第47章 计算原理与计算公式

第47章 计算原理与计算公式
47.1 估计总体均值时样本含量的估计原理与计算公式
若σ已知：2
2/1⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=−δσαu
n （47-1）
若σ未知：2
2/1⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=−δαS t
n （47-2）
式中n ，δ，σ，分别为样本含量、允许误差（即置信区间的半宽）
、总体标准差、样本标准差；、
分别为与标准正态分布、t 分布概率密度曲线对应的第1/S 2/1α−u 2/1α−t 2α−分位数（下同），其中，第一次取)(2/12/1df t t αα−−=∞=df ，求得的记为，第二次取
，依次类推，直至前后两次求得的趋向稳定的数值为止（下同）。

n 1n 11−=n df n 47.2 估计总体概率时样本含量的估计原理与计算公式
当π（或P ）接近0.5时：
)1(2
2/1P P u n −⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=−δα （47-3）
当π（或P ）接近0或1时：
()
2
12/1)1(/sin ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡−=−−P P u n δα（反正弦函数的值用弧度表示）
（47-4） 由于0≤≤1，故（1-）的最大值为0.25（此时=0.5），因此，当未知时，
所需的样本含量用公式（47-5）估计
P P P P P 2
2/125.0⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=−δαu n （47-5）
47.3 单组、配对或交叉设计定量资料统计分析时样本含量的估计原理及计算公式
单侧：()2
11⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=−−δβαS t t n （47-6）
双侧：()2
12/1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=−−δβαS t t n （47-7）
【说明】若是配对设计或交叉设计，则用（每对观察对象差值的标准差）取代式中的，为观察的对子数，d S S n δ为效应差值。

47.4 单组设计率的检验时样本含量的估计原理及计算公式
双侧：2
2
1/2110/()n u u p p αβ
−−⎡=+⎣
− （47-8）
单侧：2
2
1110/()n u u p p α
β
−−⎡=+−⎣
（47-9） 式中0p 、1p 分别为作为参考的总体率和样本率。

47.5 配对设计四格表资料的检验时样本含量的估计原理及计算公式
设配对四格表的格式为：
第二种检查： + - + a b 第一种检 查 - c d
令b a b +=
−+π，c a c
+=+−π，2
+−−++=πππc ，则所需样本对子数为： 2
12/122⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡−+=−++−−
++−−−ππππππβαc
c
u u n （47-10） 若已知d c b a d c p ++++=0，d c b a d b p ++++=1，d
c b a c
b p ++++=，则所需样本对
子数为：
2
1012/12⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡−+=−−p p u u p n βα （47-11）
47.6 成组设计均值与率的差异性检验时样本含量的估计原理及计算公式
47.6.1 均值的检验
单侧：2
2
2111
211))((δ
σβα−−−−++=
u u q q N （47-12）
双侧：2
2
212/11211))((δσβα−−−−++=
u u q q N （47-13）
式中为两组总的样本含量；N δ为两总体均数之差值，σ为两总体标准差，一般设
σσσ==21，未知时可用样本标准差或合并标准差来代替；和为两样本含量分
别占总含量的比例，。

S c S 1q 2q N 121=+q q 47.6.2 率的检验时
设n 2=cn 1，则n 1的计算可用下面的公式计算： 单侧：2
212
2211111)(]/)1()1(/)1)(1([p p c p p p p u c c p p u n −−+−++−=
−−β
α
（47-14）
双侧：2
212
221112/11)
(]/)1()1(/)1)(1([p p c p p p p u c c p p u n −−+−++−=
−−β
α
（47-15） 式中，按=算出。

)1/()(21++=c cp p p 2n 2n 1cn 47.7 成组设计均值与率的等效性检验时样本含量的估计原理及计算公式 47.7.1 均值的检验
对于等效性检验，按照双侧的检验水准α（等效性检验采用双单侧检验，每个单侧检验的检验水准为α/2），允许犯Ⅱ类错误的概率不超过β，则结果变量为定量变量时等效性试验各组需要的样本含量的计算公式为：
1/21/21power u u αα−−⎫⎫
⎪⎪=Φ−+Φ−−⎬⎬⎪⎪
⎭⎭
(47-16)
这是一个超越方程。

可通过迭代法求解出满足要求的试验组样本含量。

式中T n T μ、C
μ分别为试验组与对照组的总体均值，未知时可用样本均值代替；δ是等效界值，且δ>0；
为标准正态离差界值；为试验组的样本含量；为对照组与试验组样本含量的比
值，即，或者；1/2u α−T n k /C T n n k =C T n kn =2
C σ是试验组与对照组的合并方差，未知时可用样本的合并方差代替。

2
C S 47.7.2 率的检验
按照双侧检验的检验水准α（等效性检验采用双单侧检验，每个单侧检验的检验水准为α/2），允许犯Ⅱ类错误的概率不超过β，试验组与对照组总体率的差值为
θ=T C ππ−(T π、C π未知时可用样本频率估计，即下面程序中的theta)，两组的平均有效
率为π=()T C ππ−/2，等效界值为δ>0，对照组与试验组样本含量的比值为，即
，或者，则结果变量为定性变量时等效性试验每组需要的样本含量的
计算公式为：
k /C T n n k =C n kn =
T
1/21/21power u u αα−−⎫⎪=Φ−+Φ−−⎬⎪⎭⎫
⎪⎬⎪⎭
（47-17）
与式(47-16)一样，式（47-17）也是一个超越方程。

