高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用
【全程复习方略】高考数学第一轮总复习 2.11 导数在研究函数中的应用课件 文 新人教A版
③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断
左正右负 左增右减),那 y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果_________(
极大值 如果_________( 左负右正 左减右增),那么 么f(x)在这个根处取得_______,
极小值 如果左右两侧符号一样,那么这个 f(x)在这个根处取得_______.
11年(13考):山东T21 三年 考题 陕西T21 浙江T21
湖南T22 天津T19 广东T19
江苏T19 江西T20 辽宁T11
福建T10
北京T18
福建T22
安徽T18
1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单 调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热 考情 点 播报 2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等 式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分 类讨论思想的应用
其中正确的是( A.①③ B.②④
) C.③⑤ D.④⑤
【解析】选C.①错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一 定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.所以 f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.②错误. 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 .③正 确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 ,极大值可 能比极小值大,也可能比极小值小.④错误.对可导函数f(x), f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时 f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点.⑤正确.当 函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.
2.(2014·湘潭模拟)函数y= 1 x2-lnx的单调递减区间
高考数学导数及应用知识点
高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一,也是高考数学必考的知识点。
掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。
本文将以“step by step thinking”为主线,逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
对于给定的函数f(x),在某一点x上的导数表示为f’(x),它的定义如下:f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中,lim表示极限,h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时,函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。
二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0:对于常数函数f(x) = c,其中c为常数,其导数为f’(x) = 0。
因为常数函数在任意一点的函数值都相同,所以其变化率为0。
2. 幂函数的导数:对于幂函数f(x) = x^n,其中n为正整数,其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。
幂函数的导数是指数函数。
3. 指数函数的导数:对于指数函数f(x) = a^x,其中a为正实数且不等于1,其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。
指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。
4. 对数函数的导数:对于对数函数f(x) = log_a(x),其中a为正实数且不等于1,其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数是关于自变量的倒数。
5. 三角函数的导数:常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用,以下是一些常见的应用场景:1.切线和法线:导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。
切线是曲线在该点处的斜率,即导数;法线则是与切线垂直的直线,其斜率为导数的负倒数。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人
2.11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1.(2017·某某模拟)函数f (x )=axx 2+1(a >0)的单调递增区间是( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ,f ′(x )=a 1-x 2x 2+12=a 1-x 1+xx 2+12.由于a >0,要使f ′(x )>0,只需(1-x )·(1+x )>0,解得x ∈(-1,1).故选B.2.若函数f (x )=(x 2-2x )e x在(a ,b )上单调递减,则b -a 的最大值为( ) A .2 B. 2 C .4 D .2 2 答案 D解析 f ′(x )=(2x -2)e x +(x 2-2x )e x =(x 2-2)e x,令f ′(x )<0,∴-2<x <2, 即函数f (x )的单调递减区间为(-2,2). ∴b -a 的最大值为2 2.故选D.3.函数f (x )=(x -1)(x -2)2在[0,3]上的最小值为( ) A .-8 B .-4 C .0 D.427答案 B解析 f ′(x )=(x -2)2+2(x -1)(x -2)=(x -2)(3x -4).令f ′(x )=0⇒x 1=43,x 2=2,结合单调性,只要比较f (0)与f (2)即可.f (0)=-4,f (2)=0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)=-4.故选B.4.(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数,满足f ′(x )-2f (x )<0,且f (-1)=0,则f (x )>0的解集为( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(-∞,0)D .(-1,+∞) 答案 A 解析 设g (x )=f xe2x,则g ′(x )=f ′x -2f xe2x<0在R 上恒成立,所以g (x )在R 上递减,又因为g (-1)=0,f (x )>0⇔g (x )>0,所以x <-1.故选A.5.(2017·某某某某一中期末)f (x )=x 2-a ln x 在(1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值X 围为( )A .a <1B .a ≤1 C.a <2 D .a ≤2 答案 D解析 由f (x )=x 2-a ln x ,得f ′(x )=2x -a x, ∵f (x )在(1,+∞)上单调递增,∴2x -a x≥0在(1,+∞)上恒成立,即a ≤2x 2在(1,+∞)上恒成立, ∵x ∈(1,+∞)时,2x 2>2,∴a ≤2.故选D.6.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x ),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,设a =f (0),b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,c =f (3),则( ) A .a <b <c B .c <a <b C .c <b <a D .b <c <a 答案 B解析 由f (x )=f (2-x )可得对称轴为x =1,故f (3)=f (1+2)=f (1-2)=f (-1). 又x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,可知f ′(x )>0.即f (x )在(-∞,1)上单调递增,f (-1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,即c <a <b .故选B. 7.若函数f (x )=e -x·x ,则( ) A .仅有极小值12eB .仅有极大值12eC .有极小值0,极大值12eD .以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )=-e -x·x +12x·e -x=e -x⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +12x =e -x ·1-2x 2x. 令f ′(x )=0,得x =12.当x >12时,f ′(x )<0;当x <12时,f ′(x )>0.∴x =12时取极大值,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1e·12=12e.故选B. 8.已知函数f (x )=ax-1+ln x ,若存在x 0>0,使得f (x 0)≤0有解,则实数a 的取值X 围是( )A .a >2B .a <3C .a ≤1 D.a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0,+∞),不等式a x-1+ln x ≤0有解,即a ≤x -x ln x 在(0,+∞)上有解,令h (x )=x -x ln x ,可得h ′(x )=1-(ln x +1)=-ln x ,令h ′(x )=0,可得x =1,当0<x <1时,h ′(x )>0,当x >1时,h ′(x )<0,可得当x =1时,函数h (x )=x -x ln x 取得最大值1,要使不等式a ≤x -x ln x 在(0,+∞)上有解,只要a 小于等于h (x )的最大值即可,即a ≤1.故选C.9.若函数f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈[-1,1]总有f (x )≥0成立,则实数a 的取值X 围为( )A .[2,+∞) B.[4,+∞) C .{4} D .[2,4] 答案 C解析 f ′(x )=3ax 2-3,当a ≤0时,f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意;当0<a ≤1时,f ′(x )=3ax 2-3=3a ⎝⎛⎭⎪⎫x +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a ,f (x )在[-1,1]上为减函数,f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意;当a >1时,f (-1)=-a +4≥0,且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =-2a+1≥0, 解得a =4.综上所述,a =4.故选C.10.(2018·某某一模)已知函数f (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x -2ln x (m ∈R ),g (x )=-m x,若至少存在一个x 0∈[1,e],使得f (x 0)<g (x 0)成立,则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2eC .(-∞,0]D .(-∞,0) 答案 B解析 由题意,不等式f (x )<g (x )在[1,e]上有解,∴mx <2ln x 在[1,e]上有解,即m 2<ln xx在[1,e]上有解,令h (x )=ln x x ,则h ′(x )=1-ln xx2,当1≤x ≤e 时,h ′(x )≥0,∴在[1,e]上,h (x )max =h (e)=1e ,∴m 2<1e ,∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,2e .故选B.二、填空题11.已知函数f (x )=12mx 2+ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值X 围为________.答案 [1,+∞)解析 f ′(x )=mx +1x-2≥0对一切x >0恒成立.m ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x ,令g (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x,则当1x =1时,函数g (x )取得最大值1,故m ≥1.12.(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数,且当x ∈(0,2)时,f (x )=ln x -ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12,当x ∈(-2,0)时,f (x )的最小值是1,则a =________.答案 1解析 由题意,得x ∈(0,2)时,f (x )=ln x -ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值-1,f ′(x )=1x -a ,由f ′(x )=0,得x =1a ∈(0,2),且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,则f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln 1a -1=-1,解得a =1.13.(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线,f (1+x )=f (1-x ),f (1)=a ,且当0<x <1时,f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x ),则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________.