2015高考数学(人教通用,理科)二轮专题整合：选修4-4 坐标系与参数方程(含最新原创题及解析)

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选修4-4二轮专题：极坐标与参数方程

A ，当 t ＝－1 时，曲线 C1 上的点为 B .以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 6 C2 的极坐标方程为 ρ＝ 4＋5sin 2θ .
(1) 求 A、B 的极坐标； (2) 设 M 是曲线 C2 上的动点，求|MA | 2＋ |MB | 2 的最大值．
x ＝－1 解：(1)当 t＝1 时，， y＝ 3 即 A 的直角坐标为 A (－1， 3)； x ＝1 当 t＝－ 1 时，， y＝－ 3 即 B 的直角坐标为 B (1，－ 3)．
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
及时练习
5．[2016· 天津卷]
2 x＝2pt ，设抛物线 (t 为参数，p>0)的焦点 y＝2pt
为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 7 C(2p，0)，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为________．测试要点：抛物线的参数方程化为普通方程
说明：一、参数 t 的有关性质
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则 1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A t B | ，特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
t A tB 2．A、B 两点的中点所对应的参数为， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
x r cos ( 为参数) y r sin x a r cos 2 2 2 ( 为参数) 3.圆(x-a) +(y-b) =r 的参数方程: y b r sin

人教版数学选修4-4《坐标系与参数方程》基础训练及答案

数学选修4-4 坐标系与参数方程.[提高训练C 组]一、选择题1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（） A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 3．直线12()2x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（） A ．125 BC4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-二、填空题1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。

2．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -_______。

3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。

2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题7 第2讲坐标系与参数方程(选修4-4)

π 1 0≤θ≤ . 即所求线段的极坐标方程为 ρ＝ 2 sin θ＋cos θ
高考专题辅导与测试·数学
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x＝1＋cos α， (2)①由消去 α， y＝sin α，
得点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又由 ρ＝ 9 ，得 ρ ＝， π sin θ＋cos θ 2sinθ＋4 9
y tan θ＝ x
x≠0
.
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2．圆的极坐标方程若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ
2 －θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos θ；
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
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x＝2cos θ，解：(1)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝3sin θ
可得 a＝ 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1， 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝＝ 2 <1， 2 所以直线 l 与圆 C 相交．
所以 ρsin θ＋ρcos θ＝9. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x＋y＝9. ②因为半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x＋y＝9 的距离为 4 2，所以|PQ|min＝4 2－1.

2015选修4-4+坐标系与参数方程

选修4－4坐标系与参数方程第1讲坐标系[最新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.诊断自测1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________．解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π42．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝03．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．解析 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 答案 25．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为 |0－3×2|3＋9＝ 3. 答案3考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52， ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6.考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三曲线极坐标方程的应用【例3】 (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3.规律方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，求以⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标．[错解展示]甲：解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)，故该点与原点的中点坐标为(－1，3)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.乙：解 ∵ρ＝4，θ＝2π3，故ρ2＝2，θ2＝π3，因此所求极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.[规范解答] ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3为点P (ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π3(k ∈Z )． (4分)当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π6(k ∈Z )． (6分) ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2有四个不同的点： P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋4π3(k ∈Z )， P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋5π6，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋11π6(k ∈Z ) (10分) [反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2，从几何意义上讲点⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2应满足该点的极角为θ的12，极径为ρ的12.乙生解法中满足⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论．【自主体验】下列各点中与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13π6 解析因为与⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6表示同一点的坐标有⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6＋2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋(2k ＋1)π，其中k ∈Z ，所以易得只有②不同．答案 ②一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2；③(1,0)；④(1，π) 解析圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 答案 ②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)． ①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．答案 ③3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．解析点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案34．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π25．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 36．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－22sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析由ρ＝6cos θ－22sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－22ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋22y ＝0，将其化为标准形式为(x －3)2＋(y ＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3. 答案 ρcos θ＝37．(2014·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.答案 28．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案29．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析 θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34.答案3－34 二、解答题10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．11．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，(－3≤y ≤3) 法二将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.第2讲参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．诊断自测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析参数方程⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案－63．(2012·北京卷)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点．答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t (t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析设点Q (x ，y )为直线上的点，则|QA |＝(1－1＋2t )2＋(2－2－2t )2＝(2t )2＋(－2t )2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)．答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，故其参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二直线与圆参数方程的应用【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练2】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三极坐标、参数方程的综合应用【例3】已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin (120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．【自主体验】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1⇒k ＝±33. 答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 34．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ，消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ，又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ，得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧ x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k 1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1.答案 4 －17．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y 2＝x (y ≥0)，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.答案 19．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案 22二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

