习题10.2一致收敛级数的判别与性质-FudanUniversity

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一致收敛的判别方法

一致收敛的判别方法在数学中，一致收敛是一种函数序列的收敛方式，它比点态收敛更强。

一致收敛的判别方法是判断函数序列是否一致收敛的方法。

我们需要了解一致收敛的定义。

如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x∈D，都有|fn(x)-f(x)|<ε成立，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)。

接下来，我们介绍一致收敛的判别方法。

1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是一种常用的判别方法。

它的基本思想是将函数序列中的每个函数表示为一个收敛的无穷级数，然后通过比较级数的收敛性来判断函数序列的一致收敛性。

具体来说，如果对于所有的x∈D，都有|fn(x)-an(x)|<bn(x)成立，其中{an(x)}是收敛于f(x)的函数序列，{bn(x)}是一个非负的收敛于0的函数序列，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛于f(x)。

2. Cauchy判别法Cauchy判别法是另一种常用的判别方法。

它的基本思想是通过比较函数序列中的两个函数之间的差值来判断函数序列的一致收敛性。

具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m,n>N时，对于所有的x∈D，都有|fn(x)-fm(x)|<ε成立，那么函数序列{fn(x)}在D上一致收敛。

3. Dini定理Dini定理是一种特殊的判别方法，它适用于函数序列在紧致集上的情况。

具体来说，如果函数序列{fn(x)}在紧致集K上逐点收敛于f(x)，且f(x)在K上连续，那么函数序列{fn(x)}在K上一致收敛于f(x)。

一致收敛的判别方法有很多种，我们需要根据具体情况选择合适的方法。

在实际应用中，我们可以结合多种方法来判断函数序列的一致收敛性，以保证结果的准确性。

数项级数一致收敛

数项级数一致收敛（原创实用版）目录1.数项级数一致收敛的定义2.数项级数一致收敛的性质3.数项级数一致收敛的判定方法4.数项级数一致收敛的实际应用正文一、数项级数一致收敛的定义数项级数一致收敛是指，当级数的各项绝对值趋于 0 时，级数的和趋于一个确定的常数。

换句话说，如果一个级数的各项绝对值都小于某个正数ε，且级数的项数趋向于无穷，那么这个级数就是一致收敛的。

二、数项级数一致收敛的性质一致收敛的级数具有以下性质：1.有界性：级数的每一项都趋于 0，因此级数的和也有界。

2.有序性：当项数增加时，级数的和单调增加或单调减少。

3.极限存在：当级数的项数趋于无穷时，级数的和存在极限。

三、数项级数一致收敛的判定方法判断一个级数是否一致收敛，可以使用以下几种方法：1.ε-δ法：如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当项数 n>δ时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。

2.柯西准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数 n>N 时，级数的各项绝对值都小于ε，那么这个级数就是一致收敛的。

3.列恩哈德准则：如果对于任意正数ε，总存在正数 N，使得当项数n>N 时，级数的各项绝对值的倒数之和趋于 0，那么这个级数就是一致收敛的。

四、数项级数一致收敛的实际应用一致收敛的级数在数学分析中有广泛的应用，例如求和、求积分、求极限等。

在实数域、复数域以及更高级的数学领域，一致收敛的级数都是研究的重要对象。

同时，一致收敛的级数也是许多实际问题的数学模型，如求解数列的和、计算定积分等。

综上所述，数项级数一致收敛是数学分析中的一个基本概念，具有重要的理论和实际意义。

10-2 函数项级数的一致收敛性

n 1 n n

(1) (Abel 判别法)函数序列{an ( x)}对每一固定的 x D 关于 n 是单调的，且{an ( x)}在 D 上一致有界：
a ( x) M , x D, n N ;
n
同时，函数项级数 b (x ) 在 D 上一致收敛.
n 1 n

