关注归纳推理所隐藏的思想、能力和本质

归纳推理是人们间接认识事物和事物本质属性

的一种重要思想方法，也是一种人人应掌握的科学方法，归纳推理在培养学生创新意识和创新能力方面起着很大的作用。其实，归纳推理中还隐藏着一些思想、方法与本质，需要我们关注，否则归纳推理在教学中的作用就会大打折扣。下面就这些话题，谈谈笔者的见解与认识。

一、关注归纳推理前涉及的：无影的数学思想归纳推理是一种重要的思想方法，如果没有其他所需思想的支持与配合，那么学生对归纳推理可能只知其然，而不知其所以然。

如三角形的面积推导时，教材通过插图（苏教版五年级上册第12页，参见图1）提出问题：如何求涂色三角形的面积？（每个小方格表示1平方厘米）

教材编写的意图很明显，就是引导学生通过归纳

发现：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。但在教学时，我们还要关注插图中所给的三角形分别是：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。为什么在归纳前，把归纳的对象先分类呢？这是因为归纳推理时，对特例有两个方面的要求：一是量的要求，需要足够多的特例，范围要足够广；二是质的要求，需要特例有典型性和代表性，这两条基本要求是互为依存、缺一不可的。如果只注重量的方面而忽视质的方面，会让归纳推理得到的规律不具有一般性。事实上，归纳前先分类，再通过具有代表性的特例归纳出一般的规律，这样的情形不仅出现在三角形面积公式推导的教学过程中，也出现在分数乘法和分数除法算法的归纳推理教学过程中，将来还会出现在其他归纳推理或数学证明中，如正弦定理和余弦定理的公式推导等。

又如钉子板上的多边形（苏教版五年级上册第111页，参见图2），求多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学说说你的想法。

图1

关注归纳推理所隐藏的思想、能力和本质

吉智深

（南通师范高等专科学校，江苏南通226500）

[摘要]归纳推理在数学教育中的价值就是帮助学生理解数学抽象的概念、发现形式化的公式和探寻隐藏的数学规律，进而培养学生的创新意识和创新能力。事实上，归纳推理还涉及隐藏着的数学思想、概括能力和数学本质，这些需要我们在教学时有意识地去关注、去落实，只有这样教师才能更高效地开展数学教学，学生才会更深刻地理解数学。[关键词]归纳推理；归纳思想；归纳能力；本质；数学教学[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

DOI:10.3969/j.issn.1005-1058.2018.11.010

[基金项目]2017年度江苏高校“青蓝工程”（编号：苏教师〔2017〕15号）；2016年度南通市教育科学“十三五”规划课题“促进数学理解的教与学研究”（课题编号：GH2016299）。

[作者简介]吉智深，副教授，2017年江苏高校“青蓝工程”中青年学术带头人，研究方向：

数学课程与教学论。

图形编号①②③④

多边形面积/平方厘米多边形边上的钉子数（枚）图2

填好表以后，教材提问：（1）多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？用字母表示出它们函数关系后，教材继续提问：

（2）如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系？

（3）如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？

从上面的归纳推理，我们可以发现多边形的面积既与它边上的钉子数有关，也与多边形内的钉子数有关，这是一个二元函数问题。事实上，小学数学有不少多元函数的例子，如：矩形面积等于长乘宽是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2是三元函数。对于涉及多元函数的归纳推理时，教师首先要意识到这是个多元函数问题，虽然我们不能和学生说这是二元函数、那是三元函数，但要做好这种多元函数思想的渗透，也要认识到如何处理涉及多个变量的归纳推理问题。如钉子板上的多边形这节课渗透这样的思想：先使其中一个变量固定，即固定多边形内部的钉子数，当多边形内部的钉子数为0枚时，1枚时，2枚时，……多边形面积与多边形边上钉子数的关系，再通过归纳推理得到多边形的面积与多边形内部的钉子数和多边形边上钉子数之间的关系。虽然教材对此没有做明确的要求，但教师在归纳推理教学前，要意识到这种多元函数，做好这方面的渗透，并且要渗透处理这类多元函数的方法。

我们要在归纳推理前，发现蕴含其中的数学思想，并且深化这些思想，这将会给归纳推理教学乃至整个数学教学带来积极的影响。

二、关注归纳推理中所需的：无形的概括能力在归纳推理教学中，教师有时只关注具体的东

西，如概念、规律、关系等，而忽视了概括能力的培养，

面对一些简单的规律，学生也无法发现。有趣的乘法计算（苏教版第三册第22页）：

22×28=1635×35=2556×54=24

这几题的乘积会有什么特点？先算一算、填一填，再和同学交流。

积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数呢？

第一个问题，不少学生通过归纳推理顺利找到规律，但第二个问题，能发现规律的学生就很少了。为什么？原因可能有二：一是这个规律因为没有数学表征支持与帮助，单从数字计算中学生很难发现规律；二是学生归纳概括能力不强，对数字的变化不够敏感。我们可以指责这样的“简易算法”对学生来说没有任何的价值可言，但学生的概括能力不强也是不争的事实。对于课程标准中的例题，观察：

15×15=22525×25=62535×35=122545×45=2025测试统计表明：能正确地总结“个位是5的两位数自乘规律”的学生不足9%，在测试现场也观察到，相当多的学生对已有特例看不出规律。对于这样的实验结果，我们不能一味地去找客观原因，而应该反思归纳教学的目的，归纳推理不能仅仅停留在“简易算法”，而应该有更高的追求与理想，我们也要反思教学中概括能力的培养与发展问题。事实上，概括能力是重要的能力，蔡金法老师曾指出：“数学概括能力是数学能力的核心。”[1]这种无形的能力不是通过教师“教”出来的，而是学生参与学习活动“悟”出来的，那么怎样才能提高学生的概括能力呢？

1.归纳推理包括求同法、存异法、同异并用法、剩余法、共变法等，教师要引导学生在理解的基础上学会这些方法，从而提升他们的概括意识。求同法是指在被研究现象发生变化的若干场合中，若只有一个情况在这些场合中共同具有的，那么这个唯一的共同情况就是被研究现象的原因（或结果），如倒数概念的归纳采用的方法就是求同法，虽然每几组数字各不相同，但它们的乘积都等于1。共变法是指被研究现象发生变化的各个场合中，如果只有一个情况变化着，其他情况保持不变，那么这个唯一变化的情况就是被研究现象的原因（或结果）。如在钉子板上的多边形中，多边形内的钉子数是保持不变的，唯一变化的就是多边形边上的钉子数，它的数量变多，是多边形面