排列组合问题的类型及解题策略
高中数学 排列组合的常见题型及其解法解题思路大全
排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。
三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
数学排列组合常见题型及解法
例5. 9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有 种。
7.至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例7亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）
【华图解析】直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。
小球数/小盒数 全错位排列
1 0
2 1（即2、1）
3 2（即3、1、2和2、3、1）
4 9
5 44
6 265
当小球数/小盒数为1～3时，比较简单，而当为4～6时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
题目：排列组合常见种类与解决办法
题目：排列组合常见种类与解决办法排列组合常见种类与解决办法介绍排列组合是离散数学中的一个重要概念，应用广泛于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
排列组合问题涉及到元素的排列和组合方式，常见的种类包括排列、组合、置换和分组等。
本文将介绍这些常见的排列组合种类，并提供相应的解决办法。
排列排列是指从一组元素中选取若干元素进行排序，其中元素的顺序是重要的。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的排列无重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的排列数。
$$P(n) = n!$$2. 递归法：可以通过递归的方式来生成所有可能的排列。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行排列。
有重复元素的排列有重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 字典序法：首先将元素按照字典序排序，然后通过递归的方式生成排列。
组合组合是指从一组元素中选取若干元素，无需考虑元素的顺序。
组合问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的组合无重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 组合数公式：对于给定的元素个数 n 和选取的元素个数 k，可以使用组合数公式来计算组合数。
$$C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}$$2. 回溯法：通过回溯的方式生成所有可能的组合。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行组合。
有重复元素的组合有重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 增加限制条件：在生成组合的过程中，设置限制条件，限制重复元素的选择次数。
置换置换是指从一组元素中选取若干元素进行排列，其中元素的顺序非常重要。
与排列不同的是，置换要求选取的元素个数与元素总数相同。
置换问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的置换数。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。
在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。
1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。
解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。
公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。
2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。
解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。
公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。
3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。
解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。
公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。
4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。
解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。
公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。
解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。
2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。
解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。
3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。
例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。
解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。
4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。
例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。
解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。
5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。
例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。
解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。
通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。
排列组合20种解法策略
圆梦教育中心 高考难点排列组合排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合易混问题五种类型举例说明
排列组合易混问题五种类型举例说明陈列组合运用效果解法共同，其中有些标题由于一字不同，解法就差异很大。
下面就详细剖析几例。
一、邻与不邻例1、〔1〕7名同窗站成一排，其中甲、乙必需站在一同，有多少种不同的排法？ 〔2〕7名同窗站成一排，其中甲、乙不站在一同，有多少种不同的排法？解析：〔1〕相邻效果采用〝捆绑法〞，把相邻的元素捆绑在一同，看成一个大元素与其他元素停止全陈列，然后再松绑，故答案为62621440A A ⋅=种排法。
〔2〕不相邻效果采用〝插空法〞，先排好其他的元素，然后将不能相邻的元素拔出空位，故答案为52563600A A ⋅=种排法。
二、重与不重例2、〔1〕用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个三位数？〔2〕用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个没有反双数字的三位数？ 解析：〔1〕每个数字都可以重复运用，故每位数上都可以取9个数中的一个，用分步计数原理，故答案为9×9×9=729个。
〔2〕数字不允许重复，那么必需取不同的三个数字组成，故答案为39504A =个。
三、均与不均例3、〔1〕将6本不同的书，平均分红三份，有多少种不同的分法？〔2〕将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？ 解析：〔1〕设均分红三份有X 种分法，再分给甲乙丙三人，每人分得2本，那么应有32223642X A C C C ⋅=⋅⋅，故2226423315C C C X A ⋅⋅==种分法。
〔2〕从6本书中任取2本给一团体，再从剩下的4本中任取2本给另一团体，剩下的2本给最后一团体，故有22264290C C C ⋅⋅=种分法。
四、放回与不放回例4、箱中有4个不同的白球和5个不同的红球，延续从中取出3个球， 〔1〕取出后放回，且取出顺序为〝红白红〞的取法有多少种？〔2〕取出后不放回，且取出顺序为〝红白红〞的取法有多少种？解析：〔1〕取出后放回，每次取球一直在9个球中取，依据分步计数原理，共有 111545100A A A ⋅⋅=种取法。
组合问题的解题方法与策略
组合问题的解题方法与策略组合问题是数学中的一种重要问题类型，它涉及到如何从已知元素中选择若干个元素进行排列或组合的问题。
解决组合问题需要掌握一些基本的解题方法和策略，下面我们来探讨一下这些问题的解法。
1. 计数法组合问题通常需要用计数法解决。
计数法包括：乘法原理、加法原理、排列组合原理等。
在解决组合问题时，我们需要根据具体的情况选用适当的计数方法。