.
（2） (Dirichlet 判别法)函数序列{an ( x)}对每一固定的 x D 关于 n 是单调的，且 {an ( x)}在 D 上一致收敛于 0，同时，函数项级数 b ( x ) 的部分和序列
x 例6 证明函数序列 S ( x ) (1 n ) 在区间[0, ) 上不一 S ( x) e x . 致收敛性于
n n
定理3（函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理）
函数项级数 u n ( x ) 在集合 D 上一致收敛的充要条 n 1 件是：

对任意给定的 0, 存在正整数 N N ( ), 使
n 1 n
在 D 上一致有界：
bk ( x ) M , x D, n N . k 1 n
.
例 8 设级数 a n 收敛，则 an x 在[0,1] 上一致收敛. n 1 n 1
n

五、小结
1、函数项级数一致收敛及内闭一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法 ——两个充要条件；
则函数序列 S n (x) 在 D 上一致收敛于 S (x) 的充要条件是：
lim d ( S , S ) 0.
n n
例4
nx 试证函数序列 S ( x ) 1 n x
n 2
2
在区间 ( 0, ) 上
的不一致收敛性于 0，但内闭一致收敛.

10.110.2一致收敛

n1 n ln n
n1 n ln n
不一致收敛．
例７：证明：函数项级数 xn 1 x2 , x 0,1 上一致收敛，但是 n0
xn 1 x, x 0,1 上不一致收敛。
n0
证明：首先考虑 xn 1 x2 n0
由于：Sn x
n
xk 1
x2
1
xn
1 x , x 0,1
k0
0 x 1
n p
akbk
k n1
2M
8M
2
8M
,
I
,
p.
由柯西收敛原理，
an ( x)bn ( x)在I上一致收敛.
n1
例10.
证明
cos nx,
sin nx在[ ,2
]上一致收敛.
n1 n n1 n
证明：
取an
cos nx,bn
1 n
,
则
bn
(
x
)单调减趋于0.
n ak (x)
k 1
n1
例 11.
n2
(1)n(2 xn ln n(1 xn )
)
arctan
nx
,
x
[0,
)
解：
(1)n一致收敛
n2 ln n
bn
2 1
xn xn
1
1 1 xn
,固定x [0,1],bn ( x)递增
2.
n2
(1)n ln n
2 1
xn xn
在[0,1]上一致收敛.
固定x [1,],bn ( x)递减, 2
(
x
)
lnimu1
(
x
)
u2
(

一致收敛的比较判别法

一致收敛的比较判别法一致收敛的比较判别法是数学分析中的一种重要策略，适用于求解函数序列的收敛性问题。

其主要思想是通过比较函数序列与已知函数的大小关系，来推断函数序列的收敛性。

下面我们就来详细介绍一下这一方法。

1. 一致收敛的概念在介绍一致收敛的比较判别法之前，我们先来了解一下一致收敛这个概念。

对于一个函数序列{f_n(x)}，如果存在一个函数f(x)，使得对于任何给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，有|f_n(x)-f(x)|<ε成立，那么我们称这个函数序列一致收敛于函数f(x)。

这种收敛方式相比于点态收敛和平均收敛而言，更加强一些，也更适合于一些特殊函数的收敛性分析。

2. 比较判别法的基本思路有了一致收敛的概念之后，我们就可以开始介绍一致收敛的比较判别法了。

这种方法的基本思路就是通过一个已知函数g(x)，与函数序列{f_n(x)}相比较，从而来推断{f_n(x)}的收敛性。

具体来说，如果存在一个正整数N和正数M，使得对于任意的x和n>N，有|f_n(x)|≤M|g(x)|成立，那么我们就可以得出结论：若g(x)一致收敛，那么{f_n(x)}一致收敛；反之，若{f_n(x)}不一致收敛，则g(x)也不一致收敛。

3. 举例说明为了更好地理解一致收敛的比较判别法，我们举个例子来说明。

考虑两个函数序列{a_n(x)}和{b_n(x)}，其中a_n(x)=x^n/(1+x^n)，b_n(x)=x^n。

我们想知道这两个函数序列是否一致收敛。

由于比较判别法的思路是将未知的函数序列与已知的函数相比较，因此我们可以先找到一个已知函数g(x)，它能够与{a_n(x)}或{b_n(x)}进行比较。

因为a_n(x)的极限函数是f(x)=1(当x>0时)，因此我们取g(x)=1，那么对于任意的x和n，有|a_n(x)|≤1|g(x)|成立。

因此，根据比较判别法，可以得出结论：{a_n(x)}一致收敛于f(x)=1。

函数项级数一致收敛性判别及应用

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是指由函数组成的序列求和的过程，它在数学中具有重要的应用。

