新教材苏教版高中数学必修第二册章末综合测评2三角恒等变换

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高中数学-三角恒等变换综合练习(苏教版必修第二册)(解析版)

10.4 三角恒等变换综合练习（基础）一．选择题（共8小题）1．已知α是第二象限角,sin α=45,则sin2α＝（） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：因为α是第二象限角,sin α=45, 所以cos α=−√1−sin 2α=−35,则sin2α＝2sin αcos α＝2×45×(−35)=−2425．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．2．已知cos （θ−π2）=45,−π2＜θ＜π2,则sin2θ的值等于（） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos θ的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．【解答】解：因为cos （θ−π2）＝sin θ=45,−π2＜θ＜π2, 所以cos θ=√1−sin 2θ=35,则sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×35=2425．故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题． 3．已知tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα的值为（）A ．−25B ．45C ．23D ．25【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：因为tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1=2+23×2−1=45．故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．4．cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝（） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12【分析】结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求值．【解答】解：cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝cos10°cos20°﹣sin10°sin20°＝cos30°=√32．故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和的余弦公式及诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础试题． 5．已知sin(π6+α)=−45,则cos(π3−α)=（） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sin(π6+α)=−45,∴cos(π3−α)=cos[π2−（π6+α）]=sin(π6+α)=−45,故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题． 6．计算1−cos 270°1+cos40°=（）A ．45B ．34C ．23D ．12【分析】利用二倍角公式,诱导公式即可化简求解．【解答】解：1−cos 270°1+cos40°=1−1+cos140°21+cos40°=1−cos140°2(1+cos40°)=1+cos40°2(1+cos40°)=12．故选：D ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．7．若12sin2α﹣sin 2α＝0,则cos （2α+π4）＝（）A ．1B ．√22C ．−√22D ．±√22【分析】由已知结合二倍角公式可求sin α＝0或tan α＝1,然后分类讨论,结合同角基本关系即可求解．【解答】解：因为12sin2α﹣sin 2α＝0,所以sin αcos α﹣sin 2α＝0, 所以sin α＝0或sin α＝cos α, 当sin α＝0时, cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）=√22(1−2sin 2α−2sinαcosα)=√22,当sin α＝cos α即tan α＝1时,cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）,=√22×（cos 2α﹣sin 2α﹣2sin αcos α）, =√22（1−tan 2α1+tan 2α−2tanα1+tan 2α）=−√22．故选：D ．【点评】本题以三角函数为背景,主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,考查了数学运算的核心素养．8．已知α∈（0,π2）,sin2α1+cos2α=12,则cos α＝（）A ．√55B ．2√55C ．√1010D ．3√1010【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos α＝2sin α,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：由于sin2α1+cos2α=12,可得4sin αcos α＝2cos 2α,因为α∈（0,π2）,cos α≠0,所以cos α＝2sin α,联立{cosα=2sinαsin 2α+cos 2α=1,解得cos α=2√55．故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,同角三角函数基本关系式,考查推理论证能力,运算求解能力,考查了数学运算核心素养,属于基础题．二．多选题（共4小题） 9．下列各式中值为12的是（）A ．2sin75°cos75°B ．1﹣2sin 2π12C ．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan20°tan25° 【分析】根据对应的公式求出判断即可．【解答】解：对于A ：2sin75°cos75°＝sin150°=12, 对于B ：1﹣2sin 2π12=cosπ6=√32, 对于C ：sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin30°=12,对于D ：tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝tan （20°+25°）（1﹣tan20°tan25°）+tan20°tan25°＝1, 故选：AC ．【点评】本题考查了三角的恒等变换,属于基础题． 10．下列化简正确的是（） A ．tan （π+1）＝tan 1 B ．sin(−α)tan(360°−α)=cos αC ．sin(π−α)cos(π+α)=tan αD ．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子,可的结果．【解答】解：∵由诱导公式可得 tan （π+1）＝tan1,故A 正确；sin(−α)tan(360°−α)=−sinα−tanα=cos α,故B 正确；sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tan α,故C 不正确； cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−1,故D 不正确,故选：AB ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题． 11．若α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=0,则α的值是（）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π2【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．【解答】解：因为α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=cos α＝0,则α=12π或α=3π2, 故选：CD ．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式的简单应用,属于基础试题． 12．若tan2x ﹣tan （x +π4）＝5,则tan x 的值可能为（） A ．−√63B ．−√62C ．√63D ．√62【分析】利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．【解答】解：设tan x ＝t ,因为tan2x −tan(x +π4)=2t 1−t 2−t+11−t =2t−(t+1)21−t 2=t 2+1t 2−1=5,所以t 2=32,故tanx =t =±√62．故选：BD ．【点评】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力,属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知α、β均为锐角,且cos α=17,cos （α+β）=−1114,则β＝π3．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求得sin α和sin （α+β）的值,然后利用cos β＝cos p [（α+β）﹣α],根据两角和公式求得答案．【解答】解：α,β均为锐角,∴sin α=√1−149=4√37,sin （α+β）=√1−(−1114)2=5√314,∴cos β＝cos p [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1114×17+4√37×5√314=12． ∴β=π3．故答案为π3．【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．熟练记忆三角函数的基本公式是解题的基础．14．若cos （α﹣β）=12,cos （α+β）=−35,则tan αtan β＝ ﹣11 ．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos αcos β,sin αsin β的值,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为cos （α﹣β）=12, 所以cos αcos β+sin αsin β=12, 因为cos （α+β）=−35,所以cos αcos β﹣sin αsin β=−35,所以cos αcos β=12（12−35）=−120,sin αsin β=12（12+35）=1120,则tan αtan β=1120−120=−11．故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．15．