数学分析课件21.4第二类曲面积分394.00KB
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高中数学(人教版)第二型曲面积分课件
M 0 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点
且不超出 S 边界的闭曲线.
出发沿 L 连续移动一周而回到 征: 出发时 M 与
0
M0 , M0
取相同的法线方向 , 而回来时仍 M
保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. 否则, 若
M 由某一点
M 0 出发, 沿 S 上某一封闭曲线
后退 前进 目录 退出
S
k
k
k
ci Pi dydz Qi dzdx Ri dxdy ,
i 1
k
其中
ci ( i 1,2,, k ) 是常数 .
Si
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲 面
S1 , S2 ,, Sk
所组成, 则有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
上连续时, 有
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y( z, x ), z )dzdx.
S Dzx
(4)
这里 S 是取法线方向与 侧为正侧.
y
轴的正向成锐角的那一
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
例1 计算
xyzdxdy,
S
z
其中 S 是球 面 在
由于 R 在 S 上连续, 复合函数的连续性, 由二重积分的定义,
R( x , y , z( x , y )) 在 D( xy )上也连续.
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
D( xy )
R( x, y, z( x, y ))dxdy lim R( , , z( , ))S
《曲面积分》课件
随着数学与其他学科的交叉融合，曲面积分将与更多的学科领域相结合，如生物学、经济学、社会学等 。这种跨学科的研究将为曲面积分的理论和应用提供新的思路和方法。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
第二类曲面积分概念与性质
P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
F(
x,
y,
z)
R (Px(,xy,,yz,)zc)oisγdQS(
x,
y,
z)
j
R(
x,
y,
z)k
通常把上式三项分别记作
PQR((xx,y,y,z,z))在在上上对对坐坐 标标yzx,,,zxy的的曲曲面面积积分分
P( x, y, z)dy dz P( x, y, z)cosα dS
Q( x, y, z)dz dx Q( x, y, z)cos β dS
R( x, y, z)dx dy R( x, y, z)cos γ dS
因此第二类曲面积分又记为
(2) F ( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
F(x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
在Σ上有界, e n( x, y, z)是有向曲面上点( x, y, z)处
的单位法向量, 如果积分
[F (
x,
y,
z)
e
n
(
x
,
y,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
当cos γ 0 时 当cos γ 0 时 当cos γ 0 时
其中(σ )xy 表示投影区域的面积, γ为法向量与 z轴正向
的夹角. 注意: 投影有正负之分.
类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
-第二型曲面积分ppt课件
n {cos ,
cos,
cos} ，则
A( x, y,z)ndS (PcosQcos Rcos)dS
其 中dS是 曲 面的 面 积 元 素。
记
dS
ndS
{cos
dS
,cosdS
,cos
dS
}{dy
dz,dz
dx,dx
dy}
，
称 dS 为曲面 的面积微元向量。
则
AndS AdS PdydzQdzdx
Rdxdy
，
从而
AndS
Pdydz
Qdz
dx
Rdx
dy
。
A(x, y,z)ndS PdydzQdzdx Rdxdy
dydz 是 dS 在 yoz 面上的投影 ；dzdx 是 dS 在
zox 面上的投影 ；dxdy 是 dS 在 xoy 面上的投影 。
它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos 0 时， dxdy 取正号；当 cos 0 时，dxdy 取负号。
))i
D
R(
xy
x,
y,z(
x,
y))dxdy
。
若 取下侧，则cos i 0 ， i cos i Si ，
R( x, y,z)dxdy R( x, y,z( x, y))dxdy 。
Dxy
定理 2.1：设函数 R( x, y,z) 在 有向光滑曲面 ： zz( x, y) ，
(x, y)Dxy 上连续，则有
x
6 ： z0 (0 xa, 0 ya) 的下侧；
I y( xz)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy
∵除 1 、 2 外，其余四片曲面在yoz 面上的投影均为零，
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
第二类曲面积分概念和性质
[F (
x,
y,
z
)
e n
(
x,
y
,
z
)]dS
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x, y, z)在有向
曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
F ( x, y, z) dS
[
F(
x,
y,
z)
e n
(
x
,
y,
z
)]dS
注 1º第二类曲面积分的其他表达形式
(1) 若记s
i
cos
j
cos
k ，则
FF((xx, ,yy, ,zz))
deSn
(
x,
y,
z)
dS
[P( x, y, z)cos α Q( x, y, z)cos β R( x, y, z)cos γ ]dS
P( x, y, z)cos α dS Q( x, y, z)cos β dS
(2) 非闭曲面的侧
1) 上、下侧
若：z z( x, y)
上侧 : (n,轴z) 为锐角, cos 0 (P );
下侧 : (n,轴z) 为钝角, cos 0 (P ).