函数项级数一致收敛性判别及应用是函数序列求和过程中的一个重要问题，它涉及到函数项级数的收敛性和应用方面。

本文将介绍函数项级数一致收敛性的判别方法和应用，让读者对这个重要的数学问题有一个更深入的了解。

我们来介绍一下函数项级数一致收敛性的概念。

函数项级数的一致收敛性是指函数项级数在定义域上一致收敛。

在数学中，一致收敛是指序列或者函数在某个范围内均匀收敛。

对于函数项级数来说，一致收敛性意味着在整个定义域上，序列的收敛性都是均匀的，而不是局部的。

一致收敛性是函数项级数的重要性质，它在微积分、实分析和复分析等领域都有广泛的应用。

要判断函数项级数是否一致收敛，有一些常用的判别法则，下面我们将介绍其中的几种。

首先是Weierstrass判别法。

Weierstrass判别法是判断函数项级数一致收敛性的常用方法之一，它要求被求和的函数的绝对值在定义域上有一个上界，而且这个上界在定义域上是一致的。

具体而言，如果对于函数项级数中的每一个函数f(x)都存在一个数M，使得|f(x)|≤M对于定义域D中的所有x都成立，那么函数项级数就一致收敛。

Cauchy判别法也是判断函数项级数一致收敛的一种方法。

Cauchy判别法是根据函数项级数的收敛性和余项来判断一致收敛性的，它要求余项趋于零，即对于任意的ε>0，存在一个正整数N，当n和m都大于N时，|Rn- Rm|<ε成立。

如果余项满足这个条件，那么函数项级数就一致收敛。

我们要介绍的是Abel判别法。

Abel判别法适用于交错级数，它要求函数项级数的前n项和收敛，并且有界，而且收敛序列是单调递减的，这时交错级数就是一致收敛的。

这三种判别法则是判断函数项级数一致收敛性的常用方法，在实际应用中非常有用。

函数项级数一致收敛性的判别法则是实际问题的抽象和理论总结，它在实际应用中有广泛的用途。

一致收敛性习题课

04 一致收敛的应用
CHAPTER
在实数列上的应用
实数列的一致收敛性
实数列的一致收敛性是指对于任意小的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有 |a_n(x)-a(x)|<ε。这种收敛性在实数列的极限、积分和微分等数学问题中有着广泛的应用。
一致收敛的判定方法
判断实数列是否一致收敛，可以通过比较判别法、Cauchy判别法、Weierstrass判别法等方法进行判定。这些方法可以帮助我们判断实数列是否一致收敛，以及收敛的速度和范围。
2. 几乎处处收敛：如果存在一个子集$E$，其测度为1，使得在$E$上函数序列一致收敛于极限函数，则称函数序列几乎处处收敛。
3. 一致收敛与局部收敛、几乎处处收敛等收敛性质之间的关系是密切相关的。例如，如果函数序列在区间上一致收敛，则它在该区间上必然局部收敛和几乎处处收敛。
02 一致收敛的判定方法
的收敛性。
极限判别法
1 2
极限判别法
如果存在某个实数$M$，使得对于所有$n$，有 $|f_{n}(x)| leq M$，则级数$f_{n}(x)$一致收敛。
应用场景
适用于判断级数在全实数域上的一致收敛性。
3
注意事项
需要找到一个合适的$M$，使得所有项的绝对值都小于等于$M$，同时需要验证级数在全实数域上的收敛性。
一致收敛性习题课
目录
CONTENTS
• 一致收敛的定义与性质 • 一致收敛的判定方法 • 一致收敛的等价条件 • 一致收敛的应用 • 一致收敛的习题解析
01 一致收敛的定义与性质
CHAPTER
一致收敛的定义
总结词
一致收敛是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数项在某个区间上趋于一致的行为。

