2018-2019数学新学案同步必修5滚动训练(二)

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2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程滚动训练(二) Word版含答案

滚动训练(二)一、填空题1、已知命题p ：∃x ∈R ,x 2＋ax ＋a <0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________、答案 [0,4]解析 ∵p 是假命题,∴∀x ∈R ,x 2＋ax ＋a ≥0恒成立,∴Δ＝a 2－4a ≤0,∴0≤a ≤4.2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是________、考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案椭圆解析设椭圆的右焦点为F 2,由题意,知PO ＝12MF 2,PF 1＝12MF 1, 又MF 1＋MF 2＝2a ,所以PO ＋PF 1＝a >F 1O ＝c ,故由椭圆的定义,知P 点的轨迹是椭圆、3、命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是________、答案 ∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n ＜x 2解析原命题是全称命题,条件为∀x ∈R ,结论为∃n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论、4、已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________、答案 4解析设椭圆的另一个焦点为E ,则MF ＋ME ＝10,∴ME ＝8,又ON 为△MEF 的中位线,∴ON ＝12ME ＝4.5、直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中,得x 2＋2(x ＋1)2＝4,∴3x 2＋4x －2＝0,∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝⎛⎭⎫－43＝－23, 代入直线方程y ＝x ＋1中,得y ＝13, ∴弦的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－23，13. 6、设函数f (x )＝|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________、答案 0<m <1解析作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件、7、已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是________、答案 ⎝⎛⎭⎫0，22 解析设M (x ,y ),∵MF 1→·MF 2→＝0,∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2,点M 的轨迹是以原点为圆心的圆,其中F 1F 2为圆的直径、由题意知,椭圆上的点P 总在圆外,所以OP >c 恒成立,由椭圆性质知OP ≥b ,∴b >c ,∴a 2>2c 2,∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12,∴0<e <22.8、若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32,则m ＝________. 答案 14或4 解析方程化为x 2＋y 21m ＝1,则有m >0且m ≠1. 当1m<1,即m >1时,依题意有1－1m 1＝32, 解得m ＝4,满足m >1；当1m>1,即0<m <1时,依题意有1m －11m ＝32, 解得m ＝14,满足0<m <1. 综上,m ＝14或4. 9、椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e ＝________.考点椭圆的离心率问题题点求a ,b ,c 得离心率答案 53解析由题意,可得M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a 或M ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍,∴12×2c ×b ＝3×12×c ×b 2a, ∴b ＝23a ,∴c ＝a 2－b 2＝53a , ∴e ＝c a ＝53. 10、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1.与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________、考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 553解析由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0),直线AB 的方程为y ＝2(x －1)、由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，消去y ,整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 11、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)及点B (0,a ),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF ＝________.考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 90°解析由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋a (k ＞0), 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y , 整理得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0,即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0,由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0,得k ＝c a, 从而y ＝c ax ＋a ,交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0, 又F (c,0),所以BA →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－a ,BF →＝(c ,－a ),则BA →·BF →＝0,故∠ABF ＝90°.二、解答题12、已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆,求实数m 的取值范围、考点椭圆的标准方程题点已知椭圆的焦点位置、焦距求参数解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时,则有5－2m >m ＋1>0,解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时,则有m ＋1>5－2m >0,解得43<m <52. 综上,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，43∪⎝⎛⎭⎫43，52. 13、在平面直角坐标系xOy 中,点A (－2,0),B (2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－34. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l ：y ＝x －1与曲线C 相交于P 1,P 2两点,Q 是x 轴上一点,若△P 1P 2Q 的面积为62,求Q 点的坐标、考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解 (1)设M (x ,y ),则y x ＋2×y x －2＝－34, 化简整理得,点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)、 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，消去y ,得7x 2－8x －8＝0. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝87,x 1x 2＝－87, ∴P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. 设Q (m,0),则Q 到直线l 的距离d ＝|m －1|2, 依题意,得12×P 1P 2×d ＝62, 化简得|m －1|＝7,解得m ＝8或m ＝－6,故所求点为Q (8,0)或Q (－6,0)、三、探究与拓展14、已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有______个、答案 6解析当∠PF 1F 2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时,这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时,∠F 1PF 2最大,且为直角,此时这样的点P 有2个、故符合要求的点P 有6个、15、已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ,过圆外一点(m,0)(m ＞a )且倾斜角为3π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点、 (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部,求m 的取值范围、考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中定点、定值、取值范围问题解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ,B ,∴F (1,0),B (0,3),∴c ＝1,b ＝3,∴a 2＝4,故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2)、由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－(x －m )，消去y , 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8m 7,x 1x 2＝4m 2－127, ∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.∵FC →＝(x 1－1,y 1),FD →＝(x 2－1,y 2), ∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2 ＝7m 2－8m －177. ∵点F 在圆E 的内部,∴FC →·FD →＜0,即7m 2－8m －177＜0, 解得4－3157＜m ＜4＋3157. 由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0, 解得－7＜m ＜7.又m ＞2,∴2＜m ＜4＋3157.。

人教版数学高二B版必修5练习第二章数列滚动训练(二)

滚动训练(二)一、选择题1.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6答案 C解析由正弦定理BCsin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB ·sin A BC ＝6×323＝22，∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.2.{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2017，则序号n 等于( )A.667B.668C.669D.673答案 D解析由2017＝1＋3(n －1)，解得n ＝673.3.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则B 的值是() A.π3B.π6C.π3或2π3D.π6或5π6答案 D解析因为a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，所以2ac cos B tan B ＝ac .所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，故选D.4.在等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7等于( )A.10B.20C.16D.12答案 D解析 ∵{a n }是等差数列，∴d ＝a 5－a 35－3＝52， ∴a 7＝a 3＋(7－3)×d ＝2＋4×52＝12. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11为( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 6.已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( )A.2B.12C.3D.13答案 C解析 ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35， ∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3. 故选C.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A.5B.6C.7D.8答案 B解析由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.二、填空题8.在△ABC 中，已知C ＝60°，a b ＋c ＋b a ＋c＝. 答案 1解析 a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2.(*) 因为C ＝60°，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，所以a 2＋b 2＝ab ＋c 2，代入(*)式得a 2＋b 2＋ac ＋bcab ＋ac ＋bc ＋c 2＝1. 9.在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a cos A＝. 答案 213解析由题意可得12bc sin A ＝3，解得c ＝4，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×4×12＝13，所以a cos A ＝1312＝213. 10.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为. 答案 2A解析数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝. 答案 4解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4.三、解答题12.已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解由已知条件，可得S n ＋1＝2n +1，则S n ＝2n +1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n +1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2，n ∈N ＋. 13.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，n ∈N ＋.(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式.(1)证明 (a n ＋1－2n +1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1，故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n ，n ∈N ＋.四、探究与拓展14.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ等于( )A.2B.5C.－12D.12答案 C解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n . 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27. 因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 15.已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出数列{b n }的通项公式.解(1)设等差数列的公差为d，因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故a n＝2n，n∈N＋.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列.所以b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故b n＝4n，n∈N＋.。

2018-2019数学新学案同步必修5章末检测卷(二)

