辽宁省本溪满族自治县高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角学案(无答案)新人教B版
辽宁省本溪满族自治县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教案新人教
教材处理
师生活动
（二）自学检测
1.正方体AC1的棱长为1，求平面AD1B1的一个法向量。
2.已知
3.已知四棱锥 的底面 是平行四边形，且 ,
求证： 是矩形。
4.已知四面体 的棱
平面的法向量与平面的向量表示
教学过程设计
教材处理
师生活动
（四）课堂检测：
1、已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），则平面ABC的一个单位法向量为_________。
教学过程设计
教材处理
师生活动
（一）知识归纳
1.平面法向量的定义是什么？线面垂直判定定理的关键是平面的法向量？
4.如何借助 平面的法向量判断两平面的平行与垂直 ？
5.平面的向量表示是什么？如何理解？
6.三垂线定理及逆定理的内容是什么？是哪三条线？有没有其他方法来证明例2？
教学
目标
1．理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；
2．了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；
重点
难点
学习重点：平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定
学习难点：对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理 的证明思路及三垂线定理的应用。
教法
尝试 、变式、互动
教具
5 、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
（三） 合作探究
探究一、
已知点A（3，0，0），B（0， 4，0），C（0，0，5），，如图所示，求平面ABC的一个单位法向量。
练习、在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹
3.2.3 直线与平面的夹角
课前导引
问题导入
如右图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°.
.
求PB与平面ABCD所成角的大小
∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
BO为PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，
由已知△POB为等腰直角三角形，
∴PO=BO=3，∴PB与平面ABCD所成的角为45°.
知识预览
1斜线和_____________________叫做斜线和平面所成的角.
答案：它在平面内的射影的夹角
2斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所在直线所成角中________. 答案：最小角
3斜线和平面所成的角为θ1，射影和平面内直线所成的角为θ2，斜线和平面内直线所成的角为θ,满足_____________________.
答案：cosθ=cosθ1·cosθ2
1。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法(第3课时)空间向量与空间距离选学课件选修2_1
解：建系如图，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， G(2，1，0)，所以A→G＝(0，1，0)，G→E＝(－2，1，1)， G→F＝(－1，－1，2)． 设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量， 点 A 到平面 EFG 的距离为 d，
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间向量与空间距离(选学)
第三章 空间向量与立体几何
考点 点到直线的 距离 点到平面的 距离
学习目标
核心素养
了解点到直线的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
了解点到平面的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点间 的距离
设平面 AB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD11＝＝00，，即xy－－hhzz＝＝00，，取 z＝1，得 n＝(h，h，1)，所
→ 以点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d＝|n·|nA|C|＝
hh＋2＋hh＋2＋0 1＝43，
解得 h＝2.
故正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2.
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，
则 d＝|A→B|＝ A→B·A→B＝ ___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1_）__2＋___（__z2_－__z_1_）__2 _____
点到平 面的距离
设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平 面 α 的距离 d＝|B→A|n·| n|
d＝
|B→C|2－B→C→·A→′C2)＝
4－1164
|A′C|
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向
空间向量与垂直关系
考
纲
定
位
重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
难
突
破
1.能利用平面法向量证明两个平 重点：求直线的方向向量与平 面垂直． 面的法向量．
2.能利用直线的方向向量和平面 难点：利用方向向量与法向量 的法向量判定并证明空间中的 垂直关系. 处理线线、线面、面面间的垂 直关系.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
A(3,0,0)，
9 E3，3，4，D1(0,0,4)，
→ ∵D1B＝(3,3，－4)，
9 → → AE＝0，3，4，AC＝(－3,3,0)， 9 → → 0，3， ＝0， ∵D1B· AE＝(3,3，－4)· 4
→ →. ∴D B ⊥ AE 1 → →， ∴D B ⊥ AC 1
答案：a或2a
探究一 [典例1]
利用空间向量证明线线垂直
已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底
1 面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1. 4 求证：AB1⊥MN.
