玩转费马点,巧解最短距离

玩转费马点，巧解最短距离。

今天为大家带来线段和差最值系列之一（费马点模型），希望大家喜欢并能运用到实践中去。

变式训练----再探模型
挑战中考----展望高分
简单解答---自我提炼
解题套路：费马点问题是指解决从同一顶点出发的三条线段和即“PA+PB+PC”的最小值问题，通常的处理套路是：旋转60°---构造等边三角形---三“折”转一“直”---利用两点之间线段最短---解决问题。

学生在处理时如果教师对线段最短问题只研究到“将军饮马”这一层面（对称问题，后续文章将写到），学生在考试中遇到时将无从下手，白白丢失分数。

做位一名一线教师一定要让学生在处理几何问题时有模型意识，力争让学生达成数学玩模型，解题靠套路的最高境界。

旋转，两点之间线段最短，勾股定理3个知识点就可以解费马点问题

旋转，两点之间线段最短，勾股定理3个知识点就可以解费马点问题皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。

之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。

费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。

贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

1. 若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

2. 若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

最短路径(八年级最短路径问题归纳)

原创不容易，【关注】店铺，不迷路！2019年中考数学大结局分析——最短路径问题4:费马点费马点问题一个等边三角形是在三角形的三条边的每一条边上向外形成的。

三个等边三角形的外接圆相交于一点T，称为托里切利点，而三个等边三角形的外接圆称为托里切利圆。

在一定条件下，托里切利点与等中心和费马点相同。

托里切利点是意大利物理学家托里切利发现的。

这个问题是费马(1601-1665)向意大利物理学家托里切利(1608-1647)提出的，作为一个著名的“寻找一个点使它到三角形三个顶点的距离最小”的极值问题，托里切利解决了这个问题。

当三角形的内角都小于120时，K为期望点，所以K称为托里切利点，也称为费马点。

后来德国的施泰纳(1796-1863)独立提出并推广，所以也叫施泰纳问题。

本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。

平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。

很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。

除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。

话不多说，直接上题。

【题1】(武汉，2019)问题背景：如图1所示，绕a点逆时针转动ABC，得到ADE，其中DE和BC在p点相交，可以推导出结论：paPC=PE。

解题：如图2，在MNG中，Mn=6，m=75，mg=42。

如果点o是MNG中的一个点，则从点o到MNG三个顶点的距离之和的最小值为。

回答之前，可以先看一下前面的文章：旋转结构的几何最大值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。