2. 套路思维解决组合问题需要具备一定的套路思维。
例如，要求从元素集合中选择若干个元素进行排列，我们可以采用先选择一个元素，再选择一个元素，依次类推的方法解决问题。
这种方法可以简化组合问题的复杂度，帮助我们更快地得到答案。
3. 逆向思维逆向思维也是解决组合问题的常用策略。
在一些组合问题中，我们需要求出不符合条件的情况，然后用总情况数减去不符合条件的情况，就得到符合条件的情况数。
这种逆向思维可以大大简化组合问题的解决过程。
4. 变量替换有些组合问题中，我们需要求的是具有相同属性的元素组合数。
这种情况下，我们可以采用变量替换的方法，将具有相同属性的元素看做同一种元素，进而求出元素的排列或组合数。
例如，要求从20个球中选出10个蓝球，我们可以将20个球看做同一类元素，10个蓝球看做一个元素，然后求出从11个元素中选取10个元素的组合数。
5. 推理与归纳在解决组合问题时，我们需要善于推理和归纳。
例如，在一些组合问题中，我们需要求出满足一定条件的元素排列或组合数，我们可以通过归纳和推理，得出这些元素的特性，然后进一步求解。
综上所述，解决组合问题需要掌握计数法、套路思维、逆向思维、变量替换、推理与归纳等方法和策略。
熟练掌握这些技巧，可以大大提高解决组合问题的效率和准确性，帮助我们更好地应对数学竞赛和考试中的组合问题。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题一般可分为相异元素不许重复的排列组合问题，相异元素允许重复的排列组合问题和不尽相异元素的排列组合问题.对于复杂的排列组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本排列组合的题型对学好本节内容是很有必要的.一、相异元素不许重复的排列组合问题1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？解析车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？解析因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？解析将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.故共有[A66A33=4320]种排法.点拨对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解析先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.点拨对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.例5 有9本不同的书，分成3堆.（1）每堆3本有多少种不同的分法；（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.解析（1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.点拨对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.二、相异元素允许重复的排列组合问题不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（）A. [A34]B. [43]C.[34]D.[C34]解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.答案 B例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.[1][2][3][4]解析这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.点拨对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.三、不尽相异的元素的排列组合问题这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？解析将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？解析由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？解析这是一道选人问题，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序，因此可以将10个人看成10个相同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球，可先把10个球排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，故有[C49=126]种选法，这种计数方法叫做隔板法，可专门用来解决同种元素的分配问题.以上是对一些常见排列组合问题的分类和小结，它们对应着不同的题型，在解题过程中需灵活多变，其实在解决大多数计数问题时，往往要交叉用到排列、组合，不能拘泥于某种分类，但必须要清楚排列和组合间的区别.。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是数学中一个重要的分支，主要研究给定一组对象（元素）的排列和组合形式。
在各个领域中，排列组合问题都有很多实际应用，如密码学、统计学、概率论等。
下面将介绍排列组合问题的类型及解答策略，并给出相关参考内容。
1. 排列问题排列问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行排列，其中m<=n。
排列问题中的元素顺序是重要的，即同样的元素组成的不同排列被认为是不同的结果。
解答策略：排列问题可以使用递归、回溯法或动态规划等方法进行解答。
参考内容：- 《Introduction to the Theory of Computation》(第3版) by Michael Sipser- 《Discrete Mathematics and Its Applications》(第7版) by Kenneth H. Rosen- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik2. 组合问题组合问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行组合，其中m<=n。
组合问题中的元素顺序不重要，即同样的元素组成的不同组合被认为是相同的结果。
解答策略：组合问题可以使用递归、回溯法或组合数学的相关公式进行解答。
其中，组合数学中的二项式系数的性质是解决组合问题的关键。
参考内容：- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik- 《Combinatorial Mathematics for Recreation》 by Ronald L. Graham, Edouard Lucas, and Donald E. Knuth- 《Applied Combinatorics》(第6版) by Alan Tucker3. 排列组合问题排列组合问题是指在从给定的n个元素中选取m个元素的基础上，对选取出的元素进行排列的问题。
排列组合问题的类型及解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略四川省双流县中学 周汝东排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A 22种；中间4个为不同的商业广告有A 44种，从而应当填 A 22·A 44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A ）720B ）360C ）240D ）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是概率论的一个重要内容，常见于数学和统计学的相关考试中。
它涉及将一组元素按照一定的规则进行排列或组合，从而求解出不同可能性的个数。
在数学领域中，排列与组合属于不同的问题类型，需要采用不同的解答策略。
首先，我们来讨论排列问题。
排列指的是从给定的一组元素中按照一定顺序选取若干个元素，形成一个有序的排列。
对于排列问题，常见的求解策略有全排列和有限排列两种。
全排列问题是指将给定的所有元素进行排列，即对于每一个元素都有可能处于不同的位置。
解答全排列问题时，可以使用递归算法。
首先确定第一个位置的元素，然后将剩余的元素进行全排列，依次确定后面的位置，直到所有元素都被排列。
全排列问题的解答策略比较直接，但对于元素较多的情况下，可能会导致运行时间较长。
有限排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列，但排列的长度有限制，即不一定需要将所有元素都排列出来。
解答有限排列问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路与全排列问题类似，需要确定每个位置的元素，但要考虑到排列的长度限制。
迭代算法则可以通过循环来实现，每次选取一个元素并确定位置，直到达到排列长度限制或所有元素都被选取。
接下来，我们讨论组合问题。
组合指的是从给定的一组元素中选取若干个元素，形成一个无序的组合。
对于组合问题，常见的求解策略有全组合和有限组合两种。
全组合问题是指将给定的所有元素进行组合，即对于每一个元素都有可能被选取或不被选取。
解答全组合问题时，可以使用位运算的思想。
假设元素个数为n，可以使用n位二进制数表示每个元素的选取状态，0表示不选取，1表示选取。
通过遍历所有可能的二进制数，即可得到全组合的解。
有限组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，但组合的个数有限制。