章末检测试卷(二)(时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题(本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分)1.已知数列{ an} 中， a1＝1， a2＝3， a n ＝ a n－1＋1(n≥3)，则a5 等于( )a n－25512A.133B.C.4D.5答案 A1 1 1 解析a3＝ a2＋＝3＋ 1＝4，a4＝a3＋＝4＋＝a1 a2 3 133，a5＝a4＋1＝a3133＋1＝45512.2.等差数列{ an} 中， a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n} 的公差为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析∵ a1＋a5＝2a3＝ 10，∴a3＝5，∴d＝a4－a3＝7－5＝2.3.公比为 2 的等比数列{ a n} 的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5 等于 ( )A.1B.2C.4D.8答案 Aa72解析∵ a3·a11＝a7＝ 16，∴a7＝4，∴a5＝2＝q 4 2＝1. 24.等差数列{ a n} 的公差为d，前n 项和为S n，当首项a1 和d 变化时，a2＋a8＋a11 是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A. S7B. S8C.S13D. S15答案 C解析∵ a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋ 10d)＝3a1＋18 d＝3(a1＋6d)为常数，∴a1＋6d 为常数 .13×12∴S13＝13a1＋2 d＝13( a1＋6d)也为常数 .5.在等差数列{an} 中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11 项的和S11 等于 ( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析S11＝11 a1＋a11211 a4＋a8＝2＝11×16 ＝88.2n2.数列 {( －1)·n} 的前 2 017 项的和S 2 017 为( )A.－2 015B.－1 009C.2 015D.1 009 答案 B解析 S 2 017＝－ 1＋2－ 3＋4－5＋⋯ ＋2 016－2 017 ＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋⋯ ＋ (2 016－ 2 017) ＝(－1)＋(－1)×1 008＝－ 1 009.3.若{ a n } 是等比数列，其公比是q ，且－ a 5，a 4，a 6 成等差数列，则 q 等于 ( )A.1 或 2B.1 或－ 2C.－1 或 2D.－ 1 或－ 2答案 C解析由题意得2a 4＝a 6－a 5， 2即 2a 4＝a 4q－a 4q ，而 a 4≠0，2 ∴q－q －2＝0，即 (q －2)( q ＋1)＝0. ∴q ＝－ 1 或 q ＝2.4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7 项开始为负数，则它的公差是 ( )A.－2B.－3C.－4D.－6 答案 C解析由题意，知 a 6≥ 0，a 7<0. a 1＋5d ＝23＋ 5d ≥0， ∴a 1＋6d ＝23＋ 6d<0， 23 5 ∴－ ≤ d<－236 .∵d ∈Z ，∴d ＝－ 4.5.在数列 { an}中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为 a n 等于 ()A.2 n －1B.2n －1－ 1C.2n －1D.2( n －1)答案 A解析等式两边加1，a n ＋ 1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列 {a n ＋1} 是以 a 1＋1＝2 为首项， q ＝2 为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n－1＝2n，所以a n＝2n－1.6.某人为了观看2018 年世界杯足球赛，从2014 年起，每年的 5 月1 日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2018 年的5 月1 日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( ) 4A. a(1＋p)5B. a(1＋p)a4－ (1＋p)]C. [(1＋p)pa5－(1＋p)]D.p[(1＋p)答案 D解析设自2015 年起每年到 5 月 1 日存款本息合计为a1，a2，a3， a4.则a1＝ a＋a·p＝a(1＋p)，2a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋ p)＝a(1＋p) ＋a(1＋ p)，3 2a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p) ＋a(1＋p) ＋a(1＋p)，a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋ (1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)] ＝a·4＋ (1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)] ＝a·1＋p [1－1＋ p1－1＋p4]a5＝[(1＋p) －(1＋p)] .p二、填空题(本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分)＋1＝ca n(c 为非零常数)，且前n 项和为S n＝3 1＝ ________，k＝n＋k，则a 11.在数列{a n} 中，a n________.答案 2 －1解析当n＝ 1 时， a1＝S1＝3＋k，n n－1＋k) 当n≥2 时， a n＝S n－S n－1＝(3 ＋k)－(3nn－1＝2·3n－1. ＝3－3由题意知{ a n} 为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，所以k＝－ 1.* ，则此数列的通项公式 a n＝________. 12.如果数列{ an} 的前n 项和S n＝2a n－1， n∈Nn－1答案 2解析当n＝ 1 时， S1＝2a1－ 1，即a1＝ 2a1－1，∴a1＝1.当 n ≥ 2 时， an ＝Sn －Sn －1＝(2an －1)－(2an － 1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{ a n }是等比数列，n －1，n ≥2，n ∈N *，经检验n ＝1 也符合 .∴a n ＝27.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________.答案5－1 22解析设三边为a ，aq ，aq (q>1)，2 2 2 2 2 则(aq ) ＝(aq) ＋a ，∴q＝5＋1 2 .较小锐角记为θ， a 则 sin θ＝2＝ aq5－1 . 2 8.已知 { a n } 是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋ a 4a 6＝25，则 a 3＋ a 5＝ ________，a 4 的最大值为________. 答案 55 2解析 a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，2 22＝25. 即 a 3＋ 2a 3a 5＋a 5＝25，得 (a 3＋a 5)∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，2 ∴a4＝a3a 5≤ a 3＋a 5 2 2 25 4 ＝ 5 当且仅当 a3＝ a5＝时，取等号，得 0<a 4≤2 5 2 ，5 即 a 4 的最大值为. 219.在等差数列 { a n } 中， a 2＝ 5，a 1＋ a 4＝ 12，则 a n ＝________，设 b n ＝ 2(n ∈N n －1 a*)，则数列{ b n }的前 n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1n4n ＋4a1＋d＝ 5，解析由题意得2a1＋3d＝12，a1＝3，解得d＝2，故an＝ 3＋(n－1)× 2＝2n＋ 1.∵b n ＝1 1＝2a n－1 4n n＋1＝1 41 1－nn＋1，裂项求和可得数列{ b n}的前n 项和S n ＝14121－＋1 2－13 ＋⋯＋1n－1n＋1 n＝4 n＋1.10.已知数列{ an} 满足a n＋1＝1*(n∈N1－ a n)，a8＝2，则a1＝________；若数列{ a n} 的前n项和是S n，则S2 017＝________.答案 1 2 2 01721解析∵数列 {a n} 满足a n＋1＝(n∈N 1－ an1∴a n＋2＝＝1－an＋11＝11－1－a n1－an－an，1∴a n＋3＝＝1－an＋21＝an.1－an 1－－ an∴数列 { a n} 是周期为3 的周期数列.1 1∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，21－ a7同理可得a6＝－ 1，a5＝2，1∴a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－ 1.2a1＋a2＋a3＝3 . 2 3 2∴S2 017＝ 672×1 2 017 ＝＋.2 211.定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫作等差列，这个量叫作等差列的公差.已知向量列{ a n}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)x5*)垂直，则的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n＝(x n，x n＝________.＋1)(n∈Nx1答案 827解析易知 a n ＝(1,3)＋ (n －1,0)＝ (n,3)，因为向量 a n 与非零向量 b n ＝(x n ， x n ＋1)(n ∈N*)垂直，所以 x n ＋1 ＝－ xnn 3，所以x 5 ＝ x1 x 2 x 3 x 4 x 5· · ·x1 x2 x3 x4 1 3 ＝－ × － 2 3 × － 3 3 4 3× －＝ 8 . 27 三、解答题 (本大题共5 小题，共74 分)12.(14 分)设{ a n } 是公比不为1 的等比数列，其前 n 项和为 S n ，且 a 5， a 3，a 4 成等差数列 .(1)求数列 {a n } 的公比；(2)证明：对任意k ∈N*， Sk ＋ 2， S k ， S k ＋1 成等差数列 . (1)解设数列 { a n }的公比为 q(q ≠0，q ≠1)，2 43 2由 a5， a3， a4 成等差数列，得 2a3＝a5＋a4，即 2a1q ＝a1q ＋a1q ＋q，由 a 1≠ 0，q ≠0，得 q －2＝0，解得 q ＝－ 2 或 q ＝1(舍去 )，所以 q ＝－ 2. *(2)证明方法一对任意k ∈N ，Sk ＋2＋Sk ＋1－2Sk ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋ 1－S k ) ＝a k ＋ 1＋a k ＋ 2＋ a k ＋ 1 ＝2a k ＋1＋a k ＋ 1·(－2)＝0，所以对任意k ∈N *，S k ＋ 2，S k ，S k ＋1 成等差数列 .* 方法二对任意k ∈N ,2 S k＝k2a1 1－q 1－q ， S k ＋2＋S k ＋1＝k ＋2 a1 1－ q 1－q k ＋ 1 a1 1－q ＋1－q，k＋2－q k＋1a1 2－q＝1－q则2S k－(S k＋2＋S k＋1)k2a1 1－q＝1－q －a1 2－qk＋2－q kk＋2－q k＋11－qa1＝[2(1 － qk)－(2－q k＋2－q k＋1)] 1－qka1q2＝(q ＋q－2)＝0，1－q因此，对任意k∈N * ，Sk＋2，S k，S k＋1 成等差数列.13.(15 分)已知数列{log 2(a n－1)}( n∈N *)为等差数列，且a1＝3， a3＝9.(1)求数列{a n} 的通项公式；1 1(2)证明：＋＋⋯＋a2－a1 a3－a21<1. ＋1－ a n a n(1)解设等差数列{log 2(a n－1)} 的公差为 d. 由a1＝ 3，a3＝9，得log2(9－1)＝ log2(3－1)＋ 2d，则d＝1.所以log2(a n－1)＝1＋(n－1)×1＝n，n即a n＝ 2 ＋1.(2)证明因为1＝a n＋1－a n1＝n＋1－2n21n，2所以1＋a2－a11＋⋯＋a3－ a21a n＋1－a n1＝1＋2 12＋213＋⋯＋21n21 1 1－n×2 2 2 1＝＝1－n<1.1 21－214.(15 分)某市2016 年发放汽车牌照12 万张，其中燃油型汽车牌照10 万张，电动型汽车牌照2 万张 .为了节能减排和控制汽车总量，从2016 年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15 万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2016 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n} ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{ b n} ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.a1＝10 a2＝9.5 a3＝____ a4＝____ ⋯b 1＝2 b 2＝____ b 3＝____ b 4＝____ ⋯(2)从 2016 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200 万张？解 (1)a 1＝10 a 2＝9.5 a 3＝9 a 4＝8.5 ⋯b 1＝2b 2＝3b 3＝4.5b 4＝6.75⋯*当 1≤ n ≤ 20 且 n ∈ N时， a n ＝10＋(n －1)× (－0.5)＝－ 0.5n ＋10.5；当 n ≥ 21 且 n ∈N 时， a n ＝0.－ 0.5n ＋10.5，1≤ n ≤ 20且n ∈N*，所以 an ＝ 0，n ≥ 21且n ∈N *. 而 a 4＋ b 4＝15.25>15，所以 b n＝2· 3 2 n －1，1≤ n ≤ 4且n ∈N * ，15.，n ≥ 5且n ∈ N*.(2)当 n ＝ 4 时， Sn ＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝ 53.25.当 5≤ n ≤ 21 时， Sn ＝(a1＋a2＋⋯ ＋ an)＋(b1＋ b2＋b3＋b4＋b5＋⋯ ＋bn) n n －1 ＝10n ＋ 21 2 · － 3 2 3 2 2 1－＋1－427 ＋ 4 (n － 4) ＝－ 1 43 24n ＋17n－，4由 S n ≥ 200 得－ 1 432 ≥200，n ＋17n － 4 4 2即 n － 68n ＋843≤ 0，得 34－ 313≤ n ≤ 21.所以结合实际情况，可知到2032 年累积发放汽车牌照超过 200 万张 .n ，n ∈N *. 21.(15 分)在数列 { a n }中， a 1＝1，a n ＋ 1＝ 2a n＋2(1)设b n＝ann－1，证明：数列{ b n} 是等差数列；2(2)求数列{a n} 的前n 项和S n.n， (1)证明由已知a n＋1＝2a n＋2an ＋1 得 bn ＋1＝ n ＝ 2 n2an ＋2 a nn ＝n －1＋1＝bn ＋1. 22 ∴b n ＋1－bn ＝1，又 b1＝ a1＝1，∴{ b n } 是首项为1，公差为1 的等差数列 . (2)解由(1)知， b n ＝n ，即a nn －1＝b n ＝n ， 2n －1. ∴an ＝n ·21 2n －1， ∴S n＝1＋2·2 ＋3·2 ＋⋯ ＋n ·2 两边同时乘以2 得1 2 n －1＋n ·2n ， 2Sn ＝1·2 ＋2·2 ＋⋯ ＋(n －1) 2·12 n － 1－n ·2n 两式相减得－ Sn ＝1＋2 ＋2 ＋⋯ ＋2n n n＝2 －1－n ·2 ＝(1－n)2 －1， n∴S n ＝(n －1) 2· ＋1. 16.(15 分)已知等比数列{ a n } 满足：|a 2－ a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列 {an} 的通项公式；(2)是否存在正整数 m ，使得 1 1 ＋＋⋯ ＋ a 1 a 2 1≥ 1？若存在，求出 m 的最小值；若不存在，请a m 说明理由 .解 (1)设等比数列 { a n } 的公比为q ， 3 3a 1q ＝125，则由已知可得|a 1q －a 1q 2|＝10，2|＝10，解得5 3 a 1＝，或 a 1＝－ 5， q ＝－ 1. q ＝3WORD格式故a n ＝5n－1 或a n＝－ 5·(－1)n－1，n∈N* .·331(2)设S m＝＋a1 1＋⋯＋a21，am若a n ＝5 ·3n－1，n－1，3WORD格式1 则＝an 351 3n－1，则数列1 an 是首项为35，公比为13的等比数列 .从而S m ＝35 1－1－1313m＝9 · 1－10139m < 10<1.若a n＝－ 5·(－1)n－1，1 则＝－an 15(－1)n－1，故数列1 an 是首项为－15，公比为－1 的等比数列，从而S m ＝－1 5，m＝2k－ 1k∈N* ，*0，m＝2k k∈N，故S m<1.综上，对任何正整数m，总有S m<1.故不存在正整数m，使得1＋a11 1＋⋯＋≥1 成立 .a2 am。

2018-2019数学新学案同步必修5第二章习题课(一)