【志鸿优化设计】2015高考数学+二轮总复习【专项能力训练课件】专题21+坐标系与参数方程选修4—4

第八部分
选修4系列
专题21
坐标系与参数方程 (选修4—4)
第八部分
能力目标解读热点考题诠释
专题21
坐标系与参数方程(选修4—4) -3-
高考对极坐标、参数方程的考查以选择题或填空题形式出现. (1)重点考查极坐标、参数方程与普通方程的互化;同时考查直线与曲线的位置关系等; (2)从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常见问题; (3)极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系.
解析
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答案
第八部分
能力突破点一能力突破点二
专题21
坐标系与参数方程(选修4—4) -9-
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点一极坐标方程与普通方程的互化
思考:如何进行极坐标方程与普通方程的互化? 提示:建立平面直角坐标系,以坐标原点为极点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,则直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)满足 x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ= .
4
圆心(1,-1)到直线 x+2y+6=0 的距离为 d=
D
|1-2+6| = 5
5.
关闭
解析
答案
第八部分
能力突破点一能力突破点二
专题21
坐标系与参数方程(选修4—4) -19-
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点三
参数方程的应用
�� = ��0 + at, 思考 1:直线参数方程 (t 为参数)中,参数 t 的几何意义. �� = ��0 + bt �� = ��0 + at, 提示:直线参数方程 (t 为参数)中,满足 a2+b2=1 时,t 表示点 �� = ��0 + bt (x0,y0)到(x,y)的有向线段. 思考 2:如何利用直线参数方程中参数的几何意义 ,求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题? 提示:将直线的参数方程代入圆锥曲线的普通方程中 ,得到关于 t 的一元二次方程,则交点对应的参数为 t1,t2,此时弦长 l=|t1-t2|,再利用根与系数的关系求解.

2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10，即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)．故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。

高考二轮数学人教版课件：第2部分专题7 第1讲选修4-4：坐标系与参数方程

第二部分专题七选修部分
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【解析】椭圆 C 的参数方程为xy＝＝2sicnoφs φ (φ 为参数)，转化为直角坐标方程为x42＋y2＝1．
将直线的参数方程x＝m＋ 22t， y＝ 22t
代入x42＋y2＝1 中，
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为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂
直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程及直线 l1 的普通方程；
(2)若|OA|＝|OB|，求△OAB 的面积．
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典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
直线 l1 的普通方程为 y＝x·tan α，π2＜α＜π.
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(2)设
OA
的极坐标方程为
θ＝α(π2＜α＜π)，则|OA|＝1－c2os
， α
射线 OB 的极坐标方程为 θ＝α＋π2(π2＜α＜π)，
则|OB|＝1－cos2α＋π2＝1＋2sin α.
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2015年高考数学4—4坐标系与参数方程(解答+答案)

2015年高考数学4—4坐标系与参数方程1.（2015广东文数14. （坐标系与参数方程选做题））在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．2.（2015广东理数14．(坐标系与参数方程选做题)）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 A(22,47π)，则点A 到直线l 的距离为。

3.（2015湖北理数16．（选修4-4：坐标系与参数方程））在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .4.（2015新课标Ⅰ文数（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中。

直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积5.（2015新课标II 文数23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类(选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)

【答案】2
【考点定位】相交弦定理，切割线定理.
第 6页（共 19页）
二、坐标系与参数方程：选修 4-4：坐标系与参数方程
1.（2015 安徽理）在极坐标中，圆 8sin 上的点到直线 ( R) 距离的最大值是
.
3
【答案】 6
【解析】由题意 2 sin ，转化为普通方程为 x2 y2 8y ，即 x2 ( y 4)2 16 ；直线
( R) 3
2.
（2015
北京理）在极坐标系中，点
2
‚
π 3
到直线
cos
3 sin
6 的距离为
．
【答案】1
【解析】
试题分析：先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程 3
cos 3 sin 6 化为直角坐标方程 x 3y 6 0 ，利用点到直线距离公式
第 3页（共 19页）
【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理； ④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.
7. (2015 全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点 G ，与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点．
A
G
E
F
BM
O
D
NC
（Ⅰ）证明： EF / /BC ；（Ⅱ）若 AG 等于 O 的半径，且 AE MN 2 3 ，求四边形 .

