2018届高考数学二轮不等式选讲专题卷(全国通用)(13)

不等式选讲1．已知实数c b a ,,满足b c a <-，则下列不等式一定成立的是（ ） A c b a +< B c b a -> C c b a +< D b c a -< 【答案】C 【解析】2．不等式2|43|<-x 的整数解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．大于2【答案】B 【解析】3．选修4－5：不等式选讲对于任意的实数a （0≠a ）和b ，不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立，记实数M 的最大值是m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）解不等式m x x ≤-+-|2||1|．【答案】（Ⅰ） 2=m ；（Ⅱ） 2521≤≤x 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得aba b a M -++≤，对应任意的实数()0≠a a 和b 恒成立，只需证得2≥-++aba b a ，2≤M ；（Ⅱ） 法一，根据绝对值的几何意义，21-+-x x 表示数轴上的点到1和2的距离之和，直接找到距离之和等于2的数轴上的点，再解不等式，或是根据零点分段法，将绝对值去掉，再解不等式．试题解析：：（Ⅰ）解不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立，即aba b a M -++≤，对应任意的实数()0≠a a 和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值，因为()()a b a b a b a b a 2=-++≥-++，当且仅当()()0≥-+b a b a 时等号成立，即b a ≥时，2≥-++aba b a 成立，所以aba b a -++的最小值是2，即2=m（Ⅱ）解法一，利用绝对值的意义得：2521≤≤x 解法二：当1<x 时，原不等式化为()()221-≤---x x ，解得21≥x ，所以x 的取值范围是121<≤x当21≤≤x 时，原不等式为()()221≤---x x ，得x 的取值范围是21≤≤x当2>x 时，原不等式化为()()221≤-+-x x ，解得25≤x ，得x 的取值范围是252≤<x综上所述，x 的取值范围是2521≤≤x ． 考点：1．绝对值不等式的解法；2．含绝对值不等式．4．函数y =______.【答案】【解析】由柯西不等式 ： ≤即函数y =点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式． 5．已知函数()[]212,3,3f x x x x =+--∈- .（Ⅰ）写出函数()f x 的分段解析表达式，并作出()f x 的图象； （Ⅱ）求不等式()2f x >的解集.【答案】（1）()4,31{3,124,23x x f x x x x x ---≤≤-=-<<+≤≤ 图像见解析（2）222,,333⎛⎫⎛⎤--⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再作出图像（2）利用翻折作出()f x 图像，结合图像，求出在y=2上点的范围，即为不等式解集试题解析：解：（I ）的图象如图所示（II ）方法一：由的表达式及图象，当时，可得；当时，可得；故的解集为；的解集为；所以不等式的解集为方法二：由（I ）可知所以()431310{302423x x x x f x xx x x +-≤<---≤<=≤<+≤≤当31x -≤<-时， 42x +>，解得2x >- 21x ∴-<<-当10x -≤<时， 32x ->，解得23x <-213x ∴-≤<-当02x ≤<时， 32x >，解得23x >223x ∴<< 当23x ≤≤时， 42x +>，解得2x >- 23x ∴≤≤综上， ()2f x >的解集为222,,333⎛⎫⎛⎤--⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦6．已知函数)(6)(R m x m x x f ∈--+=． （1）当3=m 时，求不等式5)(≥x f 的解集；（2）若不等式7)(≤x f 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}|1x x ≥；（2）[13,1]-． 【解析】试题分析：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找交集；（2）|6||||6||6|7x m x x m x m +--≤++-=+≤解出m 即可．试题解析：当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥， ①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >． 故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，解得131m -≤≤, 故m 的取值范围是[13,1]-．考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值． 7．设f （x ）＝｜x ＋1｜＋｜x －3｜． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤3x ＋4；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥m 的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为{}0x x ≥；（Ⅱ）即m 的取值范围为(],4-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）解不等式f （x ）≤3x ＋4，首先将()f x 转化为分段函数22, 1()4, 1322, 3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤，然后利用分段函数分段解不等式，从而求出不等式的解；易错点，不知将()f x 转化为分段函数；（Ⅱ）不等式()f x m ≥的解集为R,即当x R ∈,不等式()f x m ≥恒成立,只需求出()f x 的最小值即可,此题可以利用分段函数求出最小值,也可利用绝对值不等式的性质来求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为22, 1()4, 13,22, 3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤所以原不等式等价于 ①12234x x x <-⎧⎨-++⎩≤ 或②13434x x -⎧⎨+⎩≤≤≤ 或③32234x x x >⎧⎨-+⎩≤， 解得①无解，②03x ≤≤，③3x >，因此不等式的解集为{}0x x ≥.（Ⅱ）由于不等式()f x m ≥的解集为R ，所以min ()f x m ≥, 又()|1||3||13|4f x x x x x =++-++-=≥，即m in ()4f x =， 所以4m ≤，即m 的取值范围为(],4-∞.考点：绝对值不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想，以及学生的运算能力. 8．记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值. 【答案】（1）{}13P x x =-<<；（2）2a >. 【解析】试题分析：(1) 本小题主要考查分式不等式的解法，将3a =代入到目标不等式中，然后化分式不等式为整式不等式，根据一元二次不等式来求；(2)由Q Q P = 可得Q P ⊆，利用集合的基本关系可以分析出正数a 的取值范围，当然也可辅以数轴来分析求解.试题解析：（1）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<． 4分（2）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤． 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 8分又Q Q P = ，所以Q P ⊆，所以2a > 10分 考点：1.分式不等式；2.集合的基本关系． 9．已知函数b ax x x f ++=2)(.（1）若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围； （2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；（3）若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤-【答案】解：（1）对任意的R x ∈，都有⇔+≥a x x f 2)(对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b .（2）证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M 。