可通过迭代法求解出满足要求的试验组样本含量。

T n 47.8 成组设计均值与率的非劣效或优效性检验时样本含量的估计原理及计算公式 47.8.1 均值的检验
非劣效或优效性试验应当采用单侧的检验水准α，
假定允许的Ⅱ类误差概率不超过β，两组的样本含量相等，则非劣效或优效性试验时每组所需要的样本含量为：
222112()/()n u u S αβδθ−−=+− (47-18)
式中，n 为每组样本含量，1u α−、1u β−为单侧标准正态离差界值，S 为估计的共同标准差，δ为非劣效或优效界值（当δ<0时，为非劣效界值；当δ>0时，为优效界值），θ为
试验组与对照组总体均值差值的估计值。

47.8.2 率的检验
非劣性或优效性试验应当采用单侧检验，检验水准为α，假定允许的Ⅱ类错误概率不超过β，试验组与对照组总体率的差值为θ=T C ππ−(T π、C π未知时可用样本频率估计)，两组的平均有效率为π=()T C ππ−/2，
非劣效或优效界值为δ（当δ<0时，为非劣效界值；当δ>0时，为优效界值），则在两组样本含量相等的情况下，非劣效试验每组需要的样本
含量为：
2112()(1)/()n u u αβ2ππδθ−−=+−− (47-19)
47.9 单因素多水平设计均值与率的差异性检验时样本含量的估计原理及计算公式 47.9.1 均值的检验
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑∑==k i i k i i k X X k S n 12
122
)1/(//ψ （47-20）
式中为各组的样本含量，n i X 和分别为第i 个样本的均数和标准差的初估值。

i S ∑==k
i i k X X 1
/，为组数。

k 2ψ为非中心分布的非中心参数，F ψ值可查有关统计参考书
中的值表（参见胡良平主编的《统计学三型理论在实验设计中的应用》一书第318页）获得，先以α、、、ψβ11−=k v ∞=2v 查得ψ值，代入式（47-20）中，求得，第二次由、)1(n 11−=k v )1()1(2−=n k v 查ψ值表，代入式（47-20）中，求出，仿此进行，直至前后两次求得的结果趋于稳定为止，即为所求样本含量。

以上是实验设计为完全随机设计时值的求法，当实验设计为随机区组设计时，第一次)2(n ψ)1)(1(2−−=n k v ，式（47-20）
中
用误差均方代替即可。

∑=k
i i
k S
1
2/47.9.2 率的检验
2
min max )
arcsin (arcsin 2p p n −=
λ
（47-21）
式中n 为每个样本所需观察例数，和分别为最大频率和最小频率，当仅知最大频率和最小频率差值时，则取max p min p d p 2/5.0max d p p +=，2/5.0min d p p −=，λ是、αβ及自由度的函数，也可以查有关统计参考书中的1−=k v λ值表（可参考胡良平主编的《统
计学三型理论在实验设计中的应用》一书第319页）获得，k 为组数。

47.10 单组、配对或交叉设计定量资料假设检验时检验效能的计算原理及公式
用公式（47-22）或（47-23）计算值：
β−1u 单侧检验：αβσ
δ−−−=
11u n
u
（47-22） 双侧检验：2/11αβσ
δ−−−=
u n
u （47-23）
式中σ为单组资料或配对资料差值的总体标准差，
可用样本的标准差作为其估计值。

n 为观察例数（或观察对子数），δ为效应差值，的意义同前。

β−1u 47.11 成组设计均值与率的差异性检验时检验效能的计算原理及公式
47.11.1 均值的检验
用公式（47-24）或（47-25）计算值： β−1u 单侧检验：αβσδ−−−+=
12
11/1/1u n n u （47-24）
双侧检验：2/12
11/1/1αβσδ−−−+=u n n u （47-25）
式中δ为两总体均数的差值，也可用21X X −或21d d −的差值作为估计值，有时研究者也可以根据需要或经验确定。

σ为两总体合并的标准差，可用两样本合并的标准差作为估计值。

和分别为两组的观察例数。

1n 2n 47.11.2 率的检验
用公式（47-26）或（47-27）计算值：
β−1u
单侧检验：2
22111211211/)1(/)1()
/1/1)(1(n n n n u u ππππππππαβ−+−+−−−=
−− （47-26）
双侧检验：2
22111212/1211/)1(/)1()
/1/1)(1(n n n n u u ππππππππαβ−+−+−−−=
−− （47-27）
式中和分别是两组的观察例数；1n 2n 1π与2π分别为两组的总体概率，可用两组的样本频率和作为估计值；1p 2p π为两总体合并的概率，可用两组的和的平均值作为估计值，且有1p 2p p )/()(212211n n p n p n p ++=；、均为标准正态离差值，可查表获得。

计算出值后，可查表或借助统计软件获得对应于分位数的左尾面积，即α−1u 2/1α−u β−1u β−1u β−1值。

47.12 成组设计均值与率的等效性检验时检验效能的计算
计算原理与计算公式同成组设计均值与率的等效性检验时样本含量的估计，从略。

47.13 成组设计均值与率的非劣效或优效性检验时检验效能的计算 47.13.1 均值的检验
按照单侧的检验水准α，在假定两组样本例数相等的条件下，非劣效或优效性检验的检验效能为：
21/211[||(2/)s n u ]αβδθ−−−=Φ−−
(47-28)
式中，δ为非劣效或优效界值（当δ<0时，为非劣效界值；当δ>0时，为优效界值），为两组的合并标准差，为每组的样本含量，s n θ为试验组与对照组总体均数的差值，1u α−为单侧标准正态离差界值。

[]x Φ代表标准正态分布下x 左侧的概率Pr[X≤x]。

47.13.2 率的检验
在假定两组样本例数相等的条件下，非劣效或优效性检验的检验效能为：
11[||
u ]αβδθ−−=Φ−− (47-29)
式中各参数的含义同式(47-19)，此处从略。

（周诗国）。