S n－k＝2S n对任意正整数n，k(n＞k)都成立，因此a n＝2n－1．………………………7分（3）设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，b n＝a a n，所以b nb n－1＝a a n－a n－1＝a d，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列．………………………9分记公比为q(q＞0)．以下证明：b1＋b n≥b p＋b k，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．因为(b1＋b n)－(b p＋b k)＝b1＋b1q n－1－b1q p－1－b1q k－1＝b1(q p－1－1)( q k－1－1)．当q＞1时，因为y＝q x为增函数，p－1≥0，k－1≥0，所以q p－1－1≥0，q k－1－1≥0，所以b1＋b n≥b p＋b k．当q＝1时，b1＋b n＝b p＋b k．当0＜q＜1时，因为y＝q x为减函数，p－1≥0，k－1≥0，所以q p－1－1≤0，q k－1－1≤0，所以b1＋b n≥b p＋b k．综上，b1＋b n≥b p＋b k，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．…………………14分所以n(b1＋b n)＝(b1＋b n)＋(b1＋b n)＋…＋(b1＋b n)≥(b1＋b n)＋(b2＋b n－1)＋(b3＋b n－2)＋…＋(b n＋b1)＝(b1＋b2＋…＋b n)＋(b n＋b n－1＋…＋b1)，即b1＋b2＋…＋b nn≤b1＋b n2．……………………16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．A．选修4—1：几何证明选讲证明如图，延长PO交⊙O于D，连结AO，BO．AB交OP于点E．因为PA与⊙O相切，所以PA2＝PC・PD．设⊙O的半径为R，因为P A＝12，PC＝6，所以122＝6(2R＋6)，解得R＝9．……………………4分因为PA，PB与⊙O均相切，所以PA＝PB．又OA＝OB，所以OP是线段AB的垂直平分线．……………………7分即AB⊥OP，且AB＝2AE．在Rt△OAP中，AE＝OA・P AOP＝365．所以AB＝725．……………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解（1）由题知，1 ab111＝2，即1＋a＝0，b＋1＝2，解得a＝－1，b＝1．……………………4分（2）设P' (x，y)是曲线C'上任意一点，P'由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以1 －11 1x0y0＝xy，即x0－y0＝x，x0＋y0＝y，解得x0＝y＋x2，y0＝y－x2．……………………7分ABPO C（第21题A）D E因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2・y －x 2＝1，即y 24－x24＝1．即曲线C'的方程为y 24－x24＝1．……………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)．……………………3分当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设直线l 的方程为y －3＝k(x －33)，由圆心C(3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2．……………………6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0．…………………8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3．……………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解原不等式等价于x ≥4，x 2－4x －3＜0，或x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．……………………5分解得x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x| x ＜1或3＜x ＜2＋7}．……………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)，→AE ＝(0，1，1)．设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|→PB ・→AE|→PB|×|→AE||＝14．AB C EDP（第22题）yxz F即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14．……………………4分（2）设P A 的长为a ，则P(0，0，a)，从而→PB ＝(3，1，－a)，→PC ＝(0，2，－a)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1・→PB ＝0，n 1・→PC ＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0．令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ．所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量．因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D(32，12，a 2)，E(0，1，a2)，则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a 2)．设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2・→AD ＝0，n 2・→AE ＝0．所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a 2z ＝0．令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ．所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量．……………………8分因为面ADE ⊥面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1・n 2＝(33a ，a ，2)・(－33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即PA 的长为3．……………………10分23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59．……………………2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n+1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．……………………4分从而p n+1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ．……………………6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k(k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k+1－1＞k2k ＋1＋14(12＋12×13k+1)－1＝k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2．要证k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k2k ＋1．只要证3k+13k+1＋2≥k 2＋3k ＋1k2＋3k ＋2．只要证23k+1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k+1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k+1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k(2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n2n ＋1对任意的n ∈N *都成立．……………………10分。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分 （2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分 因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上；③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4． 所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4． 所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分 （2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1， 所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6． 即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ． 所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分 设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立， 因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分 （3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ． 因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分 所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)， 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2． …………………… 16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2013.