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-4 第2节

[课堂练通考点]1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102.答案：1024．(2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.[课下提升考能]1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________，________.解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线．答案：圆直线2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于________．解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：－2或83．(2014·淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.答案：±24．(2014·西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝⎛⎭⎫m ，12，则m ＝________.解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝⎛⎭⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1545．(2013·广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．解析：圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，故圆心到直线l 的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故直线l 截圆C 所得的弦长为212－d 2＝ 2.答案： 26．(2014·深圳调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．解析：曲线C 1的方程可化为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的方程可化为y －x ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3(x ≥0)，解得x ＝2，y ＝5. 答案：(2,5)7．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案：638．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为常数)相交于两点A 和B ，则|AB |＝________.解析：直线的普通方程为y ＝x ，曲线的普通方程(x －1)2＋(y －2)2＝4，所以|AB |＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫|1－2|1＋12＝14.答案：149．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋4t ，y ＝－1－3t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．解析：将直线化为普通方程：3x ＋4y ＋10＝0；将圆化为普通方程：(x －2)2＋(y －1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离d ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.答案：610．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点．O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．解析：将曲线C 化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1，则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫125，125. 答案：⎝⎛⎭⎫125，12511．已知直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0，曲线N 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3sin t ，y ＝3－3cos t(t 为参数)，则直线l 被曲线N 截得的弦长为________．解析：直线l 的极坐标方程可化为2ρcos θcos π3＋sin θsin π3＋1＝0，即ρcos θ＋3ρsin θ＋1＝0，可得直线l 的方程为x ＋3y ＋1＝0.曲线N 消掉参数t ，得(x －1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线N 是以(1，3)为圆心，3为半径的圆．则圆心到直线l 的距离为d ＝|1＋3×3＋1|12＋(3)2＝52. 所以直线l 被曲线N 截得的弦长为2 32－⎝⎛⎭⎫522＝11.答案：1112．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线x ＝a 有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是________．解析：将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为普通方程得y 2＝x (0≤x ≤1)，借助图象(如图)观察，易得0<a ≤1.答案：(0,1]13．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：由题中条件可知，直线的普通方程为y ＝33x ＋3，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4可得2x 2－6x －21＝0，则x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－212.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋13(x 1－x 2)2＝43[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝217.答案：21714．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0.则直线l 截圆C 所得的弦长为________．解析：圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)可化为普通方程(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标方程3x －y ＝0，弦心距d ＝|3×3－1×1|(3)2＋12＝1，故直线l 截圆C 所得的弦长为2r 2－d 2＝4 2. 答案：4 215．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．则它们的公共点的坐标为________．解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 答案：(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－116．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．设曲线C与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，则该矩形的面积为________．解析：可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.答案：3717．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，则|OP |·|OQ |的最大值为________．解析：圆C 1和圆C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1，所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ. 依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)，Q (2sin α，α)，所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|.从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP |·|OQ |的最大值是4. 答案：4。

高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八第2讲选修4-4 坐标系与参数方程(共31张PPT)

π �� + 4
=
2 m(m 为非零常数)与 ρ=b.若 2
直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率 6 为 . 3
�� = ��cos��, 解析:将椭圆 C 的参数方程 �� = ��sin�� (φ 为参数,a>b>0)化为标准方程为
2 4
注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 �� PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=2 x- 2 +1.所以
��
-
�� 2
2
= 1,
+ 1 = 2,
π 4 �� 2=Biblioteka 2 2�� 2
+
�� 2 �� 2
=1(a>b>0).又直线 l 的极坐标方程为 ρsin �� +
2 2
m(m 为非零常数),即 ρ sin��·
+ cos��·
2 2
=
2 2
m,则该直
线的一般式为 y+x-m=0.圆的极坐标方程为 ρ=b,其标准方程为 x2+y2=b2.∵直线与圆 O 相切, |�� | ∴ =b,|m|= 2b.又∵直线 l 经过椭圆 C 的焦点, ∴|m|=c.∴c= 2b,c2=2b2. ∵a =b +c =3b ,∴e =�� 2 = 3. ∴e= .
从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及直线与圆的极坐标方程,从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算. 预计 2014 年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.