习题课 (一 ) 求数列的通项公式学习目标 1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法 .2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法 .3.掌握利用前 n 项和 S n 与a n 的关系求通项公式的方法.知识点一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式思考你能看出数列 (1) ：－ 1,1，－ 1,1⋯与数列 (2): 0,2,0,2 ⋯的联系吗？由此写出数列 (2) 的一个通项公式 .答案数列 (1)每项加 1 得到数列 (2).数列 (1) 的通项公式是a n ＝ (－ 1)n，故数列 (2)的通项公式是 a n ＝ (－ 1)n＋ 1. 梳理通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找 a n 与 n ， a n 与 a n ＋ 1 的联系 . 知识点二利用递推公式求通项公式思考还记得我们是如何用递推公式 a n ＋ 1－ a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？答案累加法 .梳理已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式 .赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等.知识点三利用前 n 项和 S n 与 a n 的关系求通项公式思考如何用数列 { a n } 的前 n 项和 S n 表示 a n ? 答案 a n ＝S 1， n ＝1，Sn － Sn － 1， n ≥ 2.梳理当已知 Sn 或已知 Sn 与 an 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式 .在应用上式时，不要忘记对 n 讨论 .1.数列可由其前四项完全确定.(× )2.可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的 n 任意赋值 .( √)3.{ Sn} 也是一个数列.(√ )类型一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例 1 由数列的前 n 项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5 ，⋯ 1 2 3 4 5(2) ，，，，，⋯5 13 33 81(3)2， 2， 4 ， 8 ， 16，⋯ 11 1 1 1 (4) ，，，，，⋯考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式解(1) 这个数列前 6 项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为 a n ＝ 4＋ ( －1)n.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大 1，所以它的一个通项公式为 an ＝ n . n ＋ 11 1 1 1(3)数列可化为 1＋ 1,2＋ 2， 3＋ 4， 4＋ 8，5＋ 16， ⋯ ，1所以它的一个通项公式为an ＝ n ＋ 2n －1.(4)数列可化为111 111× 2， 2× 3，3× 4，4×5，5× 6，⋯ ，所以它的一个通项公式为1. an ＝n n ＋ 1 反思与感悟这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点 (递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列 )联想基本数列，再考察它与基本数列的关系. 跟踪训练 1 由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，－ 7,13，－19,25，⋯(2)1，3，1，7 ，9 ，⋯4 7 2 13 168，15，－ 24，⋯ (3)1，－ 5 79考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式解 (1) 数列每一项的绝对值构成一个以1 为首项， 6 为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an ＝ (－ 1)n ＋1(6n － 5). 1 3 5 7 9 (2)数列化为4， 7，10 ，13，16， ⋯ ，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式2n － 1为 a n ＝.3n ＋12 2 － 1 2 － 1 2 － 1(3)数列化为 2 － 13 4 5 3 ，－ 5 ， 7 ，－ 9 ， ⋯ ，所以数列的一个通项公式为 n 1 n ＋ 1 2－ 1 a n ＝ (－ 1) ＋ .2n ＋1 类型二利用递推公式求通项公式命题角度 1 累加、累乘例 2(1) 数列 { a n } 满足 a 1＝ 1，对任意的 n ∈ N *都有 a n ＋1 ＝a 1 ＋a n ＋ n ，求通项公式； (2)已知数列 { a n } 满足 a 1＝2， a n ＋ 1＝ nan ，求 an.3 n ＋1考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解 (1) ∵ an ＋1＝ an ＋ n ＋ 1， ∴ an ＋1－ an ＝ n ＋1，即 a2－ a1＝ 2， a3－a2＝ 3，⋯ ，an － an －1＝n ，等式两边同时相加得 an － a1＝ 2＋ 3＋ 4＋ ⋯ ＋n ，即 an ＝ a1＋ 2＋ 3＋ 4＋⋯ ＋ n ＝ 1＋ 2＋ 3＋4＋ ⋯ ＋ n ＝n n ＋1 .2(2)由条件知 an ＋ 1n，分别令 n ＝ 1,2,3， ⋯ ， n － 1，＝an n ＋ 1代入上式得 (n － 1)个等式累乘之，即 a2 a3 a4 ⋯ an 1 2 3 n － 1· · ＝ × × ×⋯× ，a 1 a2 a3 an－1 2 3 4 n an 1 2 2 ∴ a1＝ n ，又 ∵ a1＝3，∴ an ＝3n .反思与感悟型如 an ＋ 1＝ an ＋ f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成 an ＋ 1－ an ＝ f(n)；第二步依次写出 a n － an －1 ， ⋯， a2－ a1，并将它们累加起来；第三步得到 an －a1 的值，解出 an ；第四步检验 a1 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式 .累乘法类似 .跟踪训练2 (1)已知数列 { an} 中， a1＝ 1，an ＋1＝ 2n an(n ∈ N *)，则数列 { an} 的通项公式为 ( ) A. a n ＝2n － 1B. a n ＝ 2nn(n 1) n 2C. a n 2 2D.a 2 2n考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 C解析 n an ＋1 n a2 a3 a4 an 1 23 n 1 ，即 an 12 3 ⋯ 由 an ＋ 1＝ 2 an ，得＝ 2 ，即 · · ⋯ ＝ 2 × 2 × 2 ×⋯× 2 －＝ 2 ＋＋＋an a1 a2 a3 an －1 a1n( n 1) n( n 1) n(n1) ＋ (n －1) ＝ 2 2 ，故 an ＝ 2 2 a1＝ 2 2 .故选 C.(2)在数列 { a n } 中， a 1＝1， a n － a n － 1＝ n － 1 (n ＝ 2,3,4⋯ )，求 { a n } 的通项公式 .考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋ 1＝ pa n ＋f(n)型解 ∵当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1，a2－ a1＝ 1， a3－ a2＝ 2，当 n ≥2 时，a4－ a3＝ 3，这 n － 1 个等式累加得，⋯ ，an － an －1 ＝n － 1，a n － a 1＝ 1＋2＋ ⋯ ＋ (n － 1)＝ n n －1，2故 an ＝ n n －1 ＋a1＝ n 2－ n ＋ 2 2 2 且 a1＝ 1 也满足该式，n 2－ n ＋ 2 *∴ an ＝(n ∈ N ).命题角度 2构造等差比数列例 3 已知数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 1＝ 2a n ＋ 3，求 a n . 考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解递推公式 a n ＋1＝ 2a n ＋ 3 可以转化为 a n ＋1－ t ＝ 2(a n －t) ，即 a n ＋ 1＝ 2a n － t ，则 t ＝－ 3. 故递推公式为 an ＋1＋ 3＝ 2(an ＋ 3).bn ＋1 an ＋ 1＋ 3令 b n ＝ an ＋ 3，则 b1＝ a1＋ 3＝ 4，且 bn ＝ an ＋ 3 ＝ 2. 所以 { bn} 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 . 所以 b n ＝4× 2n － 1＝ 2n ＋1，即 a n ＝ 2n ＋1 － 3.反思与感悟型如 a n ＋ 1＝ pa n ＋q(其中 p ，q 为常数，且 pq(p － 1)≠ 0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为a n ＋1＋ t ＝p(a n ＋t)；第二步由待定系数法，解得t ＝q； p － 1第三步写出数列an ＋ q的通项公式；p － 1第四步写出数列 { an} 通项公式 . 跟踪训练 3已知数列 { a n } 满足 a n ＋1＝ 2a n ＋ 3× 5n， a 1＝ 6，求数列 { a n } 的通项公式 . 考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋ 1＝ pa n ＋f(n)型解设 a n ＋1＋ x × 5n＋1＝ 2(a n ＋ x × 5n)， ① 将 an ＋1 ＝2an ＋3× 5n 代入 ① 式，得 2an ＋ 3×5n ＋x × 5n ＋1＝ 2an ＋ 2x × 5n ，等式两边消去 2an ，得 3×5n ＋ x × 5n ＋ 1＝ 2x × 5n ，两边除以 5n ，得 3＋ 5x ＝ 2x ，则 x ＝－ 1，代入 ①式得 an ＋ 1－ 5n ＋1＝ 2(an－ 5n).②1 ＝ 6－ 5＝1≠0nan＋ 1－5n＋1＝ 2，则数列{ an－ 5n为首项，由 a1－ 5 及②式得an－ 5 ≠ 0，则} 是以 1an－ 5n2为公比的等比数列，则 an－ 5n＝ 2n－1，故 an＝ 2n－1＋ 5n.类型三利用前 n 项和 Sn 与 an 的关系求通项公式例 4 已知数列{ ann，若 Sn＝2an－4，n∈ N*，则 an等于 () } 的前 n 项和为 SA. 2 n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－ 2考点an与 Sn关系题点由 S n与 a n递推式求通项答案A解析因为 Sn＝ 2an－4，所以 Sn－1＝ 2an－1－4，两式相减可得Sn － Sn －1＝ 2an－2an－1，即 an＝2an－2an－1，整理得 an＝2an－ 1，即an＝ 2，因为 S1＝ a1＝ 2a1－ 4，即 a1＝ 4，所以数列 { an}an－ 1是首项为4，公比为2 的等比数列，则 an＝ 4×2n－1＝2n＋1，故选 A.反思与感悟已知 Sn＝f(ann＝ f(n)解题步骤：)或 S第一步利用 Sn 满足条件 p，写出当 n≥ 2 时， Sn － 1 的表达式；第二步利用 an＝Sn－Sn－1(n≥ 2)，求出 an 或者转化为 an 的递推公式的形式；第三步若求出 n≥ 2时的 { an1＝ S1 求出 a1，并代入 { an} 的通项公式，则根据 a} 的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是 { an} 的递推公式，则问题化归为类型二 .跟踪训练 4 在数列 { an} 中， a1＝ 1， a1＋ 2a2＋ 3a3＋⋯＋ nan＝n＋1an ＋1(n∈ N* )，求数列 { an}2的通项an.考点an与 Sn关系题点由 Sn与 an递推式求通项n ＋ 1解由 a1＋ 2a2＋ 3a3＋ ⋯＋ nan ＝ 2 an ＋1，得n当 n ≥2 时， a1＋2a2＋3a3＋ ⋯ ＋ (n － 1)an －1＝2an ， n ＋ 1 an ，两式作差得 na n ＝ a n ＋ 1－ n2 2得 (n ＋ 1)an ＋1＝3nan(n ≥ 2)，即数列 { nan} 从第二项起是公比为 3 的等比数列，且 a1＝ 1，a2＝ 1，于是 2a2＝ 2，故当 n ≥ 2时， na n ＝ 2·3n －2.1， n ＝1，于是 an ＝ 2n ·3n－ 2， n ≥ 2.1.在数列 { an} 中， a1＝ 3， an ＋ 1＝ an ＋ 1 ，则通项公式 a n ＝ ________. n n ＋11答案 4－ n解析原递推公式可化为a n ＋ 1＝ a n＋ 1－ 1 ，n n ＋ 11 1 1 1 则 a2＝ a1＋1－2， a3＝ a2＋ 2－3，a4＝ a3＋ 1－1，⋯ ，an －1＝an －2＋ 1－ 1，an ＝an －1＋ 1－1，逐项相加得 an ＝ a1＋ 1－1， 3 4 n －2 n － 1 n － 1 n n 故 a n ＝4－1. n2.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2＝ 4，a n ＋1＝ 2S n ＋ 1，n ∈ N *，则 a 1＝ ________，S 5 ＝________.考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项答案 1 121解析 a 1＋ a 2＝ 4， a 2＝ 2a 1＋1，解得 a 1＝ 1，a 2＝ 3，再由 an ＋1 ＝2Sn ＋ 1，即 an ＝ 2Sn －1＋ 1(n ≥ 2)，得 an ＋1－an ＝2an ，即 an ＋ 1＝ 3an (n ≥2) 2＝，又 a3a1，所以 an ＋ 1＝3an(n ≥ 1)， S5＝ 1－ 35＝ 121.1－33.如果数列 { an} 的前 n 项和 Sn ＝ 2an － 1，则此数列的通项公式a n ＝________.考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项答案 2n －1解析当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 1，∴ a 1＝ 2a 1－ 1， ∴ a 1＝ 1.当 n ≥2 时， a n ＝S n － S n －1＝ (2a n － 1)－ (2a n － 1－ 1)，∴ an ＝ 2an －1， ∴ { an } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，∴ a n ＝ 2n －1， n ∈ N * .4.已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn ＝ 1＋λa，其中 λ≠ 0.证明 { a n} 是等比数列，并求其通项公式.n 考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项解由题意得 a1＝S1＝1＋ λa 1，故 λ≠ 1，a1 ＝1， a 1≠0. 1－ λ由 S n ＝ 1＋ λa n ， Sn ＋ 1＝ 1＋λa n ＋1，得 an ＋1 ＝λa n ＋ 1－ λa n ，即 a n ＋1 (λ－ 1) ＝λa n. 由 a 1≠ 0， λ≠ 0 得 a n ≠ 0，an ＋1 λ 所以＝ .an λ－ 1所以 { an} 是首项为1，公比为 λ的等比数列，1－λ λ－ 1 所以 a n ＝ 1λn－1.1－ λλ－ 11.不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础 .2.利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证 .3.待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项 . 4.使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意 n 的取值范围 .一、选择题1.已知数列 { an} 中， a1 ＝ 2， an＋ 1＝ an＋2n(n∈ N *) ，则 a100 的值是( )A.9 900B.9 902C.9 904D.11 000考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋ 1＝ pa n ＋f(n)型答案 B解析 a100＝ (a100－ a99)＋ (a99－ a98)＋⋯ ＋ (a2－ a1)＋a1 ＝ 2(99＋98＋ ⋯ ＋2＋ 1)＋ 2＝ 2× 99× 99＋ 12 ＋ 2＝ 9 902.2.已知数列 { an} 中， a1 ＝ 1， an ＋ 1＝ an ，则这个数列的第 n 项为 ()1＋ 2an A.2 n－ 1 B.2n ＋ 11 1C.2n －1D.2n ＋ 1 考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 C解析 ∵ a n ＋1＝an ，∴ 1＝ 1＋2.1＋ 2an an ＋1 an 11∴an 为等差数列，公差为 2，首项a1 ＝ 1. 1∴ an ＝ 1＋(n － 1) ·2＝ 2n － 1，∴ a n ＝ 1.2n － 13.在数列 n1＝ 2， a n ＋ 1＝a n ＋ ln1＋1 ，则 a n 等于 ( ){ a } 中， a nA.2 ＋ ln nB.2＋ (n － 1)lnn C.2＋ nln nD.1 ＋ n ＋ ln n考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋ 1＝ pa n ＋f(n)型答案 A1解析由 an ＋ 1＝ an ＋ ln 1＋n 得1n ＋ 1an ＋ 1－ an ＝ ln 1＋n ＝ ln n ，∴ (a2－ a1)＋ (a3－ a2)＋⋯ ＋ (an － an － 1)＝ln 2＋ ln 3＋ ⋯＋ ln n12n － 1＝ ln 3 n ＝ ln n ，2× 2×⋯× n －1即 an － a1＝ ln n ， an ＝ ln n ＋ 2.4.已知数列 { an} 的首项为 a1＝ 1，且满足 a n ＋ 1＝ 1 1 a n 等于 () 2 an ＋ n ，则此数列的通项公式 2 A.2 n B. n(n ＋ 1)n n n ＋1C.2D.2 n －1n 考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋ 1＝ pa n ＋f(n)型答案 C1 1 n 1 n an ＋2，解析 ∵ a n ＋1＝ a n ＋ n ， ∴ 2＋ a n ＋1＝2 2 2即 2n ＋1an ＋1－ 2nan ＝ 2. 又 21a1＝ 2，n ∴ 数列 {2an} 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列， n∴ 2 an ＝ 2＋(n －1)× 2＝ 2n ，n∴an ＝ 2n －1.5.数列 { a n } 满足 a 1， a 2－ a 1， a 3－ a 2，⋯， a n － a n －1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么 a n 等于() A.n －1 B.n － 122 － 1C.2n＋1D.4 n－ 1考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 A解析由题意，得a n － a n －1 ＝ 2n －1，n 1－ 2 1 2 n 1n∴ a 1＋ (a 2－ a 1)＋ (a 3－ a 2)＋ ⋯ ＋ (a n － a n －1)＝ 1＋2 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ 2 －＝＝ 2 － 1，即 an ＝ 2n － 1.6.一个正整数数表如下 (表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)：第 1 行 1 第 2 行 2 3第 3 行 4 56 7⋯⋯则第 8 行中的第 5 个数是 ( )A.68B.132C.133D.260考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式答案 B解析前 7 行中共有 1＋2＋ 22＋ ⋯ ＋26＝ 27－ 1＝ 127 个数，则第 8 行中的第5个数是 127＋ 5＝ 132.二、填空题7.若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 2，且对于任意大于 1 的整数 n ，点 ( S n ， S n－ 1)在直线 x－ y － 2＝ 0 上，则数列 { an} 的通项公式为 ________________.考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项答案 a n ＝ 4n－ 2解析由题意得S n － S n － 1＝ 2， n ∈N *， n ≥ 2， ∴ { Sn} 是首项为 S1＝ a 1＝ 2，公差为 2的等差数列 .∴ S n＝ 2n ， ∴ S n ＝ 2n 2，∴ a n ＝ S n － S n －1＝ 2n 2－ 2(n － 1)2＝ 4n －2， n ∈ N *， n ≥ 2，a 1＝ 2 也适合上式 .∴ a n ＝ 4n － 2， n ∈N *.8.数列 { a n } 中， a 1＝ 3， a n ＋ 1－ 2a n ＝ 0，数列 { b n } 的通项满足关系式 a n b n ＝ (－1)n (n ∈ N *)，则 b n＝ ________.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列n－ 1答案n－ 13·2解析易知 { an} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列， ∴ a n ＝ 3× 2n －1，∴ bn ＝－ 1 n－ 1 n.＝ an 3×2n －1 9.在数列 { an} 中， a1＝ 1， a n ＋ 1＝ n ＋ 1n a n ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________.考点递推数列通项公式求法题点累乘法求通项答案 n解析 a n an － 1 a3 a2 a n ＝ · ·⋯ · · ·a1an －1an －2 a2 a1nn －13 2＝ · ·⋯ ··＝ n. 2 1n －1n －210.已知数列 { a n } 满足 a n ＋1＝ 3a n ＋ 2，且 a 1＝ 1，则 a n ＝ ________. 考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 2× 3n － 1－ 1解析设 a n ＋ 1＋ A ＝ 3(a n ＋ A)，化简得 a n ＋1＝3a n ＋ 2A.又 a n ＋1 ＝3a n ＋ 2， ∴ 2A ＝ 2，即 A ＝ 1.an ＋1＋ 1∴a n ＋1＋1＝ 3(a n ＋ 1)，即＝ 3. an ＋ 1∴ 数列 { a n ＋ 1} 是等比数列，首项为a 1＋ 1＝2，公比为 3. 则 a n ＋ 1＝ 2× 3n －1，即 a n ＝ 2× 3n －1 －1.11.若数列 { an} 的前 n 项和 Sn ＝ 2a n ＋ 1，则 { a n } 的通项公式是 a n ＝________.33考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项答案 (－ 2)n －1解析当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1；2 2当 n ≥2 时， an ＝Sn － Sn －1＝ 3an － 3an －1，故 an＝－ 2，故 a n ＝(－2)n－1. an － 1三、解答题12.已知数列 { an} 是递增的等比数列，且 a1＋ a4＝ 9， a2a3＝ 8.(1)求数列 { an} 的通项公式；(2)设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， b n ＝ an ＋ 1，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .SnSn ＋1考点 a n 与 S n 关系题点由 S n 与 a n 递推式求通项解 (1) 由题设可知 a 1·a 4＝a 2·a 3＝ 8，又 a 1＋ a 4＝ 9， a1＝ 1， a1＝ 8，可解得或 (舍去 ).a4＝ 8 a4＝ 1 由 a 4＝ a 1q 3得公比 q ＝2，故 a n ＝ a 1q n －1＝ 2n － 1.a1 1－q n 1－ 2n ＝ 2n － 1，(2)Sn＝ 1－ q ＝1－ 2又 b n ＝ an ＋ 1Sn ＋ 1－Sn 1 － 1 ＝ SnSn＋ 1 ＝，Sn Sn ＋1 SnSn ＋1所以 T ＝ b ＋ b ＋ ⋯ ＋ b ＝1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ⋯＋ 1 － 1＝ 1－ 1＝ 1－ n 1 .n 12 n S1 S 2 S2 S 3 Sn n ＋1 1＋1S SS n ＋ 1 2 － 1113.已知 Sn ＝ 4－ an －2n － 2，求 an 与 Sn. 考点 an 与Sn 关系题点由 Sn 与an 递推式求通项1解 ∵Sn ＝ 4－ an － 2n －2，1∴S n －1＝4－ an －1－ 2n －3，11当 n ≥2 时， Sn －Sn －1＝ an ＝ an － 1－ an ＋ 2n －3－ 2n － 2.∴ a n ＝ 12a n －1＋ 12 n －1.∴an － an － 1＝ 2，11 n －1n 2 2∴ 2na n － 2n －1a n －1＝ 2，∴ {2 nan } 是等差数列， d ＝2，首项为 2a1.1∵ a1＝ S1＝ 4－ a1－ 2－1＝2－ a1，∴ a1＝ 1， ∴ 2nan ＝ 2＋ 2(n － 1) ＝2n.1 n 1∴ a n ＝ n · －， 2∴ Sn ＝ 4－ an － n 12＝ 4－n ·n 1 1－n 12＝4－ n ＋ 2 n 1 .2 － 2 － 2 － 2 －四、探究与拓展14.若数列 { a n } 中， a 1＝ 3 且 a n ＋ 1＝ a n 2(n 是正整数 )，则它的通项公式a n 为________________. 考点递推数列通项公式求法题点其他递推数列问题答案 a n ＝32n － 1 由题意知 a n n ＋1＝an 2两边取对数得 lg an ＋1＝ 2lg an ，即 lg an＋1 解析＝2，所以数列 {lg>0 ，将 alg anan} 是以 lg a1＝ lg 3 为首项， 2 为公比的等比数列， n 1 2n 1 2 n1lg an ＝ (lg a1) ·2 －＝lg 3 .即 an ＝ 3 .15.已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝1， a 2＝ 4，a n ＋ 2＝ 4a n ＋ 1－ 3a n (n ∈ N *). (1)求 a3， a4 的值；(2)证明：数列 { an ＋1－ an} 是等比数列； (3)求数列 { an} 的通项公式 .考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列(1)解 a3＝ 4a2－3a1＝13， a4＝ 4a3－3a2 ＝40. (2)证明 ∵an ＋2＝ 4an ＋ 1－ 3an ， ∴ an ＋2－an ＋1＝ 3(an ＋1－ an). 又 a 1＝ 1， a 2＝ 4， an ＋2－an ＋1 ∴ ＝ 3， an ＋1－ an则 { a n ＋1－ a n } 是以 a 2－ a 1＝ 3 为首项， 3 为公比的等比数列 .(3)解由 (2)得 an ＋1 －an ＝ 3n ，则当 n ≥ 2 时， a n － a n －1＝ 3n －1，故 a n ＝ (an － an －1)＋ (an －1－an －2) ＋⋯ ＋ (a2－ a1)＋ a1＝ 3n －1＋3n －2＋⋯ ＋ 3＋ 11－ 3n3n－ 1 ＝＝ .1－ 3 23n－ 1*又 a 1＝ 1 适合上式，故 a n ＝ 2， n ∈ N .。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.2第2