若0＜α＜π2,﹣π＜β＜−π2,cos （π4+α）=13,cos （π4−β2）=−√33,则cos （α+β2）＝ √33．【分析】由已知先求出,的范围,再根据正弦和余弦的平方关系和为1求出对应的正弦值,然后再利用凑角的方法即可求解．【解答】解：因为0＜α＜π2,−π＜β＜−π2, 所以π4＜α+π4＜3π4,π2＜π4−β2＜3π4,所以sin （π4+α）=√1−(13)2=2√23, sin （π4−β2）=1−(−√33)2=√63,所以cos （α+β2）＝cos[（π4+α）﹣（π4−β2）]＝cos （π4+α）cos （π4−β2）+sin （π4+α）sin （π4−β2）=13×(−√33)+2√23×√63 =√33, 故答案为：√33．【点评】本题考查了两角和与差的的三角函数求值问题,考查了学生的运算能力,属于基础题． 16．已知α∈R ,3sin α+cos α＝3,则sin2α﹣cos 2α＝35或0．．【分析】由已知可得,（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α,然后利用同角基本关系弦化切可求tan α,进而可求．【解答】解：因为3sin α+cos α＝3, 当cos α≠0时,所以（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=9tan 2α+6tanα+11+tan 2α=9,解得,tan α=43,所以sin2α﹣cos 2α=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=2×43−1(43)2+1=35．当cos α＝0时,sin2α﹣cos 2α＝0 故答案为：35或0．【点评】本题主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,数据处理的能力．四．解答题（共8小题）17．已知0＜α＜π2,0＜β＜π2,sin α=45,cos （α+β）=513．（1）求cos β的值；（2）求sin 2α+sin2αcos2α−1的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α,sin （α+β）的值,进而根据β＝（α+β）﹣α,利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而即可代入求解．【解答】解：（1）因为0＜α＜π2,sin α=45, 所以cos α=35,又因为0＜β＜π2,cos （α+β）=513, 所以sin （α+β）=1213, 所以cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=513×35+1213×45=6365．（2）因为cos α=35,sin α=45,所以sin2α＝2sin αcos α＝2×45×35=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（35）2﹣1=−725,所以sin 2α+sin2αcos2α−1=(45)2+2425−725−1=−54．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的余弦函数公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 18．已知cosα=−45,α为第三象限角．（1）求sin α,tan α的值；（2）求cos(π4−2α)的值．【分析】（1）先根据α所在的象限,判断出sin α的正负,进而根据同角三角函数的基本关系,利用cos α的值求得sin α,进而求得tan α的值．（2）由（1）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．【解答】解：（1）∵cosα=−45,α为第三象限角, ∴sin α＜0,∴sin α=−√1−cos 2α=−√1−1625=−35,tan α=sinαcosα=34．（2）∵由（1）可得sin2α＝2sin αcos α=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1=725, ∴cos(π4−2α)=cos π4cos2α+sin π4sin2α=√22×725+√22×2425=31√250．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系,二倍角公式,两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用．注意根据角的范围确定三角函数的正负号,属于基础题． 19．已知cosα=35,,．（Ⅰ）求tan α,sin2α的值；（Ⅱ）求sin(π3−α)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α,tan α的值,利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．（Ⅱ）利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵cosα=35,,, ∴sinα=−√1−cos 2α=−45, ∴tanα=sinαcosα=−43,sin2α=2sinαcosα=−2425．（Ⅱ）∴sin(π3−α)=sin π3cosα−cos π3sinα=√32×35−12×(−45)=3√3+410．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 20．（1）已知sinα=−13,且α为第四象限角,求sin(α−π2)与tan α值；（2）已知tan α＝2,求cos αsin α的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式,诱导公式,即可求解．（2）利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：（1）因为sinα=−13,且α为第四象限角, 所以cosα=√1−sin 2α=2√23, 可得sin(α−π2)=−cos α=−2√23,tanα=−√24．（2）因为tan α＝2, 可得sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 21．已知α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．（1）求sin2β；（2）求tan （α+2β）．【分析】（1）利用同角三角函数关系以及倍角公式进行转化求解即可．（2）先求出对应的正切值,利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．【解答】解：（1）∵α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．∴sin α=2√55,cos β=35．则sin2β＝2sin βcos β＝2×45×35=2425．（2）∵cos2β＝1﹣2sin 2β=−725, ∴tan2β=sin2βcos2β=−247,tan α=sinαcosα=2,∴tan （α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=2−2471+2×247=−211．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,同角三角函数关系以及两角和差的三角公式是解决本题的关键,比较基础．22．已知sin （π3−x ）=13,且0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,求得cos （π3−x ）的值,再利用诱导公式、两角和差的三角公式,求得要求式子的值．【解答】解：∵0＜x ＜π2,∴−π6＜π3−x ＜π3,∵已知sin （π3−x ）=13,∴cos （π3−x ）=√1−sin 2(π3−x)=2√23．且 0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的∴sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）＝cos （π3−x ）+cos （π3−x ）＝2cos （π3−x ）=4√23．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式、两角和差的三角公式的应用,属于基础题． 23．已知tan α,,β是第三象,角．（1）求,的值；（2）求cos （α﹣β）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得 sin α和cos α的值,进而即可代入求解．（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin β的值,再利用两角差的余弦公式求得cos （α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵tan α=sinαcosα=−43,α∈（π2,π）,sin 2α+cos 2α＝1, ∴sin α=45,cos α=−35,可得3sinα+cosαsinα−cosα=3×45+(−35)45−(−35)=97．（2）∵cos β=−513,β是第三象限角, ∴sin β=−√1−cos 2β=−1213,∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−35•（−513）+45•（−1213）=−3365．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式的应用,属于基础题．24．已知tanα,tanβ为方程式x2+6x+2＝0的两根,求下列各式之值：（1）1cos2(α+β)；（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）．【分析】（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,然后结合两角和的正切公式及同角基本关系可求．（2）由sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],代入可求．【解答】解：（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,∴tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−61−2=6,∴1cos2(α+β)=cos2(α+β)+sin2(α+β)cos2(α+β)=1+sin2(α+β)cos2(α+β),＝1+tan2（α+β）＝1+36＝37,（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）,＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],=137（36+4×6+2）=6237．【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,解题的关键是公式的灵活应用．。