高考数学理科二轮专题复习课件：选修4-4坐标系与参数方程

在普通方程中引入参数 t，将其转换为参数方程。引入的参数 t 可以是任意一个满足条件的函数，例如角度、时间等。
03 极坐标
极坐标
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04 综合应用
参数方程与极坐标的综合应用
参数方程与极坐标的互化
01
将参数方程转化为极坐标方程，或将极坐标方程转化为参数方
程，是解决综合问题的重要技巧。
参数方程在极坐标中的应用
02
利用参数方程表示的点在极坐标系中的位置，可以解决与极坐
标相关的问题。
极坐标在参数方程中的应用
03
利用极坐标的性质，可以简化参数方程的求解过程。
参数方程与直角坐标的综合应用
1 2
参数方程与直角坐标的互化
将参数方程转化为直角坐标方程，或将直角坐标方程转化为参数方程，是解决综合问题的重要技巧。
参数方程与普通方程的转换
参数方程可以转换为普通方程，反之亦然。参数方程转换为普通方程的过程是通过消去参数 t 来实现的。普通方程转换为参数方程则需要引入参数 t 来描述 x 和 y 的关系。
参数方程的应用
解决实际问题
参数方程在解决实际问题中有着广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等领域的问题可以通过建立参数方程来解决。
描述复杂运动
优化问题求解
在某些优化问题中，参数方程可以用来描述约束条件或目标函数，从而方便求解。
对于一些复杂的运动，如行星运动，参数方程可以用来描述它们的轨迹和运动规律。
参数方程与普通方程的互化
消参法
通过消去参数 t，将参数方程转换为普通方程。常用的消参方法有代入消参和加减消参。
引入参数法
高考数学理科二轮专题复习课件选修4-4坐标系与参数方