2.2第二课时等差数列的应用一、课前准备 1. 课时目标等差数列的定义与性质是解决问题的关键，对于等差数列通项包含有四个量，已知其中的三个量可以求出其中的一个量，一般先求出首项1,a d ；能利用等差数列的性质解决的问题，首先利用等差数列的性质解题，可以简化解题步骤，起到事半功倍的效果，同时利用等差数列可以解决应用问题.2. 基础预探（1）等差数列的通项公式为___.（2）等差数列常用的基本性质有___.；___.；___.；（3）等差数列的设法有两种设法①通项法；②对称设法为___. （4）等数列的证明可以有两种证明的方法①___.②___. 二、基本知识习题化1. 在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为（）. A.45 B.75 C.180 D.3002. 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 3. 在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（）（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）104. 在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n =（）A ．19B ．20C ．21D ．225. 等差数列46810129111{},120,3n a a a a a a a a ++++=-中若则的值是（） A ．14B ．15C ．16D ．17三、学习引领等差数列是数学的基础，对于等差数列问题，一般是先求数列的首项，再求公差，能利用等差数列性质的问题可以利用等差数列的性质解题，这样可以简便解题步骤，等差数列基本量的解题方法，可以求出1,a d ，或者变量归一，能用一个变量表示的就变量归一，复杂运算可以进行换元求解，有递推数列问题可以利用构造等差数列再求解.遇到等差数列有关的应用问题，关键是转化为数列问题，利用等差数列的通项、单调性、性质求解. 四、典型例题题型一等差数列的性质应用例1 等差数列{}n a 中，18153120,a a a ++=则9102a a -的值是（）. A.20 B.22 C.24 D. 8-思路导析：要求9102a a -可考虑用通项公式来处理，但条件只有一个，不能通过列方程组求出1a 和d .结合所求问题，看能否整体代入.也可由等差数列的性质：当2p m n =+时，2p m n a a a =+，求出8a ，而91082a a a -=.解：由18153120,a a a ++=可得1535120a d +=，即1724a d +=，又910191027,224a a a d a a -=+∴-=.规律总结：解决等差数列问题，通常考虑两种方法：①基本量法：将条件转化成1a 与d 的方程（组），通过解方程（组）解决问题，解题中要注意设元技巧尽量减少变量；②数列性质：一般地，运用数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件，如：m n p q +=+，则()*,,,n m p q a a a a m n p q N+=+∈，只有当序号之和相等、项数相同时才成立. 变式训练1. . 已知在等差数列{}n a 中315,a a 是方程2610x x --=的两根，则7891011_____a a a a a ++++=题型二综合运用题例2数列{}n a 的各项均为正数，且满足111,2,n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 思路导析：观察所给等式的特征，通过变形将等式化简为比较清晰的1n n a a +与之间的关系，从而求得通项公式.解：由11n n a a +=+，得)211n a +=，0,1,n a >=1,= ∴数列{}n a=1为公差的等差数列.()111,n n -⨯=即2(1)n a n =，这就是数列{}n a 的通项公式.规律总结：解决与等差数列相关的递推数列的问题，需先观察、分析递推数列的结果特征，通过递推公式的编写，构造恰当的辅助数列使问题转化为等差数列问题，转化过程中要有整体意识.仔细观察已知式子的结构，发现右边正好是一个完全平方的形式，整理后将两边同时开方，这样，根据等差数列的定义就得到了一个等差数列.变式训练2.已知数列{}n a 中， 1121,2nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式. 题型三实际应用例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元，从第2年起，由于市场竞争的方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该公司经销这一产品将会出现亏损？思路导析：由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第,3年获利160万元，，每年获利构成一个等差数列{}n a ，且当0n a <时，该公司可将会出现亏损.解：设第n 年的利润为n a 万元，则*11200,20,2,n n a a a n n N -=-=-≥∈，所以每年的利润n a 可构成一个首项为200，公差为20-的等差数列{}n a ，从而22020n a n =-.若0n a <，则该公司经销这一产品将会出现亏损，令220200n a n =-<，解得11n >.又*n N ∈，故从第12年起，该公司经销这一产品将会出现亏损.规律总结：求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的定义、通项公式、单调性及等差数列与一次函数的关系等解决问题.本题中由于公差小于零，所以该数列是一个递减数列. 变式训练3.梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度. 五、随堂练习1.等差数列{}n a 的前3项分别是1,1,3a a a -++，则该数列的通项公式为（） A. 25n a n =- B. 21n a n =- C. 23n a a n =+- D. 21n a a n =+-2.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起均为负数，则它的公差是（）.A. 2-B. 3-C. 4-D. 5-3.若()()333log 2,log 21,log 211xx-+成等差数列，则x 的值为（）. A.7或3- B. 3log 7 C. 2log 7 D.44.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则_____m =.5.在等差数列{}n a 中，3527,6a a a ==+，则6_______a =.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若451,10a S ==，则当n S 取得最大值时，求n 的值.六、课后作业1.在等差数列{}n a 中，若1713,a a a π++=，则()311cos a a +的值为（）.A. 12-B. 2-C. 12D. 22. 在等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则()n =. A.48 B.49 C.50 D.513. 若x y ≠，数列12,,,x a a y 和123,,,,x b b b y 各自成等差数列，则1212______a a b b -=-..4.在数列{}n a 中，13a =，且对任意大于1的正整数n ，点在直线0x y -=上，则______n a =.5. 已知成等差数列的四个数之和为26，其中第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.6.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13a =，公差5d =-，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{}n b .（1）求12b b 和；（2）求{}n b 的通项公式；（3） {}n b 中的第503项是{}n a 中的第几项？参考答案基础预探1. 【1(1)n a a n d =+-】2. 【+m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=；()n m a a n m d =+-；+2,,n n m n m a a a +仍成等差数列】3. 【三个数成等差数列,,+d,a d a a -四个数成等差数列3,,+d,+3a d a d a a d --】4. 【定义法，等差中项法】基础知识习题化1 C 解析：由题意得3456755450,a a a a a a ++++==故528590,2180a a a a =∴+== 2.C 解析：173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== 3. A 解析：由角标性质得1952a a a +=，所以5a =54. B 解析：依题意，设公差为d ，则由1112410a a d =⎧⎨+=⎩ 得2d =，所以1+2（n-1）=39，所以n=20，选择B5. C 解析：依题意，由4681012120a a a a a ++++=，得824a = ，所以91191111(3)33a a a a -=- 9711111()3a a a a =++-971()3a a =+823a =16=，选择C 变式训练1. 解：由已知条件得315962a a a +==，解得93a =.因此78910119515a a a a a a ++++==2. 解：由已知，得1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a =1为首项，12为公差的等差数列.()111211,221n n n n a a n +∴=+-⨯=∴=+. 3. 解：用{}n a 表示题中的等差数列.由已知条件得11233,110,a a ==，设公差为d ，则()121121a a d =+-，即1103311d =+，解得7,d =.因此231133740,332747,,33107103a a a =+==+⨯==+⨯= .故梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ,47cm ,54cm ,61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm . 随堂练习1. C 解析：121,1,a a a a =-=+∴ 公差()()112d a a =+--=，()()1111223n a a n d a n a n ∴=+-=-+-⨯=+-.故选C2. C 解析：设该数列的公差为d ，则由已知条件得617150,60a a d a a d =+>=+<，又123,523,23,6d a d ⎧>-⎪⎪=∴⎨⎪<-⎪⎩即232356d -<<-. d 是整数，4d ∴=-，故选C.3. C 解析：由()()333log 2,log 21,log 211xx-+成等差数列得()()()()23332log 21log 2log 211,212211xxxx -=++∴-=⨯+，化简得()2242210x x -⨯-=，解得2723x x ==-或（舍去），2log 7x ∴=，故选C. 4. 8解析：36101388432,8a a a a a a +++==∴= ，即8m =. 5. 13解析：设等差数列的公差为d ，则由已知条件得1112746a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得13,2.a d =⎧⎨=⎩61513a a d ∴=+=.6. 解：由451,10a S ==，得115431,5102a d a d ⨯+=+=，解得14,1a d ==-， 221192222n d d S n a n n n ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ ，又n 为正整数，所以当n 的值为4或5时，n S 取得最大值. 课后作业 1. A解析：{}n a 为等差数列，又1713,a a a π++=73a π∴=，即()7311721,cos cos 2cos 332a a aaππ=∴+===-，故选A.2. C 解析：设等差数列的公差为d ，()()1111,1133n a a a n d n d =∴=+-=+- ，251144a a a d a d +=+++=，即2543d +=，解得23d =.()1213333n a n ∴=+-=，解得50n =，故选C.3.43解析：由题可得121212124,,343a a x y x y a ab b b b ----=-=∴=- 4. 23n 解析：点在直线0x y -=上，∴0=，即)2n =≥，则数列=为首项，d =(1n =-=.23n a n ∴=.5. 解：设这四个数中的第一个数为1a ，公差为d ，则由已知条件得()()()()()1111112326,240,a a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得112,11,3. 3.a a d d ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.6. 解：（1）()13,5,31(5)85n a d a n n ==-∴=+-⨯-=- .数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 的第3项，第7项，第11项，,, 132727b b a ∴==-=a =-7,.（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 中的第n 项，即n m b a =，则()34141m n n =+-=-，()4185411320n m n b a a n n -∴===-⨯-=-.则{}n b 的通项公式为1320n b n =-. （3）503132*********b =-⨯=-，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，解得2011m =.。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.1第2

