第六章状态反馈和状态观测器1

阵A变成了( A BHC )。比较这两种反馈形式，若令 K HC， 则 Kx HCx Hy 。因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。
6.1.3 闭环系统的能控性和能观测性
上述两种反馈控制，其闭环系统的能控性和能观测性相对于原受控系统 来说，是否发生变化，是关系到能否实现状态控制和状态观测的重要问题。
为消除状态误差，可以在此基础上引入输出反馈。
r(t)
B
x(t) C
y(t)
A
被控系统 模拟系统
G
B
xˆ(t) C
yˆ (t )
A
K
x Ax Bu
y Cx xˆ Axˆ Bu G( y yˆ)
Axˆ Bu GC(x xˆ) ( A GC)xˆ Bu Gy
yˆ Cxˆ
被控系统 模拟系统பைடு நூலகம்
6.1.1 状态反馈
所谓状态反馈是将受控系统的每一个状态变量，按照线性反馈规律反馈 到输入端，构成闭环系统。这种控制规律称为状态反馈，其结构图如下：
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
K
图中受控系统的状态空间表达式为 (A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu
y Cx
y 10
0
0x
0 2 3 1
3）闭环特征多项式为：
I （A bK） 3 (3 k2 )2 (2 k1) k0
( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4
则 k0 4，k1 4，k2 1
4）闭环传递函数为：
(s)
s3
10 4s2
6s
4
例：设受控系统传递函数为：
定理1：状态反馈不改变受控系统 0 (A, B,C)的能控性，但却不一定保持系
统的能观测性。
定理2：输出反馈系统不改变原受控系统 0的能控性和能观测性。
证明： 假定开环系统能控，A，b可为能控标准形
0 1 0 0
A
0
0 1
0
1
a0
a1
a
n
1
K K0 K1 Kn1
0 0 则 bK K0 K1
闭环传递函数：
(s)
Y(s) U (s)
s3
114.1s2
AV 1510s
10000
则稳态误差：eP
lim
s0
s(U (s) Y (s))
lim
s0
s(1 s
(s)) s
0
AV 10000
状态反馈的特性：
（1）状态反馈不能移动系统的零点 （2）当系统不完全能控时，状态反馈只能配置系统能控部分的极 点，而不能影响不能控部分的极点
sn rn1sn1 r0 0
实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。
3、状态反馈阵K的计算步骤 1）判断A，b能控性 2）写出实际的闭环特征方程（传递阵的分母为0的方程）
SI [A bK] 0
3）根据要配置的特征根，写出希望的特征方程
f (s) (s 1) (s n ) 0
x Ax Bu y Cx
xˆ (A GC)xˆ Bu Gy yˆ Cxˆ
状态估计误差：x xˆ (A GC)(x xˆ)
其解为 x xˆ e(AGC)t x(0) xˆ(0)
合理配置极点，使 lim [x(t) xˆ(t)] 0 t
只要选择状态观测器的系数矩阵 ( A GC)的特征值均具有负实部，就可以
解：因为
rankB
AB
rank
1 2
4 1
2
n
所以原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设
K k1 k2
BK 12k1
k2
k1 2k1
k2 2k2
，A
BK
2 1
k1 2k1
1 k2
1
2k2
则状态反馈闭环系统的特征多项式为
sI ( A BK ) s 2 k1 1 k2 1 2k1 s 1 2k2
y Cx
定理：采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是：受控 系统状态完全能观测。
（2）输出反馈至参考输入，系统的结构图如下
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
其中
u r Hy
则输出反馈闭环系统的状态空间表达式为
x (A BHC )x Br
y Cx
定理：对完全能控的受控系统（A,B,C），不能采用输出线性反馈来实现闭 环极点的任意配置。
0
K
n
1
0
b
0
1
0
[A bK]
0
(a0 K0 )
10 01
(a1 K1)
0
1 (an1 Kn1)
0
b
0
1
[A-bK]仍为能控标准形，所以只要开环能控，组成状态反馈 系统后仍然能控。
闭环特征多项式： I （AbK） n (an1 kn1)n-1 ... a0 k0 0
使状态估计 xˆ 逐渐逼近状态的真实值 x，即
lim (x xˆ) 0
t
三、观测器的极点配置和存在条件
观测器的极点也就是 ( A GC)的特征值，它对于观测器的性能是至关
重要的，这是因为：
（1）要使观测器成立，必须保证观测器的极点均具有负实部。
（2）观测器的极点决定了 xˆ 逼近 x的速度，负实部越大，逼近速度越快，
输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
图中受控系统的状态空间表达式为 (A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu y Cx
一、 状态重构原理
所谓状态观测器，就是人为地构造一个系统，从而实现状 态重构也即状态观测。 二、 具体实现 如何构造这样一个系统呢？直观的想法是按照原系统的结构， 构造一个完全相同的系统。由于这个系统是人为构造的，所以 这个系统的状态变量是全都可以测量的。
r(t)
B
x(t) C
y(t)
被控系统
GK (s) CsI (A BK ) 1 B
经过状态反馈后，系数矩阵C和B没有变化，仅仅是系统矩阵A发生了变
化，变成了 (A BK )。也就是说状态反馈矩阵K的引入，没有增加新的状态
变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统达到所要求的性能。
6.1.2 输出反馈
K 3 1 后，闭环系统保持了能控性不变，而不能保持能观测性。
6.2 极点配置