2015年高考数学总复习配套教案：选修4-4参数方程

选修4－4坐标系与参数方程第2课时参数方程(对应学生用书(理)195～197页)考情分析考点新知理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义．①会正确将参数方程化为普通方程.②会根据给出的参数，依据条件建立参数方程.1. (选修44P56习题第2题改编)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，求直线的斜率．解：k＝y－2x－1＝－3t2t＝－32.∴直线的斜率为－32.2. (选修44P56习题第2题改编)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程．解：转化为普通方程：y＝x－2，x∈[2，3]，y∈[0，1]．3. 求直线⎩⎪⎨⎪⎧x＝3＋at，y＝－1＋4t(t为参数)过的定点．解：y＋1x－3＝4a，－(y＋1)a＋4x－12＝0对于任何a都成立，则x＝3，且y＝－1.∴定点为(3，－1)．4. 已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝4t2，y＝t(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．解：点P(m ，2)在曲线C 上，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4t22＝t，所以m ＝16.5. (选修44P 57习题第6题改编)已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，求|AB|.解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0，而A(1，2)，得|AB|＝52.1. 参数方程是用第三个变量(即参数)分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 的一种间接关系．2. 参数方程是根据其固有的意义(物理、几何)得到的，要注意参数的取值范围．3. 一些常见曲线的参数方程(1) 过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋lcos α，y ＝y 0＋lsin α(l 为参数). l 是有向线段P 0P 的数量．(2)圆方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．(3) 椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(4) 双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)．(5) 抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．4. 在参数方程与普通方程的互化中注意变量的取值范围．[备课札记]题型1 参数方程与普通方程的互化例1 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程．解：(解法1)因为⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 22－⎝⎛⎭⎫y 42＝4.化简得普通方程为x 216－y264＝1. (解法2)因为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t ，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y 8，相乘得（2x ＋y ）（2x －y ）64＝1.化简得普通方程为x 216－y 264＝1.备选变式（教师专享）将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos2θ，x ＝sinθ 化为普通方程，并说明它表示的图形．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos2θ，x ＝sinθ，可得⎩⎨⎧y ＋12＝cos 2θ，x 2＝sin 2θ，即y ＋12＋x 2＝1，化简得y ＝1－2x 2.又－1≤x 2＝sin 2θ≤1，则－1≤x ≤1，则普通方程为y ＝1－2x 2，在[]－1，1时此函数图象为抛物线的一部分．题型2 求参数方程例2 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.(1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1) 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2) 把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2. 变式训练过点P ⎝⎛⎭⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋2y 2＝1交于点M 、N ，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．解：设直线为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋sin 2α)t 2＋(10cos α)t＋32＝0，则|PM|·|PN|＝|t 1t 2|＝321＋sin 2α.所以当sin 2α＝1时，|PM|·|PN|的最小值为34，此时α＝π2.题型3 参数方程的应用例3 已知点P(x ，y)是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1) 求2x ＋y 的取值范围；(2) 若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1， ∴ －5＋1≤2x ＋y ≤5＋1. (2) x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴ a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴ a ≥2－1.备选变式（教师专享）在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．解：设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝23sin θ，d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455||cos θ－3sin θ－3＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．1. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，求曲线C 1和C 2的交点坐标．解：曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5)，曲线C 2的方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，y ＝x －1x ＝2或x ＝－1(舍去)，则曲线C 1和C 2的交点坐标为(2，1)．2. (2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：直线的普通方程为y ＝x －a.椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1，右顶点为(3，0)，所以点(3，0)在直线y ＝x －a 上，代入解得a ＝3.3. (2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A 、B 两点，求|AB|.解：极坐标方程为ρcos θ＝4的直线的普通方程为x ＝4.曲线的参数方程化为普通方程为y 2＝x 3，当x ＝4时，解得y ＝±8，即A(4，8)，B(4，－8)，所以|AB|＝8－(－8)＝16.4. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：∵ 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，∴ 消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0，①同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x ，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.1. 在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1.圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255.因为d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．2. 已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于点A 、B ，求PA ·PB 的值．解：直线过点P(1，0)，参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，整理得52t 2＋2t －3＝0，则PA·PB ＝|t 1t 2|＝65.3. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点、极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0，3)为圆心、以3为半径的圆，直线l 的普通方程为y ＝3x ＋1，圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.4. 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1) 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2) 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解： (1) 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2) C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．直线的参数方程：经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的普通方程是y －y 0＝tan α(x －x 0)，而过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)．特别说明：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任一点M(x ，y)为终点的有向线段M 0M →的数量，当点M 在M 0上方时，t ＞0；当点M 在M 0下方时，t ＜0；当点M 与M 0重合时，t ＝0.我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同．请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.选修4－5 不等式选讲第1课时绝对值不等式(对应学生用书(理)198～199页)考点分析考点新知含有绝对值的不等式的解法．①理解绝对值的几何意义.②会解绝对值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c.