一致收敛级数的判别与性质

− nx) 。可知 un (x) 在 x
=
α
n
处达到最大值 ⎜⎛α
⎝e
⎟⎞α ⎠
1 nα
，即
0
≤
un
(
x)
≤
⎜⎛ ⎝
α
e
⎟⎞α ⎠
1 nα
， x ∈[0,+∞) 。
∑ 由于
α
>1
，正项级数
∞ ⎜⎛ α
n=1 ⎝ e
⎟⎞α ⎠
1 nα
收敛，由
Weierstrass
判别法，
∞
∑ xα e−nx (α > 1) 在[0,+∞) 上一致收敛。
是单调的，且{an(x)}在 D 上一致有界： │an(x)│ ≤ M， x∈D，n∈N+ ；
∞
同时， ∑ bn (x) 在 D 上一致收敛。 n =1 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 ∞
n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数 ∑ bn (x) n =1
m > n > N 与一切 x∈D，成立
∑ ∑ │ un+1(x) + un+2 (x) + " + um (x)│=
m
uk (x) −
k =1
n
uk (x)
k =1
<
ε 2
∞
固定 x∈D，则数项级数 ∑ un (x) 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 n=1
∞
S(x) = ∑ un (x) ， x∈D， n=1
│ un+1 (x) + un+2 (x) + " + um (x)│ ≤ │ un+1 (x) │ + │ un+2 (x) │ + " + │um (x)│ ≤ an+1 + an+2 + " + am ，

函数项级数一致收敛性判别及应用

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数一致收敛性是对一列函数项求和的性质的一种判断方法。

在实际应用中，经常需要对函数项级数进行求和，因此研究函数项级数一致收敛性及其判别方法具有重要意义。

我们来介绍一下函数项级数的概念。

函数项级数指的是形如∑(n=1~∞)an(x)的无穷级数，其中an(x)是一个关于变量x的函数列。

在函数项级数中，我们希望通过对每一项进行求和，得到一个新的函数。

对于函数项级数∑(n=1~∞)sin(nx)/n，我们希望求出它在每个点x处的和函数。

函数项级数的一致收敛性是指该级数在定义域上的每个点都收敛，并且收敛的速度在同一个范围内，不依赖于具体的点。

函数项级数的一致收敛性判别有以下两个重要定理：定理1：Weierstrass判别法。

如果存在一个收敛的正数级数∑(n=1~∞)Mn，使得对于级数中的每一项an(x)，都有|an(x)| <= Mn，那么函数项级数∑(n=1~∞)an(x)在定义域上一致收敛。