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明 如图，延长PO 交⊙O 于D ，连结AO ，BO ．AB 交OP 于点E ．因为P A 与⊙O 相切， 所以P A 2＝PC ·PD ．设⊙O 的半径为R ，因为P A ＝12，PC ＝6，所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9． …………………… 4分 因为P A ，PB 与⊙O 均相切，所以P A ＝PB ．又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线． …………………… 7分 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE ． 在Rt △OAP 中，AE ＝OA ·P A OP ＝365．所以AB ＝725． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解 （1）由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤02，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1．…………………… 4分（2）设P' (x ，y )是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C 上的点P (x 0，y 0) 经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2．…………………… 7分 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1．即曲线C' 的方程为y 24－x 24＝1． …………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)． …………………… 3分ABOC （第21题A ）DE当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 设直线l 的方程为y －3＝k (x －33)，由圆心C (3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2． …………………… 6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0． ………………… 8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3． …………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0． …………………… 5分解得⎩⎨⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系． 则A (0，0，0)，B (3，1，0)， C (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)， →AE ＝(0，1，1)． 设直线AE 与PB 所成角为θ， 则cos θ＝|→PB ·→AE|→PB |×|→AE ||＝14．即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14 ． …………………… 4分（2）设P A 的长为a ，则P (0，0，a )，从而→PB ＝(3，1，－a )，→PC ＝(0，2，－a )．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·→PB ＝0，n 1·→PC ＝0， 所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0． 令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ． 所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量．（第22题）因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D (32，12，a 2)，E (0，1，a2)， 则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a2)． 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·→AD ＝0，n 2·→AE ＝0． 所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0． 令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ． 所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量． …………………… 8分 因为面ADE ⊥面PBC ， 所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝(33a ，a ，2)·(－ 33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0， 解得a ＝3，即P A 的长为3． …………………… 10分 23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． …………………… 2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． …………………… 6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2． 因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． ……………………10分。
南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．127 5． 236．710 7．2 8．①④ 9．56210．2 11．2 12．2x ＋y －2＝0 13．(12，17) 14．332二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解（1）方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α． ………………………… 2分又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15． ………………………… 4分所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35． ………………………… 6分方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α ………………………… 2分＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1， ………………………… 4分 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35． ………………………… 6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π) ，sin2α＝45． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)． ………………………… 10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22． ………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43． 从而2α∈(π2，π)． ………………………… 8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17． ………………………… 10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1． ………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4． ………………………… 14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分 （2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分（第16题）ABC D EC 1A 1B 1FG因为BD ∩EB ＝B ，BD ⊂平面BDE ， EB ⊂平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分17．解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1x (x ＞0)． ……………………… 2分由f ′(x )＞0得x ∈(0，12) ．所以函数f (x )的单调增区间为(0，12)． ……………………… 4分（2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1x，得f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g (x )＝12m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．则g ′(x )＝m (x －1)－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x(x ＞0)． …………… 8分①当0＜m ＜1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′(x )＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g (x )在(0，1)为增函数，在(1，1m )上为减函数，在(1m ，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →∞时，g (x )→∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意． ……………………… 10分 ②当m ＝1时，g ′(x )≥0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，且g (1)＝0，故m ＝1符合题意． ③当m ＞1时，由g ′(x )＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′(x )＜0得1m＜x ＜1，所以函数g (x )在(0，1m ) 为增函数，在(1m ，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，且当x →0时，g (x )→－∞，此时曲线y ＝g (x )与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1． ……………………… 14分18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16． ……………………… 2分 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4． ……………………… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8． ……………………… 8分设f (x )＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′(x )＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x 3，x ＞0．