③了解绝对值不等式：|x－c|＋|x－b|≥a的解法.1. 解不等式：|x＋1|>3.解：由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.解：⎩⎪⎨⎪⎧|2x－5|<9|2x－5|≥3Þ⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x－5<92x－5≥3或2x－5≤－3Þ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x≥4或x≤1，得解集为(－2，1]∪[4，7)．3. 已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}, 求a－b的值．解：由|x－a|<b，得a－b<x<a＋b.又|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}，所以a－b＝2.4. 解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.解：原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，2x－1－（x－2）＜0，无解；②⎩⎪⎨⎪⎧12＜x＜2，2x－1＋（x－2）＜0，解得12<x<1；③⎩⎪⎨⎪⎧x≤12，－（2x－1）＋（x－2）＜0，解得－1＜x≤12.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．5. 求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．解：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.1. 不等式的基本性质①a>bÛb<a；②a>b，b>cÞa>c；③a>bÞa＋c>b＋c；④a>b，c>0Þac>bc；a>b，c<0Þac<bc；⑤a>b>0Þa n>b n(n∈N，且n>1)；⑥a>b>0Þna>nb(n∈N，且n>1)．2. 含有绝对值的不等式的解法①|f(x)|>a(a>0) Ûf(x)>a或f(x)<－a；②|f(x)|<a(a>0)Û－a<f(x)<a.3. 含有绝对值的不等式的性质①|a|＋|b|≥|a＋b|；②|a|－|b|≤|a＋b|；③|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.[备课札记]题型1 含绝对值不等式的解法例1 解不等式：|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解： ① 当x<－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴ x<－3.② 当－3≤x<12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x)<x 2＋1，解得x<－25，∴ －3≤x<－25.③ 当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x>2，∴ x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－25或x>2}．备选变式（教师专享）(2011·南京一模)解不等式|2x －4|＜4－|x|.解：原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x<0，4－2x<4＋x或②⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，4－2x<4－x 或③⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －4<4－x ，不等式组①无解．由②0<x ≤2，③2<x<83，得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<83. 题型2 含绝对值不等式性质的运用例2 已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|. 若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)(a ≠0，a 、b ∈R )恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b|＋|a ＋b||a|恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b|＋|a ＋b||a|的最小值．∵ |a ＋b|＋|a －b|≥|a ＋b ＋a －b|＝2|a|，当且仅当(a ＋b)·(a －b)≥0时取等号， ∴|a －b|＋|a ＋b||a|的最小值等于2.∴ x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得12≤x ≤52.变式训练已知函数f(x)＝|x －a|.(1) 若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2) 当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|≥|(2－x)＋(x ＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x ＋3)≥0即当－3≤x ≤2时等号成立．所以实数m 的取值范围是{m|m ≤5}．题型3 含绝对值不等式综合运用例3 设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a ＞0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x ＋2的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝1时，f(x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x ≥3或x ≤－1}．(2) 由f(x)≤0得|x －a|＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x ≤a a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.变式训练已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥2(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，不等式为|x －1|≥1，∴ x ≥2或x ≤0， ∴ 不等式解集为{x|x ≤0或x ≥2}．(2) 不等式的解集为R ，即|ax －1|＋|ax －a|≥2(a>0)恒成立．∵ |ax －1|＋|ax －a|＝a ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －1a ＋|x －1|≥a ⎪⎪⎪⎪1－1a ，∴ a ⎪⎪⎪⎪1－1a ＝|a －1|≥2.∵ a>0，∴ a ≥3， ∴ 实数a 的取值范围为[3，＋∞)．1. (2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：因为不等式|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则a ≤8，即实数a 的取值范围是(－∞，8]．2. (2013·江西)在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解：由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，即－2≤x －2≤2，解得0≤x ≤4，所以原不等式的解集为[0，4]．3. 已知实数x 、y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16.求证：|y|<518.证明：∵ 3|y|＝|3y|＝|2(x ＋y)－(2x －y)|≤2|x ＋y|＋|2x －y|，由题设|x ＋y|<13，|2x －y|<16，∴ 3|y|<23＋16＝56.∴ |y|<518.4. (2013·福建理)设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12 A.(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值．解：(1) 因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.因为a ∈N *，所以a ＝1.(2) 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.1. 解不等式：|x －1|>2x.解：当x<0时，原不等式成立；当x ≥1时，原不等式等价于x(x －1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．2. 若不等式|3x －b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b 的取值范围．解：由|3x －b|＜4，得－4＜3x －b ＜4，即b －43＜x ＜b ＋43.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，所以5＜b ＜7.3. 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2) 若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－3时，f(x)≥3|x －3|＋|x －2|≥3⎩⎨⎧x ≤23－x ＋2－x ≥3或⎩⎨⎧2<x<33－x ＋x －2≥3或⎩⎨⎧x ≥3x －3＋x －2≥3x ≤1或x ≥4.(2) 原命题f(x)≤|x －4|在[1，2]上恒成立 |x ＋a|＋2－x ≤4－x 在[1，2]上恒成立－2－x ≤a ≤2－x 在[1，2]上恒成立－3≤a ≤0.4. 已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}． (1) 求a 的值，(2) 若⎪⎪⎪⎪f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1) 由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}，所以，当a ≤0时，不合题意当a>0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2) 记h(x)＝f(x)－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h(x)＝⎩⎨⎧1，x ≤－1－4x －3，－1<x<－12－1，x ≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k ≥1.1. |ax ＋b|≤c(c ＞0)和|ax ＋b|≥c(c ＞0)型不等式的解法(1) |ax ＋b|≤c －c ≤ax ＋b ≤c ； (2) |ax ＋b|≥c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c.2. |x －a|＋|x －b|≥c(c ＞0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c ＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-4