上辅助线先。

怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如MOG绕点M 逆时针旋转60度得MOG，连接OO。

易得四点共线时距离和最小。

点G是定点，所以NG的长度为定值。

NMG为135，所以容易求得NG为229。

（备注：过点G作MN的垂线即可解得。

）下面是菁优网的答案。

29。

下面是陕西省的中考压轴题【题2】(2018陕西)问题提出(1)如图所示，在ABC中，a=120，ab=AC=5，那么ABC的外接圆半径r为。

费马点问题知识点

费马点问题知识点费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。

费马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +b^n = c^n成立。

这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况展开的。

费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。

换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。

这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。

解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。

下面将介绍一种常见的解决方法：第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。

费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。

第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。

费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。

第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。

费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。

这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。

第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。

首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。

然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。

第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。

可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。

第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。

费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。

这篇文章介绍了费马点问题的基本知识点和解决方法。

通过一步一步的思考和分析，我们可以解决这个有趣的数学难题。

费马点问题在计算几何学中有广泛的应用，对于理解和掌握相关知识具有重要意义。

希望本文对读者有所帮助，引起大家对数学问题的兴趣和思考。

费马点算法详解

费马点算法详解费马点算法是一种寻找图形中最短路径的算法。

它是以数学家费马的名字命名的，因为费马曾提出了一个著名的问题，即如果有两个点和一个固定的目标点，如何使途径两点的路径最短。

费马点算法正是为解决这个问题而设计的。

费马点算法的基本原理是寻找离两个点最近的第三个点，这个点叫做费马点。

费马点和两个点之间的距离是一条最短路径。

具体来说，费马点是满足下列条件的点：1、费马点到两个点的距离相等；2、费马点是由两个点之间相邻直线段垂直平分线的交点。

从这个定义可以看出，费马点算法需要一个图形中的三个点才能计算出两点间的最短路径。

因此，在实践中，费马点算法会花费额外的时间来寻找第三个点。

虽然费马点算法在某些情况下可以计算出最短路径，但它并不是每个案例都适用。

具体而言，当两个点之间有阻碍时 (例如，建筑物或其他障碍) ，费马点算法可能无法计算出最短路径。

此外，费马点算法需要图形中的三个点才能计算出最短路径。

这意味着，如果没有足够的点来计算费马点，则无法使用算法。

因此，当我们需要计算两个点之间的最短路径时，我们需要考虑什么样的数据和什么样的算法最适合我们的项目。

要使用费马点算法来计算两点间的最短路径，需要采取以下步骤：1、确定起始点和终点。

2、从起始点绘制一条直线并延伸到终点。

这条直线代表两点之间的最短路径。

3、从起始点绘制另一条直线，并在终点处与上一条直线相交。

4、从终点绘制一条直线，并在起点处与第二条直线相交。

5、从第二条直线和第三条直线的交点开始，绘制直线并与第一条直线相交。

6、重复第三步和第四步，直到第二条直线和第三条直线之间有足够的距离。

7、从最后一条直线和最近的交点开始绘制最短路径。

综上所述，费马点算法是一种简单而强大的算法，可以计算两个点之间最短路径，但它需要图形中的三个点才能计算。

在实践中，费马点算法可能无法计算出最短路径，但在某些场景中，它仍然是最优的算法选择之一。

最后，当我们需要计算两点之间最短路径时，我们应该考虑数据和算法的复杂性，以便选择最合适的方法。

费马点定理最短距离证明过程

费马点定理最短距离证明过程
费马点定理是一个基本几何定理，它指出如果有一个点，该点到平面上三角形的三个顶点的距离之和最短，那么这个点就是三角形的
费马点。

证明过程如下：
假设我们有一个平面上的三角形ABC。

要找到费马点F，我们可
以从点F开始，画三个线段FA，FB，FC，它们分别连接F和三角形的三个顶点A、B、C。

我们要证明的是，如果F是最短路径的起点，那么F就是费马点。

观察三角形中的两个角：∠AFB和∠BFC。

这两个角加起来等于
∠ABC。

因为我们假设F是最短路径的起点，所以AF + FB小于或等于AC + CB，FB + FC小于或等于AB + AC。

我们可以把AF和CB相加，FB和AC相加，FC和AB相加，得到：AF + FB + CB ≤ AC + CB + AB + AC - AF
FB + FC + AC ≤ AB + AC + AB + CB - FC
FC + AF + AB ≤ CB + AB + CB + AC - AF
如果我们将这三个式子相加，可以得到：
2(AF + FB + FC) ≤ 2(AB + AC + CB)
也就是说：
AF + F B + FC ≤ AB + AC + CB
这表明，如果F是最短路径的起点，则AF + FB + FC等于三角
形三个顶点之间的距离和。

当且仅当∠AFB、∠BFC和∠CFA的内角为120度时，这个不等式是恒成立的。

这种情况下，点F就是费马点。

所以，只要确保三角形内所有角的度数小于或等于120度，F就是费马点。

2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题4：费马点

2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题4：费马点费马点问题在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli's point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。

在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。

托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。

该问题是费马(1601-1665)作为“求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小'这一著名的极值问题而向意大利物理学家托里拆利(1608-1647)提出，并为托里拆利所解决的，当三角形内角均小于120°时点K即为所求，故称K为托里拆利点，也称费马点。

以后，德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题。

本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。

平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。

很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。

除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。

话不多说，直接上题。

【题1】（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．解答之前，大家可以先看之前的文章：旋转构造几何最值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。

上辅助线先。

怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如△MOG绕点M逆时针旋转60度得△MO′G′，连接OO′。