答案 a解析 由f (1+x )=f (1-x )可得函数f (x )的图象关于直线x =1对称.又f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (0)=0,且f (x )的图象关于点(0,0)对称,所以f (x )是以4为周期的周期函数,则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同.令g (x )=f xex,则g ′(x )=f ′x -f xex<0,函数g (x )在(0,1)上递减,则g (x )<g (0)=0,所以f ′(x )<f (x )<0,则函数f (x )在(0,1)上单调递减.又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增,则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)=f (1)=a .14.(2018·启东中学调研)已知函数f (x )=e x+a ln x 的定义域是D ,关于函数f (x )给出下列命题:①对于任意a ∈(0,+∞),函数f (x )是D 上的减函数; ②对于任意a ∈(-∞,0),函数f (x )存在最小值;③存在a ∈(0,+∞),使得对于任意的x ∈D ,都有f (x )>0成立; ④存在a ∈(-∞,0),使得函数f (x )有两个零点.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )=e x+a ln x ,可得f ′(x )=e x +a x,若a >0,则f ′(x )>0,得函数f (x )是D 上的增函数,存在x ∈(0,1),使得f (x )<0即得命题①③不正确;若a <0,设e x+a x=0的根为m ,则在(0,m )上f ′(x )<0,在(m ,+∞)上f ′(x )>0,所以函数f (x )存在最小值f (m ),即命题②正确;若f (m )<0,则函数f (x )有两个零点,即命题④正确.综上可得,正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15.已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a >0时,求函数f (x )在[1,2]上的最小值. 解 (1)f ′(x )=1x-a (x >0),①当a ≤0时,f ′(x )=1x-a >0,即函数f (x )的单调增区间为(0,+∞). ②当a >0时,令f ′(x )=1x -a =0,可得x =1a.当0<x <1a 时,f ′(x )=1-axx>0;当x >1a 时,f ′(x )=1-ax x<0,故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0,1a ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a,+∞.综上得,当a ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无递减区间;当a >0时,f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0,1a ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞. (2)①当1a≤1,即a ≥1时,函数f (x )在区间[1,2]上是减函数,∴f (x )的最小值是f (2)=ln 2-2a .②当1a ≥2,即0<a ≤12时,函数f (x )在区间[1,2]上是增函数,∴f (x )的最小值是f (1)=-a .③当1<1a <2,即12<a <1时,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,1a 上是增函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,2上是减函数.又f (2)-f (1)=ln 2-a ,∴当12<a <ln 2时,f (x )的最小值是f (1)=-a ;当ln 2≤a <1时,f (x )的最小值为f (2)=ln 2-2a . 综上可知,当0<a <ln 2时,函数f (x )的最小值是-a ; 当a ≥ln 2时,函数f (x )的最小值是ln 2-2a . 16.(2017·某某某某联考)已知函数f (x )=e x-ax ,a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a ),求g (a )的最大值; (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0,求a 的取值X 围.解 (1)函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),f ′(x )=e x-a ,令f ′(x )>0,得x >ln a , 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ,+∞); 令f ′(x )<0,得x <ln a ,所以f (x )的单调递减区间是(-∞,ln a ), 函数f (x )在x =ln a 处取极小值,g (a )=f (x )极小值=f (ln a )=e ln a -a ln a =a -a ln a . g ′(a )=1-(1+ln a )=-ln a ,当0<a <1时,g ′(a )>0,g (a )在(0,1)上单调递增; 当a >1时,g ′(a )<0,g (a )在(1,+∞)上单调递减,所以a =1是函数g (a )在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,所以g (a )max =g (1)=1.(2)当x ≤0时,a >0,e x-ax ≥0恒成立, 当x >0时,f (x )≥0,即e x-ax ≥0,即a ≤e xx.令h (x )=e x x ,x ∈(0,+∞),h ′(x )=e x x -e x x2=exx -1x 2, 当0<x <1时,h ′(x )<0,当x >1时,h ′(x )>0,故h (x )的最小值为h (1)=e , 所以a ≤e,故实数a 的取值X 围是(0,e].17.(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )=x -1x-a ln x (a ∈R ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2,记过点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))的直线的斜率为k ,问:是否存在a ,使得k =2-a ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1+1x 2-a x =x 2-ax +1x 2.令g (x )=x 2-ax +1,则方程x 2-ax +1=0的判别式Δ=a 2-4. ①当|a |≤2时,Δ≤0,f ′(x )≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增.②当a <-2时,Δ>0,g (x )=0的两根都小于0,在(0,+∞)上恒有f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增.③当a >2时,Δ>0,g (x )=0的两根为x 1=a -a 2-42,x 2=a +a 2-42,当0<x <x 1时,f ′(x )>0;当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0;当x >x 2时,f ′(x )>0, 故f (x )在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减. (2)由(1)知,a >2.因为f (x 1)-f (x 2)=(x 1-x 2)+x 1-x 2x 1x 2-a (ln x 1-ln x 2), 所以k =f x 1-f x 2x 1-x 2=1+1x 1x 2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.又由(1)知,x 1x 2=1.于是k =2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.若存在a ,使得k =2-a .则ln x 1-ln x 2x 1-x 2=1.即ln x1-ln x2=x1-x2.亦即x2-1x2-2ln x2=0(x2>1).(*)再由(1)知,函数h(t)=t-1t-2ln t在(0,+∞)上单调递增,而x2>1,所以x2-1x2-2ln x2>1-11-2ln 1=0.这与(*)式矛盾.故不存在a,使得k=2-a.。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一:因为 f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),所以[f(x)]2=4sin2x(1 +cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3,设 cosx=t,则 y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1), 所以 y′=4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=4(1+t)2(2-4t),所以当-1<t<21时, y′>0;当21<t<1 时,y′<0。所以函数 y=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1)在-1,21 上单调递增,在12,1上单调递减,所以当 t=12时,ymax=247;当 t=±1 时, ymin=0。所以 0≤y≤247,即 0≤[f(x)]2≤247,所以-32 3≤f(x)≤32 3,所以 f(x)的最小值为-32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1,即 0<a<2 时,由 f′(x)>0,得 0<x<a2或 x>1; 由 f′(x)<0,得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0,a2,(1,+∞), 函数 f(x)的单调递减区间为a2,1。 (ⅲ)当2a=1,即 a=2 时,f′(x)≥0 恒成立,则函数 f(x)的单调递增区 间为(0,+∞)。
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y=f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数
值 都小
,且 f′(a)=0,而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0 ,右
侧 f′(x)>0 ,则 x=a 叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1.函数 f(x)在区间(a,b)上递增,则 f′(x)≥0,“f′(x)>0 在(a,b)上成 立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导: (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .
1
-
a.
∴
f′(x)
=
1 x
-
ax
+
a
-
1
=
-ax2+1+ x
ax-x.①若
a≥0,当
0<x<1
时,f′(x)>0,f(x)
单调递增;当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以 x=1
是 f(x)的极大值点.②若 a<0,由 f′(x)=0,得 x=1 或 x
=-1a.因为 x=1 是 f(x)的极大值点,所以-1a>1,解得-
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]
上是单调减函数,则a的取值范围是(
)
A.0,34
C.34,+∞
B.12,34 D.0,12
[解 析 ] f′(x)= (2x- 2a)ex + (x2 - 2ax)ex = [x2 + (2 - 2a)x-2a]ex,由题意知当 x∈[-1,1]时,f′(x)≤0 恒成立, 即 x2+(2-2a)x-2a≤0 恒成立.
①当-a2≤1 时,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8,得 a=±2 2-2,均不符
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′=3x2-6x<0,得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞), 单调递减区间是(0,2). (2)由(1)可知函数在x=0时取得极大值c,在x=2时取得极小值c-4, ∴函数的极大值与极小值的差为c-(c-4)=4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出 实际问题的数学模型,写出实际问题中变量 之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定 定义域;
• (2)求函数y=f(x)的导数f′(x),解方程f′(x)= 0得出定义域内的实根,确定极值点;
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小,获得所求的最大(小)值;
【变式训练】 3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=
1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为
10 10
,
若x=23时,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解析: (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax +b.
• 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可 导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
• (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.