选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点极轴极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)．则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．跟踪训练1 解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3 ≤θ≤π3.。

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系

第一讲坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ (λ>0)，y ′＝ (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个______O ，叫做极点；自极点O 引一条______Ox ，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的______叫做点M 的极径，记为____；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角______叫做点M 的极角，记为____．有序数对______叫做点M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．如果规定ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式x＝__________，y＝__________ρ2＝________，tan θ＝_________4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为(r,0)，半径为r的圆圆心为(r，π2)，半径为r的圆过极点，倾斜角为α的直线(1)__________或__________(2)θ＝α(ρ≥0)和________(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线过点(a，π2)，与极轴平行的直线1．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB为________三角形．2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________.题型一平面直角坐标系中的伸缩变换例1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x，2y′＝y，(1)求点A(13，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得的直线l′的方程；(3)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得到的曲线C′的焦点坐标．思维升华平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程为________．题型二极坐标与直角坐标的互化例2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．(2013·北京)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．题型三求曲线的极坐标方程例3 已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB ＝π3，△POQ 的面积为8，则PQ中点M 的极坐标方程为________．思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式，解决这类问题，关键是抓住问题的几何意义．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为________．转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．思维启迪将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．解析极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x－3y ＝0.∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.答案3温馨提醒本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫．在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正方向重合；③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.方法与技巧1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．失误与防范极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.A 组专项基础训练1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________． 3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2＋y 2＝16变换为椭圆x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是________．4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 6．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线极坐标方程为________．7．在极坐标系中，曲线ρ＝a sin θ与ρ＝a cos θ(a >0，ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________． 8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 9．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．10．在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.B 组专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π6)＝1的两个交点之间的距离为________．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则|PQ |的最大值为________．5．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________． 6．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .则线段MN 的长为________．7．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为________．答案基础知识自主学习要点梳理1．λ·x μ·y 伸缩变换2．(1)定点射线长度角度弧度逆时针 (2)距离|OM | ρ xOM θ (ρ，θ) M (ρ，θ) ≥ 任意实数(3)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z ) (0，θ)(θ∈R ) 无数 0≤θ<2π 极点惟一惟一3．(1)极点极轴长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx(x ≠0) 4．ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R ) θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝π＋αρcos θ＝a (－π2<θ<π2) ρsin θ＝a (0<θ<π)夯基释疑1．直角 2.43 3.x 2＋y 2－2x －y ＝0 4.(2，π6)，(2，5π6)题型分类深度剖析例1 解 (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于A (x ，y )为(13，－2)， ∴x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，即y ′＝x ′，∴直线l ′的方程为y ＝x .(3)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.可见曲线C ′仍为双曲线，且焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)．跟踪训练1 x 2＋y 2＝1解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.例222解析将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 跟踪训练2 1解析极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 例3 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)解析建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为(ρ，θ)(0<θ<π3)．P 、Q 两点坐标分别为(ρ1,0)，(ρ2，π3)．则有12ρ1ρ2sin π3＝8，①12ρρ1sin θ＝4，② 12ρρ2sin(π3－θ)＝4，③ ②×③得：14ρ2ρ1ρ2sin θsin(π3－θ)＝16，④由①得ρ1ρ2＝323代入④得 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)，即为所求极坐标方程．跟踪训练3 (1)1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ解析如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点，在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 56π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12.∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ. (2)ρ＝2cos θ解析在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A 组 1.⎝⎛⎭⎫1，－π2解析由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 2．ρcos θ＝1解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x y ′＝y 解析设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (λ>0)代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2x 2＝16. 与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧ 16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1，即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y .4. 3解析极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3. 5．(－33，－3)解析点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos 116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 116π＝－3.即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)．6．ρsin θ＝2解析直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，所以所求的直线方程为y ＝2.其极坐标方程为ρsin θ＝2.7．(2a 2，π4) 解析两式相除得tan θ＝1⇒θ＝π4⇒ρ＝a sin π4＝2a 2. 8．相离解析直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝22＝2>1.故直线与圆相离． 9. 3解析直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x . 将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 10．2 3解析将射线与曲线C 1的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝4sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝23，故点A 的极坐标为(23，π3)，同理由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝8sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＝43，可得点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，π3，所以|AB |＝43－23＝2 3.B 组1．－8或2解析将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.2．ρcos θ＝3解析由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.3．2 3解析由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－π3)对应的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin(θ＋π6)＝1对应的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.4．18解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6 解析如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6， |OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. ∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 6．2解析由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x . 把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1. ∴|MN |＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.7．(6－2，6＋2)解析依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sinπ6＝22×32＋22×12＝6＋24，∴x＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2.。

2015高考数学一轮总复习课件：选修4-4坐标系与参数方程

第十六页，编辑于星期五：十三点三分。
3、(2013·安徽高考)在极坐标系中圆 ρ＝2cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A. θ＝0(ρ∈R)和 ρcos θ＝2
π B. θ＝2 (ρ∈R)和 ρcos θ＝2
π C. θ＝2 (ρ∈R)和 ρcos θ＝1 D. θ＝0(ρ∈R)和 ρcos θ＝1.
3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．
4. 了解参数方程，了解参数的意义．
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
第二页，编辑于星期五：十三点三分。
选修4-4
最新考纲基础梳理
自主测评
典例研析
特色栏目
备课优选
第三页，编辑于星期五：十三点三分。
第三十一页，编辑于星期五：十三点三分。
规范解答： (1) 将ρ＝2sin θ＋4cos θ 两边同乘以 ρ 得
x＝2pt2，
__
__(t 为参数)．
y＝2pt
第十二页，编辑于星期五：十三点三分。
自主测评
1、判断下列命题是否正确．
(1)在极坐标系中，点M的坐标有无数多个，但平面内的点与极坐标是
一一对应的关系．( )
(2)曲线的参数方程中的参数都有实际意义，圆的参数方程中的参数θ 与椭圆的参数方程中的参数φ的几何意义相同．( ) (3)极坐标方程及参数方程化为普通方程后表示的曲线是一致的．( ) (4)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一．( )
y＝ρsin θ
tan θ＝x，x≠0
第六页，编辑于星期五：十三点三分。
3. 直线与圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程：若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 □1 ___ρsin_(θ－α)＝ρ0sin_(θ0－α)__．