z
O
y
x
2) 左、右侧
z
若：y y( x, z)
右侧 : (n,轴y)
为锐角, cos 0 (P );
v
(P,Q,
R),
通过流向n 指定侧
流体的流量为:
Pd y d z Qd z d x Rdx d y.
6. 性质
(1) 线性性质： ， R1
[α F 1 β F 2] dS α F 1 dS β F 2 dS
F(
第二曲面积分-文档资料
其 中 为 各 小 块 曲 面 S i 1 , 2 , , n 中 直 径 的 i
S
最大值.
第二类曲面积分 的定义 定 义 设 S 为 一 光 滑 有 向 曲 面 ， n 为 曲 面 S 上 任 0
3.
一 点处 M的 单 位 法 向 量 , 其 方 向 与 曲 面 S 侧 的
（１）分割
（２）近似
在 S 上 任 取 一 点 ,, . i i i i
n i
vi
i, i, i S v 则该点流速为 i . 法向量为 n i . v v ( , , ) i i i i P ( , , ) i Q ( , , ) j R ( , , ) k , i i i i i i i i i
S
S
● 若 向 量 值 函 数 F x , y , z 在 光 滑 曲 面 或 分 片 光
滑 的 有 向 曲 面 S 上 连 续 ， 则 第 二 类 曲 面 积 分
F n d S F d S 存 在 . 0
第二类曲面积分
（对坐标的曲面积分） 一、第二类曲面积分的概念与性质
1 . 曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面.
以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。
对于曲面S：z=z(x,y), 若每一点的法向量与
z 轴正向夹 角为锐角，则称法向量指向曲面
的上侧; 否则为下侧. z x2 y2 例如旋转抛物面 在抛物面上每一点处的法向 量有两个，其中 n 2 x , 2 y , 1 ,
Si
该点处的单位法向量为：
第二型曲面积分【高等数学PPT课件】
Σ
其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
y
原式 3 (z x)d x d y
x
Σ
的顶部
1 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2
:
z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
(z x)d xdy]
2
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
n
i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上第二型曲面积分。
记作
dx
Pd y d z Qd z d x Rd x d y
Σ
dy dz
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
n
{( x, y) x2 y2 R2 }
o y Dxy R
z d x d y R2 x2 y2dxdy
x
D
2
d
R
R2 r 2 rdr
0
0
2
[
1 3
(
R2
r
2
3
)
2
]0R
2 R3
3
例2. 计算 ( x d x d y
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y)
第二类曲面积分
y
被积函数R(x, y, z)在Σ上连续 上连续. 被积函数 在 上连续
对坐标的曲面积分
∵ Σ 取上侧 , cosγ > 0,
又 ∵ζ i = z (ξ i ,η i )
n
∫∫ R( x, y, z)dxdy = lim ∑R(ξ ,η ,ζ )(S ) λ Σ
→0 i =1 i i i
n
i xy
对坐标的曲面积分
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程 给出, 设有向曲面 是由方程 z = z ( x , y ) 给出 Σ在xOy是由方程面上投影区域为 Dxy , 函数 在 是由方程面上投影区域为 具有一阶连续偏导数, z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数 上连续. 被积函数 R(x, y, z) 在Σ上连续 上连续 对坐标的曲面积分为
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
x
n
z
z = z( x , y )
Σ
ds
O
D xy (s)xy
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = 1 x 2 y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 x 2 y 2 ,
Σ1
投影域 D xy : x 2 + y 2 ≤ 1( x ≥ 0, y ≥ 0)
y
= +∫∫ xy 1 x 2 y 2 dxdy
数学分析 第二型曲线积分 课件(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。
例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。
为此在曲线B A内插入1-n 个分点121,,,-n M M M ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i =-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，则分割T 的细度为i ni s T ∆=≤≤1max 。
设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。
又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记),(1i i M M y x L i i∆∆=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W ii ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。