故所以f (x )的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]； ……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y )×6＝16，即y ＝163－x ．由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．所以l ＝62＋(x －y )2＝62＋4(x －83)2，0≤x ≤163．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN所以l 的范围为[6，21453]； ……………………… 13分当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y )×8＝16，即y ＝4－x ．由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4． 所以l ＝82＋(x －y )2＝82＋4(x －2)2，0≤x ≤4． 所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]． ……………………… 16分19．解（1）由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8．即实数m 的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分 （2）因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1．①设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]． ……………………… 4分 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．……………………… 6分②由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1， 所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． ……………………… 9分令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|． ……………………… 12分因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝263|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6． 即ABFN为定值6． ……………………… 16分20．解（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12d ． 所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝(a 1＋n －12d )－(a 1＋n －22d )＝d2．即数列{S nn }是等差数列． ……………………… 2分（2）因为对任意正整数n ，k (n ＞k )，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列． ……………………… 4分 设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1， 所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1．又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k (n ＞k )都成立， 因此a n ＝2n －1． ……………………… 7分 （3）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝a a n ，所以b n b n －1＝a a n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q (q ＞0)．以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ． 因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)( q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k ．当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0， 所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k ．综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n ．………………… 14分所以n (b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n )≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1)＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)， 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2． …………………… 16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2013.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明 如图，延长PO 交⊙O 于D ，连结AO ，BO ．AB 交OP 于点E ．因为P A 与⊙O 相切， 所以P A 2＝PC ·PD ．设⊙O 的半径为R ，因为P A ＝12，PC ＝6，所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9． …………………… 4分 因为P A ，PB 与⊙O 均相切，所以P A ＝PB ．又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线． …………………… 7分 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE ． 在Rt △OAP 中，AE ＝OA ·P A OP ＝365．所以AB ＝725． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解 （1）由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤02，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1．…………………… 4分（2）设P' (x ，y )是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C 上的点P (x 0，y 0) 经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎨⎧x 0＝y ＋x2，y 0＝y －x 2．…………………… 7分 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1．ABOC （第21题A ）DE即曲线C' 的方程为y 24－x 24＝1． …………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)． …………………… 3分当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 设直线l 的方程为y －3＝k (x －33)，由圆心C (3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2． …………………… 6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0． ………………… 8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3． …………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0． …………………… 5分解得⎩⎨⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系． 则A (0，0，0)，B (3，1，0)， C (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)， →AE ＝(0，1，1)． 设直线AE 与PB 所成角为θ， 则cos θ＝|→PB ·→AE|→PB |×|→AE ||＝14．即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14． …………………… 4分（第22题）（2）设P A 的长为a ，则P (0，0，a )，从而→PB ＝(3，1，－a )，→PC ＝(0，2，－a )．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·→PB ＝0，n 1·→PC ＝0， 所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0． 令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ． 所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量． 