高考数学1轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用
2021年(高|考)一轮复习热点难点精讲精析:一、变化率与导数、导数的运算 (一 )利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接(1 )根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法: ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-;②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆; ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆ ,简记作:一差、二比、三极限 .(2 )函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数 ,而导数值是导函数在某一点的函数值 ,导数值是常数 .2、例题解析 〖例1〗求函数x =1处的导数 .解析:y∆=-=x 0x 0x 1y x y 1limlim[.x 21y |.2∆→∆→==∆=∆∆==-∆∴'=-〖例2〗一质点运动的方程为283s t =- .(1) 求质点在[1 ,1 +Δt]这段时间内的平均速度;(2) 求质点在t =1时的瞬时速度 (用定义及求求导两种方法 )分析 (1 )平均速度为s t∆∆; (2 )t =1时的瞬时速度即283s t =-在t =1处的导数值 . 解答: (1 )∵283s t =-∴Δs =8 -3(1 +Δt)2-(8 -3×12) = -6Δt -3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. (3) 定义法:质点在t =1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆(4) 求导法:质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-= ,当t =1时 ,v = -6×1 = -6.注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系 .对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系 .根据导数的定义求导数是求导数的根本方法 ,请按照 "一差、二比、三极限〞的求导步骤来求 .(二 )导数的运算 1、相关链接(1 )运用可导函数求导法那么和导数公式 ,求函数()y f x =在开区间 (a,b )内的导数的根本步骤: ①分析函数()y f x =的结构和特征; ②选择恰当的求导法那么和导数公式求导; ③整理得结果 .(2 )对较复杂的函数求导数时 ,诮先化简再求导 ,特别是对数函数真数是根式或分式时 ,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便 .(3 )复合函数的求导方法求复合函数的导数 ,一般是运用复合函数的求导法那么 ,将问题转化为求根本函数的导数解决 . ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些根本函数复合而成的 ,适中选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ,而其中特别要注意的是中间变量;③根据根本函数的导数公式及导数的运算法那么 ,求出各函数的导数 ,并把中间变量转换成自变量的函数;④复合函数的求导熟练以后 ,中间步骤可以省略 ,不必再写出函数的复合过程 . 2、例题解析〖例〗求以下函数的导数 .()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-思路分析:此题考查导数的有关计算 ,借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数 ,可以容易求得.解答:(1)方法一:由题可以先展开解析式然后 再求导:y =(2x 2-1)(3x +1) =6x 3+2x 2-3x -1 , ∴y ′ =(6x 3+2x 2 -3x -1)′=(6x 3)′ +(2x 2)′ -(3x)′ =18x 2+4x -3. 方法二:由题可以利用乘积的求导法那么进行求导: y ′ =(2x 2 -1)′(3x +1) +(2x2 -1)(3x +1)′ =4x(3x +1) +3(2x 2-1) =12x 2+4x +6x 2-3 =18x 2+4x -3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得:()()()()22222222222x x 1x x 12x 2x y 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++ (3)根据求导法那么进行求导可得:y ′ =(3x e x )′ -(2x )′ +e ′ =(3x )′e x +3x (e x )′ -(2x )′ =3x ln3·e x +3x e x -2x ln2 =(3e)x ln3e -2x ln2(4)根据题意利用除法的求导法那么进行求导可得:()()()()()()()2222222222(lnx)x 1lnx x 1y x11x 1lnx 2x x 12lnx 1x .x 1x x 1'+-+''=++--+==++(5)设μ =3 -2x ,那么y =(3 -2x)5是由y =μ5与μ =3 -2x 复合而成 ,所以y ′ =f ′μ·μ′x =(μ5)′·(3 -2x)′ =5μ4·( -2) = -10μ4 = -10(3 -2x)4.规律总结:一般说来 ,分式函数求导 ,要先观察函数的结构特征 ,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导 ,可先化为和、差的形式;三角函数的求导 ,先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最|外层 ,直到求到最|里层为止.所谓最|里层是指此函数已经可以直接引用根本初等函数导数公式进行求导.(三 )导数的几何意义 【例】曲线31433y x =+ , (1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2) 求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3) 求斜率为4的曲线的切线方程 .思路分析: "该曲线过点P(2 ,4)的切线方程〞与 "该曲线在点P(2 ,4)处的切线方程〞是有区别的:过点P(2 ,4)的切线中 ,点P(2 ,4)不一定是切点;在点P(2 ,4)处的切线 ,点P(2 ,4)是切点.解答: (1 )(2,4)P 在曲线31433y x =+上 ,且2y x '=∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =2|x y =' =4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y -4 =4(x -2),即4x -y -4 =0.(2 )设曲线31433y x =+与过点P(2,4)的切线相切于点 A (x 0 ,301433x + ) ,那么切线的斜率020|x x k y x ='== ,∴切线方程为y - (301433x + ) =20x (x -0x ) ,即23002433y x x x =-+∵点P(2,4)在切线上 ,∴4 =220x -302433x + ,即3200340x x -+= ,∴322000440x x x +-+= ,∴ (x 0 +1 )(x 0 -2)2=0 解得x 0 = -1或x 0 =2故所求的切线方程为4x -y -4 =0或x -y +2 =0. (3 )设切点为 (x 0,y 0 )那么切线的斜率为k =x 02=4, x 0 =±2.切点为 (2 ,4 ) , ( -2 , -4/3 ) ∴切线方程为y -4 =4(x -2)和y +4/3 =4(x +2) 即4x -y -4 =0和12x -3y +20 =0注:(1)求函数f(x)图象上点P(x 0,f(x 0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ,由导数的几何意义知k =f′(x0) ,故当f′(x0)存在时 ,切线方程为y -f(x0) =f′(x0)(x -x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想:①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点);②割线→切线.(3 )可以利用导数求曲线的切线方程 ,由于函数y =f(x)在x =x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率 ,因此 ,曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 ,可按如下方式求得:第|一 ,求出函数y =f(x)在x =x0处的导数 ,即曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;第二 ,在切点坐标和切线斜率的条件下 ,求得切线方程y =y0 +f′(x0)(x -x0);如果曲线y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时 ,由切线的定义可知 ,切线的方程为x =x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例(一 )利用导数研究函数的单调性1、相关链接(1 )求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ,如以下图:即:①确定函数f(x)的定义域;②求f ,(x) ,令f ,(x) =0 ,求出它们在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点 (即f(x)无定义点 )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 ,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成假设干个小区间 .④确定f ,(x)在各个开区间内的符号 ,根据f ,(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性 .注:当f(x)不含参数时 ,也可通过解不等式f ,(x)>0 (或f ,(x)<0 )直接得到单调递增 (或递减 )区间 .(2 )证明可导函数f(x)在 (a,b )内的单调性的步骤①求f ,(x);②确认f ,(x)在 (a,b )内的符号;③作出结论:f ,(x)>0时为增函数;f ,(x)<0时为减函数 .