2015高考数学一轮精品课件：选修4—4 坐标系与参数方程

梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
17
参数方程的应用
【例 3】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
4
5
3
-1- t
5
= 1 + t,
=
(t 为参数),
若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为
ρ= 2cos +
考点一
π
4
,求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.
= 0 + at,
(2)直线 l 的参数方程的一般形式是
(t 为参数),该直线倾斜
= 0 + bt

角 α 的正切为 tanα= (α=0°或 α=90°时例外).当且仅当 a2+b2=1 且 b>0 时,
上式中的 t 才具有(1)中的 t 所具有的几何意义.
第五页，编辑于星期五：十三点六分。
举一反三 2 将极坐标系的极轴与直角坐标系的 x 轴的
非负半轴重合,并取相同的单位长度和角度,求过曲线 ρcos θ+ρsin θ=1 和曲
线
= + 1,
(t 为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程.
=
解:曲线 ρcos θ+ρsin θ=1 在直角坐标系下的方程为 x+y=1,曲线
梳理自测
探究突破
巩固提升
3
1.极坐标系
在平面内取一个定点 O,叫做
极轴
极点 ;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做
;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设 M 是平面内一点,极点 O

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4+第2节+参数方程(共46张PPT)

x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线
l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M
的数量．( )
第五页，编辑于星期五：十一点五十七分。
(2)方程yx＝＝12＋cos2sθin θ 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半
规律方法 3 1.第(2)问利用极坐标方程求两点间的距离，要注意两点：(1)准确把曲线 C1，C2 化为极坐标方程； (2)理解极径的意义．
2．本题将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思维能力及运算求解能力．善于将各类方程相互转化是求解该类问题的前提．
第二十九页，编辑于星期五：十一点五十七分。
联
立
方
程
组
y＝2x－1， y2＝2x，
解得公共点的坐标为 (2,2) ，
12，－1.
第十五页，编辑于星期五：十一点五十七分。
规律方法 1 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法．三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响．
(t 为参数 ) 和
x＝ y＝
2cos θ， 2sin θ
(θ 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为
________．
第十二页，编辑于星期五：十一点五十七分。
【解析】 C1 的普通方程为 y2＝x(x≥0，y≥0)， C2 的普通方程为 x2＋y2＝2. 由yx22＝＋xy，2＝x2≥0，y≥0 得yx＝＝11.， ∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)

2015年高考数学总复习配套课件：选修4-4 坐标系与参数方程坐标系(共46张PPT)

请注意！
从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测 2014 年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化.
第三页，编辑于星期五：十一点三十九分。
第四页，编辑于星期五：十一点三十九分。
第二十四页，编辑于星期五：十一点三十九分。
探究 2
极
坐
标
和
直
角
坐
标
互
化
关
系
式
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ
或
ρ2＝x2＋y2， tanθ＝yxx≠0 是解决本例的突破口．
思考题 2 (1)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为________．
(2)点 P 的极坐标为(3，－π4)，则点 P 的直角坐标为________．
第二十八页，编辑于星期五：十一点三十九分。
(2)在圆 C 的直角坐标方程 x2＋y2－2 2(x＋y)＝0 中，令 y＝ 0，得 x2－2 2x＝0，解得 x＝0 或 2 2，于是得到圆 C 与 x 轴的交点坐标(0,0)，(2 2，0)，由于直线过圆心 C( 2， 2)和点(2 2， 0)，则该直线的直角坐标方程为 y－0＝ 2－2－202(x－2 2)，即 x ＋y－2 2＝0.
(2)ρ＝3，θ＝－4π，故 x＝ρcosθ＝322，y＝－322，
从而点的直角坐标为(3 2 2，－3 2 2)．
【答案】
(1)(2，53π)
3 (2)( 2
2，－32
2 )
第二十七页，编辑于星期五：十一点三十九分。
例 3 圆心 C 的极坐标为(2，π4)，且圆 C 经过极点． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求过圆心 C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．【解析】 (1)圆心 C 的直角坐标为( 2， 2)，则设圆 C 的直角坐标方程为(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝r2，依题意可知 r2＝(0－ 2)2＋(0－ 2)2＝4，故圆 C 的直角坐标方程为(x－ 2)2＋(y－ 2)2 ＝4，而 x2＋y2－2 2(x＋y)＝0，化为极坐标方程为 ρ2－2 2ρ(sinθ ＋cosθ)＝0，即 ρ＝2 2(sinθ＋cosθ)．