因而力),(y x F 沿曲线B A所作的功近似的等于∑∑∑===∆+∆≈=ni i i i ni i i i ni i y Q x p W W 111),(),(ηξηξ当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。
第二类曲线积分 ppt课件
例 1：计算 I xdx ydy，其中 L : x2 y2 a2 L 沿逆时针方向。
解1：设 F {x ,y } ， 0 是 指 定 方 向 的 单 位 切 向 量 ，
因 为 F 0， 所 以 F 0 0 ， y
则ILxdxydy
F0ds L
o
x
0
事 实 上 ， 容 易 求 得 ： 0 1 { y ,x } a
设 A k(xk,yk), M k(k,k), 则
nr i A i 1 A i { x i nx i 1 ,y i y i 1 }记{xi,yi}
F(Mi)ri [P(i, i) xiQ (i, i) yi]
i1
i1
令 m i { s a i} x 0 ,其 s i为 中 A i 1 A i的弧
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f (x, y) x2 y y3的梯度场，并在 f 的等高线上画 出梯度场，观察它们之间的关系。
解: f ( x , y ) 2 x y i ( x 2 3 y 2 ) j
从右图可以看出，梯度向量和 等高线正交。
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功：W
L F (M ) dr
（2）若 L是封闭曲线，则沿 L的指定方向的第二类
曲线积分记为
L F (M ) dr
。
定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：
设有向曲线 AB分段光滑，向量函数F(M )，的各
个分量函数在 AB上连续或分段连续，则F(M )沿曲线
上具有一阶连续导数, 且2(t) 2(t) 0 , 则曲
线积分 L P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在，且
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二重积分。若曲面 S R ( x , y , z ) dxdy R ( x , y , z ( x , y )) dxdy
s D xy
右端是一个 的方向选取为下侧，则
2 曲面
S
表示为y
y ( z , x ), ( z , x ) D zx
则
Q ( x , y , z ) dydz
i
i
i
n
i
i
i
0
i
i
iHale Waihona Puke iiii
i
lim
0
i 1
n
i 1
i
i
f ( i , i , i ) S i
存在，并且此极限与点(
S
【数学分析课件】
i
, i , i )的
选取无关，又与
的划分无关，则称它是
f ( x, y, z)
性质
S 某侧
f ( x , y , z ) dS
以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面 S 为 一片一片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面 S 的积分等于沿这有限个光滑曲面的积分之和。
【数学分析课件】
例一 计算 I ( x 1) dydz ydzdx dxdy ，S 是四面 体 OABC 所成的曲面（图21-12），且设积分是 沿曲面的外侧。
s
f n 0 dS
( P cos
s
Q cos R cos )dS
【数学分析课件】
三、两类曲面积分间的联系 由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面 积分有下列关系式 f dS f n dS
0
或者 Pdydz
s
Qdzdx Rdxdy
【数学分析课件】 P ( x ( y , z ), y , z ) dydz
S 右侧则选取“+”，若
为左侧则选取“-”。
3 曲面 S 表示为
则
x x ( y , z ), ( y , z ) D yz
P ( x , y , z )dydz
S
P ( x ( y , z ), y , z ) dydz
其中 dydzi , dzdxj 和 dxdyk 分别是 dS 在YOZ , ZOX 和 XOY 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上 侧时有dydx 0 ，当选取下侧时有dydx 0，再如当曲 dzdx dzdx 0， 面选取为右侧时有 0，当选取左侧有 等等。这时，第二类曲面积分可写为
2
x
2
y b
2 2
z c
2 2
1 的上半部，且设积
【数学分析课件】
S
f ( x , y , z ) dS
P ( x , y , z )dydz
S
Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dxdy
【数学分析课件】
若记曲面的单位法向量 n 为
0
n 0 cos i cos j cos k
则有
【数学分析课件】
的非闭的光滑曲面 S ，且设这些好书的UV 平面 上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 S 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。 于是曲面的法线方向余弦为
cos A A B C C
2 2 2
, cos
B A B C
2 2 2
,
cos
S
例二 计算 面( x a ) ( y b ) ( z c ) 外侧。 例三计算积分 I x dydz
I
2 2 S
x dydz y dzdx z dxdy
2
2
2
2
R
2
，其中 S 是球 ，且设积分是沿球面
3
S