(3 )函数的单调性 ,求参数的取值范围 ,应注意函数f(x)在 (a,b )上递增 (或递减 )的充要条件应是f ,(x)≥0 (或f ,(x)≤0 ) ,x∈ (a,b )恒成立 ,且f ,(x) 在 (a,b )的任意子区间内都不恒等于0 ,这就是说 ,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f ,(x) =0 ,甚至|可以在无穷多个点处f ,(x0) =0 ,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 .2、例题解析〖例〗】(2021·北京模拟)假设函数f(x) =lnx -12ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析:函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)≤0有实数解,考虑到函数的定义域为(0, +∞),所以此题就是要求f′(x)≤0在(0, +∞)上有实数解.解答:f′(x) = 1x-ax -2 =2ax2x1x+--.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)≤0有解.又因为函数的定义域为(0, +∞),那么ax2 +2x -1≥0在x∈(0, +∞)内有解.(1)当a>0时,y =ax2 +2x -1为开口向上的抛物线,ax2 +2x -1≥0,总可以找到x>0的解;(2)当a<0时,y =ax2 +2x -1为开口向下的抛物线,要使ax2 +2x -1≥0总有大于0的解,那么Δ =4 +4a ≥0且方程ax2 +2x -1 =0至|少有一个正根,此时 -1≤a<0.(3)当a =0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是[ -1, +∞).(二 )利用导数研究函数的极值与最|值1、相关链接(1 )求函数f(x)极值的步骤即:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f ,(x);③求方程f ,(x) =0的根 .④检查在方程的根的左右两侧的符号 ,确定极值点 (最|好通过列表法 ) .如果左正右负 ,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正 ,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果f ,(x)在点x0的左右两侧符号不变 ,那么f(x0)不是函数极值 .(2 )可导函数极值存在的条件①可导函数的极值点x0一定满足 f ,(x0) =0,但当 f ,(x0) =0时 ,x0不一定是极值点 .如f(x) =x3,f ,(0) =0,但x =0不是极值点 .②可导函数y =f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ,(x) =0 ,且在x0左侧与右侧f ,(x0)的符号不同 .(3 )设函数f(x)在[a,b]上连续 ,在 (a,b )内可导 ,求f(x)在[a,b]上的最|大值和最|小值的步骤①求函数y =f(x)在 (a,b )内的极值;②将函数y =f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比拟 ,其中最|大的一个是最|大值 ,最|小的一个是最|小值 .③根据最|值的定义 ,求在闭区间[a,b]上连续 ,开区间 (a,b ),内可导的函数的最|值时 ,可将过程简化 ,即不用判断使f ,(x) =0成立的点是极大值点还是极小值点 ,直接将极值点与端点的函数值进行比拟 ,就可判定最|大 (小 )值 .④定义在开区间 (a,b )上的可导函数 ,如果只有一个极值点 ,该极值点必为最|值点 .2、例题解析〖例1〗函数f(x) =x3 +ax2 +bx +5,记f(x)的导数为f′(x).(1)假设曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3 ,且x =23时 ,y =f(x)有极值,求函数f(x)的解析式.(2)在(1)的条件下 ,求函数f(x)在[ -4,1]上的最|大值和最|小值.思路解析:在求解(1)时 ,可以通过切线斜率和极值点求得a,b 的值 ,从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表 ,比照区间端点值求得最|值即可.解答:(1 )由题意 ,得解得 ,所以(2 )由 (1 )知 ,令,得当x 变化时 ,的变化情况如表:∴在上的最|大值为13 ,最|小值为 -11.〖例2〗函数()2f x x |x a |,a R.=-∈(1 )当0a ≤时 ,求证函数()()f x ,-∞+∞在上是增函数;(2 )当a =3时 ,求函数()f x 在区间[0 ,b]上的最|大值 .解答:(1)a 0≤时 ,()()()23230f x x x a x ax,f x x a '=-=-=-≥因故()f x 在R 上是增函数 .(4分)(2)3a =时 ,()((323333303x x x f x x |x |x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<≤⎪⎩①假设03b <≤时 ,()()323330f x x x ,f x x '=-=-=由得:1x =(Ⅰ)假设01b <≤时 ,()()0f x ,f x '≥在[0 ,b]上单增 ,故()()33max f x f b b b ,==- (Ⅱ)假设13b <≤时 ,因()()01010x ,f x ;x b,f x .''<<><<<故()()12max f x f ==. ②假设3b >时 ,由①知()f x 在03,⎡⎤⎣⎦上的最|大值为2 ,下求()f x 在(3,b ⎤⎦上的最|大值 ,因()2330f x x '=-> ,故()()33maxf x f b b b.==-又()()()()323323212202b b b b b b b b ⎧-≥⎪--=+-=⎨<<⎪⎩ 综合①、② 知:()()()()3332212301maxb b b f x b b b b ⎧-≥⎪=<<⎨⎪-<≤⎩ (12分)(四 )利用导数解决实际生活中的优化问题 1、相关链接利用导数解决生活中的优化问题时:(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 ,还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.(2)一定要注意求得函数结果的实际意义 ,不符合实际的值应舍去.(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 ,那么根据实际意义该极值点就是最|值点. 2、例题解析〖例〗⊥BC,OA ∥BC,且AB =BC =2AO =4 km,曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC 上,且一个顶点落在曲线段OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最|大?并求出最|大的用地面积(精确到0.1 km 2).思路解析:矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC 上的具体位置有关 ,因此应设法将落在OC 上的点用一个变量表示出来 ,然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积 ,而要设出相应的变量 ,那么应首|先建立直角坐标系.解答:以O点为坐标原点 ,OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如下图) ,依题意可设抛物线为y2 =2px(p>0)且C(4,2).∴22 =2p·4,∴p =12,故所设抛物线方程为y2 =x(0≤x≤4).设x≤x≤4)是曲线段OC上的任意一点 ,那么在矩形PQBN中 ,|PQ| =2 x=4 -x,所以工业区的面积为S =|PQ|·x =32x- -2x +412x +8 ,∴S′ =123x2- -2 +212x- ,令S′ =0 ,得3x +412x -4 =0,(12x +2)(312x -2) =0,∴x =49.故当x∈[0,49)时 ,S′>0,S是关于x的增函数;当x∈[49,4]时 ,S′<0,S是关于x的减函数 , ∴x =49时 ,S取得最|大值 ,此时x 83,|PN| =4 -x =329,∴S =8322563927⨯=≈9.5,∴S max≈9.5(km2).∴把工业园规划成长为329km,宽为83km的矩形 ,工业园的面积最|大 ,最|大面积约为9.5 km2.注:①生活中的优化问题 ,往往涉及到函数的最|值 ,求最|值可利用单调性 ,也可直接利用导数求公众号:惟微小筑最|值 ,要掌握求最|值的方法和技巧 .②在求实际问题中的最|大值或最|小值时 ,一般先设自变量、因变量 ,建立函数关系式 ,并确定其定义域 ,利用求函数最|值的方法求解 ,注意结果应与实际情况相符合 .用导数求解实际问题中的最|大(小 )值时 ,如果函数在区间内只有一个极值点 ,那么根据实际意义该极值点也就是最|值点 .。
高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算课件 文
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1.(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且
满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=( )
A.1
B.-1
C.-e-1
D.-e
解析:f′(x)=2f′(e)+1x,∴f′(e)=2f′(e)+1e,
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5
(2)f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0+Δx-fx0 Δx
=
Δy
lim
Δx→0
Δx
,称其为函数y=f(x)
在x=x0处的导数,记作f ′(x0)或 y′|x=x0 ,
即f ′(x0)=
lim
Δx→0
fx0+Δx-fx0 Δx
.
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6
(3)导函数
∴f′(e)=-1e=-e-1,选 C.
答案:C
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2.曲线 y=x+x 2在点(-1,-1)处的切线方程为(
)
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
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解析:∵y′=x+x+2-22x=x+2 22, ∴在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为-12+22=2. ∴切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.
求函数的导数时,要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算的形式,再利用运算法则求导数.对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形;对于比较复杂的函数, 如果直接套用求导法则,会使求导过程繁琐冗长,且易出错,此 时,可将解析式进行合理变形,转化为较易求导的结构形式,再 求导数.但必须注意变形的等价性,避免不必要的运算失误.
