2018年秋高中数学 课时分层作业5 全称量词与存在量词 新人教A版选修2-1

课时分层作业(五) 全称量词与存在量词

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面

D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2

－2x －3≥0

D [A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.]

2．下列命题为真命题的是( )

【导学号：46342035】

A ．∀x ∈R ，cos x <2

B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0

C ．∀x >0,3x

>3

D ．∃x ∈Q ，方程2x －2＝0有解

A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；

B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13

C 中，当x ＝1时，31

＝3，所以C 是假命题；

D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈ /Q ，所以D 是假命题．故选A.]

3．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3

＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3

＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0

C [原命题的否定为“∃x 0∈[0，＋∞)，x 3

0＋x 0<0”，故选C ．]

4．命题p ：∀x ∈R ，ax 2

＋ax ＋1≥0，若﹁

p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．[0,4]

C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)

D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨

⎪

⎧

a >0，Δ≤0，

即

⎩⎪⎨⎪

⎧

a >0，a 2－4a ≤0，

解得0

p ：a <0或a >4.]

5．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∧﹁q

C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q

B[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.

∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．

∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，

此时a2

∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，﹁p∧q为假命题，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]

二、填空题

6．下列命题：

①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

其中是全称命题的为________，是特称命题的为_______________．(填序号)

②④①③[全称命题为②④，特称命题为①③.]

7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________.

【导学号：46342036】有些偶函数的图象关于y轴不对称[题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．]

8．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．

[－8，＋∞)[当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，

∴a≥－8.]

三、解答题

9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：

(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(4)正数的绝对值是它本身．

[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的

否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.

(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.

(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．

(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．

10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2

＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．

[解] 法一：由题意知：x 2

＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2

＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.

整理得a >－3或a >－2.

即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：﹁

p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2

＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨

⎪

⎧

f (1)≤0，f (2)≤0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.

解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.

即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．

[能力提升练]

1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *

，使得n ≥x 2

”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *

，使得n

B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *

，使得n

C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *

，使得n

D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *

，使得n

D [将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃

x ∈R ，∀n ∈N *，使得n

2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

【导学号：46342037】

A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)

B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)

C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)

D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)