第二课时数列的简单表示方法一、课前准备1.课时目标：搞清数列的表示方法，能根据数列的某些项写出数列通项公式，根据数列的递推数列求出数列的通项公式，根据图像特点可以写出数列的通项或某些项，搞清数列是特殊的函数.2.基础预探：1. 常用的数列简单表示方法有___、___、___、___.2. 数列的前n 项和公式为n S ，再求n a 时，首先要对___进行讨论，求出1a ，再对___进行时，1n n n a S S -=-，求出的1a 是否符合n a ，如果符合所求的通项为n a ，否则应写为1(2)(1)nn a n a a n ≥⎧=⎨=⎩. 3. 利用递推数列求数列的通项，可以先求出数列的___项，再根据数列的特点写出数列的通项.二、基础知识习题化1. 已知数列的前n 项的和为223n S n n =++，那么数列的通项公式为n a 为多少？2. 已知111,2n n a a a +==，写出前五项，猜想数列的通项公式n a .3. 已知12a =，且12n n na a n +=+，则数列{}n a 的第2,3,4,5项分别为（） A. 2321,,,557 B. 3221,,,557 C. 2231,,,755 D. 2112,,,335154. 已知数列{}n a 中，已知123,2a a ==且12n n n a a a --=-，则1-是这个数列的第（） A.第3项 B.第9项 C.第36(1)k +-项 D. 第3项或第92项. 三、学法引领（1）数列是特殊的函数，数列的表示方法可以用数列的通项公式、也可以列表、也可以利用图像表示数列，对于递推数列求数列的通项可以先求出数列的前三项，再根据前三项的特点，写出数列的通项公式，一般按归纳-----猜想------再证明的方法求数列的通项；（2）有数列的前n 项和n S 求数列的通项n a 一般是分两步求解，首先求当1n =时，求1a ，再求当2n ≥时，1n n n a S S -=-再验证当1n =是否适合1n n n a S S -=-如果适合就是n a ，否则1(2)(1)nn a n a a n ≥⎧=⎨=⎩. （3）遇到型如1()n n a a f n --=类型的数列求通项问题，一般是利用累加求和的方法求出数列的通项n a ；遇到型如1()nn a f n a -=的数列求通项的问题可以转化为12121(),(1),(2)n n n n a aa f n f n f a a a ---==-=累乘求出数列的通项即 12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---=-.（4）有些数列是递推数列但是直接求数列的通项比较困难时，有可能是周期数列可以求出数列的前几项便发现数列是周期数列，根据周期写出通项或求某些项.四、典型例题题型一用递推数列写出数列的前n 项例1 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式. ①110,21n n a a a n +==+-； ②111,1nn n a a a a n +==++； ③12211,3,32n n n a a a a a ++===-.思路导析：归纳猜想数列的通项公式时，其一要仔细寻找数列中各项间的规律，其二要分析数列各项在计算过程中式子结构的变化规律情况，从结构中寻找规律. 解：①12340,1,4,9a a a a ====，猜想()21n a n =-. ②12343451,,,222a a a a ====，猜想12n n a +=.③12342,3,5,9a a a a ====，猜想121n n a -=+.规律总结：求通项公式时，常用观察分析法、特殊数列法，归纳递推数列，但归纳猜想只是一种思维的方法，结果的正确性，还需进一步的证明.变式训练1 已知数列{}n a 中，111,1n n na a a n +==+. （1）写出数列的前5项；（2）猜想数列的通项公式. 题型二用累乘法球数列的通项公式例2 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*1110,n n n n n a a a a n N+++-+⋅=∈，求na =？思路导析：对上式进行因式分解，找出1n a +与n a 的关系，再用累乘进行求解. 解：由()221110n n n n n a a a a +++-+⋅=，得()()1110n n n n n a a na na a ++++-+=，由于10n n a a ++>，()110n n n a na +∴+-=，即11n n a na n +=+， 32412311231,,,,234n n a a a a n a a a a n--====L ，将以上各式相乘得：11n a a n=，又11a =，1n a n ∴=.规律总结：由递推数列公式求通项公式，除用累加、乘积、迭代等方法外，还应注意变形，是否为特殊的数列进行求解.变式训练2 已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，写出该数列的前5项及它的一个通项公式.题型三由数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式例3 设数列{}n a 的前n 项和n S ()2*322,n n n N =-+∈，求{}n a 的通项公式.思路导析：由n S 求n a ，一定要注意分情况：当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-. 解：当2n ≥时，()()221322311264n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦.当1n =时，114a S ==，与通项公式中的12a =矛盾，所以数列的通项公式为()()4,164,2n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.变式训练 3 若数列{}n a 的前n 项和()2101,2,3,n S n n n =-=L ，则此数列的通项公式为_______.题型四周期数列问题例4 在数列{}n a 中，已知()*12211,5,n n n a a a a a n N++===-∈，求20022002,aS .思路导析：此数列是以递推公式给出的，但所求的项数较大，若依次递推显然不科学，这就启发我们能从前面有限的若干项中发现规律，然后利用规律求解. 解：12211,5,n n n a a a a a ++===-，345674,451,145,5(1)4,1a a a a a ∴==-=-=--=-=---=-=， 891011125,4,1,5,4,,a a a a a ===-=-=-即数列的前12项依次为1,5,4，1,5,4---，1,5,4，1,5,4---，,仔细观察发现，该数列的项呈周期性出现，周期为6项. 而20022002200233364,1,9a S =⨯+∴=-=.规律总结：当数列是以递推公式给出且所求项的项数比较大时，可先列出它前面的若干项，直至发现规律性，然后利用规律性解之，可化繁为简，化难为易. 变式训练4.已知数列{}n a 中，)(,11),0(11*+∈+-=>=N n a a b b a n n ，能使n a b =的n 可以等于（） A.14 B.15 C.16 D.17 五、随堂训练1. 已知数列{}n a ，n n a a m =+ (0,)a n N <∈中有122,4a a ==则3a 的值为（） A. 2 B . 6 C .8 D .92. 在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，则n a （） A. 2ln n + B. 2(1)ln n n +- C 2ln n n + D.. 1ln n n ++3.在数列{}n a 中，111,(1)2(2)3n n n a a a n -==-≥，则5()a = A. 163- B. 163C. 83-D. 834.已知数列{}n a 的前n 项的和为251n S n n =++，则这个数列的通项公式为（）A. 24n a n =+B. 23,n a n =+C. 7(1)24(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩D. 7(1)23(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩5.……的一个通项公式是______________6.数列{}n a 满足()12lg 11n a a a n ++++=+，求n a .六、课后作业1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（）. A.15 B.16 C.49 D.642.根据下列图形及相应的点数，其通项公式为（）.图A. 22n n + B. 2n - C. 21n + D. 2n + .3. 已知数列{}n a 满足()()112311,2312n n a a a a a n a n -==++++-≥，则{}n a 的通项1,1,___, 2.n n a n =⎧=⎨≥⎩4.已知数列{}n a 的通项1122133n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则数列{}n a 中的项最大的项为第_____项，最小的项为第_____项.5. 数列{}n a 的通项公式是(1)0.9n n a n =+⨯，问是否存在这样的正整数N ，使得对任意的正整数n ，都有n N a a ≤成立，证明你的结论.6..在数列{}n a 中，已知()11211,221n n a a a n +=-=-，写出数列的前四项，并归纳出通项公式. 参考答案二、基础预探1.【通项公式法、递推公式法、列表法、图像法.】2. 1,2n n =≥3.前几项基础知识习题化 1. 解：先求首项1a ，当1n =时，11236a =++=，当22123(1)2(1)321n n n a S S n n n n n -=-=++-----=+，所以6(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.2. 解：123451,2,4,8,16a a a a a =====，所以数列的通项公式为12n n a -=3. 解：把12a =代入可求得23，再把223a =代入可求得313a =，所以选D. 4. 解：123,2a a ==，3211a a a =-=-，432123a a a =-=--=-，53(1)2a =---=-，62(3)1a =---=，73a =，所以该数列是周期数列周期是6所以选C. 变式训练1. 解：（1）12341111,,,234a a a a ====；（2）1n a n=. 2. 解：123451,3,7,15,31a a a a a =====，∴该数列的前5项是1,3,7,5,31.观察结构写出21nn a =-.3. 解：111109a S ==-=-，当2n ≥时，()()221101101211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-；当1n =时，符合上式，即211n a n =- 4. 解：C 由题可知，12341111,,,111111b a b a a a b b b b b b+==-=-=-=-=++-+-++，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C 正确. 五、随堂练习1. A 解： 22122,4201a a m a a m a a a =+==+=⇒--=⇒=-，3(1)32n n a a =-+⇒=所以选A. 2. 解：A 依题意得121321123ln()ln ,ln ,,ln 121n n n n n na a a a a a a a n n +-+-=⇒-=-=-=-，叠加得 n a n n na a n n ln 2ln )1342312ln(1+=⇒=-⋅⋅=-3. 解：【A 】 212345124816,(1),,33333a a a a a ==-=-==-，4. 解：选B 当11111517,224n n n n a S n a S S n -=⇒==++=≥⇒=-=+5.解：由数列的特点可知n a =6. 解：()12lg 11n a a a n ++++=+，112110n n a a a +∴++++=， ①()111102n n a a n -∴+++=≥， ②由①-②，得()110109102n n n n a n +=-=⨯≥.由211lg(1)2,10199a a +=∴=-=.()()991,9102.n nn a n =⎧⎪∴=⎨⨯≥⎪⎩ 六、课后作业1. 解析：A 221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，所以828115a =⨯-=2. 解析：由图可知1233,8,15a a a ===，验证可知选A3. 答案：!2n 解：3n ≥时，()()()12211112211n n n n n n a a a n a n a a n a na -----=+++-+-=+-=，3n ∴≥时，()()()()()1232112123n n n n a na n n a n n n a n n n a ---==-=--==--.又当2n =时，211,a a ==，3n ∴≥时，()()1321!1322n n n n a n n -⋅⋅⨯⨯=-⋅⋅==. 又222!122a ===， 2n ∴≥时，!2n n a =.4.答案：最大的项为1a ，最小的项为3a .解：111112222222111[][]3333324n n n n n n a -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由图像可知最大项为最大的项为1a ，最小项为3a5. 解：由(1)0.9n n a n =+⨯，得()()()111999218101010n nn n n n a a n n n +++⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∴当8n <时，1n n a a +>，当8n >时，1n n a a +<，且8912389,a a a a a a a a a=∴<<<<=>>>∴存在正整数N=8或9，使n N a a ≤成立.6. 解：由()11211,221n n a a a n +=-=-，得 ()()()2132431115151919113,,,23661510103514211221231a a a a a a =+=+==+=+==+=+=⨯-⨯-⨯-，归纳出通项公式为4342n n a n -=-.【备用试题】已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是单调递减数列. 解：（1）2(log )2n f a n =-得，212210n n n n na n a na a n a -=-⇒+-=⇒=-±因为0n a >，,*n a n n N ∴=∈（2）证明：111n n n n a a a a ++==<⇒<所以数列{}n a 是单调递数列.。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：第二章