新教材苏教版高中数学必修第二册第十章三角恒等变换精品教学课件(共211页)

45 4
4
所以 <α+ < π,
2
4
所以cos (＋=) － 1－( 4 )＋)－]
44
=cos(＋c)os +sin (s＋in)
4
4
4
4
=- 3× +2 ×4 = 2. 2
5 2 5 2 10
2.将本例(1)的条件改为“sin ( －)＝－12 ,α∈ (，5)”,求cos (－ ) 的值.
5
10
. 7
4
1.cos 20°= ( ) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10° 【解析】选B.cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+ sin 30°sin 10°.
sin2
2
( －) 3
＝ 2 5 ＋ 2 （－12 )＝－7 2 .
2 13 2 13
26
【解题策略】解决三角函数的求值问题的关键点 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时通常有两种思路: ①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”; ②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
13
5
【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何
“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为α∈(，2 )

新教材高中数学第10章三角恒等变换10.110.1.1两角和与差的余弦课件苏教版必修第二册

15°＋
3 2 sin
15°＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°＝cos(60°
－15°)＝cos 45°＝ 22； (4) 原式＝ cos(α － 35°)cos(25°＋ α) ＋ sin(α － 35°)sin(25°＋ α) ＝
cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.
6－ 2 4
6＋ 2 4
[cos 75°＝cos(30°＋45°)
＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝
6－ 4
2；
cos 15°＝ cos(45°－ 30°) ＝ cos 45°cos 30°＋ sin 30°sin 45°＝
6＋ 4
2.]
3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．
()
(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.
()
(4)cosα＋π4cosπ4－α＋sinα＋π4sinπ4－α＝cos 2α.
()
[解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(一题两空)cos 75°＝________；cos 15°＝________.
第10章三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数 10.1.1 两角和与差的余弦
学习目标
核心素养
1.能利用向量的数量积推导出两 1.通过对两角和与差的余弦公
角差的余弦公式的过程，进一步体式的推导，培养学生逻辑推理
会向量方法的作用．(难点)

新教材高中数学第10章三角恒等变换：两角和与差的正切ppt课件苏教版必修第二册

则 sin α＝ 1－cos2α＝7102，
sin β＝
1－cos2β＝
5 5.
所以 tan α＝csoins αα＝7，tan β＝csoins ββ＝12.
(1)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－7＋7×12 12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－＋33＋×1221＝－1，又 α，β 是锐角，则 0＜α＋2β＜32π，所以 α＋2β＝34π.
3 3
[原式＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann1155°°＝tan(45°－15°)
＝tan 30°＝ 33.]
合作探究释疑难
条件求值问题
【例 1】已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，tan 2β， tan2α＋π4.
[ 思路点拨 ] 2α ＝ (α ＋ β) ＋ (α － β) ， 2β ＝ (α ＋ β) － (α － β) ， tan2α＋π4可以用 tan 2α 表示出来．
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值．倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂．
[跟进训练] 1．(1)已知 α∈π2，π，sin α＝35，求 tanα＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算 tan(α＋β)的大小．
1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角．
2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．

新教材苏教版必修第二册第11章解三角形章末综合提升课件2

∵B，C 均为△ABC 的内角， ∴2C＝2B 或 2C＋2B＝180°．即 B＝C 或 B＋C＝90°． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵bc＝ccooss CB， a2＋b2－c2
∴由余弦定理得a2＋2ca2b－b2＝bc， 2ac
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32．同理 cos∠PAC＝723－x x． ∵cos∠PAB＝cos∠PAC， ∴3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372．
(2) 作 PD⊥a 于 D ，在 Rt△PDA 中， PD ＝ PAcos∠APD ＝ PAcos∠PAB＝x·3x＋5x32＝3×17352＋32≈17.71(km)．
【例 2】在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC
的形状． [解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
得 2sin B＝sin A＋sin C．
∵B＝60°，∴A＋C＝120°．
∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C．
展开整理得
3 2 sin
C＋12cos
C＝1．
第11章解三角形
章末综合提升
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1 类型2 类型3 类型4
类型 1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，解三角形的一般方法如下： (1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C，由正弦定理求 a，b．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即 a2b2－a2c2＋c4－b4＝0． ∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0． ∴b2＝c2 或 a2－b2－c2＝0，即 b＝c 或 a2＝b2＋c2． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2