因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D (32，12，a 2)，E (0，1，a2)， 则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a2)． 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·→AD ＝0，n 2·→AE ＝0． 所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0． 令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ． 所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量． …………………… 8分 因为面ADE ⊥面PBC ， 所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝(33a ，a ，2)·(－ 33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0， 解得a ＝3，即P A 的长为3． …………………… 10分 23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． …………………… 2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． …………………… 6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2． 因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． ……………………10分。
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题(扫描版)
1． 【答案】(2 2)-，【解析】考查集合的运算，(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U (2 2)-，. 2．【答案】1 【解析】考查复数的四则运算．由(34i)50z ++=得34, 1.5iz z -+==3．【答案】2400 【解析】考查算法的流程图，40080012002400.++=4．【答案】必要不充分【解析】考查充分必要条件。
5．【答案】15【解析】考查统计中的总体分布的估计，应注意组距是20． 6．【答案】4【解析】考查抛物线的标准方程与简单性质，注意p 的含义．7．【答案】1【解析】考查古典概型．符合条件的有(1，3)，(2，6)，(3，9)三个． 8．2【解析】考查圆与直线的位置关系．找出点Q 在直线260x y --=上，转化为圆上的点到直线的距离求解．9．【答案】【解析】 考查sin()y A x ωϕ=+的图象性质，周期性，诱导公式．由图知5A =，12T =，从而ωπ=6，6ϕπ=，则(2013)(9)f f ==10．【答案】12n -【解析】考查等比数列和基本不等式，由2213a a a =，211a a -=及0n a >得()2131111124a a a a a +==++≥（当且仅当11a =时取等号），此时22a =，则12n n a -=．本题也可以利用基本量思想求解．11．【答案】7-【解析】考查函数的图象与基本性质．由偶函数的性质，得到1 2 1a b c ===-，，．由题意知3 2 D C C D x x x x =⎧⎨+=⎩，，所以12C x =，则()211721224t =-⨯-=-．12．【答案】() e n n ，【解析】考查导数与归纳推理．设111( e )x T x ，，则111e e 1x x x =+，解得10x =，所以01(0 e )T ，；设222( e )x T x ，，则222e e x x x =，解得21x =，所以2(1 e)T ，；设232( e )x T x ，，则331e e 1x x x =-，解得32x =，所以23(2 e )T ，；…，通过归纳可猜想：1( e ) nn T n n +∈N ，，．讲评时提醒学生本题可推导出{}n x 是等差数列用于求解．13．【答案】13【解析】考查平面向量的数量积．由2EF AB DC =+ ，平方并整理得2AB DC ⋅= ，即()AB AC AD⋅- 2AB AC AB AD =⋅-⋅= ①，由15AD BC ⋅= ，得()15AD AC AB AD AC AD AB ⋅-=⋅-⋅= ②，②-①得AC BD⋅ ()AC AD AB=⋅- 13=． 14．【答案】【解析】方法一：因为123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，，所以10a >，30a <，消去2a 得31122a a -<<-，且21413413()0a a a a a a a -+++=，两边同除以1a 得()2334411110a a a a a a -+++=，解得31a a 2441a a =-1-，所以24412112a a -<<---，解得4a <．方法二：由123123 0a a a a a a >>⎧⎨++=⎩，得321132111 10 a a a a a a a a ⎧>>⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，令2131 a x a a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，则1 10 y x x y <<⎧⎨++=⎩，，利用线性规划知识求出21a a 的取值范围，再结合242411a a a a =-，求出4a 的取值范围．方法三：可以用求根公式求出4a ，再结合21a 的取值范围，利用单调性求解．15．【解析】（1）在矩形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB //平面PCD ．（2）如图，连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ，在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点， 又PA PB PC PD ===， 故PO AC ⊥，PO BD ⊥， 又AC BD O =I ，AC BD ，⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 16.【解析】（1）在△ABC 中，ABC（第15题）PDO222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B C c a b ---====----，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos2cos2)cos2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ 因为2π03A <<，所以4π023A <<， 故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤， 所以3924T <≤． 17. 【解析】（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=，3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． （2）由（1）知21121Q Q x =+，当1=4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． 18．【解析】（1）解：由题意，得1c =，c e a =，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．①（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--，③ 由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D的横坐标为，记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线AC ，BD 的斜率之和为 13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- 132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅-- 1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=．19.【解析】（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-，所以120(1)2019n a n n =+-=-，令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ①则213 13213(2039)3(2019)3n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ②①-②得，()2121+20333(2019)3n nn S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅- (2920)329n n =-⋅-，所以(2029)329n n n S -⋅+=． （2）因为k k a b =，所以11(1)k k d q -+-=，即111k q d k --=-， 故111(1)1k n q a n k --=+--， 又1n n b q -=，所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- （ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦-22(1)()(1)1n q q k n n k ----=--0<，（ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦-22(1)()k q q n k -=--0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． （注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．） 20.【解析】（1）依题意，142()1()1f x ag x x x x ==--在(0 )+∞，上单调递增， 故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立，得212a x ≤， 因为0x >，所以0a ≤．