易得四点共线时距离和最小。

点G′是定点，所以NG′的长度为定值。

∠NMG′为135°，所以容易求得NG′为2√29。

2020年中考数学专题突破七：最短路径——费马点问题

1专题七；最短路径一一费马点问题【导例引入】耳例：如團，拒形Ara 中.AB=2yβ9 Bc=& P 为矩形內一点，连接％ PB. PC 、则【方法指引】费尔刃法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，也罡解析几何的发明者N —・≡5 点一一就定到三角形的三个顶点的距蔑之和最小的点〈如图；点的点F 〉・费尔马偉论:（1）对于一个各甬不超过120°的三角形，费勻点是对各边的张角都是120°的点，<2）对于有一个角超过120°的三角形，费勻点就足这个內鸽的顶点•下面筒亘说明如何找点P 使ΘJ∆ABC 三个顶点的艇冉之和PA+豚PC 悬小？这颈杲所i 胃的费尔T 问题・指引：如图2,把△佃绕/点逆时针旋转60°得到△护「，连接歹•则△/加为等边三角形,Ap= PP , , P' C' =PC,所以丹+/+应=PP ■ F 班P ，C .点L 可看成是独段M 绕/点逆时什施转60°而得的定点，BC i 为定长，所咲当易P ）F , C f 四点在同一直结上时，PA^PB^最小• 这时Z^=ISO Q -OPF =iεθ"-03^=120" , ∆APOΛA P f C =IEo Q -AAP 孩 180°- 60° =120φ > /5^360° -Z^-厶怒360° -120" -120° =120° 费2点的轨点：费巳点与3个顶点连成的线段是:勾通3点的最短路线，【导例解析分折】将△陀绕点C 逆时针旋转60° ,得到△陀，连接彤，屁,AC,则D- 4≠PA 畑PC 的最小值是（的长即为所求•庄旋传为性质可知△阮罡等丈三角形、：∙PC=PF∙•:际EF, ：.PA\PB\PC=PA^FF\EF.••・当人P f F, 0共线时，刊+砂ZT的誉最小•AB 0T四边形ABCD^^->> ：. ZABC=^・・・・询1厶0=荒=丁・：.ZACB=30Q, AC=2AB=4∖^.'.,Z SCF= 60o, .∙.Z用疋=90°・.∙∕5=J (“)： + 6： =20.故选：B.【例题精讲】类型一；与二角形有关的费巧点例1.如團，在中，P为平面內一点、，连结必，PB, FC,分别以兀和祐为一边向右作等丈三角形HFQf^ACD.【探究】求证：Bf=PC' AO=PA【应用】若Be=SAC=E Z⅛g=60>，W l I PA^PB^的最小值罡 _ (用②0表示)【分析】【探究】生竽边三隹形的性话得出砂处AC=CD. FC=W ZPOif=A^CD=60° ,得出Z◎二上竝力证明△/加M血得^MD=PAi【应用】连接由全等三角形的性原得出AACP^ZJX2!> AC=CD-O,求出NEQ=ZZ^Zra120°、作 DFLBC 于 F ，则Z 胞=90°，在 RtAQV 7 中，由直角三1 1 yβ 1角形的性庚得出CF=2A C=⅝, DF=V 3CF=Nb,求出BF=α+⅝,由勾股定理求出M= λIBF T TEF=√α2 + αb + b∖ ,即可得出结论.类型二：与四边形有关的费耳点倂2 .已知正万形辺内一动点£到儿B t C 三点的距區之和的最小背为√7+.B,求此正方形的边长•【分析】:连按AC,发现点£到儿B f 。

好题探究，动态费马点问题

好题探究，动态费马点问题
本题也是微信上的老师问的，后来才知道，原来出此题的是西安李优老师
这道题的模型感很强，熟悉模型的老师可以比较容易的上手，不知道模型的，恐怕做不出来。

先看看相关模型：
定弦定角轨迹圆：（往期相关内容）
定弦定角（都知道）和动弦定角（没听过）
2018陕西省中考压轴25题破解，动弦定角
2018河南22题，破解手拉手，定弦定角轨迹
费马点问题：
等边三角形的相关模型
交互式探究！动图图解三角形费马点加权费马点问题
好了看过上面两个模型基本就差不多了。

首先除了E其他都是定点。

根据定弦定角，得到E的轨迹为圆弧，并画出圆心和圆。

三角形内一点到三顶点距离最小就是费马点问题，这里不需要画出M位置，只需要知道如何找最短距离即可。

那就是，以三角形一边为边做等边，该等边的第三顶点和边所对的顶点连线就是最短的距离，如上图BC'.
那么我们就可以知道什么时候最短，即HE最短就可以了，变成了点圆距离问题。