2.1.2 两角和与差的正弦公式教材要点要点两角和与差的正弦公式名称简记符号公式运用条件两角和的正弦S(α＋β)sin (α＋β)＝______________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin (α－β)＝____________________α，β∈R状元随笔公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)(2)留意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对随意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(3)存在α，β角，使得sin (α－β)＝sin α＋sin β.( )(4)∀α，β，有sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β.( ) 2．sin35°cos 25°＋cos 35°sin 25°的值等于( )A． B． C． D．3．sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°的值为( )A．－ B．－ C． D．4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________．题型 1 给角求值例1 (1)化简sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°，得( )A． B．sin 20° C．cos 20° D．(2)的值是________．方法归纳(1)对于非特别角的三角函数式求值问题，肯定要本着先整体后局部的基本原则，假如整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有：将非特别角化为特别角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要留意逆用或变用公式．跟踪训练 1 (1)化简：sin (x＋27°)cos (18°－x)＋sin (63°－x)·sin (18°－x)＝________．(2)求值：＝________．题型 2 给值求值角度1 干脆法求值例2 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为其次象限角，求sin (α＋β)的值．方法归纳(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，肯定留意已知角的范围．角度2 拆角变换求值例3 已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求：sin 2α、sin 2β.跟踪训练2 (1)已知α，β均为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝( )A．B．或C．D．(2)已知θ是其次象限角且cos θ＝－，则sin ＝________.题型 3 已知三角函数值求角例4 已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．方法归纳(1)要求一个角，一般可以先求这个角的某种三角函数值，详细求哪种三角函数值，应依据所求角的范围确定．(2)考虑角的拼凑，留意到β＝α－(α－β)，故sin β＝sin [α－(α－β)]，或cos β＝cos [α－(α－β)].(3)本题还可以将cos (α－β)绽开，结合同角三角函数的关系求解，但比较困难．跟踪训练3 已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β.课堂非常钟1．sin 105°的值为( )A．B．C．D．2．(多选)下面各式中，正确的是( )A．sin ＝sin cos cosB．cos ＝sin －cos cosC．cos ＝cos cosD．cos ＝cos －cos3．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°的值为( )A． B．－C． D．－4．已知sin A＝，且A∈，则sin ＝________．5．已知：α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求角α的大小．2.1.2 两角和与差的正弦公式新知初探·课前预习要点sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由题得sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°＝sin (35°＋25°)＝sin 60°＝.答案：D3．解析：∵cos 225°＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°，因此，sin 15°cos 225°＋cos 15°sin 45°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝.答案：C4．解析：因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－.答案：－题型探究·课堂解透例1 解析：(1)sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.(2)原式＝＝＝＝＝.答案：(1)A (2)跟踪训练1 解析：(1)因为sin (63°－x)＝sin [90°－(27°＋x)]＝cos (27°＋x)，所以，原式＝sin (x＋27°)cos (18°－x)＋cos (27°＋x)sin (18°－x)＝sin [(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.(2)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.答案：(1)(2)例2 解析：因为α为第一象限角，β为其次象限角，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝，sin β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋＝.例3 解析：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<又∵cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，∴sin (α－β)＝，cos (α＋β)＝－sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝－sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)＝－.跟踪训练2 解析：(1)因为α，β均为锐角，故α＋β∈(0，π)，因为cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝＝，sin (α＋β)＝＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.(2)∵θ是其次象限角且cos θ＝－，∴sin θ＝＝，∴sin＝sin θcos ＋cos θsin＝＝－.答案：(1)A (2)－例4 解析：由0＜β＜α＜可知，0＜α－β＜，故sin α＝，sin (α－β)＝.故sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝.又0＜β＜，因此β＝.跟踪训练3 解析：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝.又因为0<β<，所以0<α＋β<π.因为sin (α＋β)＝<sin α，所以cos (α＋β)＝－，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝.又因为0<β<，所以β＝.[课堂非常钟]1．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝＝.答案：D2．解析：∵sin ＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos cos ，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，∴B正确；∵cos＝cos ＝cos cos ，∴C正确；∵0＜cos ＝cos ≠cos －cos ＜0，∴D不正确．答案：ABC3．解析：方法一cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝cos 16°cos 44°－sin 16°sin 44°＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.方法二cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin 74°cos 44°－cos 74°sin 44°＝sin (74°－44°)＝sin 30°＝.答案：C4．解析：因为sin A＝，且A∈，所以cos A＝－＝－，因此sin＝sin A cos ＋cos A sin＝＝.答案：5．解析：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．由cos (α－β)＝，知sin (α－β)＝.由sin β＝－，知cos β＝.所以sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β＝＝.又α∈，所以α＝。

2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第10章三角恒等变换(含解析)