而当0a ≤时，1421()10a g x x x =--<显然在(0 )+∞，恒成立， 所以0a ≤． （2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，0220()()f x f x x x >恒成立，即2020()()f x f x x x >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得201120()()f x f x x m x >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =，则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”．更多2013届各地最新模拟下载只需复制网址下载，绝对安全无毒江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷（WORD 版）.doc:/file/20316351江苏省南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试数学试卷2013.3.doc:/file/20316354 江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题（扫描版）.doc:/file/20316355江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）数学试题（word版）.doc:/file/20316358江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题（扫描版）有答案.doc:/file/20316361江西省2013届高三九校第二次联考数学（文）试题.doc: 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江苏省盐城市高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则A B = ▲ .2.已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= ▲ .3.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 ▲ .4.函数()232f x x x =--的定义域为 ▲ . 5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，90件，60件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则=n ▲ ．6.如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ▲ ．7.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()22cos 24παα-=，则α2sin = ▲ .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ .9.设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ . 10.若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ .11.在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为▲ ．12.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13.若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ． 14.若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，23b =时，求ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .17．(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直，通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。
江苏南京、盐城2013高三第三次模拟考试-数学(word解析版)
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•盐城三模）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（1，3]．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：先由条件求得A和B，再由两个集合的交集的定义求得A∩B．解答：解：∵函数f（x）=的定义域为A，∴A={x|x≤3}．∵函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，∴B={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]，故答案为（1，3]．点评：本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集的求法，集合的表示法，属于基础题．2．（5分）（2013•盐城三模）已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=5．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数求出z的表达式，然后求解复数的模即可．解答：解：因为复数z满足（z+1）i=3+5i，所以z+1=所以z==，两边求模可得：|z|===5．故答案为：5．点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算能力．3．（5分）（2013•盐城三模）某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为8．考点：伪代码．专题：图表型．分析：根据伪代码可知该题考查一个分段函数y=，再利用输出值为3，即可求得输入值．解答：解：本题的伪代码表示一个分段函数y=∵输出值为3∴或∴x=8∴输入值x=8故答案为：8．点评：本题考查算法知识，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定伪代码表示一个分段函数，属于基础题．4．（5分）（2013•盐城三模）如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：图表型．分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据方差的计算方法，把七个数字求出平均数和方差即得．解答：解：由茎叶图知，七个数据为88，89，89，90，91，91，92，平均数为=90；方差为[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=．故答案为：．点评：茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．（5分）（2013•盐城三模）已知函数f （x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象可得=，解方程求得ω的值．解答：解：由函数的图象可得==，解得ω=，故答案为．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，根据周期求出ω的值，属于中档题．6．（5分）（2013•盐城三模）在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有种方法；其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况（2，4）；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有=10种方法，其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况（2，4）；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，因此取到的卡片上的数字之积为偶数的情况共有1+6=7，∴取到的卡片上的数字之积为偶数的概率P=．故答案为．点评：熟练掌握组合的计算公式和意义、古典概型的概率计算公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•盐城三模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是①④（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①由线面垂直的判定定理可知正确；②m与n可能平行可能相交；③m与n可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确．解答：解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；选项②错误，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m与n可能平行可能相交；选项③错误，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．故答案为：①④点评：本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，属基础题．9．（5分）（2013•盐城三模）如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．（5分）（2013•盐城三模）记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为2．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分别计算出f（2）﹣f（﹣2），2﹣（﹣2），利用f （2）﹣f（﹣2）=f′（x0）[2﹣（﹣2）]，即可解出．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3．又f（2）﹣f（﹣2）=23﹣3×2﹣[（﹣2）3﹣3×（﹣2）]=4，2﹣（﹣2）=4．设x0∈[﹣2，2]为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的“中值点”．则4f′（x0）=4，得f′（x0）=1．∴，解得．∴函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”为，其个数为2．故答案为2．点评：正确理解“中值点”，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．11．