【数学】数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题附答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=1
2
∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.(1)当点P与点C重合时(如图1).求证:△BOG≌△POE;
(2)通过观察、测量、猜想:BF
PE
=,并结合图2证明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求BF PE

值.(用含α的式子表示)
【答案】(1)证明见解析(2)
1
2
BF
PE
=(3)
1
tan
2
BF
PE
α
=
【解析】
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,P与C重合,
∴OB="OP" ,∠BOC=∠BOG=90°.
∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO.∴∠GBO=∠EPO .∴△BOG≌△POE(AAS).
(2)BF1
PE2
=.证明如下:
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900,∠BPN=∠OCB.
∵∠OBC=∠OCB =450,∴∠NBP=∠NPB.
∴NB=NP.
∵∠MBN=900—∠BMN,∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE.
∴△BMN ≌△PEN (ASA ).∴BM=PE .
∵∠BPE=12∠ACB ,∠BPN=∠ACB ,∴∠BPF=∠MPF . ∵PF ⊥BM ,∴∠BFP=∠MFP=900. 又∵PF=PF , ∴△BPF ≌△MPF (ASA ).∴BF="MF" ,即BF=
12BM . ∴BF=12PE , 即BF 1PE 2
=. (3)如图,过P 作PM//AC 交BG 于点M ,交BO 于点N ,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900.
由(2)同理可得BF=
12
BM , ∠MBN=∠EPN . ∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN ∽△PEN . ∴BM BN PE PN
=. 在Rt △BNP 中,BN tan =
PN α, ∴BM =tan PE α,即2BF =tan PE α. ∴BF 1=tan PE 2
α. (1)由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE .
(2)过P 作PM//AC 交BG 于M ,交BO 于N ,通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ,通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ,即可得出BF 1PE 2
=的结论. (3)过P 作PM//AC 交BG 于点M ,交BO 于点N ,同(2)证得BF=
12BM , ∠MBN=∠EPN ,从而可证得△BMN ∽△PEN ,由
BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2
α. 2.如图,在△ABC 中,AB=7.5,AC=9,S △ABC =
814.动点P 从A 点出发,沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动,动点Q 从C 点同时出发,以相同的速度沿CA 方向
向A 点匀速运动,当点P 运动到B 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正△PQM (P 、Q 、M 按逆时针排序),以QC 为边在AC 上方作正△QCN ,设点P 运动时间为t 秒. (1)求cosA 的值;
(2)当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =95S △QCN 时,求t 的值; (3)当t 为何值时,△PQM 的某个顶点(Q 点除外)落在△QCN 的边上.
【答案】(1)coaA=45;(2)当t=35时,满足S △PQM =95
S △QCN ;(3)当t=273326-s 或273326
+s 时,△PQM 的某个顶点(Q 点除外)落在△QCN 的边上. 【解析】
分析:(1)如图1中,作BE ⊥AC 于E .利用三角形的面积公式求出BE ,利用勾股定理求出AE 即可解决问题;
(2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .利用S △PQM =95
S △QCN 构建方程即可解决问题; (3)分两种情形①如图3中,当点M 落在QN 上时,作PH ⊥AC 于H .②如图4中,当点M 在CQ 上时,作PH ⊥AC 于H .分别构建方程求解即可;
详解:(1)如图1中,作BE ⊥AC 于E .
∵S △ABC =
12•AC•BE=814, ∴BE=92
, 在Rt △ABE 中,22=6AB BE -, ∴coaA=647.55
AE AB ==. (2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,
∵S△PQM=9
5
S△QCN,
∴3•PQ2=93
5
⨯•CQ2,
∴9t2+(9-9t)2=9
5
×(5t)2,
整理得:5t2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或3
5