2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第10章三角恒等变换一、选择题1．已知( )A. B.2．若,则( )A.3．( )4．已知( )5．已知，( )6．已知，l ，则( )7．已知( )cos()cos cos cos()αβγαβγ+-+=sin sin()sin()sin αβγαβγ+-+=16-2222tan tan tan()7,211tan tan αβαβαβ-+==-tan 2α=2sin10cos35sin 25︒⋅︒+︒=πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()αβ+=π4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=cos()m αβ-=tan tan 3αβ=cos()αβ+=2m πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()tan αβ+=π4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )二、多项选择题10．已知,,A.11．下列各式中值为1的是( )C.三、填空题__________.14．如图，矩形中，，，点E 是中点，连接.将沿折叠，点B 落在点F 处，则的值为_______.四、解答题sin 72cos18cos 72sin18︒︒+︒=απ0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()5cos ,sin 13αβαβ+=-=()sin αβ+=()αβ-=α=337=ππcos 121222ππcos sin 88⎫-⎪⎭=ABCD 4AB =6BC =BC AE ABE △AE tan DAF ∠15．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.16．已知，.（1）求证：与互相垂直；（2）若与的模相等（其中k 为非零实数），求的值.17．利用半角公式，求的值.18．如图，扇形AOB 的圆心角为，半径为1.点P 是上任一点，设.（1）记，求的表达式；（2）若，求的取值范围.cos α=,02π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos 3απ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin()αβ+=0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭β(cos ,sin )αα=a (cos ,sin )(0)ββαβ=<<<πb +a b -a b k +a b k -a b βα-5π5πsincos1212-2π3»AB 2π0,3AOP αα⎛⎫⎡⎤∠=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()f OP AB α=⋅()f αOP xOA yOB =+22x y +参考答案1．答案：B 解析：因为,,即故2．答案：A解析：因为所以,等式左边,所以,即,故故选：A.3．答案：A解析：,,cos()cos cos cos()αβγαβγ+-+cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin αβγαβγαβγαβγ=--+sin sin cos cos sin sin αβγαβγ=-+sin sin ()βγα=-sin()sin sin sin()αβγαβγ+-+sin cos sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin αβγαβγαβγαβγ=+--cos sin sin sin sin cos αβγαβγ=-sin sin ()βγα=-sin sin()sin()sin sin sin ()αβγαβγβγα+-+=--sin sin()sin()sin αβγαβγ+-+=()tan 7,αβ+=tan()tan()7tan()αβαβαβ+-=-2222tan tan tan tan tan tan 211tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+--=⋅==-+-217tan()αβ=-tan()3αβ-=()()()()()()tan tan 73tan 2tan 1tan tan 173αβαβααβαβαβαβ++-+=++-===⎡⎤⎣⎦-+⋅--⨯2sin10cos35sin 25︒⋅︒+︒()2sin10cos35sin 3510=︒⋅︒+︒-︒,,,故选：A.4．答案：A 解析：由得故选:A.5．答案：C解析：由，.6．答案：D解析：，，解得所以故选：D.7．答案：A解析：由sin10cos35cos10sin 35=︒⋅︒+︒⋅︒()sin 1035=︒+︒sin 45=︒=()ππ44βαβα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭()()()π21tan +tan ππ454tan +tan +21π4411tan +tan 544αβαβαβααβα⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯+- ⎪⎝⎭π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππππ11sin sin sin cos cos sin 66666652αααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝cos()cos cos sin sin m αβαβαβ-=+=sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==cos cos αβ=sin αβ=3cos()cos cos sin sin 44m m αβαβαβ+=-=-=()ππ+=+44βαβα⎛⎫-- ⎪⎝⎭得故选：A.8．答案：B解析：.故选:B. 9．答案：AC 解析：因为，当与同号时，当与所以的值为10．答案：AD解析：,,则,,,()()()π21tan+tanππ454tan+tan+21π4411tan+tan544αβαβαβααβα⎛⎫---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--===⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯+-⎪⎝⎭()cos6040sin30cos40cos20sin30cos40sin60sin40tan60sin40cos60sin40cos60sin40cos60︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=︒---===cosα=α==)αβ+sin()αβ+==123)cos135αβα+=-⨯=cos cos[()]cos()cos sin()sinβαβααβααβα=+-=+++sinαsin()αβ+sin(αβ+=sinαsin(αβ+β=cosβπ,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()53cos,sin135αβαβ+=-=π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()sinαβ+==()cosαβ-==()()()()()()1245363 sin2sin sin cos cos sin,13513565ααβαβαβαβαβαβ⎡⎤=++-=+-++-=⨯+⨯=⎣⎦C 选项错误;由故选：AD 11．答案：ACD,符合题意;B:C:,符合题意;,符合题意,故选:ACD解析：由题意得,又,所以,所以()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ⎧-=-=⎪⎪⎨⎪+=+=⎪⎩122sin cos 13122cos sin 13αβαβ==123tan sin cos 135123tan cos sin 135ααββαβ+===-tan(1233)tan 451=︒+︒=︒=ππ1πsincos sin 21212212⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=22ππππcos sin 218884⎫⎛⎫-=⨯==⎪ ⎪⎭⎝⎭2sin cos ααα=π(0,2α∈sin 0α>cos α==sin(3017)sin17cos30cos17︒︒︒-=︒+︒sin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17︒︒︒︒︒-=︒+︒sin 30cos17sin 30cos17=︒︒︒=︒=解析：四边形为矩形，，，，当点E运动到中点时，则有，由折叠的性质可得，，，，因为.解析：（1）由题意可得所以.（2）由，可得所以故又，ABCD4AB=6BC=∴90B∠=︒BC132BE BC==4AF AB==3EF BE==90F B==︒∠∠tanBEEABAB∠==EAD EAB+∠=EAD∠=∴3tan4EFEAFAF∠==()4343tan tan73434tan tan431tan tan1124134EAD EAFDAF EAD EAFEAD EAF--∠-∠∠=∠-∠====+∠⨯∠++⨯1114sinα==1111 cos cos cos sin sin3332714ααα⎛πππ⎛⎫-=+=⨯+=-⎪⎝⎭⎝,02απ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22αβππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭cos()αβ+==cos cos[()]cos()cos sin()sinβαβααβααβα=+-=+++⋅131147⎛⎛=⨯+⨯=⎝⎝0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭β∴=16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：，，，，，.（2），.同理.又，，.，，.又，，解析：因为、，所以2βαπ-=(cos ,sin )αα= a (cos ,sin )ββ=b 222||cos sin 1αα∴=+=a 222||cos sin1ββ=+=b 2222()()||||0∴+⋅-=-=-=a b a b ab a b ()()∴+⊥-a b a b (cos ,sin )(cos ,sin )k k k ααββ+=+ a b (cos cos ,sin sin )k k αβαβ=++222||(cos cos )(sin sin )k k k αβαβ∴+=+++a b 222222cos 2cos cos cos sin 2sin sin sin k k k k ααββααββ=+++++22cos()1k k αβ=+-+22||2cos()1k k k αβ-=--+a b ||||k k +=- a b a b 22||||k k ∴+=-a b a b 2cos()2cos()k k αβαβ∴-=--0k ≠ cos()0αβ∴-=cos()0βα∴-=0αβ<<<π 0βα∴<-<πβα∴-=5π012<<5π012>5πcos 012>5π5πsin cos 1212-===18．答案：（1），（2）解析：（1）由题意，以O 为坐标原点，为x 轴正向建立如图平面直角坐标系，则，，.故，所以，即，.（2）由（1），，即，故，解得，其中，故，即，2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦OA1cos 2sin x y yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩====()π3f αα⎛⎫- ⎝=⎪⎭[]1,2()cos ,sin P αα()1,0A 12B ⎛- ⎝32AB ⎛- ⎝= ()3πcos 23f αααα⎛⎫-- ⎪⎝=⎭=()π3f αα⎛⎫- ⎝=⎪⎭2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦OP xOA yOB =+()()11cos ,sin 1,022x y x y y αα⎛⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭cos x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222225cos sin 2cos 3x y αααααα⎫⎫+=++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭142π42cos 2sin 233363ααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭222π4sin 2363x y α⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故，所以，故，即的取值范围为.19．答案：解析：原式.2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7π,266ππ6α⎡⎤∈⎢⎥⎣-⎦-πsin 261,12α⎛⎫- ⎪⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭[]221,2x y +∈22x y +[]1,22+sin(7539)cos 75sin 39cos(7539)sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒-+=--︒sin 75cos39cos 75sin 39cos 75sin 39cos 75cos39sin 75sin 39sin 75sin 39︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+=+-︒sin 75cos39tan 75cos 75cos39==︒︒︒︒︒tan 30tan 45tan(3045)1tan 30tan 45+=+=︒︒-︒︒︒︒2==+。