显然过圆心的时候最短。

勾股可以计算。

这里的格子对计算起到一定帮助作用。

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初二费马点例题

初二费马点例题费马点是数学中的一个重要概念，指的是在一个图形的内部某点到这个图形上的所有点的距离之和最小的点。

费马点在几何学、物理学以及工程领域都有广泛的应用。

下面，我们将通过几个初二水平的费马点例题来深入了解这一概念。

例题一：给定一个直角三角形ABC，其中∠ACB为直角，AC =5cm，BC = 12cm。

求斜边AB上的费马点及最小距离。

解答：首先，我们绘制出直角三角形ABC并标记出已知边长。

然后，我们将点D作为斜边AB上的费马点。

接下来，连接点C和D，得到线段CD。

根据费马定理，线段CD是边长AC和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。

为了找到这个线段，我们需要寻找线段CD的特点。

根据几何知识，可以得出线段CD垂直于斜边AB。

因此，我们可以通过构造垂直平分线，将线段CD分为两个相等的线段。

将线段CD的中点标记为E，连接点E和A，得到线段AE。

由于线段AE是线段AC的垂直平分线，所以AE与AC垂直，并且AE = AC / 2 = 2.5cm。

同理，将线段CE的中点标记为F，连接点F和B，得到线段BF。

由于线段BF是线段BC的垂直平分线，所以BF与BC垂直，并且BF = BC / 2 = 6cm。

综上所述，点D即为斜边AB上的费马点，最小距离为2.5cm。

例题二：在一个矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm。

求矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点及最小距离。

解答：首先，我们绘制出矩形ABCD并标记出已知边长。

然后，我们将点P作为矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点。

接下来，我们连接点A和P，得到线段AP。

同时，连接点B和P，得到线段BP。

根据费马定理，线段AP和BP分别是线段AB和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。

为了找到这两个线段，我们需要构造两个垂直平分线。

将线段AP的中点标记为Q，连接点Q和B，得到线段BQ。

由于线段BQ是线段BC的垂直平分线，所以BQ与BC垂直，并且BQ = BC / 2 = 4cm。

初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键

初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。

最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。

希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。

以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。

例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。

[数学]-专项07 图形旋转之费马点最值模型全攻略(原版)

专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值类型一、基本费马点模型例题1.如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.【变式训练1】已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C的边长．【变式训练2】如图，ABCD 为矩形，AB＝AD ＝4，EF 为ABCD 内两点，求（AF ＋DF ＋FE ＋CE ＋BE ）的最小值．【变式训练3】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【变式训练4】如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若AB ＝2，则AP +BP +CP 的最小值为（）ABCDMEA ．+B ．+C ．4D ．3类型二、加权费马点模型例：如图，在Rt ABC 中，30,6,5ACB BC AC ∠=︒==，在ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ．（加权费马点）求：（1）PA PB PC ++的最小值；（2）PA PB ++的最小值（3）PA PB ++的最小值；（4）2PA PB ++的最小值。

八年级上册最短路径难题讲解

八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径问题是一个重要的数学问题，涉及到图论和几何知识。

以下是几个经典的最短路径问题及相应的解题思路：
1. 将军饮马问题：两个将军分别在河的两岸，他们想要到河的对面饮马。

河水流速很快，不能逆流而上。

他们应该选择怎样的路径才能使其中一位将军到河对岸的总时间最短？
解题思路：在这种情况下，两个将军都可以选择直接过河，但是这样会花费较长的时间。

为了使总时间最短，他们可以选择在河岸的某一位置相遇，然后一起走到河对岸。

这样，他们可以节省掉单独过河的时间。

2. 造桥选址问题：有两个人分别在河的两岸，他们想要通过建造一座桥来互相通行。

为了使造桥的成本最低，他们应该选择怎样的桥址？
解题思路：在这种情况下，最短的路径就是直接在两岸之间建造一座桥。

因此，他们应该选择在河的中心建造桥，这样可以使得桥的长度最短，同时也可以节省造桥的成本。

3. 费马点问题：在三角形中，任意选取三个点，要求找到一个点到其他三个点的距离之和最短的位置。

解题思路：首先，我们可以将这个问题转化为求三角形三个顶点的中点。

然后，我们可以利用三角形的性质来证明这个结论。

具体来说，我们可以证明任意一个点到其他三个点的距离之和都大于等于三角形三个顶点的中点到其他三个点的距离之和，当且仅当这个点是三角形三个顶点的中点时取等号。

因此，三角形的费马点就是其三个顶点的中点。

以上是最短路径问题的几个经典例子及相应的解题思路。

通过这些例子，我们可以了解到最短路径问题的基本概念和方法，以及如何利用几何和图论的知识来解决这些问题。

三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题

三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题
费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。