[证明]
法一 基向量法
→ ＝a，AC → ＝b，AA → ＝ c， 设AB 1 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a· c＝b· c＝ 0， 1 → → 1 → AB1＝a＋c，AM＝ (a＋b)，AN＝b＋ c， 2 4 1 1 1 → → → MN＝AN－AM＝－ a＋ b＋ c， 2 2 4
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，D 2a 2a ， ，3a， 2 2
C(0， 2a,0)． 设E( 2a,0，z)，(0≤z≤3a)， → ＝( 2a，－ 2a，z)， 则CE → B 1E＝( 2a,0，z－3a)． 由题意得2a2＋z2－3az＝0， 解得z＝a或2a. ∴AE＝a或2a.
2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件4新人教B版选修2_1
1.定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所
成的角. [0 ,90 ]
P
αA B
2.求法：〔1〕定义〔2〕向量
作业：教材108页练习A第2,3 题
自己把自己说服了，是一种理智的胜利；自己把自 己感动了，是一种心灵的升华；自己把自己征服了， 是一种人生的成功。
则 sinθ＝|cos〈A→H，n〉|＝
6 18·
＝ 20
10 10 .
∴AH
与平面
AEFG
的夹角为
arcsin
10 10 .
[说明]
解答本题易出现由
sinθ ＝
10 10
得
θ＝
arcsin 1100或 θ＝π－arcsin 1100的错误，导致此种错误的原
因是忽视了斜线与平面夹角的范围．
1在成．D角在1的C正1大上方小,且体DA1BEC1=D－14 DA11BC11C,试1D求1中直,线F是E1BFC与的平中面点D，1A点C所E1
解：设正方体棱长为 1，以 DA, DC, DD1 为单位正
交基底，建立如图所示坐标系 D－xyz
DB1 为 D1AC 平面的法向量， DB1 (1, 1, 1)
E1 F
(
1 2
,
3 4
,1)
cos DB1 , E1F
87 87
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正
弦值为 sin 8 7
A→G＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)， A→H＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则
4x＋z＝0 －4y＋z＝0
高中数学第三章空间向量与立体几何321直线的方向向量与直线的向量方程322平面的法向量与平面的向量表
题型三
题型四
题型五
解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以
, , 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系
如图所示,则 A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2).
∴ = (1,0,0)是平面SAB 的法向量.
(1)直线的方向向量.
给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点
作 向量 = a ,这时点P的位置被t的值完全确定.当t在实数集R中
取遍所有值时,点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l,
向量a称为该直线的方向向量.
名师点拨一条直线有无数个方向向量.
知识梳理
(2)空间直线的向量参数方程.
设平面 SCD 的法向量为 n=(1,y,z),
则 n· = (1, , )·(1,2,0)=1+2y=0,
1
∴y=− .
2
又 n· = (1, , )·(-1,0,2)=-1+2z=0,
1
2
∴z= .
1 1
2 2
∴n= 1,- ,
即为平面SCD 的法向量.
典例透析
题型一
题型二
题型三
向量为(
)
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
答案:A
名师点拨若空间三点 P,A,B 满足 = + , 且m+n=1,
则 P,A,B 三点共线.
知识梳理
2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与
平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2或l1与l2重合
辽宁省大连市高中数学第三章空间向量与立体几何3.2直线的方向向量与直线的向量方程教案新人教B版选修2-1
解决学生自主学习中遇到的困惑，加深学生对知识的印象
8
分钟
3.
做
议
讲
评
在四棱锥P-ABCD中，AB垂直AD，CD垂直AD,PA垂直底面ABCD，M为PC的中点，求证：BM平行p平面PAD。
1、巡视学生的完成情况
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3、要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
3、通过探究一，会应用平行与垂直；
4、通过探究二，会证明平行与垂直；
理由：
依据本节课重难点制定
教具
多媒体课件、教材，教辅
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
课
前
3
分
钟
一、解读学习目标
二、给出《优化》84页预习测评答案
评价总结预习情况结果
独立完成课前检测
明确本节课学习目标，准备学习。
3
分钟
2.
