2018年秋高中数学 课时分层作业5 全称量词与存在量词 新人教A版选修2-1

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教育资料（一）
课时分层作业(五) 全称量词与存在量词
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
D [A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命
题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.]
2．下列命题为真命题的是( )
【导学号：46342035】
A．∀x∈R，cos x<2
B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0
C．∀x>0,3x>3
D．∃x∈Q，方程2x－2＝0有解
A [A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3
x

－1)<0⇔0<3x－1<1⇔13D中，2x－2＝0⇔x＝2∈ /Q，所以D是假命题．故选A.]
3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
C [原命题的否定为“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C．]
4．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若﹁p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

D [当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有 a>0，Δ≤0，即






a
>0，

a2－4a
≤0，

解得04.]
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5．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是
( )
A．p∧q B．p∧﹁q
C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，﹁p∧q为假命题，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]
二、填空题
6．下列命题：
①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个
内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为________，是特称命题的为_______________．(填序号)
②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________.
【导学号：46342036】
有些偶函数的图象关于y轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上
全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所
有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题
的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．]
8．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是
__________．
[－8，＋∞) [当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由
题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的
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否定为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.
(2)真命题．命题的否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正
数的绝对值不是它本身．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为
真，试求参数a的取值范围．
[解] 法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：﹁p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

则 f(1)≤0，f(2)≤0，即 1＋2a＋2－a≤0，4＋4a＋2－a≤0.
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x ∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x ∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x ∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x ∈R，∀n∈N*，使得nD [将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃
x∈R，∀n∈N*，使得n2
”．]

2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选
项的命题中为假命题的是( )
【导学号：46342037】
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
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C [f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax＋b2a2＋4ac－b24a(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－b2a，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．]
3．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为________．
∃n0∈N
*，f(n0)∈ /N*
或f(n0)>n0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为

“∃n0∈N*，f(n0)∈ /N*或f(n0)>n0”]

4．命题p：∃x0∈[0，π]，使sinx0＋π3________．




－32，＋∞
[0≤x≤π，则π3≤x＋π3≤4π3，所以－32≤sinx＋π3≤1；而命题

p：∃x∈[0，π]，使sinx＋π3>－32.]

5．已知命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：∃x0∈R，ax20－2ax0－3>0，若
p
假q真，求实数a的取值范围.
【导学号：46342038】
[解] 因为命题p是假命题，
所以命题﹁p：∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
因为命题q：∃x0∈R，ax20－2ax0－3>0是真命题．
所以当a＝0时，－3<0，不满足题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0，故a<－3
或a>0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).