第九章第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题
圆锥曲线中的最值、范围
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆
的切线
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
圆锥曲线的最值问题
方法三:
参数法
根据曲线方程的特点，用适当的参数表示 曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关 于这个参数的函数的最值的方法.
圆锥曲线的最值问题
方法一:
圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
关键：用好圆锥曲线的定义
圆锥曲线的最值问题
例1、已知点F是双曲线 x2 y2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
Biblioteka Baidu
y
思维导图：
把所求距离表示为椭圆
上点的横坐标的函数
A
P
x MF B
圆锥曲线专题—圆锥曲线最值与范围问题(附解析)
第1页（共13页）
圆锥曲线专题—圆锥曲线最值与范围问题
1．已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点(2,1)，椭圆2C 的两个焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且||3AB =，曲线3C 是
以坐标原点O 为圆心，以2||OF 为半径的圆．
（1）求2C 与3C 的标准方程；
（2）若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M ，N 两点，求OMN ∆的面积S 的取值范围．
【解答】解：（1）由已知设抛物线1C 的方程为22x py =，0p >，
则42p =，即2p =，则1C 的方程为24x y =，
则2(0,1)F ，不妨设椭圆2C 的方程为22
221y x a b
+=，0a b >>，
由22
221
1
x y a b
y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，可得2b x a =±， 2
2||3b AB a
∴==，由221a b =+，
解得2a =
，b =2C 的方程为22
143
y x +=，易知2||1OF =，
3C ∴的标准方程为221x y +=．
（2）直线l 与3C 相切，可得圆心到直线l 的距离为1， 1||
||122
MN S MN ∴=⨯⨯=
， 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得的三角形的面积相等，
第2页（共13页）
由22
143
1
y y x ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
，可得y =，
不妨设M
，(1,N
，则||MN =
此时S =
； 当直线l 的斜率存在时，不妨设直线方程为y kx m =+，
则1= 即221m k =+，
圆锥曲线的范围、最值问题
圆锥曲线的最值、范围问题
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．
一、利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆22
1259
x y +
=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．
【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有MA MB AB +>,故取不到等
号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化． 【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线
x y 42=上一个动点,Q 为圆
1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标
为（）
A ．
8179-B ．8
9
C ．817
D ．17
【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.
圆锥曲线中范围与最值问题
§9.10 圆锥曲线中范围与最值问题
题型一 范围问题
例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝
⎛⎭⎫1，32，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的取值范围． 解 (1)由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形，
故c ＝3b ，a ＝b 2＋c 2＝2b ， 即椭圆C ：x 24b 2＋y 2b
2＝1， 代入P ⎝⎛⎭
⎫1，32， 可得b ＝1，a ＝2.
故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)分以下两种情况讨论：
①若直线l 与x 轴重合，
则|MA |·|MB |＝(a －1)(a ＋1)＝a 2－1＝3；
②若直线l 不与x 轴重合，
设直线l 的方程为x ＝my ＋1，
设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
x 24＋y 2＝1，
消去x 可得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 则Δ＝4m 2＋12(m 2＋4)＝16(m 2＋3)>0恒成立，
由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4
， 由弦长公式可得|MA |·|MB |＝
1＋m 2·|y 1|·1＋m 2·|y 2| ＝(1＋m 2)·|y 1y 2|
＝3(1＋m 2)m 2＋4
＝3(m 2＋4)－9m 2＋4
＝3－9m 2＋4
， 因为m 2＋4≥4，则0<
圆锥曲线中的取值范围最值问题
圆锥曲线中的最值取值范围问题
90.已知12,F F 分别是双曲线2
222x y
a b
-=l （a>0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若 0
1290F PF ∠=,且21PF F ∆的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的
。 （I ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l
的距离为
2
，求△AOB 面积的最大值．
90.解：设n PF m PF ==||,||21，不妨P 在第一象限，则由已知得
,065.22,)2(,22
2222=+-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=-c ac a m c n c n m a n m ,0562=+-∴e e
解得15==e e 或（舍去）。设椭圆离心率为.3655,=
''e e 则 .3
6
='∴e
可设椭圆的方程为.,122
22c b y a x '='
+'半焦距为
⎪
⎩⎪⎨⎧='='='⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧'='+'='+'=''∴.2,1,3.,3,36
2222
2c b a a c b c b a c 解之得 .1322=+∴y x 椭的方程为 （Ⅱ）①当AB .3||,=⊥AB x 轴时
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，
由已知
,231||2
=
+k m 得m kx y k m +=+=把),1(4
3
22代入椭圆方程，整理得
,0336)13(2
2
2
=-+++m kmx x k .1
3)
1(3,1362221221+-=+-=+∴k m x x k km x x
圆锥曲线中的取值范围及最值问题归纳通关
圆锥曲线中的取值范围及最值问题归纳通关
一、椭圆中的参数范围及几何量的最值
1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长和焦距都等于2，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于1-的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D ．
（1）证明：直线BD 的斜率为定值；
（2）求ABD ∆面积的最大值，并求此时直线BD 的方程．
2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率是3
2，且椭圆经过点()0,1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线1l ： 220x y +-=与圆2
2
:640D x y x y m +--+=相切： （ⅰ）求圆D 的标准方程；
（ⅱ）若直线2l 过定点()30，，与椭圆C 交于不同的两点,E F ，与圆D 交于不同的两点,M N ，求·EF MN 的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，两焦点与
短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点21,2M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线1l （斜率存在且不为0）交椭圆C 于,A B 两点，过右焦点作直线2l 交椭圆C 于,D E 两点，且21//l l ，直线AD 交x 轴于点P ，动点Q （异于,A D ）在椭圆上运动． ①证明： AB AD k k ⋅为常数；
②当1AB k =时，利用上述结论求PDQ ∆面积的取值范围．
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理
2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合
问题第2课时范围最值问题理
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为3
3
，点M
在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2
＋y 2
＝b 2
4截得的线段的长为c ，|FM |＝43
3
.