承
接
结果
探究一：《空间直线的向量参数方程的应用》
已知O为坐标原点，在四面体OABCD中A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0)，直线AD平行BC，并且AD交坐标平面xOy于点D，求点D的坐标。
1、评价学生的展示结果
2、巡视学生的完成情况
3、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
1、展示等差数列的定义式
2、组间互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况
6
分钟
6.布置下节课
自主
学习
任务
完成作业卷习题，并标注每道题用到的解题方法
3
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第三章 空间向量与立体
教材处理
师生活动
3、在二面角的一个面内有一点A，它到棱的 距离等于到另一个面的距离的2倍,则二面角的度数是．
4、若P是△ABC所在平面外一点，且△P BC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝ ，那么二面角P—BC—A的大小为________．
5、在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝ ，BC＝6，求二面角A－PC－D的余弦值．
2、二面角的平面角
在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l、OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角．
3、直 二面角
平面角是__ ______的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是的平面．
注 意：二面角的大小可以用它的来度量的 Nhomakorabea切值是.
二面角及其度
方法一：（1）向量法求二面角
分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用度量这个二面角.
例1、一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为．
（2）法向量法
设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角．
注意：此方法的运用适宜于：
教学
目标
1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．
2．掌握求二面 角的基本方法、步骤．
重点
难点
重点：求二面角的大小。
难点：找二面角的平面角
教法
尝试、变式、互动
教具
教学过程设计
教材处理
师生活动
知识点：
1、二面角的定义
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第三章 空间向量与立体
θ 2θ 1θ C B A αO 3.2.3直线与平面的夹角一、学习目标：1.理解掌握直线和平面所成的角定义 2.初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤 二、学习重点：斜线和平面所成的角（或夹角），如何求斜线与平面所成的角。
三、教学难点：斜线和平面所成的角的求解，公式及公式的应用四、新知探究：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，与这条斜线和这个平面内其它直线所成的角的关系如何？3、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .（2）一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角（3）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（4）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 .（5）直线和平面所成的角的范围是 .（6）三余弦公式是 .五、例题例1已知∠AOB=90°，C 为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为例2在单位正方体1111D C B A ABCD -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角。
跟踪训练：已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值。
例4如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为．跟踪训练：在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABC D 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则PC 与面PAB 所成角的余弦值为 ．当堂检测1．正三棱柱111C B A ABC 的所有棱长相等，1AC 与面C C BB 11所成角的余弦值为（ ）A 、45B 、410C 、25D 、210 2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ．3．正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°4．设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且，那么PC 与平面ABC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．如图，直线l 是平面α的斜线，AB ⊥α，B 为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．15°6．正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，那么EF与平面BCD所成的角的大小为．7．在正四面体ABCD中，AD=1，求AD与平面BCD所成的角。
2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件1新人教B版选修2_1
A
O
B
L
L
L
L
斜线与平面所成角的范围
〔 0，2 〕
直线与平面所成角的范围 [0，2 ]
二、空间中直线与平面夹角的求法
空间中异面直线所成角的求法
〔1〕定义法 〔2〕向量法
1、定义法求线面角
定义法：找(或作)出直线在平面内的射影，得到线面角， 通过解三角形进展计算．
l
A
O
B
例1： 在棱长为1的正方体 中， AB-C A 1B D 1C 1D 1
D1
C1
y D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
得 所 所 y以 以 =B zxx1 C =1 -与 zy1， 面 0故 0A ，nB 取 1 =C (x所 1， =成 -11， ， 的 -1角 )，的 正 co弦 sx 值 n， B 为 1C13 3 。 0113033
练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中(如图)， M、N分别是棱
A
B
B
n
结论：sin |cosn,AB|
2、向量法求线面角
向量法：求直线的方向向量 u ，平面的法向量 n ，那么直
线
nu
与平面成角θ的正弦值为sin θ＝|cos〈 ，〉|.
例2：正方体 ABCDA1B1C1D 1的棱长为1.
求 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的.正弦值
设 n ＝(x，y，y)是平面 BMD1N 的一个法向量，
由n
·
D1 N
＝0， n
2020学年高中数学3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课件人教B版选修2_1
成角的余弦值为
答案：
3 3
1－69＝ 33.