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若=2，则双曲线的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由=2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．解答：解：如图因为=2，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴，e2=4⇒e=2．故答案为：2．点评：本题是对双曲线的渐进线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．12．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x ﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，0）．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为2x+y﹣2=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l 的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），圆心C到直线l的距离为定值求得k的值，从而求得直线l的方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0 即[x﹣（3﹣m）]2+（y﹣2m）2=9，表示以C（3﹣m，2m）为圆心，半径等于3的圆．∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|m﹣3﹣1|=|m ﹣4|，不是定值．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．此时，圆心C到直线l的距离d==为定值，与m无关，故k=﹣2，故直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0，故答案为2x+y﹣2=0．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13．（5分）（2013•盐城三模）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣5．设c n=，若在数列{c n}中，c8＞c n（n∈N*，n≠8），则实数p的取值范围是（12，17）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．专题：综合题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：由c n表达式知c n是a n，b n中的较小者，易判断{a n}是递减数列，{b n}是递增数列，由c8＞c n（n≠8）知c8是c n的最大者，从而可知n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，进而可知a n与b n的大小关系，且c8=a8或c8=b8，分两种情况讨论，当c8=a8时，a8＞b7，当c8=b8时，b8＞a9，分别解出p的范围，再取并集即可；解答：解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，因为a n=﹣n+p，所以{a n}是递减数列；因为b n=2n﹣5，所以{b n}是递增数列，因为c8＞c n（n≠8），所以c8是c n的最大者，则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，因此，n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，而c8=a8或c8=b8，若a8≤b8，即23≥p﹣8，所以p≤16，则c8=a8=p﹣8，∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，故12＜p≤16，若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，所以p＞16，∴c8=b8=23，那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，∴p＜17，故16＜p＜17，综上，12＜p＜17．故答案为：（12，17）．点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列的函数特性，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生逻辑推理能力，难度较大．14．（5分）（2013•盐城三模）设点P是曲线y=x2上的一个动点，曲线y=x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．解答：解：设，由y=x2得，所以过点P且与直线l垂直的直线方程为．联立y=x2得：．设Q（x1，y1），则，所以，．所以|PQ|===．令t=．g（t）=．则，当t∈（0，2）时，g′（t）＜0，g（t）为减函数，当t∈（2，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）为增函数，所以．所以PQ的最小值为．故答案为．点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是把高次幂的函数式通过换元降幂，是中档题．二、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•盐城三模）已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1=sin2α+cos2α”的代换，然后化简分式2tanα的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin2α，sinβ，通过二倍角的正弦函数，求出sin（2α﹣β）的值，结合角的范围求出角的大小即可．解答：解：（1）cos2α=cos2α﹣sin2α==，因为tanα=2，所以，所以cos2α=．（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以又cos2α=，∴，，因为β∈（0，π），cosβ=﹣．所以，，所以sin（2α﹣β）=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ==﹣，又，∴2α﹣β=﹣．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键．16．（14分）（2013•盐城三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，A1A=AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出．利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；（2）利用面面垂直的性质即可得出BD⊥侧面ACC1A1．利用相似三角形的判定和性质即可得出，再利用线面垂直的性质定理即可证明．解答：证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵F为C 1B的中点，∴．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E为A1A的中点，∴，∴四边形AEFG是平行四边形．∴EF∥AG．∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）∵点D是正△ABC的BC边的中点，∴BD⊥AC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1．∴BD⊥C1E．∵，∴Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴∠A1EC1=∠ADE．∴，∴C1E⊥ED．∵ED∩DB=D．∴C1E⊥平面BDE．点评：熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．（14分）（2013•盐城三模）已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的单调增区间；（2）先求切线方程为y=﹣x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．解答：解：（1）当m=0时，函数f（x）=﹣2x+3+lnx由题意知x＞0，f′（x）=﹣2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜时，所以f（x）的增区间为（0，）．（2）由f′（x）=mx﹣m﹣2+，得f′（1）=﹣1，知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=﹣x+2，于是方程：﹣x+2=f（x）即方程m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，（x＞0）．则g′（x）==，①当m=1时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由g′（x）=＜0得＜x＜1，故g（x）在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在（1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→﹣∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；③当0＜m＜1时，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，由g′（x）=＜0得1＜x＜，故g（x）在区间（0，1），（1，）上单调递增，在（，+∞）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；∴由上述知：m=1．点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．18．（16分）（2013•盐城三模）将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1≤S2．记折痕长为lcm．（1）若l=4，求S1的最大值；（2）若S1：S2=1：2，求l的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式．专题：综合题；分类讨论；函数思想；导数的综合应用．分析：（1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．