(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；
(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．
解 (1)由已知，有c 2a 2＝1
3
，
又由a 2
＝b 2
＋c 2
，可得a 2
＝3c 2
，b 2
＝2c 2
.
设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．
由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 22
，
解得k ＝
33
. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝3
3
(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，
整理得3x 2＋2cx －5c 2
＝0，解得x ＝－53
c 或x ＝c .
因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
c ，233c .
由|FM |＝
c ＋c
2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2
2＝1.
(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝
y
x ＋1
，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法
一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤
三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
题型一距离与长度型最值范围问题
【例1】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆
上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．
【答案】（1）2
212
x y +=；
（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，
线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==
圆锥曲线中的范围、最值问题
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线 和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平 行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
二、习题改编
1．(选修 2-1P71 例 6 改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，
(2)联立直线 AP 与 BQ 的方程kxx＋－kyy＋－1294kk＋－1432＝＝00，， 解得点 Q 的横坐标是 xQ＝－2（k2k＋2＋4k1＋）3. 因为|PA|＝ 1＋k2x＋12＝ 1＋k2(k＋1)， |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－（k－1）k2（＋k1＋1）2，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令 f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以 f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减， 因此当 k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2176.
这样的直线有
()
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：选 C.过(0，1)与抛物线 y2＝4x 相切的直线有 2 条，过(0，1)与对称轴平行的直线
有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
圆锥曲线中的最值范围问题 高三数学一轮复习
AB
1
的中点且斜率为－ 的直线与x轴交于点E，记μ＝
，若k∈[ ，2]，
k
求μ的取值范围．
DE
2
题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略
巩固训练2
[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2 ＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)
在抛物线上，|AF|＝5.
(1)求抛物线方程；
2pm = 16，
p
解析：由题意可得：
高考大题研究课九 圆锥曲线中的
最值、范围问题
会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问
题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 最值问题
x2
例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线 2
a
y2
＝1(a>0，b>0)实轴的
b2
−
一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
解析：如图，由(QP + QN)·PN＝0，可得|QN|＝|QP|，
因为|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，所以|NQ|＋|QM|＝4，
所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，
x2
所以动点Q的轨迹Γ的方程为
4
y2
+ ＝1.
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
第九节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用几何性质求最值
[例1] 设P 是椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋
y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )
A ．9,12
B ．8,11
C ．8,12
D ．10,12
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
[答案] C
[方法技巧]
利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值
本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.
圆锥曲线最值范围定值(总结)
a
2
思路二：利用二次方程有实根
由椭圆定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又由 F1PF2 90 知 PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ， 则可得 | PF1 || PF2 | 2(a 2 c2 ) ，这样| PF1 | 与| PF2 | 是方程 u 2 2au 2(a 2 c2 ) 0 的两个
l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
定点问题:处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明 这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从 而得到定点。
定值问题:解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为 代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
方法 1：特殊到一般法 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题
5。
第九章 9课时2 范围、最值问题
课时2 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33
，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433
. (1)求直线FM 的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.
解 (1)由已知有c 2a 2＝13
， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.
设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).