数学必修二：三角恒等变换习题答案

数学必修二：三角恒等变换习题答案在高中数学学习中，三角函数是一个重要概念。

三角恒等变换是三角函数学习中的一项重要内容，它能够帮助我们将复杂的三角函数式子简化成更简洁的形式，从而更方便地进行计算和求解。

本文将为大家提供数学必修二中的三角恒等变换习题的详细答案，请大家参考学习。

一、简化式子1. 将$\sin A \cos B + \cos A \sin B$简化成$\sin(A+B)$的形式：解答：根据三角恒等变换中的和角公式，可以得到：$$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$因此，$\sin A \cos B + \cos A \sin B$可以简化成$\sin(A+B)$的形式。

2. 将$\tan A$化简成$\frac{\sin A}{\cos A}$的形式：解答：根据三角恒等变换中的定义，可以知道$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$因此，$\tan A$可以化简成$\frac{\sin A}{\cos A}$的形式。

二、证明恒等式1. 证明$\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$：解答：根据三角恒等变换中的平方公式，可以得到$$\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$$因此，$\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$是成立的。

2. 证明$\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$：解答：根据三角恒等变换中的平方公式，可以知道$$\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$$因此，$\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$是成立的。

三、计算数值1. 计算$\sin 30°$的值：解答：根据三角函数的定义，可以得知$\sin 30° = \frac{1}{2}$。

2. 计算$\cos(\frac{\pi}{3})$的值：解答：根据三角函数的定义，可以知道$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$。

苏教版必修第二册第10章三角恒等变换章末复习提升课课件_2

故选 B．
5．已知 α∈0，π4，β∈－π4，0，cos π4＋α＝35，cos β－π4＝153. (1)求 sin 2α 的值； (2)求 cos (α＋β)的值．解：(1)sin 2α＝－cos π2＋2α＝－cos 2π4＋α ＝1－2cos2π4＋α＝1－2×352＝275.
(2)由于 α∈0，π4，β∈－π4，0，所以π4＋α∈π4，π2，β－π4∈－π2，－π4，
三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路： (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系． (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来． (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
1．化简1＋sins2i5n01°0°＝________．解析：1＋sins2i5n01°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1＋（s9in0°1＋0°1）0°）＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12. 答案：12
1．已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x2＋2x－5＝0 的两实根，则 tan (α＋β)
＝( )
A．13
B．－12
C．12
√D．－13
解析：因为 tan α，tan β 是一元二次方程 x2＋2x－5＝0 的两实根，故可得 tan α＋tan β＝－2，tan αtan β＝－5，故可得 tan (α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝－1＋2 5＝－13.故选 D．
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z).
(2)因为 x∈－π6，π4⇒2x－π3∈－23π，π6，所以 sin 2x－π3∈－1，12，所以 f(x)max＝ 43，f(x)min＝－ 23.

2023-2024学年北京市房山区高中数学苏教版必修二三角恒等变换章节测试-2-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市房山区高中数学苏教版必修二三角恒等变换章节测试(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）或-1. 在△ABC 中，如果4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3 ，则sinC 的大小是（）A.B.C.D. 函数f （x ）图象的一个对称中心为（，0）函数f （x ）图象的一个对称轴为x=﹣函数f （x ）图象的一个减区间为（﹣1，）函数f （x ）在[﹣ ， ]上的最大值为2.函数f （x ）=cos2x+ sin2x ，下列结论正确的是（）A. B. C. D. 3. 已知，则（）A. B. C. D.最小正周期为π的奇函数最小正周期为π的偶函数最小正周期为2π的奇函数最小正周期为2π的偶函数4. 函数是（）A. B. C. D. --5. 若，则cosα+sinα的值为（）A. B. C. D.周期为π的奇函数周期为π的偶函数周期为2π的奇函数周期为2π的偶函数A. B. C. D. 07. 在中，角的对边满足，且，则（）A.B.C.D. cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°cos 75°＝cos 45°cos （－30°）＋sin 45°sin （－30°）sin （α＋45°）sin α＋cos （α＋45°）cos α＝cos 45°cos （α－）＝ cos α＋sin α8. 下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（）A. B. C. D. 2－2－9. 已知点P(1，a)在角α的终边上，tan ＝－则实数a 的值是（）A. B. C. D. 10. 若，则（）A.B.C.D.钝角三角形直角三角形锐角三角形等边三角形11. 已知分别是的内角的的对边，若，则的形状为（）A. B. C. D. 12. 已知，，（）A. B. C. D.13. 求值：．14. 函数的最小正周期是．15. 化简：．16. 已知函数，若对任意都有（c 为常数），则常数m 的一个取值为．17. 已知函数， .(1) 对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值；(2) 在满足（1）的条件时，若方程在区间上有解，求实数的取值范围.18. 如图，扇形的圆心角为，半径为1.一点从点出发，沿匀速移动，移动到点后，再沿以同样的速度移动至点并终止运动，记点离开的时间为，且在秒时，点，首次满足.(1) 记，求；(2) 若，求的取值范围.19. △ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．若．(1) 求cosC的值；(2) 若A＝C ，求sinB的值．20. 已知函数 =（2sinx，cosx+sinx）， =（cosx，cosx﹣sinx），f（x）= • ．(1) 求函数f（x）的单调区间；(2) 若关于x的方程f（x）﹣m=0（m∈R）在区间（0，）内有两个不相等的实数根x1， x2，记t=mcos（x1+x2），求实数t 的取值范围．21. 已知cosα= ，cos（α+β）= ，且α，β均为锐角，求cos β的值．答案及解析部分1.2.3.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(2)20.(1)(2)21.第 11 页共 11 页。

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第10章三角恒等变换两角和与差的余弦

2
∈
π
0,
2
，∴ =
π
.
3
公式C
±
是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变
换角或名称.在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转
化成已知角或特殊角（如30∘ ，45∘ ，60∘ ，90∘ ，120∘ ，150∘ ，…）之间和与差的关系，
然后利用公式化简求值.
6− 2

∴ = [ +

=
+
.