定理2：Dini判别法。

如果函数项级数∑(n=1~∞)an(x)在闭区间[a,b]上的每个点处逐项收敛，并且收敛到一个连续函数f(x)，那么该级数在[a,b]上一致收敛。

这两个定理为我们判别函数项级数一致收敛性提供了有效的方法。

利用Weierstrass 判别法可以判断函数项级数在定义域上的一致收敛性，而Dini判别法则可以判断其在一个闭区间上的一致收敛性。

函数项级数一致收敛性的应用非常广泛。

一致收敛的函数项级数可以采用逐项求导、逐项积分等操作，得到的结果仍然是收敛的函数项级数。

这极大地方便了对函数项级数进行求和的操作。

一致收敛的函数项级数还可以作为复杂函数的近似表示。

对于某些复杂的函数，我们很难在解析形式上求出其表达式，但可以通过一致收敛的函数项级数对其进行近似表示。

这在实际应用中非常有用，例如在物理领域中，对于电磁场等复杂场景的建模就可以采用函数项级数的近似方法。

理学第讲一致收敛级数的判别和性质

k
Bk bi , k 1、2、3...... i 1
p
p1
则
ak bk a p Bp (ak1 ak )Bk .
k 1
k 1
引理( Abel引理），设ak 、bk 为两数列，
k
且Bk bi , k 1、2、3......, i 1
且（1）ak 单调；
（2）Bk 有界：Bk M (k 1、2、3......);
对一切x D成立.
(5)余和函数rn ( x)在D上一致趋于0. (6)任意点列xn D,有rn ( xn ) （ 0 n ).
定理（weierstrass判别法)设 un ( x)，x D满足 n1
un ( x) an ,x D
且 an收敛，则 un ( x)在D上一致收敛.
n1
n1
根据Cauchy原理， an ( x)bn ( x)在D上一致收敛. n1
例 : 设an收敛,则an xn在0,1上一致收敛.
证明:因为 xn 关于n单调,且
xn 1,x 0,1,n N
又an收敛(当然关于x 0,1一致收敛), 由Abel判别法,an xn在0,1上一致收敛。
例 : 设an单调收敛于0,则 an cos nx与 an sin nx
故 un ( x)在D上一致收敛。 n1
例：若an绝对收敛，则an cosnx与an sinnx在,
上一致收敛。
证明：因为 an cosnx an ， an sinnx an ,
而 an 收敛
由weierstrass判别法，
则an cosnx与an sinnx在,上一致收敛.
引理( Abel变换）：设an、bn是两数列，记
本节主要任务：（1）函数项级数的一致收敛判别法；

函数列和函数项级数一致收敛的判别方法

函数列和函数项级数一致收敛的判别方法1. Cauchy准则：对于函数列{f_n(x)}，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当m,n>N时，对于任意的x，有，f_m(x)-f_n(x)，<ε，那么函数列{f_n(x)}一致收敛。

类似地，对于函数项级数∑{f_n(x)}，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当m>n>N时，对于任意的x，有，∑{f_n(x)}-∑{f_m(x)}，<ε，那么函数项级数是一致收敛的。

2. Abel定理：对于函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}，如果存在一个正整数N，对于任意的x，当m>n>N时，有，∑{f_n(x)g_n(x)}，<M，且∑{f_n(x)}一致收敛于函数f(x)，那么函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}也是一致收敛的。

3. Weierstrass判别法：对于函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}，如果存在一个正数M_n，使得，f_n(x)，≤M_n对于任意的n和x成立，并且∑{M_n}在给定的区间上收敛，那么函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}一致收敛。

4. Dini定理：对于函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}，如果存在一个连续函数f(x)和{f_n(x)}一致收敛于f(x)，并且{f_n(x)}的极限函数或函数项级数∑{f_n(x)}的和函数f(x)在给定区间上都是单调的，那么函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}是一致收敛的。

5. Dirichlet判别法：对于函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}，如果存在一个正整数N，使得对于任意的x，当m>n>N时，函数列{f_n(x)}递减趋向于0，且对于任意的x和n，∑{g_k(x)}，≤M成立（M为常数），那么函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}是一致收敛的。

（整理）一致收敛性判别及应用.

（整理）⼀致收敛性判别及应⽤.⼀致收敛性判别及应⽤摘要：函数是⾼等数学中重要的内容之⼀，但是函数项级数与函数列的⼀致收敛性问题往往是初学者学习函数的最⼤障碍，本⽂对函数项级数、函数列的⼀致收敛性的常⽤判别⽅法进⾏简单分析并阐述其应⽤。

关键词：函数项级数函数列⼀致收敛判别法及应⽤设(){}n x ?为定义在区间Z 上的函数序列，假如那么就存在x 1，x 2∈Z ，当|x 1-x 2|＜，对于⼀切n 有|()()12n -n X X ??|＜，则称之为函数序列(){}n x ?在区间Z 上等度连续。

假设函数列{}n ?与函数?定义在区间Z 上，假如对于任意给的正数|()()n x -x ??|＜以上情况则称之为{}n ?在区间Z 上⼀致收敛于?。

⼀、函数列及其⼀致收敛性假设1?，2?，，n ?，是⼀列定义在同⼀数集Z 上的函数，那么则称为定义在Z 上的函数列，可以表达为：{}n ?或n ?，n=1,2，。