利用不等式即可求得S1的最大值；（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32，按三种情形进行讨论：根据S1的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；解答：解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，所以，当且仅当x=y=2时取等号，即S 1的最大值为4．（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32．当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则，即y=，由，解得，所以l==，，设f（x）=，x＞0，则=，x＞0，故当x∈（）时f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（4，8）时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（）=64，f（8）=80，所以f（x）的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]．当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则，即y=，由，解得0，所以l==，0，所以l的范围为[6，]；当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则，即y=4﹣x，由，得0≤x≤4，所以l==，0≤x≤4，所以l的取值范围为[8，4]，综上，l的取值范围为[6，]．点评：本题考查利用导数、不等式求函数的最值，考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．19．（16分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1．（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；（2）若m=6，①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：是定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由焦点在x轴上得，m＞8﹣m＞0，解出即可；（2）①设点P坐标为（x，y），则，由两点间距离公式可表示出PM2，根据二次函数的性质即可求得PM2的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H （x0，y0），利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长，是定值可证；解答：解：（1）由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8，所以实数m的取值范围是（4，8）；（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为，①设点P坐标为（x，y），则，因为点M的坐标为（1，0），所以PM2=（x﹣1）2+y2===，，所以当x=时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（）；②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则，，两式相减得，，即，令k=k AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），令y=0，则x N=ky0+x0=，因为F（2，0），所以FN=|xN﹣2|=，因为AB=AF+BF=e（3﹣x 1）+e（3﹣x2）=|x0﹣3|．故==，即为定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．20．（16分）（2013•盐城三模）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a1=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=（a＞0），求证：≤．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}为等差数列，等价于a n+1﹣a n=d（d为常数）；（2）已知数列前n项和公式求通项公式，需用公式，整理化简即可得到数列{a n}的通项公式；（3）与不等式有关的数列证明题通常用放缩法来解决．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，（1）由于，从而，所以当n≥2时，=，即数列{}是等差数列．（2）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，∴，即数列{}是等差数列，设其公差为t，则，所以，=[1+（n﹣1）t]2﹣[1+（n﹣2）t]2=2t2n﹣3t2+2t，所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1又由等差数列{a n}中，a2﹣a1=a3﹣a2，即（4t2﹣3t2+2t）﹣1=（6t2﹣3t2+2t）﹣（4t2﹣3t2+2t）所以t=1，即a n=2n﹣1．（3）由于a n=a1+（n﹣1）d，，则，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q（q＞0）．以下证明：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∵（b1+b n）﹣（b p+b k）==，当q＞1时，因为y=q x为增函数，p﹣1≥0，k﹣1≥0，∴q p﹣1﹣1≥0，q k﹣1﹣1≥0，∴b1+b n≥b p+b k；当q=1时，b1+b n=b p+b k；当q=1时，因为y=q x为减函数，p﹣1≥0，k﹣1≥0，∴q p﹣1﹣1≤0，q k﹣1﹣1≤0，∴b1+b n≥b p+b k，综上：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∴n（b1+b n）=（b1+b n）+（b1+b n）+…（b1+b n）≥（b1+b n）+（b2+b n）+…（b n+b1）﹣1+…+b1），=（b1+b2+…+b n）+（b n+b n﹣1即．点评：本题考查数列的综合问题，属于较难的题目．注意在证明与数列有关的不等式时，放缩法也是解题的法宝．21．（10分）（2013•盐城三模）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；（2）设PA=a，可得、含有字母a的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为=（a，a，2），同理得到平面ADE的一个法向量=（﹣a，﹣a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得•=﹣a2﹣a2+4=0，解之得a=，由此即可得到线段PA的长．解答：解：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A 且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）∴=（，1，﹣2），=（0，1，1）设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ==即直线AE与PB所成角的余弦值为；（2）设PA=a，则P（0，0，a），可得=（，1，﹣a），=（0，2，﹣a）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则•=0且•=0∴，令z=2，得y=a，x=．可得=（a，a，2）是平面PBC的一个法向量∵D、E分别为PB、PC中点，∴D（，，），E（0，1，）因此，=（，，），=（0，1，），类似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一个法向量=（﹣a，﹣a，2）∵平面ADE⊥平面PBC，∴⊥，可得•=﹣a2﹣a2+4=0，解之得a=因此，线段PA的长等于．点评：本题给出侧棱PA与底面△ABC垂直的三棱锥，求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段PA的长，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．22．（10分）（2013•盐城三模）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n．（1）求p1，p2的值；（2）求证：＞．考点：综合法与分析法(选修）；相互独立事件的概率乘法公式；数学归纳法．专题：证明题．分析：（1）通过棋子移动结合路径直接求出p1，利用棋子移动的情况直接求解p2的值；（2）通过棋子移动通过数列是等比数列求出p n．然后利用数学归纳法证明＞．在证明n=k+1时，利用分析法证明即可．解答：解：（1）棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A出发．由3条路径，所以p 1=．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p 2==．（2）因为移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n．故落在下底面顶点的概率为1﹣p n．于是，移了n+1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=，从而p n+1﹣=，所以数列{}是等比数列，首项为公比为，所以，用数学归纳法证明：＞．①当n=1时左式=，右式=，因为，所以不等式成立．当n=2时，左式=，右式=，所以不等式成立；②假设n=k（k≥2）不等式成立，即．则n=k+1时，左式==，要证，只要证，即证：，只要证，只要证3k+1≥2k2+6k+2，因为k≥2，所以=6k2+3=2k2+6k+2+2k（2k﹣3）+1＞2k2+6k+2所以，即n=k+1时不等式也成立，由①②可知＞对任意n∈N*都成立．点评：本题考查概率的应用，概率与数列相结合，数学归纳法与分析法证明不等式的应用，考查逻辑推理能力与分析问题解决问题的能力．三、【选做题】在23、24、25、26四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）（2013•盐城三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA=12，PC=6，求AB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；直线与圆．