−

]

,

+

，
=

.

= +

+ +

=

×

+

×
【题型三】给值求角
例3已知cos =
1
7
1
，cos
7
− =
π
2
13
，且0
14
<<<
π
，求的值.
2
解由cos = ，0 < < ，得
sin = 1 −
cos2
=
1−
1 2
7
π
2
由0 < < < ，得0 < − <
又∵ cos − =
∴ sin − =
4 3
.
7

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第10章三角恒等变换两角和与差的正弦

解原式= sin[ − 18∘ − + 27∘ ]
= sin −45∘
=−
2
.
2
规律方法解决给角求值问题的方法
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整
体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,
又因为 ∈
π
− ,0
2
, ∈
π π
2 2
所以 + ∈ − ,
π
0,
2
3 3
4 3
,所以cos =
,sin
14
7
3 3
4 3
13
3
+
× = ,
14
7
14
2
,且sin = − ,cos =
,
π
3
,故 + = .
1
−
7
×
=
13
,
14
函数比余弦函数好；若角的范围是 0, π ,选余弦函数比正弦函数好.
,选正弦
跟踪训练3本例中,若条件改为“sin =
再求 + 的值.
1
− ,cos
7
=
3 3
,且
14
∈
π
− ,0
2
, ∈
π
0,
2
”,
π
2
解因为 ∈ − , 0 , ∈ 0,
π
2
1
7
因此sin( + ) = sin cos + cos sin =
同时分析角与角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法如下:①当条件中有两角时,

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第10章三角恒等变换两角和与差的正切

1−tan + tan −
=
5+3
1−5×3
=
4
− .
7
tan 2 = tan[ + − − ]
=
tan + −tan −
1+tan + tan −
tan 2 +
π
4
=
=
5−3
1+5×3
1+tan 2
1−tan 2
=
1
.
8
4
=
1−7
4 =
1+
7
3
.
11
（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”“ 3”时，要考虑用这些特殊值所对应
π
4
π
3
的特殊角的正切值去代换，如“1 = tan ”“ 3 = tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，
tan tan 的差或和.
（2）两角和与差的正切公式的变形
变形公式：tan + tan = tan + 1 − tan tan ；
tan − tan = tan − 1 + tan tan ；
tan tan = 1
tan +tan
−
；等等.
所以tan 23∘ + tan 37∘ = 3 − 3tan 23∘ tan 37∘ ，
所以tan 23∘ + tan 37∘ + 3tan 23∘ 简求值的两点说明
1.分析式子结构，正确选用公式形式：

高中数学-三角恒等变换综合练习(苏教版必修第二册)(原卷版)

10.4 三角恒等变换综合练习（基础）一．选择题（共8小题）1．已知α是第二象限角,sin α=45,则sin2α＝（） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．12252．已知cos （θ−π2）=45,−π2＜θ＜π2,则sin2θ的值等于（） A ．−2425 B ．2425C ．−1225D ．12253．已知tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα的值为（）A ．−25B ．45C ．23D ．254．cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝（） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−125．已知sin(π6+α)=−45,则cos(π3−α)=（） A ．45B ．35C ．−45D ．−356．计算1−cos 270°1+cos40°=（）A ．45B ．34C ．23D ．127．若12sin2α﹣sin 2α＝0,则cos （2α+π4）＝（） A ．1B ．√22C ．−√22D ．±√228．已知α∈（0,π2）,sin2α1+cos2α=12,则cos α＝（）A ．√55B ．2√55C ．√1010D ．3√1010二．多选题（共4小题） 9．下列各式中值为12的是（）A ．2sin75°cos75°B ．1﹣2sin2π12C ．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°10．下列化简正确的是（） A ．tan （π+1）＝tan 1 B ．sin(−α)tan(360°−α)=cos αC ．sin(π−α)cos(π+α)=tan αD ．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=111．若α∈[0,2π],sin α3sin 4α3+cos α3cos4α3=0,则α的值是（）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π212．若tan2x ﹣tan （x +π4）＝5,则tan x 的值可能为（） A ．−√63B ．−√62C ．√63D ．√62三．填空题（共4小题）13．已知α、β均为锐角,且cos α=17,cos （α+β）=−1114,则β＝． 14．若cos （α﹣β）=12,cos （α+β）=−35,则tan αtan β＝．15．若0＜α＜π2,﹣π＜β＜−π2,cos （π4+α）=13,cos （π4−β2）=−√33,则cos （α+β2）＝．16．已知α∈R ,3sin α+cos α＝3,则sin2α﹣cos 2α＝．四．解答题（共8小题）17．已知0＜α＜π2,0＜β＜π2,sin α=45,cos （α+β）=513．（1）求cos β的值；（2）求sin 2α+sin2αcos2α−1的值．18．已知cosα=−45,α为第三象限角．（1）求sin α,tan α的值；（2）求cos(π4−2α)的值．19．已知cosα=35,,．（Ⅰ）求tan α,sin2α的值；（Ⅱ）求sin(π3−α)的值．20．（1）已知sinα=−13,且α为第四象限角,求sin(α−π2)与tan α值；（2）已知tan α＝2,求cos αsin α的值．21．已知α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．（1）求sin2β；（2）求tan （α+2β）．22．已知sin （π3−x ）=13,且0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的值．23．已知tan α,,β是第三象,角．（1）求,的值；（2）求cos （α﹣β）的值．24．已知tan α,tan β为方程式x 2+6x +2＝0的两根,求下列各式之值：（1）1cos 2(α+β)；（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）．。