∴当t=3
5时,满足S△PQM=
9
5
S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
易知:PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴3,
∴39-9t),
∴2733
-.
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=3QH , ∴3t=3(9t-9),
∴t=27+33, 综上所述,当t=2733 s 或27+3326
s 时,△PQM 的某个顶点(Q 点除外)落在△QCN 的边上.
点睛:本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
3.已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D 、E 分别在BC 、AC 边上,连结BE 、AD 交于点P ,设AC=kBD ,CD=kAE ,k 为常数,试探究∠APE 的度数:
(1)如图1,若k=1,则∠APE 的度数为 ;
(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE 的度数.
(3)如图3,若k=3,且D 、E 分别在CB 、CA 的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.
【答案】(1)45°;(2)(1)中结论不成立,理由见解析;(3)(2)中结论成立,理由见解析.
【解析】
分析:(1)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出△FAE ≌△ACD ,得出EF=AD=BF ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
(2)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出
△FAE ∽△ACD ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
(3)先判断出四边形ADBF 是平行四边形,得出BD=AF ,BF=AD ,进而判断出
△ACD ∽△HEA ,再判断出∠EFB=90°,即可得出结论;
详解:(1)如图1,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,
∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形,
∴BD=AF ,BF=AD .
∵AC=BD ,CD=AE ,
∴AF=AC .
∵∠FAC=∠C=90°,
∴△FAE ≌△ACD ,
∴EF=AD=BF ,∠FEA=∠ADC .
∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD .
∵AD ∥BF ,
∴∠EFB=90°.
∵EF=BF ,
∴∠FBE=45°,
∴∠APE=45°.
(2)(1)中结论不成立,理由如下:
如图2,过点A 作AF ∥CB ,过点B 作BF ∥AD 相交于F ,连接EF ,
∴∠FBE=∠APE ,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF 是平行四边形,
∴BD=AF ,BF=AD .
∵3BD ,3AE , ∴3AC CD BD AE
==.
∵BD=AF , ∴3AC CD AF AE ==. ∵∠FAC=∠C=90°,
∴△FAE ∽△ACD , ∴
3AC AD BF AF EF EF
===,∠FEA=∠ADC . ∵∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD .
∵AD ∥BF ,
∴∠EFB=90°. 在Rt △EFB 中,tan ∠FBE=
3EF BF =, ∴∠FBE=30°,
∴∠APE=30°,
(3)(2)中结论成立,如图3,作EH ∥CD ,DH ∥BE ,EH ,DH 相交于H ,连接AH ,
∴∠APE=∠ADH ,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH 是平行四边形,
∴BE=DH ,EH=BD .
∵3BD ,3AE ,