解答有限组合问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路是从第一个元素开始选取，然后对剩余元素进行组合，依次确定后面的元素，直到达到组合个数限制或所有元素都被选取。
排列组合的计算方法
排列组合的计算方法排列组合的计算方法有：一、穷举法（枚举法）适合题目类型：①答案选项数字偏小或者题目中总数较小——10个左右；②骰子问题。
（一枚骰子6种情况，2枚骰子36种情况）注意事项：枚举法是最简单也是最容易出错的方法，所以在枚举时要按照一定的规律去列举，切不可想到一种列一种，这样容易列少或者列多。
二、捆绑法适合题目类型：“相邻”或“在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个要求相邻的排列组合问题，可将相邻的元素看做一个“元”与其他元素排列，然后对“元”的内部进行排列。
三、插空法适合题目类型：“不相邻”或“不在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先讲其他元素排好，再将不相邻的元素在已排列好的元素之间空隙中及两端插入即可。
四、隔板法适合题目类型：处理相同的东西分给不同的人，每人至少一个的排列组合问题。
注意事项：隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n个元素分成（n+1）组的方法，应用隔板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异；（2）所分成的每一组至少分得一个元素；（3）分成的组彼此相异。
基本公式：n个元素产生n-1个空，分成m组，插入m-1块板，所以总数为。
五、分组除序法适合题目类型：处理不同的元素分给不同的组的排列组合问题。
注意事项：不同的元素分给不同的组，如果有出现人数相同的这样的组，并且该组没有“名称”，则需要除序，有几个相同的就除以几的阶乘，如果分的组有名称，则不需要除序。
六、特殊元素优先安排适合题目类型：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
注意事项：根据题目找到“特殊元素”，这才是解题的切入点。
七、正难反易法适合题目类型：对于一些直接求解较为复杂的问题，从正面入手很难解决，这时可从反面入手，从而将其转化为一个简单的问题来处理。
注意事项：要能够准确的找到一些问题的反面，比如“至少一个”的反面是“一个都没有”等等。
排列组合题型及解数策略
排列组合题型及解数策略
排列组合题型是指从一定的元素中按照一定的规则进行排列组合，从而得出结果的题型。
解数策略：
1.
明确题目要求：首先要明确题目的要求，比如求出多少种排列组合，求出某种排列组合的概率等。
2.
找出规律：根据题目要求，找出排列组合的规律，比如排列组合的元素有多少，每个元素有多少种可能性等。
3.
分析排列组合：根据规律，分析排列组合的可能性，比如求出某种排列组合的概率，求出某种排列组合的数量等。
4. 求解：根据分析的结果，求出题目的答案。
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排列组合应用题的类型及解题策略四川省双流县中学 周汝东排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A 22种；中间4个为不同的商业广告有A 44种，从而应当填 A 22·A 44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A ）720B ）360C ）240D ）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
（3）．不全相邻排除法，排除处理例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：533235332372A A A A A --=222232或3A A A 例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是 解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐2个位置乙可坐1个位置 2＋2＝4 1＋1＝2 此种情况共有4＋2＝6种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右∴ 甲左乙右总共有55102110128910=⨯+=+++++Λ种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。
综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。
），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。
），共有346)611(2220=+-A 种2、顺序一定，除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。
解：5面旗全排列有55A 种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 55323210A A A = 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是 。
（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有22525A A +⨯＝30种不同排法。
解二：6!4!=30 例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）A ）210个B ）300个C ）464个D ）600个解： 155513002A A = 故选（B ） 4、多元问题，分类法例10．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有2454C A ⋅=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有3454C A ⋅=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有45120A =种选法，共有600种不同的选派方案．例11：（06全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =。
选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有25C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有35C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有35C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种 数有55C =1种；总计有49种，选B.解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有25C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有35C=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有45C=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有55C=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。
选B.例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有144C=种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C=种方法；则不同的放球方法有10种，选A．说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。
5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A）6种B）9种C）11种D）23种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。
所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。
故选B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。
例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.(用数字作答) 。
（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A ） 5388C CB ）153288A C C C ）3588A A D ）88A 解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 88A 种座法。
∴选（D ）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B.例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)【解析】两老一新时, 有112322C 12C A ⨯=种排法；两新一老时, 有123233C C 36A ⨯=种排法,即共有48种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215C C A ⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，选B.说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。