2020-2021学年新教材苏教版数学必修第二册章末综合测评2三角恒等变换

章末综合测评(二) 三角恒等变换(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725 D [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－1825＝725.]2．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为( ) A ．－34 B ．－112 C ．－98D ．98B [tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112.] 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55 C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B ．]4．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或2425 C ．2425D ．0或－2425C [因为0＜α＜π2＜β＜π，sin α＝35， cos(α＋β)＝－45，所以cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. 因为π2＜β＜π，所以sin β＝2425.]5．已知A ，B 均为钝角，sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 的值为( ) A ．7π4 B ．3π2 C ．5π4D ．3π4A [因为π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，所以cos A ＝－255，cos B ＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又因为π＜A ＋B ＜2π，所以A ＋B ＝7π4.] 6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－2B ．2C ．－12D ．12C [因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，所以tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－3＋11－(－3)＝－12.]7．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A ．35 B ．45 C ．74D ．34D [因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以sin 2θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，所以sin θ＝34.]8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A ．π6 B ．5π6 C ．π6和5π6D ．π3和2π3A [由已知可得(3sin A ＋4cosB )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12. 所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B ＞0，所以cos A ＜13. 又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3，所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．已知向量m ＝()sin x ，－3，n ＝()cos x ，cos 2x ，函数f (x )＝2m ·n ＋3＋1，下列命题中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝2－f (x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象关于x ＝π4对称C ．若0<x 1<x 2<π2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1，x 2，x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，则f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)BD [函数f ()x ＝2m·n ＋3＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，对于A ：当x ＝0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1,2－f ()x ＝2－f ()0＝1＋3，故A 错；对于B ：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝2sin ()－2x ＋1，当x ＝π4时，对应的函数值取得最小值为－1，所以B 正确；对于C ：x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3 ，所以函数f ()x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2不单调，故C 错；对于D ：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴f (x )∈[]3＋1，3，又2()3＋1>3，即2f (x ) min >f (x ) max ，x 1，x 2，x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x 1)＋f (x 2) >f (x 3)恒成立，故D 对．故选BD.]10．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，下列命题中正确的是( )A ．f (x )的最大值为2B ．f (x )的最小正周期是πC ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数D. 将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合ABCD [f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故A 、B 正确；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故C 正确；y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝f (x )，故D 正确. 故选ABCD.]11．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ，若α∈(0，π)，且f (α)＝22，则α的值为( )A ．π16B ．11π16C ．9π16D ．7π16AC [由题意知f (x )＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12sin 4x ＋12cos 4x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，因为f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝22，所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝π16＋k π2，k ∈Z.因为α∈(0，π)，所以α＝π16或α＝π16＋π2＝9π16，故选AC ． ]12．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到 BC [f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4对于A ，因为ω＝2，则f ()x 的最小正周期T ＝π，结论错误；对于B ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数，结论正确；对于C ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2为f ()x 的最大值，则f ()x 的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确；对于D ，设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误．故选BC ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.tan 2α [原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.]14．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 3 [tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝3－3tan 19°tan 41°，∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝3.]15．已知函数f (x )＝2sin ωx ，g (x )＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC 面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)2ππ2[函数f(x)＝2sin ωx，g(x)＝2cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，当ω＝1时，f(x)＝2sin x，g(x)＝2cos x.所以A，B间的距离为一个周期2π，高为2·22＋22·2＝2.所以S△ABC＝12·2π·()1＋1＝2π.如图所示：①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则2πω＝2·⎝⎛⎭⎪⎫2·22＋2·22，解得ω的最小值为π2.]16．已知tan αtan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________．210[由tan αtan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α()1－tan αtan α＋1＝－23，得3tan2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－13.sin⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcosπ4＋cos 2αsinπ4＝22()sin 2α＋cos 2α＝22⎝⎛⎭⎪⎪⎫2sin αcos α＋cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝22⎝⎛⎭⎪⎪⎫2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1，当tan α＝2时，上式＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×2＋1－2222＋1＝210；当tan α＝－13时，上式＝22×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝210. 综上，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°的值． [解] 原式＝2cos 210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5° ＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝32.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．[解] (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π，0]．(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin 2αsin α－cos α的值．[解] (1)因为m 与n 为共线向量，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23·1－(－1)·sin α＝0，所以sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝29－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又因为α∈[－π，0]，sin α·cos α<0，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－43. 所以sin 2αsin α－cos α＝712.20．(本小题满分12分)在①函数f ()x ＝12sin ()2ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2的图象向右平移π12个单位长度得到g ()x 的图象，g ()x 图象关于原点对称；②向量m ＝()3sin ωx ，cos 2ωx ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos ωx ，14，ω>0，f (x )＝m ·n ；③函数f ()x ＝cosωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－14()ω>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知________，函数f ()x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若0<θ<π2，且sin θ＝22，求f (θ)的值； (2)求函数f (x )在[]0，2π上的单调递减区间． [解] 方案一：选条件①由题意可知，T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝12sin ()2x ＋φ，∴g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6，又函数g ()x 图象关于原点对称，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵||φ<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(1)∵0<θ<π2，sin θ＝22，∴θ＝π4，∴f (θ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12sin 2π3＝34；(2)由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，令k ＝1，得7π6≤x ≤5π3，∴函数f (x )在[]0，2π上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.方案二：选条件② ∵m ＝()3sin ωx ，cos 2ωx ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos ωx ，14，∴f (x )＝m ·n ＝32sin ωx cos ωx ＋14cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，又T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(1)∵0<θ<π2，sin θ＝22，∴θ＝π4，∴f (θ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12sin 2π3＝34；(2)由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，令k ＝1，得7π6≤x ≤5π3，∴函数f ()x 在[]0，2π上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. 方案三：选条件③ f (x )＝cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－14＝cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π6＋cos ωx sin π6－14＝32sin ωx cos ωx ＋12cos 2ωx －14＝34sin 2ωx ＋14cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，又T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， (1)∵0<θ<π2，sin θ＝22，∴θ＝π4，∴f (θ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12sin 2π3＝34； (2)由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，令k ＝1，得7π6≤x ≤5π3.∴函数f ()x 在[]0，2π上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4. 从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． [解] (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12 ＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。

新教材苏教版高中数学必修第二册第十章三角恒等变换知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213．又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π．又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用。