第2章矩阵的初等变换与线性方程组

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矩阵的初等变换与线性方程组习题

另解:
x
x1 x2 x3 x4
1 6
11 01
k
5 7 5 6
.
1 3
2 2
3 1
1 1
11
B 2 3 1 1 1
r1+r3 r2+r3
3 5
5 5
4 2
0 0
22
2 3 1 1 1
2 5
2 5
2 2
1 0
21
r4+r3 r5–r2
4 0
5 0
3 0
0 0
02
2 0 2 0 0
(1) AX=B
初等行变换
( A B) ~ (E A1B) X A1B.
(2) XA=B 初等行变换
~ ( AT BT )
(E ( AT )1 BT )
X T ( AT )1 BT X BA1 .
例5:
设
A
3 1 0
0 1 1
1 0 4
, 且AX=A+2X,
求矩阵X.
解: 因为 AX=A+2X, 所以(A–2E)=A, 而
个等价类, 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.
八、矩阵的秩
若在矩阵A中有一个r 阶子式D非零, 且所有的r+1 阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A).
矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个r 阶子式非零, 则 R(A) r . 如果A的所有的r+1阶子式都为零, 则 R(A) r . R(AT) = R(A). 定理: 若A B, 则 R(A) = R(B). 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) A的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n; (3) A的标准形为单位矩阵E; (4) AE.

线性代数-第2章

第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。

任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。

通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。

总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。

因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。

矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。

满秩矩阵的行列式不等于零。

非满秩矩阵的行列式必为零。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。

齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。

当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。

通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。

在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。

矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。

矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。

即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。

矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。

如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。

矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？（都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？（阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程；将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

第2章线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件

11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常数列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，

线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课

二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23

a21
a22
a23

a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41

A*

A12

A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42

A43 A44

R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0

0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且

线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n，其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1，且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。

第2章_矩阵的初等变换与线性方程组

解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点：特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零；可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行每个台阶只有一行，的行数，的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的非零首元。素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时，在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的特点：特点：非零首元为1，且其所在列的其他元素全为。非零首元为，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程消元过程与增广矩阵的解将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程进行对比。进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7

线代学习指导第二章矩阵

（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换：（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）；（3）某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则

矩阵的初等变换与线性方程组的求解

3 2 2 2
x1 x 2 x 3 x2 x3 4 x2 3 x3 3 x2 2 x3
3 0 2 2
第四步把第二个方程以下的方程中的 x2 都消去．第三个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程的3倍，可得
例如
矩阵
1 1 0 2 0 0 5 10 0 0 0 3
1 2 0 3 6 与 0 0 2 1 3 0 0 0 0 0
都是行阶梯形矩阵．
1 0 0 0
2 3 4 2 4 2 不是行阶梯形矩阵． 0 5 3 0 4 0
x1 x 2 x 3 x2 x3 4 x2 3 x3 3 x2 2 x3
3 0 2 2
x1 x 2 x 3 3 x2 x3 0 x3 2 x 3 2
第五步把第三个方程以下的方程中的 x 3 消去．第四个方程加上第三个方程，可得 x1 x 2 x 3 3 x2 x3 0 (2.4) x3 2 0 0
第六步用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4) 与原方程组等价．由方程组(2.4)的第三个方程得 x3 2 ，代入第二个方程得 x2 2；再把 x3 2, x2 2 代入第一个方程可得 x1 3 ．于是，
x1

x2 x2

x3 x3 x3 0
x1 x 2 x 3 x2 x3 4 x2 3 x3 3 x2 2 x3 3 0 Fra bibliotek 2 2三
步
在 B2中，使第二行第一元素为1，第二行加上第三行后再乘以（ 1 ）

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。

这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。

一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。

这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。

三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。

3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。

二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。

下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。

假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。

1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。

这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。

2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。

这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。

如果系数k为0，则可以直接删除该方程。

3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。

第二讲：矩阵初等变换与线性方程组

(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的．
4. 方程组的同解变换例解线性方程组

2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
对此线性方程组,可做如下三种消元变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.
进而有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.

n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
练习判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
变换ri 2rj不可写成2rj ri； 2ri 3rj无此变换；
1 0 练习：对矩阵 1 1
2 1
1 0 2 r2 +r1
解：
1
1
1

r3 -2r1
2 1 1
2
1

作初等行变换。
1
1 0 2
00
1 1
3-3
r3 -r2
5 +3x4
0
(2)
2x3 4x4 7

x22 x32 13
x1 x2 x3 0
2x - y 3 ex y 3z 5
4
(3)(4)为非线性方程组。
1. 线性方程组与矩阵(P105)
线性方程组的一般形式为