控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点的分布。因此 在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应有 的位置。所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统 的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。
6.2.3 输出反馈极点配置
输出反馈有两种方式，下面均以多输入单输出受控对象为例来 讨论。
（1）输出反馈至状态微分，系统的结构图如下
u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
该受控系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
则输出反馈闭环系统为
x Ax Bu Hy
y Cx
即
x (A HC)x Bu
6.2.1 状态反馈极点配置 1、极点配置定理
定理：受控系统 0 (A, B,C)利用状态反馈矩阵K，能使其闭环极点任意配置 的充要条件是受控系统0 完全能控。
2、极点配置方法
一个系统完全能控条件下，状态反馈阵K如何确定。
开环系统的特征方程： sn an1sn1 a1s a0 0
引入状态反馈，状态反馈矩阵为： K k0
输出反馈控制律为
u r Hy
式中，H为r×m输出反馈阵。对单输出系统，H为r×1的列向量。 输出反馈闭环系统的状态空间表达式为
x (A BHC )x Br y Cx
简记为 H (A BHC ), B,C。该系统的闭环传递函数阵为
GH (s) CsI A BHC 1 B
经过输出反馈后，闭环系统同样没有引入新的状态变量，仅仅是系统矩
4）对应实际的与希望的特征方程，求出K。
传递函数—可控标准型—极点配置；
状态方程—可控性判别—极点直接配置（A-BK）；
状态方程—可控性判别—线性变换—可控标准型—极点配置 逆变换—
例：已知系统的状态空间表达式为
x
2 1
1 1
x
12u
y 1 0x
试求使状态反馈系统具有极点为-1和-2的状态反馈阵K。
非主导极点为： s3 10 n，取s3 100
闭环特征多项式为：
( 100 )(2 14.1 100 ) 3 114 .12 1510 10000
原系统的特征多项式为： 3 182 72 0
则 k0 10000，k1 1438，k2 96.1
K 10000 1438 96.1
也就是观测器的响应速度越快。
（3）其极点还决定了观测器的抗干扰能力。响应速度越快，观测器的频带 越宽，抗干扰的能力越差。
通常将观测器的极点配置得使观测器的响应速度比受控系统稍快一些， 这就要求其极点可以任意配置。那么在满足什么条件时，观测器的极点才可 以任意配置呢？
0
1
0
A bK
0
0
(a0 k0 ) (a1 k1)
0
0
1
(a n1 kn1 )
闭环系统的特征方程为：
k1 kn1
0 b
0 1
sn (an1 kn1)sn1 (a1 k1)s (a0 k0 ) 0
假设闭环系统希望的极点为 (1, 2 n )
希望的特征方程为：(s 1)(s 2 )(s 3) (s n )
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈和输出反馈 6.2 极点配置问题 6.3 状态观测器 6.4 带状态观测器的状态反馈系统
在自动控制系统中，反馈控制是最主要的控制方式，状态空间设计也不 例外。因此本章主要讨论在状态空间设计中两种常用的设计方法：状态反馈 和输出反馈。
6.1 状态反馈和输出反馈
s2 (3 k1 2k2 )s (2 k1)(1 2k2 ) (1 2k1)(1 k2 )
而希望的特征多项式为
(s 1)(s 2) s2 3s 2
令以上两个特征多项式相等，可解得： k1 4, k2 1
所以
K k1 k2 4 1
由K可画出状态反馈闭环系统的结构图
r(t) u(t) 2
式中，A为n×n矩阵；B为n×r矩阵；C为m×n矩阵。
状态反馈控制律为
u r Kx
式中，r为r×1参考输入；K为r×n状态反馈阵。对单输入系统，K为1×n的 行向量。
状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
x (A BK )x Br y Cx
简记为 K (A BK ), B,C。该系统的闭环传递函数阵为
G(s)
s(s
1 6)(s
12)
s3
1 18s 2
72s
综合指标为： % 5%；tS 0.5s，ep 0,试用状态反馈实现上述指标。
解：将极点配置为一对主导极点和一个非主导极点；根据二阶
系统的性能指标，求出 0.707，n 10。取 0.707，n 10
则，主导极点为：
s1，2 0.707 j7.07
6.3 状态观测器设计 反馈的类型： 1）输出反馈至输入处：
2）状态反馈至输入处：
3）状态反馈至状态微分处：
4）输出反馈至状态微分处：
通过状态反馈可以实现任意的极点配置，但是实际系统的状态变量不是都能 用物理方法测得到的，从而给状态反馈的实现带来了困难。为此，人们提出 了状态重构或称为状态观测的问题。也就是设法利用系统中可以测量的变量 来重构状态变量，从而实现状态反馈。
1
x2 (t)
1
x1(t) y(t)
2 1
4
例：设传递函数为：
G(s)
s(s
10 1)( s
2)
s3
10 3s 2
2s
试用状态反馈使闭环极点配置在 2，1 j，并写出闭环传递函数。
解：1）根据传递函数，可知SISO系统可控可观；
2） 可控标准型动态方程为：
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u,
A
B
G
xˆ(t) C
yˆ (t )
模拟系统
A
K
通常称 xˆ(t)为 x(t) 的重构状态或状态估计值，而称这个用以实 现状态重构的系统为状态观测器。
状态观测器是人为构造的，xˆ(t)可以全部测量出来。
A、B、C、u、y均已知，但由于初值和干扰未知，x(t) 的值未知
两个系统的初始状态不可能完全一样，所以 xˆ(t) x(t)
例：设系统的状态空间表达式为
x
1 3
2 1
x
10u
y 1 2x
试分析系统引入状态反馈 K 3 1后的能控性和能观测性。
解：容易判断原系统是能控且能观测的。引入 K 3 1后，闭环系统 K
的状态空间表达式为
1 2 0
x
x r
0 0 1
y 1 2x
不难判断，系统 K是能控的，但不是能观测的。可见引入状态反馈