本部分内容讲解结束
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【解】 连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 A1O. 设正方体棱长为 a. 易证 BC1⊥平面 A1B1CD，所以 A1O 为 A1B 在 面 A1B1CD 上的射影， 所以∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 在 Rt△A1BO 中，A1B＝ 2a，OB＝ 22a， 所以 sin∠BA1O＝AO1BB＝12，所以∠BA1O＝30°. 即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
因为△BCD 是正三角形， 所以 O 为△BCD 的中心，连接 OD 并延长交 BC 于 F，则 F 为 BC 的中点．令正四面体棱长为 1，可求得 CE＝ 23，DF＝ 23， OD＝ 33，AO＝ AD2－OD2＝ 1－39＝ 36，所以 EG＝ 66，在 Rt△ECG 中，sin∠ECG＝ECGE＝ 32.
线所成的角中最小的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
答案：A
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，
若 cos〈m，n〉＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：A
用定义法求斜线和平面的夹角 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．
第三章 空间向量与立体几何
3．2.3 直线与平面的夹角
第三章 空间向量与立体几何
1.了解最小角定理的推证方法． 2.理解斜线和平面 所成角的定义． 3.掌握直线和平面所成角的求法．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案(含解析)新人教B版选修2_1
学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝t a 或OP →＝OA →＋t a 或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2．线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔v 1∥v 2.2．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.3．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v 1，v 2，所以cos 〈v 1，v 2〉＝v 1·v 2|v 1||v 2|.但要注意，两直线的夹角与〈v 1，v 2〉并不完全相同，当〈v 1，v 2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．直线l 的方向向量是唯一的．( × )2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )3．若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( × )4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )题型一 空间中点的位置确定例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标． 解 (1)由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1.因此，P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，113，1.(2)因为AQ ∶QB ＝2∶1，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6)．反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1 已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－3，2C.⎝⎛⎭⎪⎫103，－1，73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32答案 C解析 设C (x ，y ，z )，∵C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，∴AC →＝13AB →，即(x －4，y －1，z －3)＝13(－2，－6，－2)，∴x ＝103，y ＝－1，z ＝73.题型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，所以MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c )．因为MN 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′—→， 所以MN →＝12AD ′—→，所以MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS . 证明 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则 MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c ，∴MN →＝RS →，∴MN →∥RS →，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，则根据题意得M ⎝⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)， R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN →＝RS →，∴MN →∥RS →，∵M ∉RS ，∴MN ∥RS . 题型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点．求直线MN 与AC 所成角的余弦值．解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a ， 所以|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25，MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉|＝|MN →·AC →||MN →||AC →|＝454454×5 ＝3510.所以直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510. 反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.跟踪训练3 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1BCC 1的中心，求异面直线AF 与BE 所成角的余弦值． 解 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，B (2,4,0)，C 1(0,4,2)，A 1(2,0,2)，∴E (1,2,2)，F (1,4,1)， AF →＝(－1,4,1)， BE →＝(－1，－2,2)，∴|AF →|＝18＝32，|BE →|＝9＝3，AF →·BE →＝1－8＋2＝－5，∴cos〈AF →，BE →〉＝－532×3＝－5218.∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →〉|＝5218.即异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为5218.1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．不能确定答案 B解析 ∵a·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．1B.52C.12D ．3答案 B解析 因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m ＝0，所以2m ＝9－4＝5，即m ＝52.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 答案 A解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A. 4．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4,2－2m,2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确答案 C解析 因为b ＝(4,2－2m,2－2m )≠0， 所以“a ∥b 的充要条件是a ＝λb ”， 得⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＝4λ，m －1＝λ2－2m ，m －1＝λ2－2m ，显然m ＝1符合题意，当m ≠1时，由m －1＝λ(2－2m )，得λ＝－12，代入4－2m ＝4λ，得m ＝3.5．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______. 答案 －14 6解析 ∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48(x ≠0，y ≠0)，∴x ＝－14，y ＝6.1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．一、选择题1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y (xD ＝/0，yD ＝/0)，解得x ＝6，y ＝152.2．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．－25B.25C ．－255 D.255答案 B解析 设l 1与l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a||b|＝|－4|5×20＝25.3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60°B．90°C．105°D．75° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎪⎫62，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎪⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．以上都不对答案 C解析 ∵AB →＝(－3，－2，－5)，BC →＝(2,6,4)， AC →＝(－1,4，－1)．∴AB →·AC →＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|， 故选C.5．已知点A (3,3，－5)，B (2，－3,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝23AB →，则点C 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－12，52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－3，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－1，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－72，32答案 C解析 设C 点坐标为(x ，y ，z )，则AC →＝(x －3，y －3，z ＋5)，AB →＝(－1，－6,6)．