安徽省池州市2019-2020第一学期期末考试数学(理)试题Doc1

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【精准解析】安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题

【详解】
z
2i (1 i)3
2i
2i 1 i
D. 第四象限
1
1
i
i
1
i
1 1i， 22
则z 11i， 22
z
在复平面内对应点为
1 2
,
1 2
，在第二象限
故选 B. 【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.
3.如图所示， ABC 中， AB 2, AC 2, BAC 120 ，半圆 O 的直径在边 BC 上，且与边 AB，AC 都相切，若在 ABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆 O 内）的概
A. y sin 4x
B. y cos 2x
C. y sin 2x
D.
y cos 4x
【答案】C
【解析】
【分析】
将 C2
:
y
cos
x
横坐标压缩到原来的一半得到 C1 ，再向右平移
4
得到函数
f
x
【详解】先将 C2 : y cos x 图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线
C1 : y cos 2x ，
率为（）
A. 3 8
B. 3 6
C.
4
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件得到半圆 O 的半径，然后计算出 ABC 的面积和半圆 O 的面积，根据几何概型的公
-2-
式，得到答案.
【详解】如图所示， OA 1， OAC 60 ， r OD 3 ， 2
所以 ABC 的面积 S 1 2 2 3 3 ，
x 2y 1 0 x 1
解
x
y