通过这个证明，大家有没有发现，其实可以看作将三角形apc绕点a逆时针旋转60度，得到的c'，当四个点在同一直线上时，四点之和最小，即点p 到a，b，c的距离和最小。

那么后期在选择、填空题时，如果题目中没有求p 点的位置的话，而是直接求到三个端点的距离的问题时，我们可以直接选一条边绕顶点选择，对角线就是最小距离和。

最后来看下去年北京延庆的一道中考模拟题。

以后大家可以记住这个结论，学会找费马点，学会求点到三角形三个端点的最小值问题。

不知道大家有没有发现，手拉手也可以解答此题呢？。

正方形中的费马点

正方形中的费马点一、费马点的定义费马点，又称费马中心，指的是一个平面图形中到图形上所有顶点的距离之和最小的点。

在一个正方形中，费马点就是到四个顶点距离之和最小的点。

二、费马点的求解方法1. 穷举法首先，我们可以采用穷举法来求解正方形中的费马点。

穷举法的思路是，先确定一个点，然后计算该点到四个顶点的距离之和，不断移动这个点，直到找到到距离之和最小的点为止。

具体步骤如下： 1. 在正方形内随机选取一个点作为初始点； 2. 计算该点到四个顶点的距离之和； 3. 在正方形内随机选取一个相邻的点，计算该点到四个顶点的距离之和； 4. 比较两个点的距离之和，保留距离之和较小的点作为新的当前点；5. 重复步骤3和4，直到找到距离之和最小的点。

这种方法虽然直观，但由于考虑了所有可能的点，计算量较大，时间复杂度为O(n^2)，在实际应用中可能效率较低。

2. 几何法除了穷举法外，我们还可以通过几何方法来求解正方形中的费马点。

几何法的思路是利用正方形的对称性，寻找费马点的位置。

具体步骤如下： 1. 连接正方形的对角线，得到两个交点，分别为A和B； 2. 连接正方形的两条相邻边的中点，分别为C和D； 3. 连接AC、BC、AD和BD，得到四条线段； 4. 这四条线段两两相交的点即为正方形中的费马点。

几何法的时间复杂度较低，仅为O(1)，且不需要考虑所有可能的点，因此在实际应用中更为常用和有效。

三、费马点的性质费马点具有一些特殊的性质，我们可以通过这些性质来进一步理解和应用费马点。

1. 最短路径性质费马点是指到正方形上所有顶点的距离之和最小的点，因此从费马点到任意一个顶点的路径也是最短路径。

利用这个性质，我们可以在无线通信中优化信号传输路径，或者在运输领域规划货物的最佳路径等。

2. 最大面积性质费马点还具有一个有趣的性质，即费马点到正方形上所有顶点的线段所围成的区域面积最大。

这个性质在图形和几何领域中有着广泛的应用，例如寻找最大面积的矩形或三角形等。

费马点最值问题公式

费马点最值问题公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里，有一个挺有意思的家伙，叫费马点最值问题公式。

这玩意儿，刚开始接触的时候，可能会让人有点晕头转向，不过别怕，咱们一起来瞧瞧它到底是怎么回事。

还记得我上高中那会，数学老师在黑板上写下这个公式的时候，全班同学那表情，就跟见了外星人似的。

我当时心里也嘀咕，这是啥呀？咋这么复杂！老师倒是不慌不忙，开始给我们慢慢讲解。

费马点最值问题公式，简单说，就是在一个平面三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个顶点的距离之和最小。