数列第二章章末复习内容本章诊疗一、数列的概念精要总结1.数列的概念的理解。

数列的数是按一定次序排列的，因此如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列，例如4，5，6，7，8，9，10与数列10,9,8,7,6.5.4是两个不同的数列. 数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复出现；数列的性质与集合中的元素相比较：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素是不能重复出现；③有序性：一个数列不仅与构成的数列“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素是无序的；④数列的每一项是数，而集合中的元素还可以代表除数字的其它事物. 2.对数列通项公式的理解（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{1,2,3,}n 为定义域的函数的解析式.（2）如果知道数列中的通项公式，依次可以用1,2,3,n 去替代公式中的n 就可以求出这个数列中的各项，同时，可以利用数列的通项公式进行验证某数是否是数列中的某项，是第几项；（3）如所有的函数关系式都不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式，2的近似值，精确到0.1,0.01,0.001，所构成的数列为1,1.4,1.41,1.414,就写不出数列的通项公式.（4）有的数列的通项公式，在形式上是不一定是唯一确定的，例如数列：1,1,1,1--的通项可以写成(1)nn a =-也可以写为1,()1n n a n -⎧=⎨⎩为奇数，（为偶数），还可以写为+2(1)n n a =-等，但是这些数列虽然形式不一样但是实质是一样的，表示同一数列，还应注意数列的通项还可以是分段函数的形式.3.数列与函数由于数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的一列函数值，因此数列的图像是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立点，依据函数的特性来研究数列的问题，比如数列的单调性、图像、最值等数列的概念易错点，利用函数研究数列往往忽视数列的定义域 4. 递推数列与通项公式（1）通项公式直接反映了n a 与n 之间的关系，即n a 是n 的函数，知道任意一个n 值，可以求出该项的值n a ；而递推数列则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n 直接推导n a ，（2）.如何用递推公式给出一个数列用递推数列公式给出一个数列，必须给出① “基础”——数列{}n a 的第1项或前几项；②递推关系————数列{}n a 的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.（3）.给出了递推公式求数列的通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识求解 ①如果满足1()n n a a f n --=的规律时，可以有112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+累加.②满足1()n n a g n a -=时，可以有121121n n n n n a a a a a a a a ---=累乘. ③{}n a 为周期数列，则周期为T （T 为正整数）时，n n T a a +=，可将n a 转化为12,,,T a a a 处理.2.错例辨析例2下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由（1）数列1,2,3，4可以表示为{1,2,3,4} （2）数列1,1,2,2与数列2,2,1,1是相同的数列（3）数列,,,a a a a--的第21项是a -（4）数列1,2,3,,n 是无穷数列错解：（2）（4）正确剖析：上面全错搞清数列的概念正解：（1）错误，数列的表示不能与集合表示，所以是错误的；（2）错误，两个数列的次序不同是不同的数列；（3）正确，数列的奇数项是a -，所以第21项是21a a =-；（4）错误，数列是有穷数列.例3已知下面数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列{}n a 的通项公式3n n S b =+错解：()()21113323nn n n n n a S S bb ---=-=+-+=⋅，所以通项为1123n n n n a S S --=-=⋅.剖析：由n S 求n a 一定要分两种情况，当1n =时，11S a =，对含有参数的问题要注意参数进行讨论正解：113a S b ==+，当2n ≥时，()()21113323nn n n n n a S S b b ---=-=+-+=⋅.当1b =-时，1a 适合此等式；当1b ≠时，1a 不适合此等式.1b ∴=-时，123n n a -=⋅；当1b ≠时，13123,2n n b n a n -+⋅=⎧=⎨⋅≥⎩. 二、等差数列 1. 精要总结（1）从第二项起每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列，常数必须相同，即表示为1n n a a --(2)n ≥是同一个常数， (1)从函数角度看等差数列的通项公式等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可以表示为1()n a nd a d =+-，所以n a 是n 的一次函数，其图像是一系列孤立点，当0d >时，是单调递增函数，当0d <是单调递减函数，当0d =是常函数，此时数列是常数列.（2）有两点可以确定一条直线知，知道数列中的任意两项可以求出数列的通项来；由1(1)n a a n d =+-中共含有四个量，知三个量可以求出通项公式中的第四个量，即“知三求一”. 利用等差数列的性质可以简便易行，那么等差数列的性质有搞清等差数列的性质，在解决数列问题时，性质优先考虑，所以等差数列常用的性质（1）m n p q +=+，那么m n p q a a a a +=+；（2）()(,*)n m a a n m d n m N =+-∈；（3）{},{}n n a b 分别是公差为12,d d 等差数列，那么数列{}n n pa qb +是公差为12pd qd + 但是注意在等差数列{}n a 中，如果2m n p +=，不能推出2m n p a a a +=. 熟记等差数列的求和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，关于n 的二次函数，但是没有常数项，若有常数项就不是等差数列的前n 项和，可以根据二次函数求等差数列和的最大值与最小值；也可以根据数列的单调性根据通项n a 的正负确定最大项与最小项，等差数列和的性质满足每k 项的和仍成等差数列即232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列. 1.等差数列的前n 项的和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+是 2.等差数列的前n 项和的推导过程12311,n n n n n S a a a a S a a a -=++++=+++相加可得1()2n n n a a S +=这是数列求和的方法-----倒序相加求和.3.由等差数列求和公式若已知1,,,,n n a d n S a 中的三个，可以求出其余的两个. 1.等差数列前n 项和的性质有： ①n S 与n a 的关系满足11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩；②若项数为2n ，则21(),n n n S n a a +=+且+1-=,n n S aS S nd S a =奇偶奇偶；若项数为2n 1-，则21(21)(),1n n n n S nS n a a S S a S n -=--==-奇奇偶偶为中间项，. ③等差数列每k 项的和仍成等差数列，即232,,n n n n nS S S S S --仍成等差数列.2.等差数列的前n 项的和公式与函数的关系来解决等差数列的前n 项和的最值问题（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法来求等差数列的前n 项和的最值问题，注意*n N ∈；（2）用图像法：利用二次函数的图像的对称性来确定n 的值，使n S 取最值；（3）通项法：当10a >，0d <时，n 为使0n a ≥的最大的正整数时，n S 最大，这是因为：当0n a >时，1n n S S ->即递增；当0n a <时，1n n S S -<即递减；类似地，①当1100,0,0m m m a a d S a +≥⎧><⇒⎨≤⎩为最大值；②当110,0,0m m m a a d S a +≤⎧<>⇒⎨≥⎩为最小值.2. 错例辨析例4成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.错解：这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求的四个数为2,5,8,11.剖析：四个数成等差数列可以按3,,,3a d a d a d a d --++设，但是注意公差不是d ，而是2d ，再就是注意2,5,8,11.与与11,8,5,2.是不同的等差数列.正解：设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++，则由题设得()()()()()()223326,426,40,40.a d a d a d a d a a d a d a d -+-++++=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+=-=⎪⎩⎩解得13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或13,23.2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，所求这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例5在等差数列{}n a 中，已知120,a =前n 项的和为n S ，且1015S S =求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出最大项.错解：设公差为d ，因为1015S S=，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，所以520(1)3n a n =--⨯，当0n a >时，520(1)0133n n --⨯>⇒<所以当12n =时，n S 最大，12121151220()13023S ⨯=⨯+⨯-= 剖析：事实上0n a >是不正确的，应当满足10,0n n a a +≥≤ 正解：设公差为d ，因为1015S S=，所以由等差数列的前n 项和公式得10915141020152022d d ⨯⨯⨯+=⨯+，即53d =-，因为1015S S =，所以15100S S -=，即11121314150a a a a a ++++=，又因为111512141320a a a a a +=+==，又因为10,0d a <>，所以12140,0a a ><，故当1213n n ==或时n S 有最大值，为1213130S S ==. 三、等比数列 1. 精要总结（1）在等比数列中公比0q ≠，任何一项也不为零，从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数，各项均不为零的常数列即是等差又是等比数列. （2）理解等比数列的通项公式11n n a a q -=，在通项公式中，知道1,,,n a n q a 中四个量中的三个可以求出另一量，可以推广为：n m n m a a q -=，三个数,,A x B 成等比数列,那么x 是,A B的等比中项，所以x =（3）等比数列的性质①在等比数列{}n a 中，公比是q ，当11,0q a >>或101,0q a <<<时，{}n a 是递增数列；当11,0q a ><或01q <<，10a >时，{}n a 是单调递减数列；当1q =时，数列{}n a 是常数列，当0q <是摆动数列；②在等比数列{}n a 中，n m n m a a q -=（,*n m N ∈） ③在等比数列{}n a 中，当m n p q+=+(,,,*)m n p q N ∈时，有m n p q a a a a =.④若有穷等比数列{}n a 中，则与首末等距离的两项的积相等，即12132n n n a a a a a a --===⑤在等比数列{}n a 中，若,,(,,*)m n p m n p N ∈成等差数列，那么,,m n p a a a 成等比数列. （4）等比数列的前n 项和①等比数列的前n 项的和公式为11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，其中共涉及五个量，1,,,,n na a n q S “知三求二”②前n 项和公式的应用中，要注意前n 项和公式的分类讨论，即1q =与1q ≠时不同的表达形式，不可忽略1q =的情况，③错位相减和裂项消去法是数列求和的基本方法，其中错位相减法要注意等式两边所乘的数不能为0，首末两位不能含糊不清. （5）等比数列和的性质等比数列的性质：①n n S Aq A =-+与指数函数对应；②232,,n n n n n S S S S S --成等比数列，公比为nq .③等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S S q 偶奇，若项数为21n +，则1-S a q S =奇偶，利用等比数列的性质解题，可以事半功倍.有关应用问题，关键在于理解题意，建立起函数关系，当函数关系与数列的通项公式相对应时，考虑这些项是否为特殊的等差、等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项、求和问题，应用等比数列通项公式和前n 项和公式便可以解决. 2. 错例辨析例6已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 .错解：忘考虑公差为零的情况.剖析：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=，13912410113131616a a a a a a a a ++==++ 1613正解：223191111(2)(8)a a a a d a a d a d =⇒+=+⇒=或0d =，当0d ≠时，13912410113131616a a a a a a a a ++==++，当0d =时， 13924101a a aa a a ++=++.答案：1或1613例7在等比数列{}n a 中，,(0,,,*)m n m n a A a B AB m n m n N +-==>>∈，求m a错解：设公比为q ，则1111,m n m n m n m n a a q A a a q B +---+-====，两式相乘可得22(1)12211()m m m m a q AB a q AB a AB a --=⇒=⇒=⇒=剖析：一方面m a 是m n a +和m n a -的等比中项，另一方面m a 的符号确定m a 在等比数列中的位置，错解中没有对m a 的符号进行准确的判断致误.正解：同上2m a AB =当n 为奇数时，m n +与m的奇偶性相反，m a =当n 为偶数时，m n +与m 的奇偶性相同，即m a 与m n a +同号，故0,0)0,0)m A B a A B ⎧>>⎪=⎨<<⎪⎩)0,0)0,0m n a A B n A B n ⎧⎪⎪∴=>>⎨⎪<<⎪⎩为奇数，为偶数，为奇数）四、数列求和的方法 1. 精要总结对于数列求和遇到等差或等比数列的可以利用等差数列与等比数列的求和公式求和，那么不是等差或等比数列的求和可以有下面的方法①拆项相消求和，一般遇到分式或根式的数列把通项拆成两项的差再求和，常用的1111111,[](1)1(1)(2)2(1)(1)(2)n n a a n n n n n n n n n n n ==-==-+++++++，na==na保持一致，否则配如适当的系数；②错位相减求和，一般遇到等差数列与等比数列的积可以利用错位相减求和，就是把nS写出来，再同乘以公比，转化为等比数列再求和，第一注意项数，再就是公比是参数时注意讨论；③倒序相加求和；向等差数列求和公式的推导，到首末两端等距离的项数的和相等，这样的数列可以利用倒序相加求和；④分项分别求和：遇到复杂的数列可以把数列的通项拆成几部分在分别求和，不论采用哪一种方法，一般先求数列通项，根据通项再求和.2. 错例辨析例8求和22111()()()nnx x xy y y++++++错解：23211(1)111(1)(1)11 ()()11111n n nnnn n nx x x x yy yS x x x xy y y x x y yy----=++++++++=+=+----剖析：没有对公比1q=进行讨论，误认为是1q≠致误正解：（1）当1,1x y≠≠时，(1)1111n nn nx x ySx y y--=+--（2）当1,1x y≠=时，(1)1nnx xS nx-=+-；（3）当1,1x y=≠时1(1)nn nyS ny y-=+-；（4）当1,1x y==时，2nS n=例9一个数列{}na，当n为奇数时，51na n=+，当n为偶数时，22nna=，求这个数列的前n项的和，错解：22212113521210,2,,,,,kk k kkaa a a a a aa++-+-==∴构成首项为6的等差数列，2462,,,ka a a a构成首项为2，公比为2的等比数列，21(651)2(12)57+=2221222n n n n n S S S n n +++-∴=+=++--奇偶. 剖析：在求和时，奇数项与偶数项都假设含有n 项是错误的，应分奇数与偶数进行讨论. 正解：当2n m =时，13521,,,,m a a a a -构成首项为6的等差数列，2462,,,m a a a a 构成首项为2，公比为2的等比数列， 122(651)2(12)572221284nm n m m S n n +++-=+=++--. 当21n m =+时，122(1)[65(1)1]2(12)57(1)(1)2221284nm n m m S n n +++++-=+=++++--。