3AC CD BD AE
==. ∵∠HEA=∠C=90°,
∴△ACD ∽△HEA , ∴
3AD AC AH EH
==∠ADC=∠HAE . ∵∠CAD+∠ADC=90°,
∴∠HAE+∠CAD=90°,
∴∠HAD=90°. 在Rt △DAH 中,tan ∠ADH=
3AH AD
= ∴∠ADH=30°,
∴∠APE=30°.
点睛:此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.
4.如图,等腰△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=36°,BC=1,点D 在边AC 上且BD 平分∠ABC ,设CD=x .
(1)求证:△ABC ∽△BCD ;
(2)求x 的值;
(3)求cos36°-cos72°的值.
【答案】(1)证明见解析;(215-+;(3758+ 【解析】 试题分析:(1)由等腰三角形ABC 中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数,得到∠DBC=∠A ,再由∠C 为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似;
(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC ,根据AD+DC 表示出AC ,由(1)两三角形相似得比例求出x 的值即可;
(3)过B 作BE 垂直于AC ,交AC 于点E ,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果.
试题解析:(1)∵等腰△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD 平分∠ABC ,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C ,
∴△ABC ∽△BCD ;
(2)∵∠A=∠ABD=36°,
∴AD=BD ,
∵BD=BC ,
∴AD=BD=CD=1,
设CD=x ,则有AB=AC=x+1,
∵△ABC ∽△BCD , ∴AB BC BD CD =,即111x x
+=,
整理得:x 2+x-1=0,
解得:x 1
=152-+,x 2=152--(负值,舍去), 则x=152
-+; (3)过B 作BE ⊥AC ,交AC 于点E ,
∵BD=CD ,
∴E 为CD 中点,即DE=CE=154
-+, 在Rt △ABE 中,cosA=cos36°=15
1514151AE AB -++
+==-++, 在Rt △BCE 中,cosC=cos72°=15
1541EC BC -+-+==, 则cos36°-cos72°=51+=-15-+=12. 【考点】1.相似三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质;3.黄金分割;4.解直角三角形.
5.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E 为CD 边上的中点,连接AE ,将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ,D′E 交AC 于F 点.若AB=6cm .
(1)AE 的长为 cm ;
(2)试在线段AC 上确定一点P ,使得DP+EP 的值最小,并求出这个最小值; (3)求点D′到BC 的距离.
【答案】(1);(2)12cm;(3)cm.
【解析】
试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案:
∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.
∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,∴(cm).
∵点E为CD边上的中点,∴AE=DC=cm.
(2)首先得出△ADE为等边三角形,进而求出点E,D′关于直线AC对称,连接DD′交AC 于点P,根据轴对称的性质,此时DP+EP值为最小,进而得出答案.
(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,进而得出△ABD′≌△CBD′(SSS),则∠D′BG=45°,D′G=GB,进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离.
试题解析:解:(1).
(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,∴∠ADC=60°,
∵E为CD边上的中点,∴DE=AE.∴△ADE为等边三角形.
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,∴△AD′E为等边三角形,∠AED′=60°.
∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,∴∠EFA=90°,即AC所在的直线垂直平分线段ED′.
∴点E,D′关于直线AC对称.
如答图1,连接DD′交AC于点P,∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′.
∵△ADE是等边三角形,AD=AE=,
∴,即DP+EP最小值为12cm.
(3)如答图2,连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,
∵AC垂直平分线ED′,∴AE=AD′,CE=CD′,
∵AE=EC,∴AD′=CD′=.
在△ABD′和△CBD′中,∵,∴△ABD′≌△CBD′
(SSS).∴∠D′BG=∠D′BC=45°.∴D′G=GB.
设D′G长为xcm,则CG长为cm,
在Rt△GD′C中,由勾股定理得,
解得:(不合题意舍去).
∴点D′到BC边的距离为cm.
考点:1.翻折和单动点问题;2.勾股定理;3.直角三角形斜边上的中线性质;4.等边三角形三角形的判定和性质;5.轴对称的应用(最短线路问题);6.全等三角形的判定和性质;7.方程思想的应用.
6.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣
﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE•tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE•tan60°=•=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,
其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【考点】二次函数综合题.
7.水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长和面积.
【答案】故大坝的截面的周长是(345)米,面积是1470平方米.
【解析】
试题分析:先根据两个坡比求出AE和BF的长,然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC,梯形的面积公式可得出答案.
试题解析:∵迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,DE=30m,
∴AE=18米,
在RT △ADE 中,AD=22DE AE +=634米
∵背水坡坡比为1:2, ∴BF=60米,
在RT △BCF 中,BC=22CF BF +=305米,
∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=(634+305+98)米,
面积=(10+18+10+60)×30÷2=1470(平方米).
故大坝的截面的周长是(634+305+98)米,面积是1470平方米. 8.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G .
(1)求证:△PAC ∽△PDF ;
(2)若AB =5,AP BP =,求PD 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2310 【解析】
【分析】 (1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到AD AC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;
(2)连接OP ,由AP BP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC
,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP GE ED
=,然后根据勾股定理即可得到结果.
【详解】
(1)证明:连接AD ,
∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,
∴AD AC =,
∴∠ACD =∠B =∠ADC ,
∵∠FPC=∠B,∴∠ACD=∠FPC,∴∠APC=∠ACF,∵∠FAC=∠CAF,∴△PAC∽△CAF;
(2)连接OP,则OA=OB=OP=15 22 AB=,
∵AP BP
=,
∴OP⊥AB,∠OPG=∠PDC,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=2BC,
∴tan∠CAB=tan∠DCB=BC
AC


1
2 CE BE
AE CE
==,
∴AE=4BE,
∵AE+BE=AB=5,
∴AE=4,BE=1,CE=2,
∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,
∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,
∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED
=,