这就好比，你在一个三角形的大迷宫里，要找到那个能让你用最短的线连接三个顶点的位置。

比如说有个三角形 ABC，咱们要找的这个费马点 P 呢，它得满足一些条件。

如果三角形的每个内角都小于 120 度，那这个费马点就在三角形内部。

而且这个点和三角形三个顶点连线所形成的三个角，都是 120 度。

为了搞清楚这个，我可是下了不少功夫。

有一次在家做练习题，就碰到了一道跟费马点有关的难题。

那道题给出了一个三角形的三条边的长度，让求费马点到三个顶点距离之和的最小值。

我盯着题目看了半天，脑袋里不停地回想老师讲的那些知识点。

我先画出了那个三角形，然后试着根据公式去推导。

一开始，我总是算错，心里那个着急啊，感觉头发都要被我抓掉了好几根。

但是我没放弃，重新梳理思路，一步一步来。

终于，算出了正确答案。

那一刻，心里别提多有成就感了，就好像自己攻克了一座超级难爬的山峰。

在实际生活中，费马点最值问题公式也有不少用处呢。

比如规划城市的道路建设，要让救援车辆能以最短的时间到达各个地方，就可以用到这个公式。

还有一些物流配送的路线规划，也能从这里找到思路。

总之，费马点最值问题公式虽然有点复杂，但是只要咱们用心去学，多做练习，就能掌握它的奥秘。

相信大家以后在遇到相关问题的时候，都能轻松应对，把这个难题变成小菜一碟！。

专题13 二次函数-费马点求最小值(教师版)

第十三讲二次函数--费马点最值必备知识点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【结论】如图，点M 为锐角△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．∵△ABE 为等边三角形，∴AB ＝BE ，∠ABE ＝60°．而∠MBN ＝60°，∴∠ABM ＝∠EBN ．在△AMB 与△ENB 中，∵，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN 为等边三角形．∴BM ＝MN ．∴AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．知识导航此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP 、BP 、CP ，求xAP+yBP+zCP 最小值解决办法：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=)(y CP yz BP AP y x ++，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。

例：点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP+4BP+5CP 的最小值【分析】将△APC 绕C 点顺时针转90°到△A 1P 1C ，过P 2作P 1A 1的平行线，交CA 1于点A 2，且满足A 2P 2：P 1A 1=3：4.在Rt △PCP 2中，设PC=a ，由△CA 2P 2∽△CA 1P 1得CP 2=3a/4，则PP2=5a/4。

费马点最值问题

费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于 120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC 中，△BAC≥ 120°，求证：点A 为△ABC 的费马点证明：如图，在△ABC 内有一点 P 延长 BA 至 C，使得 AC＝ AC，作△CAP＝△CAP，并且使得 AP＝ AP，连结 PP则△APC△△APC， PC＝ PC因为△BAC≥120°所以△PAP＝△CAC≤ 60所以在等腰△PAP 中， AP≥PP所以 PA＋ PB＋ PC≥PP＋PB ＋PC＞BC ＝AB＋ AC所以点 A 为△ABC 的费马点2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC 中三个内角均小于 120°，分别以 AB、AC 为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC 内的交点为 O，求证：点 O 为△ABC 的费马点证明：在△ABC 内部任意取一点O，；连接 OA、OB、 OC将△AOC 绕着点 A 逆时针旋转60°，得到△AO′D 连接 OO ′则 O ′D＝ OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝ AO所以OA ＋OC＋ OB＝ OO′＋ OB＋ O′D则当点B、 O、 O′、D四点共线时，OA＋ OB＋ OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ABC 中，若△BAC、△ABC、△ACB 均小于 120°，O 为费马点，则有△AOB＝△BOC ＝△COA＝ 120 °，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例 1 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（－ 6，0），点 B 的坐标为（ 6，0），点C 的坐标为（ 6， 4 3 ），延长 AC 至点 D 使得 CD ＝ AC，过点 DE 作 DE //AB，交 BC 的延长线于点 E，设 G 为 y 轴上的一点，点 P 从直线 y＝ 3 x＋ 6 3 与 y 轴的交点M 出发，先沿 y 轴到达点G，再沿 GA 到达点 A，若点 P 在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的 2 倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达 A 所用的时间最短解：△t＝GMGA2GA GM 2v v2v△当 2GA＋ GM 最小时，时间最短如图，假设在OM 上存在一点G，则 BG＝ AG△MG ＋ 2AG＝MG＋ AG＋ BG把△MGB 绕点 B 顺时针旋转60°，得到△M ′G′B，连结 GG′， MM ′△△GG ′B、△MM ′B 都为等边三角形则 GG′＝ G′B＝GB又△M′G′＝ MG△MG ＋ AG＋BG＝ M′G′＋ GG′＋ AG△点 A、M′为定点△AM′与 OM 的交点为 G，此时 MG＋AG＋BG 最小△点 G的坐标为（ 0， 2 3）例 2 A 、B、C、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？解：如图，将△ABP 绕点 N 逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到△FCN ，连结 AE、DF ，则△ABE、△DCF 均为等边三角形，连结PM 、QN，则△BPM ，△CQN 均为等边三角形所以当点E， M， P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF 的长，如图，此时点P，Q 在EF上，1＝2＝3＝4＝30．A DM NE FP QB C进阶训练1．如图，在ABC 中，ABC ＝ 60 ， AB＝ 5， BC＝3， P 是ABC 内一点，求＋PC 的最小值，并确定当PA＋ PB＋ PC 取得最小值时，APC 的度数．PA＋ PBAPB C答案： PA＋PB ＋PC 的最小值为7，此时APC＝ 120 ．A'AP'PE B C【提示】如图，将APB 绕点作 A'E BC，交 CB 的延长线于点B 逆时针旋转60 ，得到A'BP'，连结E．解 Rt A'E C 求 A'C 的长，所得即为PP'，A'C．过点A'PA＋ PB ＋PC 的最小值．2．如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形， M 为对角线BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连结 AM， CM ，EN ．（1）当 M 在何处时， AM ＋ CM 的值最小 ?（2）当 M 在何处时， AM ＋ BM＋ CM 的值最小？请说明理由；（ 3）当 AM ＋ BM＋ CM 的最小值为3 1 时，求正方形的边长．A DE NMCB答案：（ 1）当点 M 落在 BD 的中点时， AM＋ CM 的值最小，最小值为AC 的长；（2）连结 CE，当点 M 位于 BD 与 CE 的交点处时． AM ＋ BM＋CM 的值最小，最小值为CE 的长．（ 3）正方形的边长为 2 ．【提示】（ 3）过点 E 作 EF BC，交 CB 的延长线于点F，解 Rt EFC 即可．A DNEMF B C。