2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．过点()3,1且与直线l ：3240x y -+=平行的直线l '的方程为（） A ．32110x y +-= B ．2390x y +-= C ．3270x y --= D ．2330x y --=【答案】C【解析】设直线l '：320x y m -+=（4m ≠），根据已知得920m -+=，解方程即得解. 【详解】设直线l '：320x y m -+=（4m ≠）. 将()3,1代入l '方程可得，920m -+=，解得7m =-，故直线l '：3270x y --=，故选：C. 【点睛】本题主要考查平行直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．已知平面α的法向量为()4,3,7-，若直线l ⊥平面α，则直线l 的方向向量可以为（） A ．()8,6,14 B ．()8,6,14-- C ．254,3,7⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．253,4,7⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()8,6,142--=-()4,3,7-即得解. 【详解】因为直线l ⊥平面α，故直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，因为()8,6,142--=-()4,3,7-, 故选：B. 【点睛】本题主要考查线面垂直的向量表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3．若圆1C ：2246120x y x y ++--=与圆2C ：()()2245x y m -++=有且仅有3条公切线，则实数m 的值为（） A ．4 B ．25 C ．5 D ．16【答案】B【解析】由题得1212C C r r =+，即()()2224355m --++=+，解方程即得解.【详解】依题意，圆1C ：()()222325x y ++-=，由题得1C 与2C 外切，则1212C C r r =+，故()()2224355m --++=+，解得25m =，故选：B. 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中2BC AB ==，则平面图形的面积为（）A ．322B ．32C ．2D ．2【答案】C【解析】先求出直观图的面积，再求原图的面积即得解.【详解】由题得4DC =，故直观图的面积为()124262⨯+⨯=，则原图形的面积4S ==，故选：C. 【点睛】本题主要考查斜二测画法，考查原图面积和直观图的面积关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假【答案】D【解析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假，故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．已知椭圆C ：2216439x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若16PF =，则12PF F ∠的余弦值为（）A ．310B ．710C ．25D ．35【答案】A【解析】首先根据椭圆的定义求出2PF ，12F F 的值，再利用余弦定理计算可得. 【详解】解：2216439x y +=Q ，16PF =21216PF PF a +==Q210PF ∴=，而122643910F F =-=，故222112212112361001003cos 2261010PF F F PF PF F PF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题. 7．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11,,2AA AD AB E F ==分别为所在线段的中点，则满足AE BF ⊥的图形为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，进而可得线线垂直.对于不正确选项，将异面直线平移，平移到同一平面内，利用勾股定理逆定理说明线段不垂直即可. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，11,,2AA AD AB E F ==分别为所在线段的中点，设1AD =，则11,2AA AB ==.对于A ，由直线与平面位置关系可知BA AE ⊥,因而,AE BF 为异面直线但是不垂直；对于B ，取11B C 中点1E ，连接11,FE BE ，如下图所示：则11532,,22BF BE E F ===，不满足勾股定理逆定理，因而AE BF ⊥不成立. 在选项C 中，连接,AF EF ，如下图所示：因为1AD =，则2,2AF BF AB ===，故222AF BF AB +=，故BF AF ⊥；而1//EF CC ，故EF ⊥平面ABCD ，故EF BF ⊥，而EF AF F =I ，则BF ⊥平面AEF ，则AE BF ⊥，对于D ，取BC 中点M ，CF 中点N ,1114C H C C =.连接,,,,EM NM NH EH AH ，如下图所示：212,1122AE HE AH ===，不满足勾股定理，所以AE 与HE 不垂直因为////HE MN BF ,所AE 与BF 不垂直. 综上可知，满足AE 与BF 不垂直的只有C 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与平面位置关系，直线与平面垂直的判定，直线与直线的位置关系应用，属于基础题.8．如图，已知点(),3M M x b ，(),3N N x b 在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，其中0<M x ，0N x >，若P 为双曲线C 的右顶点，且PON NOM ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（）A 6B 3C ．2D 5【答案】D【解析】先求出直线ON 的方程为3y x =，求出()3N b b ，再代入双曲线方程即得双曲线的离心率. 【详解】因为PON NOM ∠=∠，由双曲线的对称性可知，3180PON ∠=︒，故60PON ∠=︒，故直线ON 的方程为3y x =，33x b =，得x b =，即()3N b b ，代入双曲线方程可得2231b a-=，解得2ba=，故2215c b e a a==+= 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知圆C 过点(7,2),(1,6),(0,1)-，若直线:10l x y --=与圆C 交于,M N 两点，则||MN =（）AB．CD．【答案】B【解析】根据圆经过三个点，可设圆的一般方程.求得圆的方程后化为标准方程，求得圆心到直线l 的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值. 【详解】圆C 过点(7,2),(1,6),(0,1)-可设圆22:0C x y Dx Ey F ++++=，将(7,2),(1,6),(0,1)-代入可得53720,3760,10,D E F D E F E F +++=⎧⎪+-+=⎨⎪++=⎩解得8,4,5D E F =-==-，整理得22(4)(2)25x y -++=；故圆心(4,2)-到直线:10l x y --=的距离d =，故||MN == 故选：B. 【点睛】本题考查了圆一般方程求法，圆的一般方程与标准方程的转化，直线与圆相交弦长求法，属于基础题.10．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（） A ．p B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】C【解析】由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，可知当34x π=-104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，故p 为假；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则d == 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真，故()p q ⌝∧为真，故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.11．已知抛物线C ：216y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，若抛物线C 上存在一点B 使AB =，则点B 的横坐标为（）A ．4B ．3C ．D ．【答案】A【解析】不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向准线l 作垂线，垂足记为B '，求出45B BA '∠=︒和直线AB 的方程，联立直线AB 和抛物线的方程即得解. 【详解】不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向准线l 作垂线，垂足记为B '，由抛物线定义可知BF BB ='，所以2AB BB '=，45B BA '∠=︒，易知直线AB 倾斜角为45︒，斜率为1，所以直线AB 的方程为4y x =+，与抛物线方程216y x =联立解得4B x =.故选：A 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如图所示，三棱锥S ABC -中，25SA BC ==，53SB AC ==，65SC AB ==，则三棱锥S ABC -的外接球表面积为（）A ．46πB ．692πC ．69πD ．138π【答案】C【解析】将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，求出22269a b c ++=即得解. 【详解】由于三棱锥S ABC -的对棱相等，故将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，则2220a b +=，2253b c +=，2265a c +=三式相加，可得22269a b c ++=，故S ABC -的外接球表面积为22222444694a b c S R ππππ++==⨯=⨯=，故选：C. 【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的计算，考查长方体的外接球的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．若直线1l ：3210x y -+=与直线2l ：210x my ++=相互垂直，则实数m 的值为______. 【答案】3【解析】由题得3220m ⨯-=，解方程即得解. 【详解】由题得3220m ⨯-=，解得3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查直线垂直的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．抛物线C ：24x y =的焦点坐标为______.【答案】1,016⎛⎫⎪⎝⎭【解析】化抛物线的方程为24xy =，即得抛物线的焦点坐标. 【详解】依题意，抛物线C ：24x y =，故124p =，18p =.则焦点坐标为1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,016⎛⎫⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为______.26 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，利用向量法求直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值.【详解】作出图形如下所示，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，故()12,0,4A ，()0,2,2E ，()12,2,4B ，()1,1,0F ，则()12,2,2A E =--u u u r ，()11,1,4B F =---u u u u r ，故直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为26cos 91218θ==⨯. 26【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图所示，三棱锥A BCD -中，ABD ∆、BCD ∆均为等边三角形，23,4AC BC ==，则三棱锥A BCD -的体积为________.【答案】3【解析】根据ABD ∆、BCD ∆均为等边三角形，4BC =，可求得,AO CO 的长.结合23AC =AOC ∆为正三角形.可证明BD ⊥平面AOC ，所以2B AOC D AOC B A A O BCD C V V V V ----=+=，即可求得A BCD V -.