2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==,
∴GE=2
3,OG=
5
6

∴PG
5 6 =,
GD
2
3 =,
∴PD=PG+GD
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键.
9.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点B 坐标(﹣6,0),点C 在y 轴正半轴上,且cos B =
35
,动点P 从点C 出发,以每秒一个单位长度的速度向D 点移动(P 点到达D 点时停止运动),移动时间为t 秒,过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q .
(1)求点D 坐标;
(2)求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值; (3)在直线l 移动过程中,是否存在t 值,使S =
320ABCD
S 菱形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点D 的坐标为(10,8).(2)S 关于t 的函数关系式为S =
24(04)220(410)3
3t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503.(3)3或7. 【解析】
【分析】
(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两
种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,22201233t t -
+= 【详解】
解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =35
, 10cos OB BC B
∴==
8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴,
∴点D 的坐标为(10,8).
(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0),
∴点A 的坐标为(4,0).
分两种情况考虑,如图1所示.
①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,
∴S =
12
PQ •OQ =4t , ∵4>0, ∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;
②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0),
将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:
4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩,解得:4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
, ∴直线AD 的解析式为41633y x =
-. 当x =t 时,41633
y t =-, 41648(10)3
33PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233
S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333
S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为503
. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)220(410)3
3t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩,S 的最大值为503. (3)S 菱形ABCD =AB •OC =80.
当0≤t ≤4时,4t =12,
解得:t =3;
当4<t ≤10时,222033t t -+=12, 解得:t 1=5﹣7(舍去),t 2=5+ 7. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =
320ABCD S 菱形,t 的值为3或5+7.
【点睛】
考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.
10.已知Rt △ABC ,∠BAC =90°,点D 是BC 中点,AD =AC ,BC =43,过A ,D 两点作⊙O ,交AB 于点E ,
(1)求弦AD 的长;
(2)如图1,当圆心O 在AB 上且点M 是⊙O 上一动点,连接DM 交AB 于点N ,求当ON 等于多少时,三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形?
(3)如图2,当圆心O 不在AB 上且动圆⊙O 与DB 相交于点Q 时,过D 作DH ⊥AB (垂足为H )并交⊙O 于点P ,问:当⊙O 变动时DP ﹣DQ 的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
【答案】(1)23(2)当ON 等于13﹣1时,三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形
(3)不变,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD 的长;
(2)连DE 、ME ,易得当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰,根据垂径定理得推论得
OE ⊥DM ,易得到△ADC 为等边三角形,得∠CAD=60°,则∠DAO=30°,∠DON=60°,然后
根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=12;
当MD=ME ,DE 为底边,作DH ⊥AE ,由于∠DAE=30°,得到,∠DEA=60°,DE=2,于是OE=DE=2,OH=1,
又∠M=∠DAE=30°,MD=ME ,得到∠MDE=75°,则∠ADM=90°-75°=15°,可得到∠DNO=45°
,根据等腰直角三角形的性质得到;
(3)连AP 、AQ ,DP ⊥AB ,得AC ∥DP ,则∠PDB=∠C=60°,再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ,∠AQC=∠P ,则∠PAQ=60°,∠CAQ=∠PAD ,易证得△AQC ≌△APD ,得到
DP=CQ ,则DP-DQ=CQ-DQ=CD ,而△ADC 为等边三角形,DP-DQ 的值.
【详解】
解:(1)∵∠BAC =90°,点D 是BC 中点,BC =
∴AD
=12
BC = (2)连DE 、ME ,如图,∵DM >DE ,
当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰,
∴OE ⊥DM ,
又∵AD =AC ,
∴△ADC 为等边三角形,
∴∠CAD =60°,
∴∠DAO =30°,
∴∠DON =60°,
在Rt △ADN 中,DN =
12AD ,
在Rt △ODN 中,ON =3
DN =1, ∴当ON 等于1时,三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形;
当MD =ME ,DE 为底边,如图3,作DH ⊥AE ,
∵AD =∠DAE =30°,
∴DH ∠DEA =60°,DE =2,
∴△ODE 为等边三角形,
∴OE =DE =2,OH =1,
∵∠M =∠DAE =30°,
而MD =ME ,
∴∠MDE =75°,
∴∠ADM =90°﹣75°=15°,
∴∠DNO=45°,
∴△NDH为等腰直角三角形,
∴NH=DH=3,
∴ON=3﹣1;
综上所述,当ON等于1或3﹣1时,三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变,DP﹣DQ=23.理由如下:
连AP、AQ,如图2,
∵∠C=∠CAD=60°,
而DP⊥AB,
∴AC∥DP,
∴∠PDB=∠C=60°,
又∵∠PAQ=∠PDB,
∴∠PAQ=60°,
∴∠CAQ=∠PAD,
∵AC=AD,∠AQC=∠P,
∴△AQC≌△APD,
∴DP=CQ,
∴DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD=23.
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理:平分弧的直径垂直弧所对的弦;在同圆和等圆中,相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系.。

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