其中 S 是椭球面 a 分沿椭球面的上侧。
D yz
右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 S 为 S 前侧则选取”+“，若 为后册则选取”-“
4.若曲面
S
x 表示为
x ( u , v ), y y ( u , v ), z z ( u , v ), ( u , v ) D uv
由二重积分变量代换知道
P ( x , y , z ) dydz
D uv
dudv
【数学分析课件】
R ( x , y , z ) dxdy
S
R ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v ))
D uv
D ( x, y ) D (u , v )
dudv
上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取 为：若 S 的侧为上侧，则（3）式右端的符号选取 “+”，否则为“-”，若 侧为右侧，则（2）式右端 S S 的符号取“+”，否则为“-”，若 的侧为前侧，则 （1）式右端的符号取“+”，否则取“-”。
S
P ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v ))
D uv
D ( y, z) D (u , v ) D (z, x) D (u , v )
dudv
S
Q ( x , y , z ) dzdx Q ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v ))
A B C
2 2
2
,
zu zv
u
. 其中 z z x x y y 还要假设 S 上无奇点，即 A , B , C 在任一点不同时为 cos , cos , cos 零。注意 都是在 内的 连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动， 因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定 曲面的一侧。 A ,B ,C
§4 第二曲面积分
【数学分析课件】
一.曲面的侧
设一光滑曲面 s 的方程为 z
z( x, y )
其中 z ( x , y ) 是 xy 平面上某一区域 D 内的连续函 数，且在 D 内有连续偏导数 p z , q z
s 这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都 有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为
x
y
cos cos cos
p 1 p q
2 2
,
q 1 p q
2 2
,
1
【数学分析课件】
1 p q
2
2
,
由假设，方向余弦是点的坐标 ( x , y , z ) 的连续函 数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连 续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于 在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式 全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 cos 而言，若选取正号，则 cos 0 , 即法线与正向 z 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称 为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧， z 在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光 y y(或) x, z 滑曲面S的方程为 ， x x( y, z) 同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后 侧。现在考虑更一般的用参数方程 x x ( u , v ), y y ( u , v ), z z ( u , v ) 表示
s
R ( x , y , z ) dxdy
需视曲面 S 如
1曲面 S 表示为 z
z ( x , y ), ( x , y ) D xy
若曲面 S 的方向选取为上侧，则 R ( x , y , z ) dxdy R ( x , y , z ( x , y )) dxdy
s D xy
s
s
( P cos Q cos R cos ) dS 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是 第一类曲面积分。
s
【数学分析课件】
四、第二类曲面积分的计算 计算第二类曲面积分
P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx 何表示而定。
u v v u v
yu yv
xu xv
【数学分析课件】
二、第二类曲面积分的定义 设 S 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预 先给定曲面 S 上的单位法向量 n ，又设 f ( x , y , z ) 是一个向量 f ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k ,
0
其中
P,Q, R
都是连续函数。
按照流体通过曲面流量的步骤，将 S 分为许多有 S ( i 1, 2 , , n ) ， 在 S 内任取一 向小块 点 ( , , ) ，作向量 S n ( , , ) S ，再作 和式 f ( , , ) S , 令 max S ，如果极限
S 另一侧
f ( x , y , z ) dS
即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于
f ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
又可将 dS
写为
dS dydzi dzdxj dxdyk