高中数学一轮复习考点专题训练:专题12 导数的概念及其运算(解析版)
高考数学一轮考点扫描专题12 导数概念及其运算一、【知识精讲】1.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义:称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim x ∆→Δy Δx 为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0lim x ∆→ Δy Δx =0lim x ∆→f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.(2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 2.函数y =f (x )的导函数如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,函数f ′(x )=0lim x ∆→f (x +Δx )-f (x )Δx称为函数y =f (x )在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′. [微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x =x 0处的导数值;(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数,且(f (x 0))′=0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′=-f ′(x )[f (x )]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 二、【典例精练】 考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 例1. 分别求下列函数的导数: (1)y =e xln x ;(2)y =x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2+1x +1x 3;(3)f (x )=ln 1+2x .【解析】 (1)y ′=(e x)′ln x +e x(ln x )′=e xln x +e xx=e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x +1x .(2)因为y =x 3+1+1x 2,所以y ′=3x 2-2x3.(3)因为y =ln 1+2x =12ln ()1+2x ,所以y ′=12·11+2x ·(1+2x )′=11+2x .角度2 抽象函数的导数计算例2. (2019·福州联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(1)+ln 1x,则f (1)=( )A.-eB.2C.-2D.e【答案】B【解析】 由已知得f ′(x )=2f ′(1)-1x,令x =1得f ′(1)=2f ′(1)-1,解得f ′(1)=1,则f (1)=2f ′(1)=2.【解法小结】 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程例3. (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )=x 3+(a -1)x 2+ax .若f (x )为奇函数,则曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y =-2x B.y =-x C.y =2xD.y =x【答案】D【解析】 因为函数f (x )=x 3+(a -1)x 2+ax 为奇函数,所以a -1=0,则a =1,所以f (x )=x 3+x ,所以f ′(x )=3x 2+1,所以f ′(0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y =x .角度2 求切点坐标例4.)设曲线y =e x在点(0,1)处的切线与曲线y =1x(x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.【答案】(1,1)【解析】∵函数y =e x 的导函数为y ′=e x, ∴曲线y =e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P (x 0,y 0)(x 0>0),∵函数y =1x 的导函数为y ′=-1x 2,∴曲线y =1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2=-1x 20,由题意知k 1k 2=-1,即1·⎝⎛⎭⎪⎫-1x20=-1,解得x 20=1,又x 0>0,∴x 0=1.又∵点P 在曲线y =1x(x >0)上,∴y 0=1,故点P 的坐标为(1,1).角度3 求参数的值或取值范围例5. (2018·全国Ⅱ卷)曲线y =2ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为________________. 【答案】y =2x . 【解析】由题意得y ′=2x +1.在点(0,0)处切线斜率k =y ′|x =0=2.∴曲线y =2ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y -0=2(x -0),即y =2x .例6.(2016山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )(A )sin y x = (B )ln y x =(C )e x y =(D )3y x =【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知,存在两点处的切线斜率的积,即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时,cos y x '=,有cos0cos 1π⋅=-,所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立,故A 正确;函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负,不符合题意,故选A【解法小结】 1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程是y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上. 【思维升华】]1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 【易错注意点】1.求导常见易错点:①公式(x n)′=nx n -1与(a x )′=a xln a 相互混淆;②公式中“+”“-”号记混,如出现如下错误:⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )[g (x )]2,(cosx )′=sin x ;③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 三、【名校新题】1.(2018·日照质检)已知f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2【答案】B【解析】 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,由f ′(x 0)=2,即ln x 0+1=2,解得x 0=e. 2. (2019·郑州月考)已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12【答案】A【解析】设切点的横坐标为x 0(x 0>0), ∵曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,∴y ′=x 2-3x ,即x 02-3x 0=12,解得x 0=3或x 0=-2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.3.(2019开封市高三定位考试)曲线y= 在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积是( ) A.B. C. D.【答案】A【解析】由y= ,得 曲线y= 在x=1处的切线斜率k=e,所以曲线y= 在x=1处的切线方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,则y=1,令y=0,得x=,所以所求围成的三角形面积为.故选A4.(2019·合肥一模)函数f (x )=x -g (x )的图象在点x =2处的切线方程是y =-x -1,则g (2)+g ′(2)=( ) A.7 B.4 C.0 D.-4【答案】A【解析】 ∵f (x )=x -g (x ),∴f ′(x )=1-g ′(x ),又由题意知f (2)=-3,f ′(2)=-1,∴g (2)+g ′(2)=2-f (2)+1-f ′(2)=7.5.已知e 为自然对数的底数,曲线y =a e x+x 在点(1,a e +1)处的切线与直线2e x -y -1=0平行,则实数a =( )A.e -1eB.2e -1eC.e -12eD.2e -12e【答案】B【解析】 ∵y ′=a e x+1,∴在点(1,a e +1)处的切线的斜率为y ′|x =1=a e +1,又切线与直线2e x -y -1=0平行,∴a e +1=2e ,解得a =2e -1e.6.(2019福建五校第二次联考)已知函数 ,若 ,则实数m 的取值范围是( )A. B. C. D. , 【答案】B【解析】令 ,则 ,所以函数 在原点处的切线方程为y=3x,故函数 的图像在原点处的切线方程为y=3x ,作出 的图像以及切线y=3x ,再让y= 绕原点旋转,则可得 解得 故选B7.(2019·广州调研)已知直线y =kx -2与曲线y =x ln x 相切,则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1-ln 2D.1+ln 2【答案】D【解析】 由y =x ln x 得y ′=ln x +1,设切点为(x 0,y 0),则k =ln x 0+1,∵切点(x 0,y 0)(x 0>0)既在曲线y =x ln x 上又在直线y =kx -2上,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0=kx 0-2,y 0=x 0ln x 0,∴kx 0-2=x 0ln x 0,∴k =ln x 0+2x 0,则ln x 0+2x 0=ln x 0+1,∴x 0=2,∴k =ln 2+1.8.(2018·深圳二模)设函数f (x )=x +1x+b ,若曲线y =f (x )在点(a ,f (a ))处的切线经过坐标原点,则ab=( ) A.1 B.0C.-1D.-2【答案】D【解析】 由题意可得,f (a )=a +1a +b ,f ′(x )=1-1x 2,所以f ′(a )=1-1a 2,故切线方程是y -a -1a-b=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a 2(x -a ),将(0,0)代入得-a -1a-b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a2(-a ),故b =-2a,故ab =-2.9.(2019荆州市八校联考).已知函数2()ln (1)1h x a x a x =+-+(0)a < ,在函数()h x 图象上任取两点,A B ,若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5,则实数a 的取值范围是()A .(,0)-∞B.⎛-∞ ⎝⎦C.,⎛-∞ ⎝⎦D.⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】22(1)()0a x ah x x-+'=<,()h x 在()0,+∞单调递减, 12112212()()(,),(,)5h x h x A x y B x y x x --,≥ 设1211220,()5()5x x h x x h x x >>++则≤设()()5,f x h x x =+则()f x 在(0,)+∞上单调递减则22(1)5()0a x x af x x-++'=≤对(0,)x ∈+∞恒成立 则22(1)50a x x a -++≤对(0,)x ∈+∞恒成立 则20,88250a a ∆--即≤≥解之得24a -≤或24a +≥ 又0a <,所以24a -≤ 10.(2019济南市三模)已知函数2()||2x f x ax b x -=--+,若对任意的实数a b ,,总存在0[12]x ,∈-,使得0()f x m …成立,则实数m 的取值范围是 .【答案】【解析】记()[12]y f x x ,,=∈-的最大值为()M a b ,,则由题意知,()m M a b a b R ,对,恒成立∀∈…. 所以 min ()m M a b ,…. 借助纵向距离法(切比雪夫最佳逼近线) 记2()[12]2x g x x x ,,-=∈-+, 则对于2()|()|[12]2x f x ax+b x x ,,-=-∈-+,可以看作横坐标相同时, 2()2x g x x -=+与()h x ax b =+图像上点的纵向距离(或铅锤距离). 记(1,3)(2,4)A ,B --,连接AB ,则图中直线AB 的斜率为0(3)12(1)AB k --==--, 则直线1L 的方程为2y x =-;直线2L 与直线AB 平行,且与()g x 切于点00(,y )C x , 由'002204()1=0.01 1.