由AC →＝23AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－23，y －3＝23×－6＝－4，z ＋5＝23×6＝4，解得x ＝73，y ＝－1，z ＝－1.即C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－1，－1. 6．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31)答案 B解析 设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1， ∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .8.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是( ) A ．①③④ B ．①②③④ C ．①③D ．③④答案 A解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →，∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂平面D 1PQB 1，A 1M ⊄平面D 1PQB 1，∴A 1M ∥平面D 1PQB 1.又D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1.∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．二、填空题9．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.答案 16解析 PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB → (x ，y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.10．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1 解析 设M (x ，y ，z )，则由已知，得AM →＝λAB →＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)．又AM →＝(x ，y ，z －1)，∴x ＝－λ，y ＝λ，z ＝1.又CM →·AB →＝0，CM →＝(－λ－1，λ－2,4)，∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0，∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝12. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.11．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13 解析 设交点坐标为P (x,0，z )，则由A ，P ，B 三点共线可设AP →＝λAB →，得(x －1,2，z －3)＝λ(1,3，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝λ，2＝3λ，z －3＝－4λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，z ＝13.故AB 连线与xOz 平面的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13. 三、解答题12.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .证明 如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz .设A (a,0,0)，S (0,0，b )，则B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b2.所以EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2. 取SD 的中点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，b 2， 连接AG ，则AG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ，又AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)，根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋t －22·cos60°， 所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点．14．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23 解析 因为AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，PA →＝(－x,1，－z )，由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，得x ＝13，z ＝－23， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23. 15.如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO .解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即AP ∥BQ ，又AP ∩OP ＝P ，BQ ∩BD 1＝B ， 则有平面PAO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .。
高中数学第3章空间向量与立体几何32空间向量的应用321直线的方向向量与平面的法向量课件苏教版选修2
19
设平面
SCD
的法向量
n＝(1，λ，u)，有
n⊥D→C，n⊥D→S，则
→ n·DC
＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.
n·D→S＝Fra bibliotek(1，
λ
，
u)·－21，0，1
＝
－
1 2
＋
u
＝
0
，
∴u
＝
1 2
，
∴n
＝
1，－12，12.
20
[规律方法] 1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
41
根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面 的位置关系．
(1)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12； (2)直线 l 的方向向量 a＝(－6,8,4)，平面 α 的法向量 u＝ 2，2，－1. [思路探究] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面 位置关系．
42
[解] (1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12， ∴u·ν＝(－1,1，－2)·3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u⊥ν，故 α⊥β. (2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)， ∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u⊥a， 故 l⊂α 或 l∥α.
n·a＝0， n·b＝0
有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值
法，只要给 x，y，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个
法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．
40
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关 系？
[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直； 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行． (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
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θ 2θ 1θ C B A α
O 3.2.3直线与平面的夹角
一、学习目标：1.理解掌握直线和平面所成的角定义 2.初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤 二、学习重点：斜线和平面所成的角（或夹角），如何求斜线与平面所成的角。
三、教学难点：斜线和平面所成的角的求解，公式及公式的应用
四、新知探究：
1、直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交
2、平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，与这条斜线和这个平面内其它直线所成的角的关系如何？
3、重要结论：
（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .
（2）一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角
（3）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .
（4）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 .
（5）直线和平面所成的角的范围是 .
（6）三余弦公式是 .
五、例题
例1已知∠AOB=90°，C 为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为
例2在单位正方体1111D C B A ABCD -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角。
跟踪训练：
已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值。
例4如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为．
跟踪训练：
在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABC D 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则PC 与面PAB 所成角的余弦值为 ．
当堂检测
1．正三棱柱111C B A ABC 的所有棱长相等，1AC 与面C C BB 11所成角的余弦值为（ ）
A 、45
B 、410
C 、25
D 、2
10 2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ．
3．正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．90°
4．设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且
，那么PC 与平面ABC 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5．如图，直线l 是平面α的斜线，AB ⊥α，B 为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．15°
6．正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，那么EF与平面BCD所成的角的大小为．7．在正四面体ABCD中，AD=1，求AD与平面BCD所成的角。