分析：延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．利用切割线定理即可得出⊙O的半径R，利用切线长定理得到PA=PB，由半径OA=OB，于是可得OP垂直平分AB．在Rt△OAP中，由面积即可得出AE，从而得出AB．解答：解：如图所示，延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PC•PD．设⊙O的半径为R，∵PA=12，PC=6．∴122=6（6+2R），解得R=9．∵PA，PB与⊙O都相切，∴PA=PB．又∵OA=OB，∴OP垂直平分AB．即OP⊥AB，AB=2OE．在Rt△OAP中，．∴=．∴．点评：熟练掌握圆的性质、切割线定理、切线长定理、线段的垂直平分线的判定与性质、“等积变形”是解题的关键．24．（2013•盐城三模）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵M=对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），将曲线C：xy=1变为曲线C′．（1）求实数a，b的值；（2）求曲线C′的方程．考点：二阶矩阵；双曲线的标准方程；几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先根据矩阵M对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），建立二元一次方程组求出实数a，b的值；（2）由（1）得矩阵M，然后设曲线C：xy=1上的任意一点P（x'，y'），变换后的点为P'（x，y）的关系，将点P（x'，y'）的坐标代入曲线C：xy=1的方程即可求出曲线C′的方程．解答：解：（1）由已知得M=，即=，∴∴．（2）设点P（x'，y'）是曲线C：xy=1上的任意一点，变换后的点为P'（x，y）则=，即，解得，因为x′y′=1，所以=1，即．即曲线C′的方程为．点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．25．（10分）（2013•盐城三模）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos （θ﹣），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：先把圆C极坐标方程化成直角坐标方程，得到圆心坐标和半径，再设直线l的直角坐标方程，由于直线与曲线C相切，从而圆心到直线l的距离等于半径，可得直线的直角坐标方程，最后利用极坐标与直线坐标之间的关系化成极坐标方程即可．解答：解：圆C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．…（3分）点M的直角坐标为（3，3），当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y﹣3=k（x﹣3），圆心到直线的距离为r=2，…（6分）因为圆心到直线l的距离d=，所以k=0或k=．故所求直线的方程为y=3或x﹣y﹣6=0，其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin（﹣θ）=3…（10分）点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．26．（2013•盐城三模）选修4﹣5：不等式选讲解不等式x|x﹣4|﹣3＜0．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过去掉绝对值符号，转化为二次不等式求解即可．解答：解：原不等式转化为：或解得或即或3＜x＜4或x＜1．综上不等式的解集为：{x|x＜1或3＜x＜2+}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解题的关键，考查分类讨论思想的应用．。
2013三模南京盐城卷
一． 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.记函数x x f -=3)(的定义域为A ，函数)1lg()(-=x x g 的定义域为B ，则B A ⋂= 。
2.已知复数z 满足i i z 53)1(+=+，其中i 为虚数单位，则z = 。
3.某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x ad Re x的值为 。
If 0≤x Then4.右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这 2+←x y组数据的方差是 。
Else5.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图像如图所示， x y 2log ←则 =ω 。
End Ifint Pr y6.在一个盒子中有分别标有数字1，2,3,4,5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 。
7.在平面直角坐标系xOy 中，已知)2,0(),1,3(=-=→→OB OA ，若→→→→==∙OB AC AB OC λ,0,则实数λ的值为 。
8.已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面.①若βαβα⊥⊥⊂则,,m m ； ②若n m n m ⊥⊥=⋂⊂则,,,βαβαα；③若αβα,,⊂⊂n m //n m //,则β; ④若n m n m m //,,,//则=⋂⊂βαβα。
上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）。
9.如图，在ABC ∆中， 45=∠B ，D 是BC 边上的一点， 3,7,5===DC AC AD ,则AB 的长为 。
10.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)(,x f .如果存在],[0b a x ∈，使得)()(a f b f -=))((0,a b x f -成立，则称0x 为函数)(x f 在区间],[b a 上的中值点。
那么函数x x x f 3)(3-=在区间]2,2[-上的中值点的个数为 。
11.在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B ，若→→=FA FB 2，则双曲线的离心率为 。
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南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数 学 2013．05
注意事项：
1．本试卷共160分、考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差
s 2＝
1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1
∑n x i ．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ▲ ．
2．已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝ ▲ ． 3．某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则 输入x 的值为 ▲ ．
4．右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么 这组数据的方差是 ▲ ．
5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的部分图象如图所示， 则ω＝ ▲ ．
6．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →
，则实数λ的值为 ▲ ．
8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．
Read x
If x ≤0 Then y ←x ＋2 Else
y ←log 2x End If Print y （第3题）
8 8 9 9 9 0 1 1 2 （第4题）
9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5， AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为 ▲ ．
10．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作双曲线
C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长F A 与另一条渐近线交于点B ．若FB →＝2FA →
，则双曲线的离心率为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m )x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 ▲ ． 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2
n －5
．设c n ＝⎩⎨
⎧a n ，a n ≤b n ，
b n ，a n ＞b n ，
若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ▲ ．
14．设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－72
10．
（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值．
A
B
D
C
（第9题）
16．(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中
点．
（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．
17．(本小题满分14分)
已知函数f (x )＝1
2m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．
（1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；
（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．
18．(本小题满分16分)
将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ．
（1）若l ＝4，求S 1的最大值；
（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．
A
B
C D
E
C 1
A 1
B 1
F （第16题）。