【详解】取BD 的中点O ，连接,AO CO ，如下图所示：因为三棱锥,4A BCD AB AD BC DC BD -=====，故3,,4232AO BD CO BD AO CO ⊥⊥==⨯=，又23AC =，所以AOC ∆为正三角形，又因为,,AO BD CO BD AO CO O ⊥⊥⋂=，故BD ⊥平面AOC ，故三棱锥A BCD -的体积为213222(23)433A BCD B AOC D AOC B AOC V V V V ----=+==⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43【点睛】本题考查三棱锥中线面垂直的判断，三棱锥体积的求法，证明BD ⊥平面AOC 是关键，并且2B AOC D AOC B A A O BCD C V V V V ----=+=，属于中档题.三、解答题17．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别是线段11A C ，BC 的中点，求证：（1）平面ABM ⊥平面11B BCC ；（2）1C N ∥平面ABM .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明AB ⊥平面11BB C C ，平面ABM ⊥平面11B BCC 即得证；（2）如图所示，取AB 的中点G ，连接MG ，NG ，证明1C N MG //，1C N //平面ABM 即得证.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，故1BB ⊥平面ABC ，因为AB Ì平面ABC ，故1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BB BC B =I ，1BB ，BC ⊂平面11BB C C ，故AB ⊥平面11BB C C ，又AB Ì平面ABM ，故平面ABM ⊥平面11B BCC ；（2）如图所示，取AB 的中点G ，连接MG ，NG ，因为M ，N 分别是线段11A C ，BC 的中点，故NG AC //，且12NG AC =，因为11//A C AC ，且11A C AC =，故1//NG MC ，且1NG MC =，所以四边形1NGMC 为平行四边形，故1C N MG //，又MG ⊂平面ABM ，1C N ⊄平面ABE ，故1//C N 平面ABM .【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.18．已知某圆锥的轴截面是面积为3的等边三角形，球O 内切于该圆锥. （1）求该圆锥的高；（2）求内切球O 的体积.【答案】（1）高为3；（2）43π 【解析】（1）先求出2BC =，3AD =，即得该圆锥的高；（2）根据相似求得内切球半径3R =，即得内切球O 的体积. 【详解】作出该圆锥的轴截面如图所示：（1）依题意，233BC =，解得2BC =，故1BD CD ==，3AD =，即该圆锥的高为3.（2）依题意，Rt Rt AOE ACD :△△，故OE CD AO AC=. 设OE R =，则3AO R =123R=-，故3R =，故圆锥的内切球体积343433v ππ=⨯=⎝⎭. 【点睛】本题主要考查几何体内切球的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=u u u u r u u u r ，求m 的值.【答案】（1；（2）m =. 【解析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ u u u u r u u u r.将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值.【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=，即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||2MN ==；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--u u u u r u u u r ，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=，故()222481840,m m m ∆=--=->解得m <， 12x x m +=-，2121,2m x x -= 所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=u u u u r u u u r ，又22111x y += 故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-，将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得22m =±.又因为22m -<< 所以22m =±【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题. 20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒，22CB BD ==，6SB SD ==，平面SBD ⊥平面ABCD .（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ；（2）若点P 在线段SC 上，且CP CS λ=，若平面ABP 与平面SBD 所成锐二面角大小为60︒，求λ的值.【答案】（1）见解析（2）23λ=. 【解析】（1）证明BC ⊥平面SBD ，平面SBD ⊥平面SBC 即得证；（2）以A 为原点，分别以AD u u u r ，AB u u u r和平行于SE 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，()224122242λλλ=+-，解方程即得解.【详解】（1）证明：因为2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒，故90CBD ∠=︒，故BC BD ⊥.又平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD I 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面SBD ；因为BC ⊂平面SBC ，故平面SBD ⊥平面SBC ；（2）设E 为BD 的中点，连接SE ，因为6SB SD ==，所以SE BD ⊥，又平面SBD ⊥平面ABCD ，故SE ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r ，AB u u u r和平行于SE 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,4,0C ，()2,0,0D ，()1,1,2S ，因为CP CS λ=u u u r u u u r ，则()()1,3,2,3,2CP CS λλλλλ==--=--u u u r u u u r ，所以()2,43,3P λλλ--，易得平面SBD 的一个法向量为()2,2,0BD =u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面ABP 的一个法向量，()0,2,0AB =u u u r ，()2,43,2AP λλλ=--u u u r ，由0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()20,24320,y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩不妨取()2,0,2n λλ=-r . 因为平面SBD 与平面ABP 所成锐二面角为60︒，()224122242λλλ=+-，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去），故23λ=. 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21．已知命题p ：函数()33sin 262f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[]0,m 上有4个零点；命题q ：函数2250x mx -+<在[]1,3上恒成立.（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数m 的取值范围.【答案】（1）233m >；（2）202333m ≤≤. 【解析】（1）()225g x x mx =-+，解不等式()()1030g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩即得解；（2）先化简命题p 得2083m ≤<，即得实数m 的取值范围. 【详解】（1）令()225g x x mx =-+，则()()1030g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩即702330m m -<⎧⎨-<⎩，解得233m >. （2）若命题p 为真，令()33sin 0262f x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得1sin 262x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，作出函数sin 26y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[)0,+∞上的部分图象如下所示，因为1sin 262x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2266x k ππππ-=-+，或52266x k ππππ-=-+，解得4x k =或443x k =-+，故满足1sin 262x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的x 的值依次为0，83，4，203，8，…，故2083m ≤<. 若()p q ∧⌝为真，则p ，q ⌝均为真命题，所以q 为假命题，由（1）知233 m≤，综上，实数m的取值范围为202333m≤≤.【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题的求解，考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知点A，B是椭圆C：22143x y+=上的两点，过点A作椭圆C的切线l.（1）若AP PB=uu u r uu r，且11,2P⎛⎫⎪⎝⎭，求直线AB的方程；（2）若点A在第一象限，点(),2NN x在直线l上，求OAN∆面积的最小值.【答案】（1）3240x y+-=；（2）最小值为1.【解析】（1）利用点差法求出32ABk=-，即得直线AB的方程；（2）设(),A AA x y，切线方程为y kx m=+，联立22,1,43y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩求出2,2mNk-⎛⎫⎪⎝⎭，8,23kM⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OANS∆=3224mkm--⋅-，利用数形结合即得解.【详解】（1）AP PB=u u u r u u u rQ，∴P为线段AB的中点且点P在椭圆内部；设()11,A x y，()22,B x y，则221122221,431,43x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得，22221212043x x y y --+=，即()()()()12121212043x x x x y y y y -++-+=，故()()12122043x x y y --+=，故121232y y x x -=--，故直线AB ：()13122y x -=--，即3240x y +-=.（2）设(),A A A x y ，切线方程为y kx m =+，因为A 在第一象限，故0m >，k 0<，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2223484120kx kmx m +++-=，由0∆=，得2234k m +=，易知()284234A km k x m k =-=-+，故43A k y k m m m =-⨯+=，则43,k A m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立,2,y kx m y =+⎧⎨=⎩解得2,2m N k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，设OA 与直线2y =交于点M ，故8,23k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()112222OAN MON AMN M N M N A S S S x x x x y ∆∆∆=-=-⨯--⋅- 2118633223M N A k m x x y k m+-=-⋅=⋅⋅ 2123323m m k m-=⋅⋅；又因为22343m k =+>且0m >，所以m >所以()223230m m m m -=->，因为k 0<，所以2123323OAN m m S k m∆-=-⋅⋅，而23212332423m m m k k m m---⋅⋅=-⋅-，而324m k m--恰为A 与点()0,2连线的斜率，要使OAN ∆面积最小，只要切线过点()0,2点即可，所以=2,m 214234k k ∴==-+，故OAN ∆面积的最小值为1.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中面积最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