（3）证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a -上是增函数。

∴当1||≤x 时,)(x f 在2a x -=时取得最小值42a b -，在1=x 时取得最大值b a ++1.故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤【解析】略10．选修4－5：不等式选讲 已知函数()()114,2122f x x a xg x x =-++=--. （Ⅰ）求不等式()3g x <的解集。

（Ⅱ）若对任意1x R ∈时都有2x R ∈使得()()123f x g x =+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）-26（，）; （Ⅱ）26a a ≥-≤-或.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用213,3213x x --<-<--<，去绝对值求解即可； （Ⅱ）利用条件说明()(){|}{|3}y y f x y y g x =⊆=+，通过函数的最值，列出不等式求解即可.试题解析：（Ⅰ）当()3g x <时， 213,321024x x x --<∴---∴≤-< 424,26x x ∴-<-<∴-<<（Ⅱ）对任意1x R ∈时都有2x R ∈使得()()123f x g x =+成立， 等价于()(){|}{|3}y y f x y y g x =⊆=+ 而()114422f x x a x a =-++≥+， ()3222g x x +=-+≥ 只需42,26a a a +≥∴≥-≤-或. 11．选修4-5：不等式选讲已知函数()24f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时， ()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()4f x x a =++时，求x 的取值范围．【答案】（1）3a =-（2）当2a <-时，x 的取值范围是{|2}x a x ≤≤-；当2a =-时， x 的取值范围是{}2-；当2a >-时， x 的取值范围是{|2}x x a -≤≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用零点分段法将函数()f x 的解析式写在分段函数，然后求得()f x 的最小值，从而求得实数a 的值；（Ⅱ）首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数()f x 的最小值，然后分2a <-、2a =-、2a >-求得x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当2a <-时，函数()34,,24{4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<=++-=---≤≤--+>-可知，当2x =-时， ()f x 的最小值为()221f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()()()24244f x x x a x x a x a =++-≥+--=++，当且仅当()()240x x a +-≤时， ()4f x x a =++成立， 所以，当2a <-时， x 的取值范围是{|2}x a x ≤≤-； 当2a =-时， x 的取值范围是{}2-；当2a >-时， x 的取值范围是{|2}x x a -≤≤．12．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）+2a 2＜4a ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1|33x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）1522a -<<． 【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围把函数()f x 写成分段函数的形式，分别在各段上求解不等式的解，最后取并集即可；（2）原题可转化为()242f x a a <- 有解问题，根据（1）求得()min f x 得到关于a 的一元二次不等式即可求得实数a 的范围.试题解析：（1）函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|=3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，令f （x ）=0，求得x=﹣13，或 x=3， 故不等式f （x ）＞0的解集为{x|x ＜﹣13，或x ＞3}． （2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）+2a 2＜4a ，即f （x 0）＜4a ﹣2a 2有解， 由（1）可得f （x ）的最小值为f （12）=﹣3•12﹣1=﹣52，故﹣52＜4a ﹣2a 2， 求得﹣12＜a ＜52． 考点：绝对值不等式的解法及函数有解问题..A 13．设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥考点：柯西不等式.14．关于x 的不等式5|1||3|x x a a+--≤-的解集不为空集，则实数a 的取值范围是 .【答案】[)[)1,5,0+∞⋃- 【解析】试题分析：由于|1||3|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到3对应点的距离，它的最小值为4-，要使不等式5|1||3|x x a a+--≤-的解集为非空集合，则实数54a a->-，解得，[)[)1,5,0a ∈+∞⋃-，故答案为[)[)1,5,0+∞⋃-． 考点：绝对值不等式的解法．。