2018-2019高中数学第3章三角恒等变换滚动训练五苏教版必修5

第3章三角恒等变换滚动训练五(§3.1～§3.3)一、填空题1．cos555°＝________.答案－6＋24解析 cos555°＝cos(720°－165°)＝cos165°＝－cos15°＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－6＋24. 2．sin 220°＋sin80°·sin40°的值为________．答案 34解析原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin60°cos20°＋cos60°sin20°)·(sin60°·cos20°－cos60°sin20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 3．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是________三角形．答案锐角解析 ∵A ，B 是△ABC 的内角，且tan A tan B ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos(A ＋B )＜0，∴cos(π－C )＜0，∴－cos C ＜0，∴cos C ＞0，∴角C 为锐角，∴△ABC 是锐角三角形．4．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ＋b ＝________. 答案 1解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin2x 2，∵a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝f (－lg5)， ∴a ＋b ＝1＋sin (2lg5)2＋1－sin (2lg5)2＝1. 5．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ，x ∈[0，π]的单调增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－12sin2x －32cos2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调减区间，令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案 539解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. ∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 7．已知函数f (x )＝cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2，则f (x )在[0，π]上的单调增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析 f (x )＝cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2 ＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 当k ＝0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3. 又x ∈[0，π]，所以f (x )在[0，π]上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 8．化简sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝________. 答案 tan x 2解析原式＝2sin2x cos2x 2cos 22x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x 2. 9．若sin(π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2α－cos 2α2的值为________．答案 425解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，因此，sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α) ＝2×45×35－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35＝2425－45＝425. 10.3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. 答案－4 3解析原式＝3·sin12°cos12°－32(2cos 212°－1)sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin (－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3. 11．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin 3π2的图象的对称中心是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，－1(k ∈Z ) 解析 ∵y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin 3π2 ＝sin 2x －2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －1 ＝－3sin x cos x －1＝－32sin 2x －1. 令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2(k ∈Z )． ∴该函数的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，－1(k ∈Z )．二、解答题 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，π2≤α≤3π2，求1－cos2α＋sin2α1－tan α的值．解由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，得22cos α－22sin α＝35，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 22cos α－22sin α＝35，sin 2α＋cos 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－7210，cos α＝－210或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝210，cos α＝7210.∵π2≤α≤3π2，∴cos α≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－7210，cos α＝－210.∴tan α＝7， ∴1－cos2α＋sin2α1－tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1－tan α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72102＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2101－7＝－2875. 13．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(22＋sin x ，22－cos x )，函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值；(2)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π且f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的值．解 (1)因为f (x )＝m ·n ＝cos x (22＋sin x )＋sin x ·(22－cos x )＝22(sin x ＋cos x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4(x ∈R )，所以f (x )的最大值是4.(2)因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝14. 又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，即x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，－3π4. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－154. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin π6 ＝－154×32－14×12＝－35＋18. 三、探究与拓展14．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调减区间是__________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 解析由题意，知f (x )＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋1＝12sin2x －12cos2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 15．设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为单调增函数，求ω的最大值．解 (1)f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)．因为－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因为y ＝sin x 在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为单调增函数，所以f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为单调增函数．依题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，1 6，故ω的最大值为16.解得0＜ω≤。

2018-2019数学新学案同步必修五北师大版讲义：模块综合试卷 Word版含答案

模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2>0 B ．ac >bc C ．ac 2>bc 2 D ．2a >2b考点不等式的性质题点不等式的性质答案 D解析 A 中，当a ＝0，b ＝－1时，a 2－b 2＝0－1＝－1<0，所以A 错误；B 中，当c ＝0时，ac ＝bc ＝0，所以B 错；C 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，C 错；D 中，因为y ＝2x 为增函数，所以当a >b 时，2a >2b 成立．2．在△ABC 中，A <B <C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是( )A ．tan A <tan CB ．tan A >tanC C ．sin A <sin CD ．cos A <cos C 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 C解析由大边对大角及A <B <C ，可得a <c ，由正弦定理得，2R sin A <2R sin C ，所以sin A <sin C . 3．已知a >b >0，c >d >0，则( ) A.c a >d bB ．ac >bdC ．a －c >b －d D.b c >a d考点不等式的性质题点不等式的性质答案 B4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23B ．－23C.14D ．－14考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 D解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，则b ＝2k ，c ＝4k ，k >0， ∴cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22·(3k )·(2k )＝－14.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝QD ．无法确定考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案 A解析由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q .6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3 考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最值答案 B解析由约束条件可得可行域(如图阴影部分所示)，对于目标函数z ＝3x －2y ，可化为y ＝32x －12z ，要使z 取最小值，可知过A 点时取得．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)， ∴z min ＝3×0－2×2＝－4.7．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n取最大值时的项数n 是( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．6或7 考点等差数列前n 项和最值题点求等差数列前n 项和的最值答案 C解析由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6.8.如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C ⎝⎛⎭⎫23，45是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－103，－512B.⎝⎛⎭⎫－125，－310 C.⎝⎛⎭⎫310，125D.⎝⎛⎭⎫－125，310 考点线性目标最优解题点线性规划的理解答案 B解析利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125<a <－310.9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D.5考点面积与周长的最值或取值范围问题题点面积的最值或取值范围答案 B解析由a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，故(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，又根据正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，又b 2＋c 2－bc ＝4≥bc ，故S △BAC ＝12bc sin A ≤3(当且仅当b ＝c 时，取等号)．10．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <25考点判断三角形形状题点已知三角形形状求边的取值范围答案 D解析由于△ABC 为锐角三角形，故有⎩⎪⎨⎪⎧22＋42>x 2，22＋x 2>42，解得23<x <2 5.11．若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96 考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.12．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 C解析由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知不等式x 2＋bx －b －34>0的解集为R ，则b 的取值范围是________．考点一元二次不等式的应用题点已知解集求参数的取值范围答案 (－3，－1)解析由题意知b 2－4⎝⎛⎭⎫－b －34<0，即b 2＋4b ＋3<0，所以－3<b <－1. 14．在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12＋a 15＝2，则S 15＝________. 考点等差数列的性质题点利用等差数列项数的规律解题答案－30解析因为a 4＋a 12＝a 1＋a 15＝2a 8，所以a 8＝－2.所以S 15＝a 1＋a 152×15＝a 8×15＝－2×15＝－30.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为________．考点用余弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案3解析 ∵S △ABC ＝2＝12bc sin A ＝12bc ×223，∴bc ＝3.①又∵sin A ＝223，A 为锐角，∴cos A ＝13，∴4＝b 2＋c 2－2bc ·13.②由①②可得b ＝ 3.16．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 4解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，前一个等号成立的条件是a 2＝2b 2，后一个等号成立的条件是ab ＝12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2＝22，b 2＝24时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解 (1)由题意知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c ，及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＝a 2＋c 2，所以△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.18．(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解设购买x 张游泳卡，则游泳活动总支出为y ＝48×8x ×40＋240x ，即y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x (x ∈N ＋)．所以y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x ≥240×264x·x ＝3 840，当且仅当64x ＝x ，即x ＝8时，最合算，每人最少交钱3 84048＝80(元)．即购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元．19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合解设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N ＋)． (2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5，q ＝4，当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21，当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.20．(12分)已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A ，B ，C 成等差数列，若角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求a 2＋c 2的取值范围．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角函数的综合解由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°.设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α.由0°<A <120°，0°<C <120°，得－60°<α<60°. 由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C . 所以a 2＋c 2＝4(sin 2A ＋sin 2C )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2C 2 ＝4－2(cos 2A ＋cos 2C )＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)] ＝4＋2cos 2α.因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°.所以－12<cos 2α≤1.所以a 2＋c 2∈(3,6]．21．(12分)若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围. 考点 “三个二次”的对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值解原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a ，即2－a(2＋a )(2－a )<x <2＋a (2＋a )(2－a )，所以12＋a <x <12－a ，又因为14<12＋a <12，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a<4，解得259<a <4916.22．(12分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？考点生活实际中的线性规划问题题点线性规划在实际问题中的应用解 (1)由已知x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ∈N ，y ∈N .该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界)：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)，所以，电视台每周播放甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。