池州市贵池区2019-2020学年九年级上期末数学试卷(含答案)

2019-2020学年安徽省池州市贵池区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．抛物线y=x 2+2x+3的对称轴是（） A ．直线x=1B ．直线x=﹣1C ．直线x=﹣2D ．直线x=22．点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 1＜y 2＜y 33．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（）A ．﹣1＜x ＜5B ．x ＞5C ．﹣1＜x 且x ＞5D ．x ＜﹣1或x ＞54．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A ． =B ．∠APB=∠ABC C ．= D ．∠ABP=∠C5．若==，则的值为（）A ．2B ．C ．D ．96．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°7．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段AC 的长为（）A ．4B ．4C ．6D ．48．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（） A ．2B ．3C ．D ．9．对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．抛物线y=x 2+bx+c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（） A ．4 B ．6C ．8D ．10二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1= ．12．抛物线y=kx 2+6x ﹣1的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是． 13．若△ADE ∽△ACB ，且=，若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是．14．已知线段AB=20cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为．15．抛物线y=x 2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位所得到的图象解析式为y=x 2﹣2x+c ，则bc= ．16．若函数y=（a ﹣1）x 2﹣4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为．17．在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠B为锐角，则tanB= ．18．已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC= ．19．如图，在三角形ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE= ．20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点（1，1）和（﹣1，0），下列结论：①a﹣b+c=0；②b2＜4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴是直线x=﹣．其中正确的结论是（只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）=，计算：﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值．（2）已知函数y=x2+x﹣，请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．22．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．23．如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB （结果保留根号）24．如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm ，球目前在E 点位置，AE=60cm ．如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．（1）求证：△BEF ∽△CDF ；（2）求CF 的长．25．如图，反比例函数的图象与一次函数y 2=kx+b 的图象交于A 、B 两点．已知A （2，n ），B （﹣，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）请结合图象直接写出当y 1≥y 2时自变量x 的取值范围．26．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2019-2020学年安徽省池州市贵池区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．抛物线y=x 2+2x+3的对称轴是（） A ．直线x=1B ．直线x=﹣1C ．直线x=﹣2D ．直线x=2【考点】二次函数的性质．【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵y=x 2+2x+3=（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故选B ．2．点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 1＜y 2＜y 3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）代入函数y=，求出y 1，y 2，y 3的值，并比较出其大小即可．【解答】解：∵点（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数y=的图象上， ∴y 1==﹣1，y 2=，y 3=，∵﹣1＜＜， ∴y 1＜y 3＜y 2．故选：C ．3．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】先根据图象求出：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），利用数形结合得出不等式的解．【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，故选D．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．=B．∠APB=∠ABC C．=D．∠ABP=∠C【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似进行分析即可．【解答】解：A、两组对应边的比相等，相等的角不是夹角，不能判断△ABP∽△ACB，故此选项符合题意；B、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；故选：A．5．若==，则的值为（）A．2 B．C．D．9【考点】比例的性质．【分析】设比值为k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设===k（k≠0），则a=2k，b=3k，c=4k，所以，==．故选C．6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出s inα=，再由α为锐角，即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0，解得：sinα=，∵α为锐角，∴α=30°．故选B．7．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4 C．6 D．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD 是中线，得出CD=4，再根据AA 证出△CBA ∽△CAD ，得出=，求出AC 即可．【解答】解：∵BC=8， ∴CD=4，在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， ∴△CBA ∽△CAD ， ∴=，∴AC 2=CD•BC=4×8=32， ∴AC=4；故选B ．8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（） A ．2B ．3C ．D ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可．【解答】解：设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC==2x ，则tanB==2，故选：A ．9．对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】二次函数的性质．【分析】利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x 轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．【解答】解：y=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1或y 2＜y 1，错误；③当y=0，则x （﹣x+2）=0，解得：x 1=0，x 2=2，故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确； ④∵a=﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x ＜2时，y ＞0，正确．故选：C ．10．抛物线y=x 2+bx+c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（） A ．4B ．6C ．8D ．10【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=x 2+bx+c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，可以得到c 的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x 2+bx+c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点， ∴解得6≤c ≤14，故选A ．二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1=．【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，，由勾股定理，得OA==2．sin∠1==，故答案为：．12．抛物线y=kx2+6x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是k≥﹣9且k≠0 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由二次函数的定义得到k≠0，然后再依据△≥0时，抛物线与x轴由交点求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知：k≠0．∵抛物线y=kx2+6x﹣1的图象和x轴有交点，∴62﹣4×（﹣1）k≥0．解得：k≥﹣9且k≠0．故答案为：k≥﹣9且k≠0．13．若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且=，∴△ADE与△ACB的面积比为：，∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，∴△ADE的面积是，故答案为：．14．已知线段AB=20cm，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为（10﹣10）cm ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC=×AB=（10﹣10）cm．故答案为：（10﹣10）cm．15．抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位所得到的图象解析式为y=x2﹣2x+c，则bc= 12 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先用b表示出抛物线y=x2+bx+4的顶点坐标，再求出平移后的抛物线顶点坐标，再用c表示出抛物线y=x2﹣2x+c的顶点坐标，两顶点坐标相对比求出b、c的值即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+4的顶点坐标为（﹣，），∴向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标为（﹣+3， +2）．∵平移后图象的解析式为y=x 2﹣2x+c ， ∴顶点坐标为（1，c ﹣1），∴，解得，∴bc=12．故答案为：12．16．若函数y=（a ﹣1）x 2﹣4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ﹣1或2或1 ．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】直接利用抛物线与x 轴相交，b 2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．【解答】解：∵函数y=（a ﹣1）x 2﹣4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b 2﹣4ac=16﹣4（a ﹣1）×2a=0，解得：a 1=﹣1，a 2=2，当函数为一次函数时，a ﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．17．在△ABC 中，AC=6，BC=5，sinA=，∠B 为锐角，则tanB= ．【考点】解直角三角形．【分析】过点C 作CD ⊥AB 与点D ，由AC=6、sinA=，即可求出CD 的长度，在Rt △BCD 中，利用勾股定理即可求出BD 的长度，结合正切的定义即可得出结论．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB 与点D ，如图所示． ∵AC=6，sinA=， ∴CD=4．在Rt △BCD 中，∠BDC=90°，BC=5，CD=3， ∴BD==3，∴tanB==．故答案为：．18．已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC= 8：5 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC=EF：FC=2：3∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3）∴AE：EC=8：5．19．如图，在三角形ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE= 16或9 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】因为对应边不明确，所以分①AD与AC是对应边，②AD与AB是对应边，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：①AD与AC是对应边时，∵AB=24，AC=18，AD=12，∴=，即=，解得AE=16；②AD与AB是对应边时，∵AB=24，AC=18，AD=12，∴=，即=，解得AE=9，∴AE=16或9．故答案为：16或9．20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点（1，1）和（﹣1，0），下列结论：①a﹣b+c=0；②b2＜4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴是直线x=﹣．其中正确的结论是①③④（只填序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），得到a﹣b+c=0，故①正确；②由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），于是得到a+b+c=1，由于a﹣b+c=0，得到a+c=12，b=12．推出b2﹣4ac=14﹣4a（12﹣a）=14﹣2a+4a2=（2a﹣12）2≥0，于是得到故②错误；③当a＜0时，由b2﹣4ac=（2a﹣12）2＞0，得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据根浴系数的关系得到x=1﹣＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴公式即可得到x=﹣=﹣=﹣，故④正确．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=12，两式相减，得2b=1，b=12．∵b2﹣4ac=14﹣4a（12﹣a）=14﹣2a+4a2=（2a﹣12）2，当2a﹣12=0，即a=14时，b2﹣4ac=0，故②错误；③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣12）2＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则﹣1•x===﹣1，即x=1﹣，∵a＜0，∴﹣＞0，∴x=1﹣＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=﹣，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）=，计算：﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值．（2）已知函数y=x2+x﹣，请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的三种形式；零指数幂．【分析】（1）先求出α的度数，再根据实数运算的法则进行计算即可；（2）先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，然后根据顶点式解析式写出对称轴和顶点坐标即可．【解答】解：（1）∵α是锐角，且sin（α+15°）=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3；（2）y=x2+x﹣=（x2+2x+1）﹣﹣=（x+1）2﹣3，所以，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣3）．22．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．【考点】作图﹣位似变换．【分析】利用位似图形的性质得出对应点的交点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为：2：1．23．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【考点】相似三角形的应用．【分析】（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．25．如图，反比例函数的图象与一次函数y 2=kx+b 的图象交于A 、B 两点．已知A （2，n ），B （﹣，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）请结合图象直接写出当y 1≥y 2时自变量x 的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式；（2）求三角形的面积或割或补，此题采用割比法较为容易；（3）根据图象由两交点A 、B ，当反比例函数位于一次函数图象上时求x 的取值范围．【解答】解：（1）把B （﹣，﹣2）代入得：﹣2=，解得m=1，故反比例函数的解析式为：y=，把A （2，n ）代入y=得n=，则A （2，），把A （2，），B （﹣，﹣2）代入y 2=kx+b 得：，解得，故一次函数的解析式为y=x ﹣；（2）△AOB 的面积=×+2×=；（3）由图象知：当y 1≥y 2时，自变量x 的取值范围为0＜x ≤2 或x ≤﹣．26．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P （m ， m 2+2m+1），表示出PE=﹣m 2﹣3m ，再用S 四边形AECP =S △AEC +S △APC =AC ×PE ，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出PF=CF ，再得到∠PCF=∠EAF ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．【解答】解：（1）∵点A （0，1）．B （﹣9，10）在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y=x 2+2x+1，（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1） ∴x 2+2x+1=1，∴x 1=﹣6，x 2=0，∴点C 的坐标（﹣6，1），∵点A （0，1）．B （﹣9，10），∴直线AB 的解析式为y=﹣x+1，设点P （m ， m 2+2m+1）∴E （m ，﹣m+1）∴PE=﹣m+1﹣（m 2+2m+1）=﹣m 2﹣3m ，∵AC ⊥EP ，AC=6，∴S 四边形AECP=S △AEC +S △APC =AC ×EF+AC ×PF =AC ×（EF+PF ） =AC ×PE =×6×（﹣m 2﹣3m ）=﹣m 2﹣9m=﹣（m+）2+，∵﹣6＜m ＜0∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点P（﹣，﹣）．（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，∴P（﹣3，﹣2），∴PF=yF ﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，∴PF=CF，∴∠PCF=45°同理可得：∠EAF=45°，∴∠PCF=∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴，∴，∴t=﹣4，∴Q（﹣4，1）②当△CQP∽△ABC时，∴，∴，∴t=3，∴Q（3，1）．。