（1）以x 0∈Z 带⼊以上数列，可以得出以下数列：（2）假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点0X 收敛，x 0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集D Z 上每⼀个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D 上收敛，这时候D 上⾯的每⼀个点x 都有相应的数列(){}n x ?的⼀个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D 上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为?，那么则有：或者是：（），x ∈D例 1 设，n=1,2，，为定义在（-，。

证明：设＞0，当＞0时，由于有：||=|n x |，只要N （=，当n ＞（||=|x n |＜|x|N =.当x=0，x=1，对于任何正整数n ，都存在||=0＜，||=0＜.以上结果证明了{}n ?在(]-1,1上收敛。

例2 定义在()-∞∞，上的函数列，n=1,2，。

由于对于任何的实数x ，都存在sin nx n ≤1n，因此，对于任意＞0，只要符合n ＞N=，就存在sin nx-0n＜所以，函数列{}sin nx/n 的收敛域为()-∞∞，。

函数列和函数项级数一致收敛的判别方法

函数列和函数项级数一致收敛的判别方法函数列的一致收敛是指对于任意给定的正数ε，存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的x，都有，fn(x)-f(x)，<ε。

函数列一致收敛的判别方法有几种：1. 利用函数列的收敛性：若函数列fn(x)一致收敛于f(x)，则对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n>N时，fn(x)-f(x)，<ε对于所有的x成立。

2. Cauchy准则：若函数列fn(x)满足对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n,m>N时，对于所有的x，有，fn(x)-fm(x)，<ε。

3. Weierstrass判别法：若函数列fn(x)满足对于任意给定的ε>0和x，存在自然数N，当n>N时，fn(x)-f(x)，<ε，则函数列一致收敛。

函数项级数是指形式为∑an(x)的级数，其中an(x)为函数项。

函数项级数的一致收敛是指对于任意给定的正数ε，存在自然数N，当n>N时，对于任意的x，都有，S(x)-Sn(x)，<ε，其中S(x)为函数项级数的和函数。

函数项级数一致收敛的判别方法有几种：1. 利用级数的收敛性：若函数项级数∑an(x)一致收敛，则对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n>N时，对于所有的x，有，S(x)-Sn(x)，<ε。

2. Abel判别法：若函数项级数∑an(x)满足以下两个条件：a）对于所有的x，函数项an(x)单调；b）∑an(x)在其中一区间上一致收敛则函数项级数一致收敛。

3. Dirichlet判别法：若函数项级数∑an(x)满足以下两个条件：a）∑an(x)在其中一区间上部分和有界；b）函数项bn(x)单调并趋于0则函数项级数一致收敛。

以上是函数列和函数项级数一致收敛的一些判别方法。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行判断。

一致收敛的函数列和函数项级数在数学分析、微积分等领域中有广泛的应用，深入理解并正确应用这些判别方法对于解决实际问题具有重要意义。

一致收敛性及其判别法含参量反常积分的性质

sinu du |
A
y
Ax u
所以 sin xy dy 在[，）一致收敛.
0
y
定理19.8 设含参量反常积分 f ( x, y)dy c
在[a, b]一致收敛
对任一趋于的递增数列{ An } (其中A1 c)，
函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
I( x) c f ( x, y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0, N( , x) c, 使得 M N ,
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
在 (, ) 上一致收敛.
证
因为，有
cos xy 1 | 1 x2 | 1 x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
收敛
所以
cos xy 0 1 x2 dx 在 (, ) 上一致收敛.
例3: 证明含参量反常积分 eux2 dx
在 [a,) 上一致收敛 (a 0). 0
证
因为 I( x)
f ( x, y)dy
在[a, b]上
c
一致收敛，由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 { An } ( A1 c), 函数项级数
I(x)
n1
An1 An
f (x,
y)dy
证 : u [a,), 有 eux2 eax2 .
而无穷积分 eax2 dx收敛 0
故有魏尔斯特拉斯M判别法知