2018-2019版数学新设计同步北师大版必修五讲义：第一

2.1 等差数列(二)学习目标 1.掌握“判断数列是否为等差数列”常用的方法(重点)；2.掌握等差数列的通项公式、性质及其应用(难点).预习教材P13－14，完成下列问题：知识点一等差数列的函数特性由等差数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知其图像是直线y ＝dx ＋(a 1－d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d 是该直线的斜率.当d >0时，{a n }为递增数列；当d <0时，{a n }为递减数列；当d ＝0时，{a n }为常数列. 【预习评价】(1)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋7.则该数列为单调递________数列.(填“增”或“减”)(2)若等差数列a n ＝(2a －1)n ＋a 为单调递增数列，则a 的范围是________. 答案 (1)减 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞知识点二等差中项的概念如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2. 【预习评价】(1)－4与8的等差中项为________.(2)3与a 的等差中项为4，则a 的值为________. 答案 (1)2 (2)5知识点三等差数列的常用性质(1)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别地若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列； (3)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )；(4)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列； (5){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列. 【预习评价】(1)等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)是( ) A .公差为d 的等差数列 B .公差为cd 的等差数列 C .不是等差数列 D .以上都不对(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10等于( ) A .12 B.16 C.20D.24答案 (1)B (2)B题型一等差数列的性质及应用【例1】 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值.解 (1)法一根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.法二根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6. 由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13， ∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.规律方法等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这类问题，在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质，尤其要注意利用性质“若m，n，p，k ∈N＋，且m＋n＝p＋k，则有a m＋a n＝a p＋a k，其中a m，a n，a p，a k是数列中的项.特别地，当m＋n＝2p时，有a m＋a n＝2a p”，从而将问题解决.【训练1】在等差数列{a n}中：(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________.解析(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.答案(1)15(2)18【例2】已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列. 证明因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列.【迁移1】本例条件不变，证明a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列.证明因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a －2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列.【迁移2】将条件改为“1a，1b，1c成等差数列”，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列.证明因为1a ，1b ，1c 成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c ).因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）ac ＝c 2＋a 2＋b （a ＋c ）ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2（a ＋c ）2b （a ＋c ）＝2（a ＋c ）b ，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 成等差数列. 【迁移3】将例题条件改为“1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b成等差数列”，试证：a 2，b 2，c 2成等差数列. 证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，∴2c ＋a ＝1b ＋c ＋1a ＋b.∴2(b ＋c )·(a ＋b )＝(a ＋c )(a ＋c ＋2b )，∴2b 2＝a 2＋c 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列. 规律方法判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列. (2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列. (3)等差中项法：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列.题型三等差数列的实际应用【例3】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？ (3)哪一年的规模最大？解由图知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10.第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎨⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d 1＝0.2，得a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎨⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，所以⎩⎨⎧b 1＝30，d 2＝－4，得b 2＝26.所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.(3)因为a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6，n ∈N ＋)，所以c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34)＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6，n ∈N ＋). 因为对称轴为n ＝94，所以当n ＝2时，c n 最大. 所以第2年的规模最大.规律方法 (1)在实际问题中，若涉及与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决. (2)在利用数列方法解决问题时，一定要分清首项、项数等关键量.【训练2】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升D.3733升解析设竹子自上而下各节的容积所成等差数列为{a n }，其公差为d ，则 ⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766.故选B. 答案 B课堂达标1.已知{a n }为等差数列，a 3＋a 7＝14，则a 5等于( ) A.4 B.5 C.6D.7解析∵a5是a3与a7的等差中项，∴a3＋a7＝2a5＝14，∴a5＝7.答案 D2.等差数列{a n}的各项都是负数，且a23＋a28＋2a3a8＝9，则a5＋a6的值为()A.3B.－3C.±3D.－9解析由a23＋a28＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，得a3＋a8＝±3，又a5＋a6＝a3＋a8且{a n}各项都是负数，∴a5＋a6＝－3.答案 B3.等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________.解析∵{a n}为等差数列，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.答案154.在等差数列{a n}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11的值为________.解析由已知得a3＋a15＝6，又a3＋a15＝2a9，∴a9＝3，故a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝5a9＝15.答案155.若等差数列{a n}满足a2·a3·a4＝48，a2＋a3＋a4＝12，求a n.解∵{a n}为等差数列，由a2＋a3＋a4＝12，得a3＝4，设{a n}的公差为d，则a2＝a3－d＝4－d，a4＝4＋d.由a2a3a4＝48得(4－d)(4＋d)＝12，得d＝±2，当d＝2时，a n＝a3＋(n－3)d＝4＋2(n－3)＝2n－2；当d＝－2时，a n＝a3＋(n－3)d＝4－2(n－3)＝10－2n.课堂小结1.等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n 的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当d＝0时，等差数列{a n}为常数列.2.等差数列的通项公式可以推广为a n＝a m＋(n－m)d，它反映了等差数列中，任意两项之间的关系，当等差数列给出其中两项时，使用非常方便.3.在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算；二是利用性质运算，运用等差数列的性质，往往会有事半功倍的效果.基础过关1.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100D.－37解析 ∵a 1＋b 1＝100＝a 2＋b 2， ∴{a n ＋b n }是常数列， ∴a 37＋b 37＝100. 答案 C2.等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A.45 B.75 C.180D.300 解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90.∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 C3.下列是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列；其中正确的结论是( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d >0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d >0，所以是递增数列，p 4正确，故选D. 答案 D4.在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. 答案 245.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________. 解析设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝59，解得⎩⎨⎧a ＝3，d ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1. ∴这三个数的积为－21. 答案－216.在等差数列{a n }中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解法一 (1)直接化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48，∴4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)直接化成a 1和d 的方程如下：⎩⎨⎧（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝34，（a 1＋d ）·（a 1＋4d ）＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎨⎧a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3.法二 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34.即a 2＋a 5＝17，解⎩⎨⎧a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎨⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎨⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.7.某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损.设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n . 由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0，即a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损.能力提升8.数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.－2 B.－12 C.2D.12解析 ∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列，且d ＝3. a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36， ∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2. 答案 C9.在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于( )A.13 B.12 C.23D.1解析依题意得1a 3＋1＋1a 11＋1＝2·1a 7＋1， ∴1a 11＋1＝21＋1－12＋1＝23， ∴a 11＝12. 答案 B10.数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________.解析 a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列， ∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m 33，∴m ＝－12.答案－1211.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________.解析观察可知，第n 行的数构成以n 为首项，n 为公差的等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是n ＋[(n ＋1)－1]×n ＝n 2＋n . 答案 n 2＋n12.已知数列{a n }中，a 1＝4. (1)若a n ＝a n ＋1＋3，求a 10.(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且a 6＝14，求数列{a n }的通项公式.解 (1)因为a n ＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是首项为4，公差为－3的等差数列，所以a 10＝4＋9×(－3)＝－23.(2)因为a 1＝4，a 6＝14，所以1a 1＝14，1a 6＝4，设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 6＝1a 1＋5d ，所以4＝14＋5d ，解得d ＝34，所以1a n＝14＋(n －1)×34＝3n －24.所以a n ＝43n －2.13.(选做题)已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }. (1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？解 (1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝3＋(n －1)(－5)＝8－5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m ＝4n －1，n ∈N ＋，所以b 1＝a 3＝8－5×3＝－7， b 2＝a 7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n ＋1－b n ＝a 4(n ＋1)－1－a 4n －1＝4d ＝－20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1＝－7，公差为d ′＝－20，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ′＝－7＋(n －1)×(－20)＝13－20n .(3)因为m ＝4n －1，n ∈N ＋，所以当n ＝110时， m ＝4×110－1＝439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项.。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：3.2第2

3.2.2第2课时一元二次不等式课时学案一、课前准备 1．课时目标理解方程的根、函数的零点、不等式的解集之间的联系，并能灵活运用它们之间的联系解题。

2．基础预探（1）一元一次方程、一元一次不等式及与一次函数三者之间有什么关系？（2）一元不等式、一元二次函数、一元二次方程的之间有什么关系？二、基本知识习题化1．若关于x 的不等式(x -a )(x -b )＞0的解集为{}x x a x b <>或，则实数a ,b 的大小关系是．2．若0＜t ＜1，则不等式(x -t )(x -t1)＜0的解集是（）A ．｛x ｜t 1＜x ＜t B.｛x ｜x ＞t1或ｘ＜ｔ C.｛x ｜x ＜-t 1或x ＞ｔ D.｛x ｜ｔ＜ｘ＜t1 三、学习引领二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系通过下表可以直观的给以了解，同学们学习时要学会用表格对比学习。

四、典例导析题型一：与一元二次不等式相关的恒成立问题例1当k 取什么值时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？解析一元二次不等式小于零对一切实数x 都成立，当且仅当开口向下，判别式小于零，即2203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⋅⋅-< ⎪⎪⎝⎭⎩. 规律总结：二次不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数的条件是0a <⎧⎨∆<⎩，二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是0a >⎧⎨∆<⎩.变式练习1：若不等式0122<-+-k x kx 对满足22≤≤-k 的所有k 都恒成立，求x 的取值范围.题型二：不等式的最值问题有两相等实根例2方程x k x k 2250+-+-=()的两根都大于2，求实数k 的取值范围.解析：设方程的两根为x x 12，，则必有.45,04)2(2)5(04)2(0)5(4)2(,0)2)(2(0)2()2(022121-≤<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-+->---≥---∴⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆k k k k k k x x x x规律总结：此题易犯这样的错误是， 4222121>+∴>>x x x x ，，且x x 124>，和判别式∆≥0联立即得k 的范围，原因是21>x 和22>x 可以推出x x 124+>，但反之不成立，即x x 124+>不能保证21>x 和22>x 同时成立.变式练习2．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（）． A ．4-≤m 或4≥m B ． 45-≤<-m C ．45-≤≤-m D ． 25-<<-m 题型三：与一元二次不等式相关的应用问题例3某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时)经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a .试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.解析设新电价为x 元/千瓦时(0.550.75)x ≤≤，则新增用电量为0.20.4ax -千瓦时.依题意，有0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4aa x a x +-≥-+-，即(0.2)(0.3)0.6(0.4)x x x --≥-，整理得21.10.30,x x -+≥ 解此不等式，得0.6x ≥或0.5x ≤，又0.550.75x ≤≤, 所以0.60.75x ≤≤，因此，min 0.6x =，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.规律总结：解一元二次不等式应用问题，需遵循以下四个步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答.变式练习3：某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x 成（1成=10%），售出商品数量就增加x 58成，要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式)(x f y =，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x 的取值范围．五、随堂练习1．已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是（A ）3-<x 或2->x （B ）21-<x 或31->x （C ）3121-<<-x （D ）23-<<-x2. 当012,022<--<a ax x a 不等式时的解是（） (A) a x a x 43>-<或 (B) a x a 43-<<- (C) a x a 34-<< （Ｄ）a x a 43<<-3．不等式4≤x 2－3x ＜18的整数解集为 .4. 当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_____. 六、课后作业1．若不等式250ax x b ++>的解集为｛x ｜31＜x ＜21}．则a ,b 的值分别为（） A.－６，－１ B.１，６ C.－１，－６ D.－１，－１ 2．当a<0时，不等式22420x ax a +-<的解集为（） A. ,76a a ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,67a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 2,77a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.∅3．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.4．若不等式0122<-+-k x kx 对满足22≤≤-k 的所有k 都恒成立，求x 的取值范围.3.2.2第2课时一元二次不等式课时学案答案一、1.（1）.一次函数只是自变量与因变量成线性比,在平面坐标系下的图像一般是一条直线.（2）.一元一次方程是一个等式,即自变量或因变量等于0的情形.一般其解为(平面坐标系下的)直线与x,y 轴的交点.2.（1）一元一次不等式,自变量与因变量之间是以不等号连接的.其解一般是一个面域(即在平面坐标系下,其解一般是图像为直线的上半部分或者是其下半部分) （2）二次函数反映了两个变量X,Y 之间的相系依存和一一对应的关系.（3）一元二次不等式,联系二次函数是已知函数值的范围,确定自变量的取值范围.因此可以借助,二次函数解方程,或者借助方程来确定二次函数上点的坐标.二、1：b a >提示：由解集为{}x x a x b <>或，抛物线()()y x a x b =--开口向上，结合图象可得。

2018-2019数学新学案同步必修一北师大版讲义：第二章函数滚动训练(二) Word版含答案

滚动训练(二)一、选择题1．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}考点集合题点集合的三个性质及定义答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案A解析∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．3．函数f(x)＝|x－1|的图像是()考点函数图像题点求作或判断函数的图像答案 B解析代入特殊点，∵f (1)＝0，∴排除A ，C ；又f (－1)＝2，∴排除D.4．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[0,1]C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)考点函数的定义域题点求具体函数的定义域答案 B 解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1. 5．已知映射f ：P →Q 是从P 到Q 的一个函数，则P ，Q 的元素( )A ．可以是点B ．必须是实数C ．可以是方程D ．可以是三角形考点函数的概念题点函数概念的理解答案 B解析根据函数的定义可知，当且仅当P ，Q 均是非空数集时，映射f ：P →Q 才是从P 到Q 的一个函数．6．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数为( )A ．2B ．3C ．5D ．8考点映射的概念题点映射概念的理解答案 B解析 f ： a →－1b →1；f ： a →1b →－1；f ： a →0b →0.共有3个．7．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4。

人教版高中数学必修五课时作业18：滚动训练(二)

滚动训练(二)一、选择题1.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 A解析由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝2×222＝12.又因为a ＝2，b ＝2，a >b ，所以A >B ，所以B ＝30°，故选A.2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合答案 A解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .故选A.3.数列{a n }中，a n ＝n ＋(－1)n ，则a 4＋a 5等于( )A.7B.8C.9D.10考点数列的通项公式题点已知通项公式求项或项数答案 C解析因为a n ＝n ＋(－1)n ，所以a 4＝4＋(－1)4＝5，a 5＝5＋(－1)5＝4，所以a 4＋a 5＝9.故选C.4.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的( )A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项考点数列的通项公式题点判断某数是否为数列的项答案 B解析由数列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通项公式为a n ＝n (n ＋1)，令n (n ＋1)＝600，求得n ＝24，故选B.5.已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是A.24B.27C.30D.33考点等差数列的性质题点两个等差数列的性质问题答案 D解析根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D.6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.5考点等差数列的前n 项和性质运用题点通项公式的综合应用答案 D解析 ∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为正整数，∴n ＝1,2,3,5,11. 7.等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( )A.5B.6C.7D.8考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得－6＋(n －1)d ＝0，n ＝6d＋1，因为d ∈N *，所以当d ＝1时，n 取最大值7.故选C.二、填空题8.已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径为________. 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 733解析由已知a ＝3，b ＝5，c ＝7，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴sin C ＝32，∴R ＝c 2sin C ＝733. 9.数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________. 考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 12解析由a n ＋1＝11－a n ，可得a n ＝1－1a n ＋1，又a 8＝2，故a 7＝12，…依次下去得a 1＝12. 10.在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，m ，n ∈N *，且m >n ，则a m ＝________. 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 A ＋B 2解析因为a m ＋n 与a m －n 的等差中项是a m ，所以a m ＝A ＋B 2. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝________. 考点数列前n 项和的求法题点并项求和法答案 10解析观察可知a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝2，…，a 9＋a 10＝2，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10.三、解答题12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.13.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，求{a n }的通项公式. 考点 a n 与S n 关系题点由S n 公式求a n解因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2(n －1).两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2) .又由题设可得a 1＝2，符合a n ＝22n －1，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1，n ∈N *. 四、探究与拓展14.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A.d >0B.d <0C.a 1d >0D.a 1d <0 考点等差数列综合题点数列与不等式综合答案 D解析由数列{2a 1a n }为递减数列，得2a 1a n <2a 1a n －1，再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.15.已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题解 (1)由题意知，(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，解得d ＝2或d ＝－5(舍去).所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2. (2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65，由m ，k ∈N *知，2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.。