19-20学年安徽省池州市东至县七年级上学期期末数学试卷及答案解析

19-20学年安徽省池州市东至县七年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. −2019的绝对值是( )A. −2019B. 2019C. −12019D. 12019 2. 下列计算正确的是( )A. −5+2=−7B. 6÷(−2)=−3C. (−1)2017=1D. −20=13. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为( )A. 3.6×103B. 3.6×104C. 3.6×105D. 36×1044. 当x =−3时，多项式ax 3+bx +1的值是7.那么当x =3时，它的值是( )A. −3B. −5C. 7D. −175. 如图，AB =12，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且AD ：CB =1：3，则DB 的长度为( )A. 4B. 6C. 8D. 106. 甲能在12天内完成某项工作，如果乙的工作效率比甲高20%，那么乙完成这项工作所需的天数为( )A. 6B. 8C. 10D. 117. 要反映南充市一周内每天的最高气温的变化情况，最适合使用的统计图是( )A. 条形统计图B. 扇形统计图C. 折线统计图D. 直方图8. 已知{x =−2y =3是方程x −ky =1的解，那么k 的值为( ) A. −1 B. 1 C. 13 D. −13 9. 下列说法正确的是( )①正整数和负整数统称为整数．②−0.5既是分数，也是负数．③0只表示没有．④正数和负数统称为有理数．⑤一个数不是正数就是负数．⑥既不是正数也不是整数的有理数是负分数．A. ②⑥B. ①②⑥C. ④⑤⑥D. ①⑤10.如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第8个图形中花盆的个数为………………………………………()A. 90B. 72C. 64D. 56二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.计算：−5−(−2)=______．12.单项式−ab2c4的系数是______，次数是______．313.如图，∠1还可以用_____表示，若∠1=62°9′36″，那么62°9′36″=______度．14.近似数2.13万精确到______ 位，0.02951≈______ (精确到0.001)．15.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=56∘，则∠AEG应为_____________．16.若关于x的方程5x+a=12的解是x=2，则a的值为______．17.如图是某厂一年的收入变化的图象．根据图象回答：(1)在这一年中，收入最高的月份是________；(2)6月份的收入是________百万元；(3)收入为4百万元的月份是________；(4)收入不断减少的月份是____至____．18. 定义一种新运算“⊗”，规定：a ⊗b =−13a 2−4ab ，则3⊗(−1)=________．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分） 19. 计算：(1)−14−8÷(−2)3+22×(−3)；(2)[45−(79−1112+56)×36]÷5．20. 解方程组：(1){2x +y =23x −2y =10(2){2x +3(y −2)=6x −y 2=2四、解答题（本大题共6小题，共55.0分）21.化简：(1)5x−y+(6x−9y)(2)(ab−3ab2)−(−2ab+7ab2)22.先化简，再求值：7(2x2y−xy2)−4(−xy2+3x2y)，其中x=−2，y=3．23.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)图中与∠AOF互余的角是________，与∠COE互补的角是________；∠EOF，求∠AOC的度数．(2)若∠AOC=1424.扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量是______，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为______°；(2)补全条形统计图；(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．25.随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p，q的值．(2)如果小华也用该打车方式，车速为55千米/时，行驶了11千米，那么小华的打车总费用为多少？26.如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．(1)数轴上点A表示的数为______．(2)将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S．①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为______．②设点A的移动距离AA′=x．ⅰ.当S=4时，x=______；OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，ⅰ.D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE=13求x的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查绝对值，根据绝对值的定义可求解．解：|−2019|=2019，故选B．2.答案：B解析：解：A、原式=−3，不符合题意；B、原式=−3，符合题意；C、原式=−1，不符合题意；D、原式=−1，不符合题意，故选B各项计算得到结果，即可做出判断．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：36000=3.6×104，故选：B．4.答案：B解析：解：∵当x=−3时，多项式ax3+bx+1的值是7，∴代入得：−27a−3b+1=7，∴27a+3b=−6，∴当x=3时，ax3+bx+1=27a+3b+1=−6+1=−5，故选：B．代入后求出27a+3b=−6，再把x=3代入，即可求出答案．本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．5.答案：D解析：[分析]根据线段中点的性质得BC=12AB=6，再由AD：CB=1：3可得AD=2，然后利用DB=AB−AD 进行计算即可．本题考查了中点的性质.熟练掌握中点的性质是解题的关键．[详解]解：∵C为AB的中点，∴AC=BC=12AB=12×12=6，∵AD：CB=1：3，∴AD=2，∴DB=AB−AD=12−2=10．故选D．6.答案：C解析：本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．设乙完成这项工作的天数为x天，由于工作总量相同，而乙的工作效率比甲高20%，则甲的工作时间比乙多20%，即x⋅(1+20%)=12，然后解一次方程即可．解：设乙完成这项工作的天数为x天，根据题意得x⋅(1+20%)=12，解得x =10，所以乙完成这项工作的天数为10天，故选C ．7.答案：C解析：此题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．解：根据统计图的特点，知要反映南充市一周内每天的最高气温的变化情况，最适合使用的统计图是折线统计图．故选：C ．8.答案：A解析：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x 与y 的值代入方程计算即可求出k 的值．解：把{x =−2y =3代入方程得：−2−3k =1，解得：k =−1，故选A ．9.答案：A解析：解：①正整数、负整数和零统称为整数，故①错误；②−0.5既是分数，也是负数，故②正确；③例如：0℃代表一定的温度，故③错误；④正有理数、负有理数和零统称为有理数，故④错误；⑤0既不是正数也不是负数，故⑤错误；⑥既不是正数也不是整数的有理数是负分数，故⑥正确．故选：A．依据有理数的概念和分类进行回答即可．本题主要考查的是有理数的概念和分类，掌握相关知识是解题的关键．10.答案：A解析：本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据题意总结归纳出花盆总数的变化规律．由题意可知，三角形每条边上有3盆花，共计3×3−3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4−4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5−5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n−n盆花，结合图形的个数解决问题．解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32−3盆花，第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42−4盆花，第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52−5盆花，…第n个图形：正n+2边形每条边上有n盆花，共计(n+2)2−(n+2)盆花，则第8个图形中花盆的个数为(8+2)2−(8+2)=90盆．故选A．11.答案：−3解析：解：−5−(−2)=−5+2=−(5−2)=−3．故答案为：−3．根据有理数减法法则计算．本题考查了有理数减法运算，解题的关键是掌握有理数减法的法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．12.答案：−13；7解析：解：单项式−ab2c43的数字因数是−13，所有字母指数的和是：1+2+4=7．故单项式−ab2c43的系数是−13，次数是7．故答案为：−13，7．根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．本题考查的是单项式系数及次数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．13.答案：∠BCE；62.16解析：本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键．根据角的表示方法，度分秒的换算进行填空即可．解：∠1还可以用∠BCE表示，62°9′36″=62.16°，故答案为∠BCE；62.16．14.答案：百；0.030解析：解：近似数2.13万精确到百位，0.02951≈0.030(精确到0.001)．故答案为百，0.030．根据近似数的精确度求解．本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．15.答案：68°解析：本题考查的是平行线的性质、翻折变换(折叠问题)，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD//BC，∴∠DEF=∠1=56°，由折叠的性质得：∠GEF=∠DEF=56°，∴∠AEG=180°−56°×2=68°．故答案为68°．16.答案：2解析：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=2代入方程计算即可求出a的值．解：∵若关于x的方程5x+a=12的解是x=2，∴5×2+a=12，解得a=2，故答案为2．17.答案：(1)12月；(2)2；(3)1月和11月；(4)1月，8月解析：本题主要考查了学生根据统计图分析数量关系解答问题的能力．(1)观察统计图即可得知；(2)观察统计图即可解答；(3)观察统计图即可解答；(4)观察统计图即可解答．解：(1)观察统计图可知，在这一年中，收入最高的月份是12月份；(2)6月份的收入是2百万元(3)收入为4百万元的月份是1月和11月；(4)收入不断减少的月份是1月至8月．18.答案：9解析：本题考查有理数的混合运算，准确理解新运算的运算方法是解答本题的关键，令a =3，b =−1，代入式子进行计算，即可得出正确答案．解：根据新运算的运算方法可得：3⊗(−1)=−13×32−4×3×(−1)，=−3+12=9．故答案为9． 19.答案：解：(1)原式=−1+1−12=−12；(2)原式=(45−28+33−30)÷5=4．解析：此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．(1)直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；(2)直接利用乘法分配律进而计算得出答案．20.答案：解：(1){2x +y =2①3x −2y =10②①×2+②得：7x =14，解得：x =2，把x =2代入①得：y =−2．所以此方程组的解为{x =2y =−2;(2){2x +3(y −2)=6①x −y 2=2② 由②得：2x −y =4③，①−③得：4y =8，即y =2．将y =2代入②得：x =3，所以此方程组的解为：{x =3y =2．解析：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．(1)方程组利用加减消元法求出解即可；(2)利用加减消元法求出解即可．21.答案：解：(1)5x −y +(6x −9y)=5x −y +6x −9y=11x −10y ；(2)(ab −3ab 2)−(−2ab +7ab 2)=ab −3ab 2+2ab −7ab 2=3ab −10ab 2．解析：(1)直接找出同类项进而合并同类项得出答案；(2)直接去括号进而合并同类项得出答案．此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．22.答案：解：原式=14x 2y −7xy 2+4xy 2−12x 2y=2x 2y −3xy 2，当x =−2，y =3时，原式=2x 2y −3xy 2=2×(−2)2×3−3×(−2)×32=24+54=78．解析：本题主要考查整式的加减法运算，合并同类项，去括号法则，乘法分配原则，关键在于正确的对整式进行化简，认真的进行计算．首先进行乘法运算，再去掉小括号，然后把x，y的值代入计算出结果即可．23.答案：解：(1)∠AOC，∠BOD；∠EOD，∠BOF；(2)∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，∠EOF，∵∠AOC=14∴设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，4x+x+90°+90°=360°，解得x=36°，∴∠AOC=36°．解析：本题考查了余角与补角的概念，角的计算，需要注意根据对顶角相等的性质找出相等的角，避免漏解而导致出错．(1)根据互为余角的和等于90°，结合图形找出即可，再根据对顶角相等找出相等的角；根据互为补角的和等于180°，结合图形找出，然后根据对顶角相等找出相等的角；(2)设∠AOC=x，则∠EOF=4x，根据对顶角相等可得∠BOD=x，然后利用周角等于360°列式进行计算即可求解．解：(1)与∠COE互余的角是∠AOC，∠BOD；图中与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF．故答案为∠AOC，∠BOD；∠EOD，∠BOF；(2)见答案．24.答案：500 108解析：解：(1)本次调查的样本容量是150÷30%=500，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%=108°，故答案为：500，108；(2)B等级的人数为：500×40%=200，补全的条形统计图如右图所示；(3)2000×50500=200(人)，答：该校需要培训的学生人有200人．(1)根据A 等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角的度数；(2)根据(1)中的结果，可以计算出B 等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.答案：解：由题意可知，小明的里程数是8千米，时间为860×60=8(分钟)，小刚的里程数为10千米，时间为1050×60=12(分钟)．所以{8p +8q =12,10p +12q =16.解得{p =1,q =12. (2)因为小华的里程数是11千米，时间为1155×60=12(分钟)，所以总费用是：11p +12q =11×1+12×12=17(元)．答：小华的打车总费用是17元．解析：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程组．(1)根据表格内容列出关于p 、q 的方程组，并解方程组．(2)根据里程数和时间来计算总费用．26.答案：解：(1)4；(2)①6或2；②ⅰ．83；ⅰ.如图3，当原长方形OABC 向左移动时，点D 表示的数为4−12x ，点E 表示的数为−13x ，由题意可得方程：4−12x −13x =0，解得x =245，如图4，当原长方形OABC 向右移动时，点D ，E 表示的数都是正数，不符合题意，故舍去．所以综上所述x =245．解析：此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．(1)利用面积÷OC 可得AO ，进而可得答案；(2)①首先计算出S 的值，再根据矩形的面积表示出O ′A 的长度，再分两种情况：当向左运动时，向右运动时，分别求出A ′表示的数；②ⅰ、首先根据面积可得OA ′的长度，再用OA 长减去OA ′长可得x 的值；ⅰ、此题分两种情况：当原长方形OABC 向左移动时，点D 表示的数为4 −12x ，点E 表示的数为−13x ，当原长方形OABC 向左移动时，点D 、E 表示的数都是正数，不符合题意．解：(1)∵长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3，∴OA =12÷3=4，∴数轴上点A 表示的数为4．故答案为：4．(2)①因为S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半，所以S =6，如图2，得O′A =6÷3=2，当长方形OABC 向左运动时，如图3，A′表示的数为2；当长方形OABC 向右运动时，如图4，因为O′A′=AO =4，所以OA′=4+4−2=6，所以A′表示的数为6.故数轴上点A′表示的数是6或2．故答案为6或2．②ⅰ.如图3，由题意得CO ·OA′=4，因为CO =3，所以OA′=43，所以x =4−43=83；故答案为83．ⅰ.见答案．。