费马最短时间定理

费马最短时间定理
费马最短时间定理是一个著名的数学定理，它描述了如何在两个点之
间找到最短路径。

这个定理由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出，它具有广泛的应用，包括在许多领域中的计算机科学、物理学和
工程学等。

费马最短时间定理可以被形式化地表示为：在一个封闭的有界区域内，两个点之间的最短距离是一条直线。

这意味着，如果你要从一个点到
达另一个点，你最好的选择是选择一条直线路径，它将花费最短的时间。

这个定理可以被应用于很多问题中。

例如，在地图上找到两个城市之
间的最短路线，识别在一张网络拓扑上最短路径，或者在一个机器人
移动的空间中计算机器人的最短路径等等。

费马最短时间定理在物理学和工程学中也有广泛的应用。

例如，在追
求最小时间路径的问题中，它在机器人运动、全局路径规划和地理信
息系统等方面发挥了重要作用。

在物理中，费马原理也可以用来推导
光的传播和反射。

总的来说，费马最短时间定理是一个非常重要的数学定理，适用于许
多领域。

它可以帮助我们在计算中找到最小时间路径，也可以在物理现象解释中起到重要作用。

因此，对于学习计算机科学、物理学、工程学等领域的人来说，理解这个定理是非常关键的。

费马点算法

费马点算法
费马点算法是一种古老的数学算法，它可以用来求解一类数学问题，尤其是关于几何图形上的任意点之间的距离。

它可以用来解释在几何图形中某两点之间的距离，也可以用来求解复杂的几何问题，如三角形的面积、多边形的内接圆等。

费马点算法是由著名的18世纪数学家费马提出的，其算法思想是用两个点之间的距离求解另外一个点的位置。

首先，设定两个点A 和B，它们之间的距离为d；然后，在空间中定义一个点C，使得C 到A的距离为a，C到B的距离为b；最后，根据三角形的勾股定理，可以求出C到A和B的距离关系d^2=a^2+b^2。

费马点算法的优点在于它的简单性，只需要简单的数学推导就可以解决复杂的几何问题，同时它还可以解决许多经典的几何问题。

此外，它非常容易实现，可以用程序代码来快速解决几何问题，在几何图形处理中发挥着重要作用。

费马点算法是一种经典的数学算法，它可以用来解决复杂的几何问题，在几何图形处理中发挥着重要作用。

它极大地简化了解决几何问题的过程，因此它在几何学中也被广泛地应用。