第九章第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题

第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题范围问题[学生用书P169][典例引领](2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．【解】 (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .因为椭圆E 的离心率等于223，所以c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.因为以线段PF 1为直径的圆经过F 2， 所以PF 2⊥F 1F 2. 所以|PF 2|＝b 2a .因为9PF 1→·PF 2→＝1， 所以9|PF 2→|2＝9b 4a2＝1.由⎩⎨⎧b 2＝a 299b 4a 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝1，所以椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)因为直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，所以直线l 不可能与x 轴垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. 因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，所以Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9.因为线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， 所以2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.因为k 2＋9>0， 所以k 2＋94k 2－1<0，所以k 2>3，解得k >3或k <－3.所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[通关练习]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0，2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4，0)，B (4，0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20<OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523.最值问题(高频考点) [学生用书P170]圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有：(1)利用三角函数的有界性求最值； (2)数形结合利用几何性质求最值； (3)建立目标函数求最值； (4)利用基本不等式求最值．[典例引领]角度一 利用三角函数的有界性求最值过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A ．2 B. 2 C ．4D ．2 2【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.【答案】 C角度二 数形结合利用几何性质求最值(1)已知点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．(2)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，则|P A |－|PF |的最小值为________．【解析】 (1)如图1，设双曲线右焦点为F ′.|PF |＋|P A |＝|PF |－|PF ′|＋|P A |＋|PF ′|＝2a ＋|P A |＋|PF ′|≥4＋|AF ′|＝9.(2)如图2，设椭圆的左焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝4，所以|PF |＝4－|PF ′|，所以|P A |－|PF |＝|P A |＋|PF ′|－4.当且仅当P ，A ，F ′三点共线时，|P A |＋|PF ′|取最小值|AF ′|＝（2＋1）2＋16＝5，所以|P A |－|PF |的最小值为1.【答案】 (1)9 (2)1角度三 建立目标函数求最值(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【解】 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）.因为|P A |＝ 1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.角度四 利用基本不等式求最值(2018·太原模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1，0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 【解】 (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，Δ＝288，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1），消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 1＋x 2)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为3.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[通关练习]已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e ＝12，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求该椭圆的方程；(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，易知△F 1AB 的周长为4a ＝8，则S △F 1AB ＝12(|AB |＋|F 1A |＋|F 1B |)R ＝4R ，所以当S △F 1AB 取得最大值时，R 取得最大值，△F 1AB 的内切圆的面积取得最大值． 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.则S △F 1AB ＝12|F 1F 2|·(y 1－y 2)＝12m 2＋13m 2＋4，令m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，所以S △F 1AB ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t(t ≥1)， 令f (t )＝3t ＋1t (t ≥1)，则f ′(t )＝3－1t2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4， 所以S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，即m ＝0时，S △F 1AB 取得最大值，最大值为3， 由S △F 1AB ＝4R ，得R max ＝34，所以所求内切圆面积的最大值为916π.故△F 1AB 的内切圆面积的最大值为916π，此时直线l ：x ＝1.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．求解范围、最值问题的两个易错点 (1)求范围问题要注意变量自身的范围；(2)利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．[学生用书P325(单独成册)]1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )A ．(10，14) B.(12，14) C ．(10，12)D ．(9，11)解析：选C .抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1，圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5，可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4， 即有x P ∈(4，6)， 可得6＋x P ∈(10，12)，故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C .2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB→(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.答案：43．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →＝－8.若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2， 所以OE →·OF →的取值范围是[－8，2]．4．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋mx 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <22.且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22m x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4 ＝3·4－m 22.又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝12⎝⎛⎭⎫4－m 22·m 2＝122m 2（8－m 2）≤122·m 2＋（8－m 2）2＝2.当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S△P AB )max ＝2.1．如图所示．已知点E 为抛物线y 2＝4x 内的一个焦点，过E 作斜率分别为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)抛物线y 2＝4x 的焦点E (1，0)，因为k 1k 2＝－1，所以AB ⊥CD ，设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，因为AB 中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)．所以S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·（2k 21）2＋（－2k 1）2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)证明：设直线AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4， 因为AB 中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N ⎝⎛⎭⎫2k 22＋1，2k 2， 所以k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2， 所以直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －⎝⎛⎭⎫2k 21＋1]， 即y ＝k 1k 2(x －1)＋2，所以直线MN 恒过定点(1，2)．2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b2＝2， 所以a 2＝4，b 2＝2，因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，由Δ>0得m 2<4k 2＋2. (*)且x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1， 因此y 1＋y 2＝2m 2k 2＋1， 所以D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m 2k 2＋1， 又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m 2k 2＋1＋m 2， 整理得|ND |2＝4m 2（1＋3k 2＋k 4）（2k 2＋1）2， 因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4（k 2＋3k 2＋1）（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2. 令t ＝8k 2＋3，t ≥3.故2k 2＋1＝t ＋14， 所以|ND |2|NF |2＝1＋16t （1＋t ）2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2. 当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t在[3，＋∞)上单调递增， 因此t ＋1t ≥103， 等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4， 由(*)得－2<m <2且m ≠0.故|NF ||ND |≥12，设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12， 所以θ的最小值为π6. 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.。