安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(PDF版,含解析)

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安徽省池州市2020届高三数学上学期期末考试试题理【含答案】.docx

安徽省治州市2020届高三数学上学期期末考试试题理满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘少占在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B帽笔填涂；非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。

4.保持答题卡卡面清沽，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知集合A={(x, y)|x—2y+l = 0}, B={(x, y)|x—y=0},则AAB=A.{x=l, y=l}B. {1, 1}C. {(1, 1)}D. O2i -2.己知复数z = W〒，则z在复平面内对应点所在象限为(1-折A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图所示，AABC中，AB=2, AC=2, ZBAC= 120° ,半圆。

的直径在边BC上，且与边AB, AC都相切，若在Z\ABC内随机取一点，则此点取自阴影部分(半圆。

内)的概率为TT4.将函数y=f (x)的图象向左平移二后得到曲线C”再将C】上所有点的横坐标伸长到原来的42倍得到曲线C2,若C,的解析式为y=cosx,则f (x)的解析式为A. y=sin4xB.y=cos2xC.y=sin2xD.y=cos4x5.函数/(x) = J1—4, + h(3x-1)的定义域为B. L]C. L)D. 3 22 4 2 222t26.己知双曲线C ：与一、=1([>0力>0)的两条渐近线均与圆(x-a)2+y 2^ —相切，则 b 4 双曲线C 的离心率为x —y+2, 0x-y+2>02x + y-5<0,则2 =卫一的最大值为x+33 4 3 3A. —B. —C. —D.—55 428.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在端PQ 上，另外三边是由篱笆围成的。