(2)g x x C L y x x ==-=-+得,所以(,),则的方程为L 2:与L 1平行且与g(x )当直线()h x 与直线12,L L 平行且与两直线距离相等时, 即恰好处于两直线正中间的位置时,2()2x g x x -=+与()h x ax b =+图像上点的纵向距离的最大值最小. 此时, min 3311:()|(2)|= B.2222L y x M a b m ,,,所以,选-=-=--… 另:min 111()|1(2)|= B.222M a b m ,,所以,选=---…11. (2019·东北三省四校联考)已知曲线f (x )=x +ax+b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y =2x +5,则a -b =________. 【答案】-8【解析】f ′(x )=1-a x2,∴f ′(1)=1-a ,又f (1)=1+a +b ,∴曲线在(1,f (1))处的切线方程为y -(1+a +b )=(1-a )(x -1),即y =(1-a )x +2a +b ,根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1-a =2,2a +b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =7,∴a -b =-1-7=-8.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)=________. 【答案】-94【解析】因为f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x , 所以f ′(x )=2x +3f ′(2)+1x,所以f ′(2)=4+3f ′(2)+12=3f ′(2)+92,所以f ′(2)=-94.13.已知函数y =f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线方程为y =2x -1,则曲线g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x -y -5=0【解析】由题意,知f (2)=2×2-1=3,∴g (2)=4+3=7, ∵g ′(x )=2x +f ′(x ),f ′(2)=2,∴g ′(2)=2×2+2=6,∴曲线g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为y -7=6(x -2),即6x -y -5=0.14.(2019·西安一模)定义1:若函数f (x )在区间D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在区间D 上也可导,则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数,记作f ″(x )=[f ′(x )]′.定义2:若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正,即f ″(x )>0恒成立,则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )=x 3-32x 2+1在区间D 上为凹函数,则x 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 【解析】因为f (x )=x 3-32x 2+1,因为f ′(x )=3x 2-3x ,f ″(x )=6x -3,令f ″(x )>0,解得x >12,故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞.15(2019江西七校第一次联考).(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x 2﹣ax ﹣alnx (a∈R).(Ⅰ)若函数f (x )在x=1处取得极值,求a 的值. (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f (x )≥﹣+﹣4x+【解析】(1)解:,由题意可得f′(1)=0,解得a=1;经检验,a=1时f (x )在x=1处取得极值,所以a=1. (2)证明:由(1)知,f (x )=x 2﹣x ﹣lnx . 令,由,可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以g(x)≥g(1)=0,所以成立16.(2019武汉部分高中联考).已知函数.(1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值;(2)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)∵,∴,∴,∵函数在处的切线与直线平行,∴,∴.(2)∵对于任意,恒成立,∴即对于任意,恒成立,令,,,令,得,令,得,∴函数在区间上的最大值,∴,即实数的取值范围是.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理-人教版高三全
第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1.函数f (x )=x 4-4x 3+4x 2的极值点是( ) A .x =0 B .x =1C .x =2D .x =0,x =1和x =2 答案 D解析 f ′(x )=4x 3-12x 2+8x =4x (x 2-3x +2)=4x (x -1)(x -2),则结合列表可得f (x )的极值点为x =0,x =1和x =2.2.[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-3)=f (5)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,且导函数y =f ′(x )的图象如图所示.则不等式f (x )<1的解集是( )A .(-3,0)B .(-3,5)C .(0,5)D .(-∞,-3)∪(5,+∞) 答案 B解析 依题意得,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )是增函数;当x <0时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.又f (-3)=f (5)=1,因此不等式f (x )<1的解集是(-3,5),选B.3.[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )=x 3-tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,518B .(-∞,3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518,+∞D .[3,+∞) 答案 C解析 f ′(x )=3x 2-2tx +3,由于f (x )在区间[1,4]上单调递减,则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立,即3x 2-2tx +3≤0,即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 在[1,4]上恒成立,因为y =32⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 在[1,4]上单调递增,所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4+14=518,故选C.4.[2013·某某高考]已知a 为常数,函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则( )A .f (x 1)>0,f (x 2)>-12B .f (x 1)<0,f (x 2)<-12C .f (x 1)>0,f (x 2)<-12D .f (x 1)<0,f (x 2)>-12答案 D解析 f ′(x )=ln x -2ax +1,依题意知f ′(x )=0有两个不等实根x 1,x 2. 即曲线y 1=1+ln x 与y 2=2ax 有两个不同交点,如图.由直线y =x 是曲线y =1+ln x 的切线,可知:0<2a <1,且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12. 由0<x 1<1,得f (x 1)=x 1(ln x 1-ax 1)<0, 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0, 当x >x 2时,f ′(x )<0,∴f (x 2)>f (1)=-a >-12,故选D.5.[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f ′(x )>1,f (0)=4,则不等式f (x )>3ex +1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A .(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex +1得,e x f (x )>3+e x ,构造函数F (x )=e x f (x )-e x-3,对F (x )求导得F ′(x )=e x f (x )+e x f ′(x )-e x =e x [f (x )+f ′(x )-1].由f (x )+f ′(x )>1,e x >0,可知F ′(x )>0,即F (x )在R 上单调递增,又因为F (0)=e 0f (0)-e 0-3=f (0)-4=0,所以F (x )>0的解集为(0,+∞),所以选A.6.[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )=(e x-1)(x -1)k(k =1,2),则( )A .当k =1时,f (x )在x =1处取到极小值B .当k =1时,f (x )在x =1处取到极大值C .当k =2时,f (x )在x =1处取到极小值D .当k =2时,f (x )在x =1处取到极大值 答案 C解析 当k =1时,f (x )=(e x -1)(x -1),f ′(x )=x e x-1,f ′(1)≠0,故A ,B 错;当k =2时,f (x )=(e x-1)(x -1)2,f ′(x )=(x 2-1)e x -2x +2=(x -1)[(x +1)e x-2],故f ′(x )=0有一根为x 1=1,另一根x 2∈(0,1).当x ∈(x 2,1)时,f ′(x )<0,f (x )递减;当x∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增,∴f (x )在x =1处取得极小值,故选C.7.[2016·东北八校月考]已知函数y =f (x )=x 3+3ax 2+3bx +c 在x =2处有极值,其图象在x =1处的切线平行于直线6x +2y +5=0,则f (x )的极大值与极小值之差为________.答案 4解析 ∵f ′(x )=3x 2+6ax +3b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2=3×22+6a ×2+3b =0,f ′1=3×12+6a ×1+3b =-3,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =0,∴f ′(x )=3x 2-6x ,令3x 2-6x =0,得x =0或x =2, ∴f (x )极大值-f (x )极小值=f (0)-f (2)=4.8.已知函数f (x )=-12x 2+4x -3ln x 在[t ,t +1]上不单调,则t 的取值X 围是________.答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )=-x +4-3x =-x 2+4x -3x=-x -1x -3x,由f ′(x )=0得函数f (x )的两个极值点为1,3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t +1)内, 函数f (x )在区间[t ,t +1]上就不单调, 由t <1<t +1或t <3<t +1,得0<t <1或2<t <3.9.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],则f (m )+f ′(n )的最小值是________.答案 -13解析 f ′(x )=-3x 2+2ax , 根据已知2a3=2,得a =3,即f (x )=-x 3+3x 2-4.根据函数f (x )的极值点,可得函数f (m )在[-1,1]上的最小值为f (0)=-4,f ′(n )=-3n 2+6n 在[-1,1]上单调递增,所以f ′(n )的最小值为f ′(-1)=-9.[f (m )+f ′(n )]min =f (m )min +f ′(n )min =-4-9=-13. 10.[2015·某某一检]已知函数f (x )=ln x -x1+2x .(1)求证:f (x )在区间(0,+∞)上单调递增; (2)若f [x (3x -2)]<-13,某某数x 的取值X 围.解 (1)证明:由已知得f (x )的定义域为(0,+∞). ∵f (x )=ln x -x1+2x, ∴f ′(x )=1x -1+2x -2x 1+2x 2=4x 2+3x +1x 1+2x 2. ∵x >0,∴4x 2+3x +1>0,x (1+2x )2>0. ∴当x >0时,f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f (x )=ln x -x 1+2x ,∴f (1)=ln 1-11+2×1=-13.由f [x (3x -2)]<-13得f [x (3x -2)]<f (1).