传热学-导热理论基础

∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∆Φ d = λ + λ + λ dxdydz ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∆ΦV = Φ dxdydz ∂t ∆U = ρ c dxdydz ∂τ
⋅
导热微分方程(Heat diffusion equation)
t = f ( x, y , z )
• Unsteady-state temperature field
t = f ( x, y , z , τ )
• One-dimensional steady-state temperature field
t = f (x)
Isothermal surface（等温面） Isotherm（等温线） Temperature gradient（温度梯度）
⋅
一维稳态（One-dimensional steady-state）
1 d 2 dt Φ r + = 0 2 r dr dr λ 1 1 1 − R= 4πλ r1 r2
⋅
4 导热过程的定解条件 Boundary and Initial Conditions
λmetal > λnonmetal
Thermal conductivity of matter
Thermal conductivity of gases
Thermal conductivity of liquids
Thermal conductivity of solids
3 导热微分方程 Heat diffusion equation
Fourier’s Law
Newton’s Law of Cooling
∂t qw = −λs ∂n w q w = h (t w − t f )
Convection surface condition
h ∂t (t w − t f ) =− λs ∂n w
非稳态导热 边界温度均匀 稳态导热 边界温度均匀 绝热边界条件
Adiabatic or insulated condition
• 第三类边界条件 (A boundary condition of the third kind)
给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h及周 围流体的温度tf (Convection surface condition)
∂t r gradt = n ∂n ∂t r ∂t r ∂t r gradt = i + j+ k ∂x ∂y ∂z
Heat flux vector（热流矢量）
1.2 Fourier’s Law（付立叶定律） ∂t q = −λ ∂n Heat flux ∂t Φ = −λA Heat rate ∂n r Heat flux vector q = − λ gradt = − λ
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ⋅ ρc = λ + λ + λ + Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
热导率为常数时的导热微分方程
∂t ∂τ or ∂t ∂τ = a∇
2
λ = ρc
∂ t ∂ t ∂ t Φ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 + ρc
• 第二类边界条件 (A boundary condition of the second kind)
给定物体界面上任何时刻的热流密度分布 (fixed or constant surface heat flux)
∂t qw = −λ = f w ( x, y , z ,τ ) ∂n w ∂t qw = −λ = f w (τ ) ∂n w ∂t qw = −λ = f w ( x, y , z ) ∂n w ∂t qw = −λ = const ∂n w ∂t qw = −λ =0 ∂n w
导热理论基础
Introduction to conduction
1 Fundamental concepts and Fourier’s Law 1.1 Fundamental concepts Temperature field（温度场） • Steady-state temperature field
• 第三类边界条件 (A boun• 当h/λs 趋于无限大时，由于界面上温度变 化 率 只 能 是 有 限 值 ， 所 以 (tw-tf)→0 ， 即 tw=tf 。 第三类边界条件变为第一类边界条 件。 • 当h/λs 趋于零时，则边界面上温度变化率 也为零，即边界面绝热。第三类边界条件 第三类边界条件 变为第二类边界条件。 变为第二类边界条件。
r r q = q xi + q q q q
x y
∂t r n ∂n r r j + q zk
y
z
∂t = −λ ∂x ∂t = −λ ∂y ∂t = −λ ∂z
2 Thermal conductivity（热导率）
r q 2 λ (W / m ⋅ °C ) = − gradt λsolid > λliquid > λgas
∇
2
t +
Φ
⋅
λ
= 0
无内热源稳态温度场
Steady-state conditions with no energy generation
∇
2
t = 0
圆柱坐标(Cylindrical coordinate)
∂ t 1 ∂t 1 ∂ t ∂ t Φ ∂t = a 2 + + 2 + 2 + ∂r ∂τ r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z ρc 一维稳态（One-dimensional steady-state）
几何条件 (Geometrical conditions) 物理条件 (Physical conditions) 时间条件 (Time condition, Initial condition)
t τ = 0 = f ( x, y , z ) or t τ =0 = t0 = const
边界条件 Boundary Conditions
• 第一类边界条件 (A boundary condition of the first kind)
给定物体界面上任何时刻的温度 (fixed or constant surface temperature) 非稳态导热 边界温度均匀 稳态导热 边界温度均匀
t w = f w ( x, y , z , τ ) t w = f w (τ ) t w = f w ( x, y , z ) t w = const
2 2 2 ⋅
1 d dt Φ r + = 0 r dr dr λ ln (r2 / r1 ) R= 2πλL
⋅
球坐标(Spherical coordinate)
∂t 1 ∂2(rt) 1 ∂t ∂t 1 ∂2t Φ = a r ∂r2 + r2 sinθ ∂θ sinθ ∂θ + r2 sin2 θ ∂ϕ2 + ρc ∂τ
• 第一类边界条件 (A boundary condition of the first kind) • 第二类边界条件 (A boundary condition of the second kind) • 第三类边界条件 (A boundary condition of the third kind)
• 付立叶定律 (Fourier’s Law) • 能量守恒定律 （ The Law of Conservation of Energy ）— 热力学第一定律 （ The First Law of Thermodynamic ）
• 导入微元体的净热流量 (∆Φd) Net inflow of energy • 内热源发热量(∆Φv)Energy generation of source • 微元体内能增量(∆U)Energy storage ∆Φd+ ∆Φv= ∆U —微元体内部能量守恒
2 2 2
⋅
t +
Φ
⋅
ρc
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ∇ 2t = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
λ a = ρc
热扩散率Thermal diffusivity,m2/s
无内热源(No energy generation)
∂t ∂τ
= a∇
2
t
有内热源稳态温度场
Steady-state conditions with energy generation