安徽省池州市(鼎尖教育)19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

安徽省池州市（鼎尖教育）19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<3}，B={y|2≤y≤5}，则A∩B=()A. ⌀B. [2,3)C. (2,3]D. [−1,5]2.复数Z=2i1+i，则Z−对应的点所在的象限为()A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<√2的概率为()A. π8B. π8+14C. π4D. π4+144.由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为()A. y=2sin(8x−14π) B. y=2sin(2x+14π)C. y=2sin(2x−18π) D. y=2sin(2x−14π)5.函数f(x)=1ln(x+1)+√4−x2的定义域为()A. [−2,0)∪(0,2]B. (−1,0)∪(0,2]C. [−2,2]D. (−1,2]6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 37.若实数x，y满足不等式组{x+y−1≥0x−y+1≥02x+y−4≤0，则目标函数z=y−54−x的最大值是()A. −1B. −54C. 54D. −148.已知x>0，y>0，且x+y=1，则1x +1y的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 49.已知sin(π6−α)=√33，则cos(2α+2018π3)=()A. 23B. 13C. −23D. −1310. 设a =log 23,b =ln 13,c =512，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a11. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =CC 1，点D ，O 分别是AB ，BC 1的中点．下列结论错误的是( )A. AC 1//ODB. AC 1//平面CDB 1C. AC 1与平面ABC 所成的角为60°D. AC 1与BB 1所成的角为45°12. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点F 作斜率为23的直线，交两条渐近线于A ，B 两点，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =7BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则此双曲线的离心率等于( )A. √52B. √1459C. √173D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. sin315°sin(−1260°)+cos390°sin(−1020°)= ______ ． 15. 已知数列{a n }中，a n =n ·(79)n +1，则此数列的最大项为____．16. 一个三棱锥A −BCD 内接于球O.且AD =BC =5．AC =BD =2√5，AB =CD =√13，则此球的表面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4=3，a 2+a 3=4．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2n−2a n+1+n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，c=a=√3．(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，点D，E分别为BC，CC1的中点．求证：平面ABE⊥平面AB1D.20.某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩(百分制)分布在[40,100]内，同时为了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了n名学生，这n名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示．组数体能成绩分组爱好数学的人数占本组的频率第一组[50,60) 1000.5第二组[60,70) 195p第三组[70,80) 1200.6第四组[80,90)a0.4第五组[90,100]30 0.3(1)求n、p的值；(2)用分层抽样的方法，从体能成绩在[70,90)的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在[80,90)内领队人数为X人，求X的分布列及数学期望．21.已知函数f(x)=x3−x2−x+a．(Ⅰ)当a=2时，求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)若函数y=f(x)有且仅有一个零点，求实数a的范围．22.已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x−1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若直线l：y=x+k与曲线C相切，求k的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={x|−1≤x<3}，B={y|2≤y≤5}，∴A∩B={x|2≤x<3}=[2,3)．故选：B．2.答案：A解析：解：Z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+i，则Z−=1−i，对应的点的坐标为(1,−1)位于第四象限，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数以及复数的几何意义进行判断即可．本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”的面积即可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键．属于基础题．解：(1)如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．设“满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S(M)=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2×12×1×1+12×√2×π2×√2=1+π2，∴P(M)=1+π24=π8+14．故满足|PH|<√2的概率为π8+14．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：由y=2sin(4x−14π)的图象向左平移π2个单位，可得y=2sin(4x+2π−π4)=2sin(4x−π4)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y=2sin(2x−π4)的图象，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数定义域与值域，属于基础题．解：要使函数f(x)=1ln(x+1)+√4−x2有意义，则{ln(x+1)≠0x+1>04−x2≥0，解得−1<x<0或0<x≤2，故选B．6.答案：B解析：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，属于中档题．利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解．解：根据题意，由于双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，可知圆心(0,2)到直线y=bax，即bx−ay=0的距离为圆的半径为1，得0−2a √a 2+b 2=1，则a 2+b 2=4a 2，化简得b 2=3a 2，则其离心率为e =ca =√(ca )2=√1+(ba )2=2，故选B ．7.答案：A解析：本题考查了线性规划问题，二元一次不等式(组)与平面区域，范围与最值问题，属于中档题．根据题意，画出可行域，根据几何意义是可行域内的点与P(4,5)连线的斜率的相反数数形结合求解即可．解析：解：画出可行域如图：由目标函数z =y−54−x =−y−5x−4，得目标函数的几何意义是，可行域内的点与P(4,5)连线的斜率的相反数，由图可知PA 连线的斜率是最小值，则z 取最大值，由{x +y −1=0x −y +1=0，解得A(0,1)，此时z 的最大值为z =1−54−0=−1．故选A ．8.答案：D解析：利用“1”的代换的思想，将1x +1y 转化为(1x +1y )(x +y)，展开，利用基本不等式即可求得1x +1y 的最小值．本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．解：∵x +y =1，∴1x +1y =(1x +1y )(x +y)=yx +xy +2≥2√yx ⋅xy +2=4，当且仅当yx =xy ，即x =y =12时取“=”，∴1x +1y 的最小值为4．故选：D ．9.答案：D解析：解：∵sin(π6−α)=√33，则cos(2α+2018π3)=cos(2α+672π+2π)=cos(2α+2π)=cos2(α+π) =2cos 2(α+π3)−1=2sin 2(π6−α)−1=2⋅13−1=−13，故选：D ．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题主要考查了对数函数性质与比较大小，属于基础题．由对数函数的性质化简即可求解．解：∵1=log 22<a =log 23<log 24=2， b =ln 13<ln1=0，c =512=√5>2，故b <a <c ．故选B ．11.答案：C解析：本题主要考查了多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，属于基础题．逐个选项分析判断即可．解：由中位线得AC 1//OD ，A 正确；因为AC 1//OD ，OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，所以AC 1//平面CDB 1，B 正确；因为CC 1⊥平面ABC ，所以∠C 1AC 即为AC 1与平面ABC 所成的角，因为AC =CC 1，所以∠C 1AC =45°，C 错误；因为CC 1//BB 1，所以AC 1与BB 1所成的角为45°，D 正确．故选C ．12.答案：A解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．设出F(c,0)，直线AB 为x =32y +c ，联立渐近线方程可得A ，B 的纵坐标，再由向量共线的坐标表示可得a ，b 的关系，再由离心率公式计算可得所求值．解：可设双曲线的F(c,0)，直线AB 为x =32y +c ，双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，联立直线AB 的方程，可得y A =2bc 2a−3b ，y B =−2bc2a+3b ，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =7BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2bc 2a−3b =7(0+2bc2a+3b )，化为14a −21b =2a +3b ，即a =2b ，则双曲线的离心率e =c a =√1+b 2a 2=√1+14=√52，故选A ．13.答案：18解析：解：在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2cos∠CAB =AC AB =12 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =32×16−52×4×2×12+4=18 故答案为：18．在直角三角形ABC 中，求得cos∠CAB =AC AB =12，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题． 14.答案：34解析：解：sin315°sin(−1260°)+cos390°sin(−1020°)=−sin45°sin180°+cos30°sin60°=34．故答案为：34．利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数求值，考查计算能力． 15.答案：a 4解析：本题主要考查了数列的函数特征，考查学生的计算能力和理解能力，属于基础题．解：根据题意可得a n+1−a n =(79)n ·7−2n 9，故当n =1，2，3时，a n+1>a n当n ≥4时，a n+1<a n ，所以此数列的最大项为a 4，故答案为a 4．16.答案：29π解析：本题考查球的表面积的求解，由已知可将三棱锥A −BCD 放入长方体内考虑求解即可．解：因为AD =BC =5．AC =BD =2√5，AB =CD =√13，所以可将棱锥放入长方体内，如下图，则三棱锥A −BCD 的外接球与长方体的外接球相同，高长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，则由已知有{a 2+b 2=25a 2+c 2=20b 2+c 2=13，设外接球的半径为R ，则4R 2=a 2+b 2+c 2=29，所以外接球的表面积为S =4πR 2=29π．故答案为29π．17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则{a 12q 3=3,a 1q +a 1q 2=4,，解得{a 1=13q =3或{a 1=9q =13，又因为数列{a n }是递减数列，所以{a 1=13q =3{a 1=9q =13，故数列{a n }的通项公式为a n =33−n ;(2)由(1)得b n =2n−2×32−n +n =(23)n−2+n ，故T n =32[1−(23)n ]1−23+n(n+1)2=92−92×(23)n+n+n 22．解析：本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题．(1)设出等比数列的公比，结合题意列出a 1，q 的方程，解得即可；(2)根据(1)中{a n}的通项公式，可得b n=2n−2×32−n+n=(23)n−2+n，最后可求出数列{b n}的前n 项和T n．18.答案：解：(Ⅰ)由题设及正弦定理可得：b2=2ac．又因为a=c=√3，可得：b=√6，由余弦定理可得：cosB=a 2+c2−b22ac=2×√3×√3=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=a2+c2．可得：B=90°，因为：c=a=√3．所以：△ABC的面积为S=12×√3×√3=32．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由题设及正弦定理可得：b2=2ac，结合a=c=√3，可求b=√6，由余弦定理可得cos B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=a2+c2.利用勾股定理可得B=90°，利用三角形面积公式即可计算得解．19.答案：证明：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴AB⊥BB1，∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵DB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥DB1，∵在平面BCC1B1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1为正方形，∵D，E分别为BC，CC1的中点，∴△BCE∽△B1BD，∴∠CBE=∠BB1D，∴∠CBE+∠B1DB=90°，即B1D⊥BE，∵BA∩BE=B，∴B1D⊥平面ABE，又DB1⊂平面AB1D，∴平面ABE⊥平面AB1D.解析：本题考查面面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属中档题．先证明B1D⊥平面ABE，再利用面面垂直的判定即可证明．20.答案：解：(1)由题知第一组的频率为0.02×10=0.2、人数为1000.5=200，故n=1000．第二组的频率为1−(0.02+0.025+0.015+0.01)×10=0.3∴p=1951000×0.3=0.65．(2)由(1)可得a=60，∴抽出的6人中有4人体能成绩在[70,80)，2人体能成绩在[80,90)．则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C42C62=615，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115．分布列为：EX=0×615+1×815+2×115=23．解析：(1)由题知第一组的频率为0.02×10=0.2、人数为1000.5=200，故n=1000.则第二组的频率为1−(0.02+0.025+0.015+0.01)×10=0.3，求出p；(2)先计算抽出的6人中有4人体能成绩在[70,80)，2人体能成绩在[80,90).确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望．本题考查等可能事件的概率以及频率分布表，考查X的分布列及数学期望．解题的关键是理解概率问题中事件包含的基本事件的个数和求法，以及能利用频率分布表的特征计算各组的频率与频数．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=3x2−2x−1，∴f′(0)=−1，当a=2时，f(0)=2．∴切线方程为y−2=−x，即x+y−2=0．(Ⅱ)f′(x)=(3x+1)(x−1)，令f′(x)=0，解得，x=−13或1．由表格可知：f(x)极大值是f(−13)=527+a，f(x)极小值是f(1)=a−1，函数y=f(x)有且仅有一个零点，须527+a<0，或a−1>0．解得a<−527或a>1时，函数有且仅有一个零点．解析：(I)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得出切线的方程；(II)利用导数研究函数的单调性极值，函数y=f(x)有且仅有一个零点，必需f(x)极大值<0，或f(x)极小值>0，解出即可．本题考查了导数的几何意义、切线的方程、利用导数研究函数的单调性极值解决函数y=f(x)有且仅有一个零点满足的条件，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.答案：解：(1)圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x−1)2+y2=9，设动圆P半径为R．∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R<3动圆P与圆M外切，则PM=1+R，动圆P与圆N内切，则PN=3−R，∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．∴P是以M、N为焦点的椭圆．∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，∴b2=a2−c2=4−1=3，∴C 的方程为x 24+y 23=1(x ≠−2)； (2)由{x 24+y 23=1y =x +k，得：7x 2+8kx +4k 2−12=0，若直线l 和曲线C 相切，则△=64k 2−28(4k 2−12)=0，解得：k =±√7．解析：(1)根据PM +PN =4，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值，得到P 是以M 、N 为焦点的椭圆，求出椭圆方程即可；(2)联立直线l 和曲线C 得到方程组，根据△=0，得到关于k 的方程，解出即可．本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和曲线的位置关系，是一道中档题．。