由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x -2>0x3x -2<1,解得-13<x <0或23<x <1.综上所述,x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23,1.11.[2015·某某一检]已知函数f (x )=x ·ln x ,g (x )=ax 3-12x -23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值;(2)若函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象在交点处存在公共切线,某某数a 的值. 解 (1)∵f ′(x )=ln x +1,由f ′(x )>0,得x >1e,∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )<0,则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上单调递减,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞上单调递增, ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-1e .(2)∵f ′(x )=ln x +1,g ′(x )=3ax 2-12,设公切点的横坐标为x 0,则与f (x )的图象相切的直线方程为:y =(ln x 0+1)x -x 0, 与g (x )的图象相切的直线方程为:y =⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20-12x -2ax 30-23e ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0+1=3ax 2-12,-x 0=-2ax 30-23e解之得x 0ln x 0=-1e ,由(1)知x 0=1e ,∴a =e26.12.[2016·某某检测]已知f (x )=e x(x 3+mx 2-2x +2). (1)假设m =-2,求f (x )的极大值与极小值;(2)是否存在实数m ,使f (x )在[-2,-1]上单调递增?如果存在,求m 的取值X 围;如果不存在,请说明理由.解 (1)当m =-2时,f (x )=e x (x 3-2x 2-2x +2),其定义域为(-∞,+∞).则f ′(x )=e x(x 3-2x 2-2x +2)+e x (3x 2-4x -2)=x e x (x 2+x -6)=(x +3)x (x -2)e x, ∴当x ∈(-∞,-3)或x ∈(0,2)时,f ′(x )<0; 当x ∈(-3,0)或x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0;f ′(-3)=f ′(0)=f ′(2)=0,∴f (x )在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增; 在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当x =-3或x =2时,f (x )取得极小值; 当x =0时,f (x )取得极大值, ∴f (x )极小值=f (-3)=-37e -3,f (x )极小值=f (2)=-2e 2, f (x )极大值=f (0)=2.(2)f ′(x )=e x(x 3+mx 2-2x +2)+e x (3x 2+2mx -2)=x e x [x 2+(m +3)x +2m -2]. ∵f (x )在[-2,-1]上单调递增, ∴当x ∈[-2,-1]时,f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[-2,-1]时,x e x<0, ∴当x ∈[-2,-1]时,x 2+(m +3)x +2m -2≤0,∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′-2=-22-2m +3+2m -2≤0,f ′-1=-12-m +3+2m -2≤0,解得m ≤4,∴当m ∈(-∞,4]时,f (x )在[-2,-1]上单调递增.[B 组·能力提升练]1.若函数f (x )=x 3-3x 在(a,6-a 2)上有最小值,则实数a 的取值X 围是( )A .(-5,1)B .[-5,1)C .[-2,1)D .(-5,-2] 答案 C解析 f ′(x )=3x 2-3=0,得x =±1,且x =1为函数的极小值点,x =-1为函数的极大值点.函数f (x )在区间(a,6-a 2)上有最小值, 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6-a 2)内, 即实数a 满足a <1<6-a 2且f (a )=a 3-3a ≥f (1)=-2. 解a <1<6-a 2,得-5<a <1, 不等式a 3-3a ≥f (1)=-2,即a 3-3a +2≥0,即a 3-1-3(a -1)≥0, 即(a -1)(a 2+a -2)≥0, 即(a -1)2(a +2)≥0, 即a ≥-2.故实数a 的取值X 围是[-2,1). 故选C.2.[2016·某某调研]已知函数f (x )=ln x +1ln x ,则下列结论中正确的是( )A .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是增函数B .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是减函数C .∀x >0,且x ≠1,f (x )≥2D .∃x 0>0,f (x )在(x 0,+∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得,f ′(x )=1x ·ln 2x -1ln 2x(x >0且x ≠1),令f ′(x )=0,得ln x =±1,得x =e 或x =1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e,1,x ∈(1,e)时,f ′(x )<0;当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0.故x =1e和x =e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点,但是由函数的定义域可知x ≠1,故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,e 内不是单调的,所以A ,B 错;当0<x <1时,ln x <0,此时f (x )<0,C 错;只要x 0≥e,则f (x )在(x 0,+∞)内是增函数,D 正确.3.[2015·某某高考]已知函数f (x )=2x,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1,x 2,设m =f x 1-f x 2x 1-x 2,n =g x 1-g x 2x 1-x 2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m >0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n >0;③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =n ; ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =-n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 ①f (x )=2x是增函数,∴对任意不相等的实数x 1,x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2>0,即m >0,∴①成立.②由g (x )=x 2+ax 图象可知,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2时,g (x )是减函数,∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2时,g x 1-g x 2x 1-x 2<0,即n <0,∴②不成立. ③若m =n ,则有f x 1-f x 2x 1-x 2=g x 1-g x 2x 1-x 2,即f (x 1)-f (x 2)=g (x 1)-g (x 2),f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2),令h (x )=f (x )-g (x ), 则h (x )=2x-x 2-ax ,h ′(x )=2x ln 2-2x -a ,令h ′(x )=2xln 2-2x -a =0, 得2xln 2=2x +a .由y =2x ln 2与y =2x +a 的图象知, 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x +a , 此时h (x )在R 上是增函数. 若h (x 1)=h (x 2),则x 1=x 2, ∴③不成立. ④若m =-n ,则有f x 1-f x 2x 1-x 2=-g x 1-g x 2x 1-x 2,f (x 1)+g (x 1)=f (x 2)+g (x 2),令φ(x )=f (x )+g (x ), 则φ(x )=2x+x 2+ax ,φ′(x )=2x ln 2+2x +a .令φ′(x )=0,得2xln 2+2x +a =0, 即2xln 2=-2x -a .由y 1=2xln 2与y 2=-2x -a 的图象可知,对任意的a ,存在x 0,使x >x 0时y 1>y 2,x <x 0时y 1<y 2,故对任意的a ,存在x 0,使x >x 0时,φ′(x )>0,x <x 0时φ′(x )<0, 故对任意的a ,φ(x )在R 上不是单调函数.故对任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使m =-n , ∴④成立. 综上,①④正确.4.已知函数f (x )=e x-ln (x +m ).(1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )=e x-1x +m. 由x =0是f (x )的极值点得f ′(0)=0,所以m =1. 于是f (x )=e x-ln (x +1),x ∈(-1,+∞). 函数f ′(x )=e x -1x +1在(-1,+∞)单调递增,且f ′(0)=0. 因此当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)证明:当m ≤2,x ∈(-m ,+∞)时,ln (x +m )≤ln (x +2),故只需证当m =2时f (x )>0. 当m =2时,f ′(x )=e x-1x +2在(-2,+∞)上单调递增. 又f ′(-1)<0,f ′(0)>0,故f ′(x )=0在(-2,+∞)上有唯一的解x 0,且x 0∈(-1,0). 当x ∈(-2,x 0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0. 故当x =x 0时,f (x )取极小值. 故f ′(x )=0得e x 0=1x 0+2,ln (x 0+2)=-x 0. 故f (x )≥f (x 0)=1x 0+2+x 0=x 0+12x 0+2>0.综上所述,当m ≤2时,f (x )>0.。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(二)课件 文
)
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
解析 ∵当 x>0 时,fxx′<0, ∴φ(x)=fxx为减函数, 又 φ(2)=0,∴当且仅当 0<x<2 时,φ(x)>0, 此时 x2f(x)>0. 又 f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数. 故 x2f(x)>0 的解集为(-∞,-2)∪(0,2).故选 D.
即 g(x)在 R 上是减函数,
所以
g(ln
2)>g(ln
3),即felnln
2 fln 2 > eln
33,
即fln2
2 fln >3
3,
所以 3f(ln 2)>2f(ln 3).故选 A.
2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(2)=0,当 x>0 时,
有xf′xx2-fx<0 恒成立,则不等式 x2f(x)>0 的解集是(
5.任意性与存在性 ① ∀ x1 ∈ [a , b] , ∀ x2 ∈ [c , d] , 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]min>[f2(x2)]max. ② ∃ x1 ∈ [a , b] , ∃ x2 ∈ [c , d] , 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]max>[f2(x2)]min. ③ ∀ x1 ∈ [a , b] , ∃ x2 ∈ [c , d] , 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]min>[f2(x2)]min. ④ ∃ x1 ∈ [a , b] , ∀ x2 ∈ [c , d] , 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x)]max>[f2(x)]max. ⑤∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],使 f1(x1)=f2(x2)⇔f1(x)的值 域与 f2(x)的值域交集不为∅.
