高中数学解题方法系列⑦——构造法在导数中的应用

解题方法系列⑦——构造法在导数中的应用

素养解读：此类涉及到已知f (x )与f ′(x )的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解． 类型一：f ′(x )g (x )±f (x )g ′(x )型 常用构造形式为F (x )＝f (x )·g (x )或F (x )＝

f (x )

g (x )

，这类形式是对u ·v ，u

v 型函数导数计算的推广及应用，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u

v 型导函数中体现的是“－”法．因此当导函数形式中出现“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，出现“－”法形式时，优先考虑构造u

v 型．

【典例1】 (1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )<1

2，则不等式f (lg x )>lg x ＋1

2的解集为________．

(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．

[切入点] (1)由f ′(x )－12<0，构造函数g (x )＝f (x )－1

2x ；(2)由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )构造函数F (x )＝f (x )g (x )． [解析] (1)设g (x )＝f (x )－12x ， ∵f ′(x )<12，∴g ′(x )＝f ′(x )－1

2<0， ∴g (x )为R 上的减函数，又f (1)＝1， ∴f (lg x )>lg x ＋12＝12lg x ＋1

2，

即g (lg x )＝f (lg x )－12lg x >12＝g (1)＝f (1)－1

2＝g (lg10)， ∴lg x

∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，即F ′(x )>0.

∴F(x)在(－∞，0)上递增，

又∵f(x)，g(x)分别是定义R上的奇函数和偶函数，

∴F(x)为奇函数，关于原点对称，

∴F(x)在(0，＋∞)上也是增函数，

∵f(－3)g(－3)＝0，∴f(3)g(3)＝0，

∴F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为{x|x<－3或0

[答案](1)(0,10)(2){x|x<－3或0

(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．

(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．

特别地，对于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)．

(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)

g(x)

(g(x)≠0)．

类型二：xf′(x)±nf(x)型(n为常数)

在类型一中若g(x)＝x或g(x)＝x n，则F′(x)即为此种类型，我们可以思考形如此类函数的一般形式．

F(x)＝x n f(x)，

F′(x)＝nx n－1f(x)＋x n f′(x)

＝x n－1[nf(x)＋xf′(x)]；

F(x)＝f(x) x n，

F′(x)＝f′(x)·x n－nx n－1f(x)

x2n＝

xf′(x)－nf(x)

x n＋1；

结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数f(x)＝x n f(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(x) x n.

我们根据得出的结论去解决典例2.

【典例2】(1)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)

(2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)

A．(－∞，1) B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)

[切入点](1)由xf′(x)－f(x)<0构造函数F(x)＝f(x)

x

；(2)由xf′(x)＋2f(x)>0想到

g(x)＝x2f(x)的导数及单调性．

[解析](1)令F(x)＝f(x)

x

，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝

xf′(x)－f(x)

x2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f(x)

x

在(0，＋∞)上单调递减，

根据对称性，F(x)＝f(x)

x

在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.

(2)∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，

即xf′(x)＋2f(x)>0.

∵g(x)＝x2f(x)，∴g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，

∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减；由不等式g(x)

[答案](1)A(2)D

(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0型，构造F(x)＝x n f(x)，则F′(x)＝x n－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对x n－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)>0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0.

(2)对于xf′(x)－nf(x)>0(x≠0)型，构造F(x)＝f(x)

x n

，则F′(x)＝

xf′(x)－nf(x)

x n＋1

(注

意对x n＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)>0，构造F(x)＝