(9份试卷汇总)2019-2020学年安徽省池州市数学高一(上)期末综合测试模拟试题

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A.20，22.5B.22.5，25C.22.5，22.75D.22.75，22.752．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋃ð= A.{2,6}B.{3,6}C.{}1,3,4,5D.{}1,2,4,63．平面直角坐标系xOy 中，角的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O 点逆时针旋转后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（） A.B.C.D.4．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（）A.15B.25C.40D.605．若函数2()2f x x x m =+-在[0,2)上有零点，则m 的取值范围为（） A.(0,8)B.[0,8]C.(0,8]D.[0,8)6．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB u u u r ＝a r，BC u u u r ＝b r ，则AM u u u u r＝( )A ．1()2a b +r rB ．1()2a b -r rC ．12a b +r rD ．12a b +r r7．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（）A ．3045o o ，B ．4530o o ，C ．3060o o ，D ．6045o o ，8．已知非零向量m r ，n r 满足2m n r r =，,m n r r夹角的余弦值是13，若()tm n n +⊥r r r ，则实数t 的值是（）A ．32-B ．23-C ．12-D ．129．下列说法中正确的有( )个πy cos 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭①的图象关于πx 6=-对称；πy tan 2x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②的图象关于π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称；πy sin 2x 3③⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,π内的单调递增区间为5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若()f x 是R 上的奇函数，且最小正周期为T ，则T f 02⎛⎫= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．410．已知梯形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =.按照斜二测画法作出它的直观图''''A B C D ，则直观图''''A B C D 面积为( ) 3 B.22 C.324D.32211．函数212log ,02()3log (),22x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()f a f b f c ==，则下列结论不恒成立的是（） A.1ab =B.32c a -=C.240b ac -<D.2a c b +<12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（） A.5 B.5C.52D.62二、填空题13．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．14．函数sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为______． 15．若函数()y f x =的图像经过点(1,2)，则()1y f x =-+的图像必经过的点坐标是_______. 16．已知数列{}n a 满足：217n a n =-，其前n 项的和为n S ，则13S =_____，当n S 取得最小值时，n 的值为______. 三、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <. （1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由.18．已知定义域为R 的函数31()31x x n f x ⋅-=+是奇函数。