矩阵的初等变换与线性方程组求解

矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。

在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。

本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。

一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。

根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。

通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。

二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。

这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。

行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。

得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。

通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。

四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。

考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。

矩阵的初等变换与线性方程组12页

矩阵的初等变换与线性方程组12页1. 初等变换的定义初等变换是指对一个矩阵进行以下三种操作：交换矩阵的两行；将某一行乘以一个非零数；将某一行加上另一行的若干倍。

2. 线性方程组与矩阵对于一个线性方程组，可以将其表示为矩阵乘向量的形式，即A*x=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

3. 初等变换与线性方程组通过初等变换可以将一个线性方程组转化为与之等价的线性方程组，这一性质可以通过矩阵的等价变换得到。

4. 高斯消元法高斯消元法是一种使用初等变换求解线性方程组的经典方法。

通过对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，即可逐步求解未知向量。

5. 求解线性方程组的基本思路求解线性方程组的基本思路是，对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解未知向量。

如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或者有无穷多解。

6. 矩阵求逆的基本方法矩阵求逆也可以通过对系数矩阵进行初等变换得到。

具体方法是利用矩阵的增广形式构造一个方阵，然后对该方阵进行初等变换，将其转化为一个单位矩阵。

最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

7. 线性方程组的解的存在唯一性定理线性方程组的解的存在唯一性定理指出，对于一个线性方程组，只有当系数矩阵满秩时，才存在唯一解。

如果系数矩阵不满秩，那么方程组可能无解或者有无穷多解。

8. 向量空间与子空间向量空间是指满足一定运算法则的向量集合。

子空间是指一个向量空间的子集，且满足加法和数乘运算的封闭性。

9. 基和维数基是指一个向量空间中的一组线性无关的向量集合。

维数是指一个向量空间中的基向量个数。

10. 极大线性无关组和极大线性无关组成基极大线性无关组是指在一个向量集合中，能够选出一组线性无关的向量，并且在该向量集合中没有其他向量能够加入这组向量。

这组向量就是该向量集合的极大线性无关组。

极大线性无关组可以通过初等变换得到线性无关的基向量。

矩阵初等变换与线性方程组

1 .m a x R A , R B R A , B R A R B
特别地,当B=b为列向量时,有
R A R A ,bR A 1
2 .R A B R A R B
3 .R A B m in R A ,R B
4 .若 A m n B n l 0若 R A R B n
C
k m
C
k n
个
(二)最高阶非零子式，矩阵的秩
如果矩,而所有 r 1 阶子式(如果存在的
话)的值全等于0，则称 D r 为矩阵A的一
个最高阶非零子式,其阶数 r 称为矩阵A
的秩,记作 R A .
例1、求矩阵A 和B的秩
其中
1
A
2
4
2 3 7
3
5
等行变换把它变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵)
(三)矩阵A的等价标准形矩阵
特点:矩阵A的等价标准形矩阵的左上
角是一个单位矩阵,其余元素全为零,
对于mn矩阵A,总可经过初等变
换(行变换和列变换)把它化为等价标准
形
C
Er 0
0
0
mn
其中 r 是行阶梯形矩阵中非零行的
行数。
0 2 1
例1、设
阵E,即 A E
(三)推论: 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的乘积。
六、初等变换的应用
（一）求可逆矩阵A的逆矩阵 A 1
r
1 .若 A E E ,X , 则 A 可逆 , 且 X A 1 行变换
2.若 E A 列变 C 换 E X ,则 A 可逆 ,且 XA 1
矩阵初等变换与线性方程组
§3-1矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换的定义
(一)初等行(列)变换

矩阵的初等变换线性代数

2
r1 r3 3r1 r4
10
6
1
0
0
0
1 3 4 2
2 3 3 1
1 3 2 4
4
6
6
6
返回
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
3x2 3x3 3x4 6 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
1(2)
3
0 0
0 0
1 0
0 1
4 3
21
0 0
0 0
1 0 4 2 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 x2 7x5
x3
2
4x5
， x2, x5任意（自由未知量）
x4
1
3x5
为方程组的全部解.
返回
增广矩阵均可经行初等变换化为行（简化）阶梯形。
3. 该阶梯形与方程组解的关系：
x2 x3 x4 2 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
2x2 x3 4x4 6 (4)
2x2 x3 4x4 6 (4)
1 1 2 1
0
3
3
3
0 4 3 2
0
2
1
4
4
6
6
6
13r2
1
0
0
1 1 4
2 1 3
1 1 2
0 2 1 4
4
2
6
6
1 1 2 0
0
1
1
0
0 0 1 0
0
0
0
1
3
1 1 0 0
1
r3 r2 2r3 r1