函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

n来自1二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不

m判别法判断一致收敛例题

m判别法判断一致收敛例题一致收敛是指函数序列在定义域上一致收敛到一个极限函数。

而一致收敛的判别法有很多种，其中包括Weierstrass判别法、M判别法等。

下面我将以M判别法为例来说明一致收敛的判别法。

M判别法是一致收敛的判别法之一，它通常用于证明函数序列的一致收敛性。

M判别法的表述为，如果存在一个收敛的数列Mn，使得对于函数序列中的每个函数fn和定义域上的每个点x，都有|fn(x)|≤Mn，且ΣMn在n趋向无穷大时收敛，则函数序列一致收敛。

为了更好地理解M判别法，我们可以通过一个例题来说明。

考虑函数序列fn(x) = nxe^(-nx)，其中x∈[0, 1]，我们要判断该函数序列在区间[0, 1]上是否一致收敛。

首先，我们需要验证是否存在一个收敛的数列Mn，使得|fn(x)|≤Mn对所有n和x成立。

对于给定的函数序列fn(x) = nxe^(-nx)，我们可以计算|fn(x)| = nxe^(-nx)。

注意到当x∈[0, 1]时，0≤xe^(-nx)≤1，因此|fn(x)| = nxe^(-nx) ≤ n。

因此，我们可以取Mn = n，则有|fn(x)| ≤ Mn对所有n和x成立。

其次，我们需要验证ΣMn在n趋向无穷大时是否收敛。

由于Σn是一个发散的级数，因此ΣMn = Σn也是发散的。

因此，M判别法不适用于这个函数序列。

综上所述，通过M判别法我们无法判断函数序列fn(x) =nxe^(-nx)在区间[0, 1]上是否一致收敛。

因此，我们需要尝试其他的方法来判断该函数序列的一致收敛性。

总之，M判别法是一种常用的判别法之一，但并不是适用于所有情况。

在实际应用中，我们需要结合其他方法来判断函数序列的一致收敛性。

判断一致收敛的方法

判断一致收敛的方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊判断一致收敛的那些事儿。

你说这一致收敛啊，就像是一群调皮的小精灵，得有特别的办法才能把它们给抓住、搞清楚。

咱先来说说定义法吧。

这就好像是直接去观察这些小精灵的一举一动，严格按照定义去判断它们是不是真的乖乖听话，一致收敛了。

这可是最直接的办法，但有时候就像在大海里捞针，得特别仔细才行呢！然后呢，有个类比法。

咱可以把它想象成找相似的情况来对照。

比如说，你以前遇到过类似的收敛问题，那就能拿过来对比一下，看看是不是有相同的特征。

这就好比你认识了一只调皮的小狗，下次再见到类似的小狗，你就能大概知道它的习性啦。

还有柯西准则呢！这就像是给这些小精灵设了个关卡，只有通过了这个关卡，才能证明它们是一致收敛的。

就好像是要过一个很严格的测试，只有真正厉害的才能过关哟！再说说魏尔斯特拉斯判别法吧。

这就像是给小精灵们找了个老大管着它们，只要这个老大靠谱，那小精灵们也就不敢乱来了。

是不是挺有意思的？哎呀，这判断一致收敛的方法可真是各有各的妙处啊！就看你在什么情况下怎么去用它们啦。

有时候一种方法不行，就得赶紧换另一种试试，就跟打仗似的，得灵活多变才行呀！你想想看，如果没有这些方法，那我们面对那些复杂的函数序列，不就像无头苍蝇一样乱撞啦？有了这些方法，我们就有了工具，有了方向，就能更好地去研究和理解那些奇妙的数学现象啦。

所以啊，可别小看了这些判断一致收敛的方法，它们可是我们探索数学世界的得力助手呢！好好掌握它们，你就能在数学的海洋里畅游无阻啦！你说是不是呢？反正我是这么觉得的。

不管遇到多复杂的情况，咱都能靠着这些方法找到答案，解开谜题。

就像一个勇敢的探险家，不管遇到多大的困难，都能凭借着自己的智慧和勇气找到出路。

怎么样，是不是对这些方法更感兴趣啦？那就赶紧去试试吧！。