由已知，有⎝
⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭
⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33
(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53
c 或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝
⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝ (c ＋c )2＋⎝⎛⎭
⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2
2
＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，
得t ＝y x ＋1
，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立. ⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，
高考总复习课标版数学 专题研究 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
第10页
第九章 专题研究(一)
高考总复习·课标版·数学（理）
[题型专练] 1．(2019·河北张家口联考)过椭圆 C：x92＋by22＝1(0<b<3)的上 顶点 A 作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点 M，N(点 M，N 与点 A 不重合)． (1)设椭圆的下顶点为 B(0，－b)，当直线 AM 的斜率为 5时， 若 S△ANB＝2S△AMB，求 b 的值； (2)若存在点 M，N，使得|AM|＝|AN|，且直线 AM，AN 的斜 率的绝对值都不为 1，求实数 b 的取值范围．
第22页
第九章 专题研究(一)
高考总复习·课标版·数学（理）
(2)证明：设 P 点坐标为(m，n)(n≠0)，则 Q 点的坐标为(m， －n)，且 3m2＋4n2＝12，
所以直线 QA：y＝4－n m(x－4)，即 nx－(4－m)y－4n＝0， 直线 PF：y＝m－n 1(x－1)，即 nx－(m－1)y－n＝0.联立方程 组nnxx－ －4m－－m1yy－ －4nn＝＝00，， 解得 xB＝52mm－ －85，yB＝2m3－n 5， 则x42B＋y32B＝452mm－－8522＋32m3n－252＝25m2－4820mm－＋5642＋12n2＝ 16m42－2m80－m5＋2100＝1，
[规范解答] (1)设直线 AP 的斜率为 k， k＝xx2＋－1214＝x－12，因为－12<x<32， 所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1,1)．
圆锥曲线的最值和范围问题
3
，
2a
4
可得的 a 3 ，解得 a 3 ，即有 c 1。
1 4a2 4
4
由题意可得 p 1，解得 p 2 ，即有抛物线的方程为 y2 4x ， 2
【答案】 x 22 y2 4
10
【解析】（1）利用直译法直接求出 P 点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将 1 PB 转化为 P 点到另一个定 2
点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得 1 PB PQ QH 的最小值． 2
设
P（x，y），由阿氏圆的定义可得
| |
PA PB
| |
1， 2
即
解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中 的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。
经典例题：
例 1.（2020 年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平
面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，
在离心率为
2
的双曲线
x2 a2
y2 b2
1的
左支上， A(0, 4 3) ，F 是双曲线的右焦点，若 PAF 周长的最小值是 20，则此时 PAF 的面积为（ ）
A． 6 3
B．10 3
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
题设 条 件纷繁 复 杂 ，使 得 考 生答 题 举 步 维 艰．近 几
年 的浙 江省 数 学 高 考 都 考 到 圆 锥 曲线 中最 值 、范
围、定值 及存在 性 问题 ，本 文 给 出该类 题 型 的一 些
解法 ，旨在抛砖 引 玉．
２ 典题 剖析
２．１ 最 值 问题
解答 圆锥 曲线 中最值 问题 的常用 方法 有 ：几 何
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
正 因为正 弦 、余 弦定 理是互 通 的 、辩 证 统一 的 ， 所 以解 三 角形 的 ４类 问题 ，其实 都 既可 以用 正 弦定 理去 做 ，又可 以用 余 弦 定 理 去 做．只是 类 型 （１）和 类 型 （２）用 正 弦定理 做 、类 型 （３）和类 型 （４）用余 弦 定理 做 ，在计算 过 程 上 相 对来 说 可略 胜 一 筹 ，计 算 更便 捷．
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第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题
范围问题[学生用书P169]
[典例引领]
(2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，
离心率等于223
，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→
＝1.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．
【解】 (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，半焦距为
c .
因为椭圆E 的离心率等于22
3，
所以c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2
＝a 29.
因为以线段PF 1为直径的圆经过F 2， 所以PF 2⊥F 1F 2. 所以|PF 2|＝b 2
a .
因为9PF 1→·PF 2→
＝1， 所以9|PF 2→
|2＝9b 4
a
2＝1.
由⎩⎨⎧b 2
＝
a 29
9b 4a 2
＝1
，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2
＝1，
所以椭圆E 的方程为y 29
＋x 2
＝1.
(2)因为直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1
2相交，
所以直线l 不可能与x 轴垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m
9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. 因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，
所以Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km
k 2＋9.
因为线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， 所以2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km
k 2＋9＋1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2
－9<0－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.
因为k 2＋9>0， 所以k 2＋9
4k 2－1<0，
所以k 2>3，
解得k >3或k <－3.
所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫
π2，2π3.
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[通关练习]
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上
任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－3
4
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点M (0，2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →
的取值范围．
解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4，0)，B (4，0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，
则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4
.
由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－3
4，
整理得x 216＋y 2
12
＝1.
故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2
16＋y 2
12＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32
＝0.
所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－32
4k 2＋3
.
从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →
＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2
＋3＝－20＋84k 2＋3
. 所以－20 . 当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ → 的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ → 的取值范围为⎣ ⎡⎦⎤－20，－523. 最值问题(高频考点) [学生用书P170] 圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有： (1)利用三角函数的有界性求最值； (2)数形结合利用几何性质求最值； (3)建立目标函数求最值； (4)利用基本不等式求最值． [典例引领] 角度一 利用三角函数的有界性求最值 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则 |AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2