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f '(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f '(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f '(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f '(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f '(x),g'(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ' =f '(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十一节 导数在研究函数中的应用 第2课时 导数
学习资料第二章函数、导数及其应用第十一节导数在研究函数中的应用第二课时导数与函数的极值、最值课时规范练A组—-基础对点练1.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则()A.a<-1B.a>-1C.a>-错误!D.a<-错误!解析:∵y=e x+ax,∴y′=e x+a。
∵函数y=e x+ax有大于零的极值点,则方程y′=e x+a=0有大于零的解,∵x>0时,-e x<-1,∴a=-e x<-1.故选A。
答案:A2.(2020·岳阳模拟)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=x e-x D.y=x+错误!解析:A、B为单调函数,不存在极值,C不是奇函数,故选D.答案:D3.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)图像的是()解析:因为[f(x)e x]′=f′(x)e x+f(x)(e x)′=[f(x)+f′(x)]e x,且x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0。
答案:D4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是()A.-37 B.-29C.-5 D.以上都不对解析:f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),所以f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减.所以x=0为极大值点,也为最大值点.所以f(0)=m=3,所以m=3。
所以f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值是-37.答案:A5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()A.2 B.3C.6 D.9解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,∴f′(x)=12x2-2ax-2b,又∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=12-2a-2b=0⇒a+b=6,∵a>0,b>0,a+b≥2错误!,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立.故选D.答案:D6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于()A.11或18 B.11C.18 D.17或18答案:C7.(2020·南昌调研)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值解析:当k=1时,f′(x)=e x·x-1,f′(1)≠0,∴x=1不是f(x)的极值点.当k=2时,f′(x)=(x-1)(x e x+e x-2),显然f′(1)=0,且在x=1附近的左侧f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.答案:C8.(2020·山东临沂模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>错误!),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=()A.错误!B.错误!C.错误!D.1解析:因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1。
高考数学第一轮复习课件之导数及其应用
总结词
利用导数解决生活中的优化问题。
示例
某企业生产某产品的总成本函数为$C(x) = 25x + 4000$,总收入函数为$R(x) = 100x - 0.01x^{2}$,利用导数求出利润最大时的产量。
总结词
通过求导判断数列的单调性,利用单调性研究数列的极限,进而解决一些数列问题。
详细描述
示例
已知数列${ a_{n}}$满足$a_{n + 1} = a_{n} + frac{1}{n(n + 1)}$,求证数列${ a_{n}}$收敛,可以利用导数研究数列的单调性和极限,进而证明结论。
详细描述
导数可以用来研究函数的极值点,即导数为0的点。在这些点附近,函数值可能会发生显著变化。通过求导找到极值点后,我们可以进一步分析这些点的性质,如判定是极大值还是极小值,并求出相应的函数值,即最值。
03
CHAPTER
导数的综合应用
详细描述
通过建立函数关系,利用导数求出最优解,解决生活中的优化问题,如最大利润、最小成本等。
详细描述
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
对于可导函数,其导数表示函数图像上某一点处的切线的斜率。这意味着,当函数在某一点可导时,该点的切线与函数图像在该点相切,切线的斜率即为该点的导数值。
总结词:导数的四则运算法则是导数运算的基本法则。详细描述:导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。加法法则指出两个函数的和或差的导数等于两个函数的导数的和或差的线性组合;减法法则指出两个函数的差相对于自变量的变化率等于被减数函数的导数减去减数函数的导数;乘法法则指出两个函数的乘积的导数等于两个函数的导数的乘积加上被乘数函数的导数乘以乘数函数的导数;除法法则指出两个函数的商的导数等于被除数函数的导数除以除数函数的导数减去被除数函数乘以除数函数的导数的商。这些法则可以用于推导复合函数的导数以及解决一些复杂的导数问题。
高考数学一轮复习课件_2.11导数在研究函数中的应用
若k>0,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下:
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞),单 调递减区间是(-k,k).
若k<0,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下:
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞),单 调递增区间是(k,-k).
函数最值是个“整体”概念,而函数极值是个“局部”概念 .
1.f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件吗? 【提示】 函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0, f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.
2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?它是可导函 数在该点取得极值的什么条件?
【提示】 不一定.如函数f(x)=x3,在x=0处,有f′(0) =0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点,对于可导函数,若x =x0为其极值点,则需满足以下两个条件:①f′(x0)=0,②x =x0两侧的导数f′(x)的符号异号.因此f′(x0)=0是函数y=f(x) 在点x=x0取得极值的必要不充分条件.
1.解答本题(2)时,关键是分离参数k,把所求问题转化 为求函数的最小值问题.
2.(1)可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件 是:对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的 任何子区间内都不恒为零.
(2)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题, 可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是否可 以取到.
(2)若f(x)为R上的单调函数, 则f′(x)在R上不变号. 结合①式,及a>0, 得ax2-2ax+1≥0在R上恒成立. 所以二次方程1+ax2-2ax=0无解或有两个相同实数解, Δ=4a2-4a≤0,即0≤a≤1.又∵a>0. 故实数a的取值范围是(0,1].
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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算 (一)利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接(1)根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法: ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-;②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆; ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆,简记作:一差、二比、三极限。
(2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数。
2、例题解析 〖例1〗求函数y=1x的在x=1处的导数。
解析:1111x y1x 11x-+∆∆=-=+∆+∆()()()x 0x 0x 1x,1x 11xy 1x 1x 11xy 11limlim[.x 21x 11x 1y |.2∆→∆→=-∆=+∆++∆∆=-∆+∆++∆∆=-=-∆+∆++∆∴'=-,〖例2〗一质点运动的方程为283s t =-。
(1) 求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;(2) 求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法)分析(1)平均速度为s t∆∆; (2)t=1时的瞬时速度即283s t =-在t=1处的导数值。
解答:(1)∵283s t =-∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. (3) 定义法:质点在t=1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆(4) 求导法:质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-=,当t=1时,v=-6×1=-6.注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
(二)导数的运算 1、相关链接(1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数()y f x =在开区间(a,b )内的导数的基本步骤: ①分析函数()y f x =的结构和特征; ②选择恰当的求导法则和导数公式求导; ③整理得结果。
(2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
(3)复合函数的求导方法求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量;③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程。
2、例题解析〖例〗求下列函数的导数。
()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-思路分析:本题考查导数的有关计算,借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数,可以容易求得.解答:(1)方法一:由题可以先展开解析式然后 再求导:y=(2x 2-1)(3x+1)=6x 3+2x 2-3x-1, ∴y ′=(6x 3+2x 2-3x-1)′=(6x 3)′+(2x 2)′-(3x)′=18x 2+4x-3.方法二:由题可以利用乘积的求导法则进行求导: y ′=(2x 2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x 2-1)=12x 2+4x+6x 2-3 =18x 2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得:()()()()22222222222x x 1x x 12x 2x y 1,x x 1x x 1x x 12x x 12x 2x 12x 2y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++ (3)根据求导法则进行求导可得:y ′=(3x e x )′-(2x )′+e ′=(3x )′e x +3x (e x )′-(2x )′=3x ln3·e x +3x e x -2x ln2=(3e)x ln3e-2x ln2 (4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得:()()()()()()()2222222222(lnx)x 1lnx x 1y x 11x 1lnx 2x x 12lnx 1x .x 1x x 1'+-+''=++--+==++(5)设μ=3-2x ,则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x 复合而成,所以y ′=f ′μ·μ′x =(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4.规律总结:一般说来,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.(三)导数的几何意义 【例】已知曲线31433y x =+, (1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2) 求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3) 求斜率为4的曲线的切线方程。
思路分析:“该曲线过点P(2,4)的切线方程”与“该曲线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的:过点P(2,4)的切线中,点P(2,4)不一定是切点;在点P(2,4)处的切线,点P(2,4)是切点.解答:(1)(2,4)P 在曲线31433y x =+上,且2y x '=∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线31433y x =+与过点P(2,4)的切线相切于点A (x 0,301433x +),则切线的斜率020|x x k y x ='==,∴切线方程为y -(301433x +)=20x (x -0x ),即23002433y x x x =-+∵点P(2,4)在切线上,∴4=220x -302433x +,即3200340x x -+=,∴322000440x x x +-+=,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0 解得x 0=-1或x 0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. (3)设切点为(x 0,y 0)则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为(2,4),(-2,-4/3) ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注:(1)求函数f(x)图象上点P(x 0,f(x 0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ,由导数的几何意义知k=f′(x0),故当f′(x0)存在时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想:①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点);②割线→切线.(3)可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,因此,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,可按如下方式求得:第一,求出函数y=f(x)在x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;第二,在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程y=y0+f′(x0)(x-x0);如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线的定义可知,切线的方程为x=x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例(一)利用导数研究函数的单调性1、相关链接(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法,如下图:即:①确定函数f(x)的定义域;②求f’(x) ,令f’(x)=0,求出它们在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。
④确定f’(x)在各个开区间内的符号,根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
注:当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间。
(2)证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤①求f’(x);②确认f’(x)在(a,b)内的符号;③作出结论:f’(x)>0时为增函数;f’(x)<0时为减函数。
(3)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应注意函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f’(x)≥0(或f’(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f’(x) 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x) =0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0) =0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。
2、例题解析〖例〗】(2011·北京模拟)若函数f(x)=lnx-12ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析:函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)≤0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是要求f′(x)≤0在(0,+∞)上有实数解.解答:f′(x)= 1x-ax-2=2ax2x1x+--.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)≤0有解.又因为函数的定义域为(0,+∞),则ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)内有解.(1)当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0,总可以找到x>0的解;(2)当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有大于0的解,则Δ=4+4a≥0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1≤a<0.(3)当a=0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是[-1,+∞).(二)利用导数研究函数的极值与最值1、相关链接(1)求函数f(x)极值的步骤即:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f’(x);③求方程f’(x)=0的根。