高等数学方明亮版数学课件10.4 函数展开成幂级数
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，我们通常关注函数在一些点附近的展开，这种展开被称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开可以将一个连续可导的函数表示为一个无穷多项的幂级数。
泰勒级数展开的公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是我们要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是f(x)在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
幂级数的形式为：f(x) = ∑ (n=0 to ∞) a_n * (x-a)^n其中，a_n是展开系数，可以通过函数的导数来计算。
对于任意函数，我们可以通过不断求导来计算幂级数的展开系数。
具体的计算方法如下：1.计算展开点a处的函数值f(a)；2.计算展开点a处的一阶导数f'(a)，作为展开系数a_1；3.计算展开点a处的二阶导数f''(a)，作为展开系数a_2；4.以此类推，计算展开点a处的高阶导数f'''(a)，作为展开系数a_3、a_4、a_5...通过这种方式，我们可以计算出函数在展开点附近的幂级数展开。
举例说明，假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成级数，展开点为a=0。
首先我们计算展开系数a_0、a_1、a_2...：a_0 = f(0) = sin(0) = 0a_1 = f'(0) = cos(0) = 1a_2 = f''(0) = -sin(0) = 0a_3 = f'''(0) = -cos(0) = -1a_4 = f''''(0) = sin(0) = 0将这些展开系数代入幂级数公式，我们可以得到sin(x)的幂级数展开为：sin(x) = 0 + 1*x + 0*x^2/2! + (-1)*x^3/3! + 0*x^4/4! + ...这就是sin(x)的泰勒级数展开。
函数展开成幂级数PPT课件
1
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
-
10
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F (x) ,1 x 1 则 F (x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F (x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于
R lim an n an1
lim n 1 n m n
1
(n 1)!
(1 x)F (x) mF (x), F (0) 1 推导
x
0
F (x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F (x) ln F (0) m ln(1 x)
F (x) (1 x)m
-
11
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内
幂级数 an xn
n0
求和 展开
和函数 S (x)
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
-
1
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数展开成幂级数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
f (x) (1)n x2n1, x [1, 1] 4 n02n 1
第21页
2. 将 f (x) ln(2 x 3x2 ) 在x = 0处展为幂级数.
解:
f
(
x)
ln(1
x)
ln
2
ln(1
3 2
x)
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x)(2 3x) (1 x 1)
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(x
4
)
sin(
x
4
)
1 2
1
1 (x 2!
4
)2
1 (x 4!
4
)4
( x
)
4
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
•
ln(1 x)
x 1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
第18页
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x ( , )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
数” 有何不同 ?
勒级
提醒: 后者必需证实 lim Rn (x) 0, 前者无此要求.
高等数学方明亮版数学课件104函数展开成幂级数共22页
2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成幂级数.
例4 将函数
展开成 x 的幂级数.（补充题）
解: 因为
1 1 x x2 ( 1 )nxn (1x1) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得
（自学课本 例6）
1 1 x2
1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n (1x1)
12.04.2020
12
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例5 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
n
n
!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1x1x21x3 1xn ,
2 ! 3 !
n !
12.04.2020
6
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例2 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n)(x)
f (n)(0) (01),k ,
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内nl im Rn(x)是否为0.
12.04.2020
5
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例1 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)ex, f(n)(0)1(n0,1, )故, 得级数
1 x 1 x 2 1 x 3 1 xn
2! 3!
n!
其收敛半径为
1
R lim
称为拉格朗日余项 .
12.04.2020
1
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数如何展开成幂级数
函数如何展开成幂级数在数学中，幂级数是一种函数展开的形式，其中函数可以表示为幂次项的无限和。
它在数学和物理领域具有广泛的应用，尤其是在微积分和解析几何中。
一个函数可以展开成幂级数，可以使我们更好地理解函数的性质和行为，同时也可以方便计算。
如果一个函数可以展开成幂级数，那么这个函数必须满足一些条件，比如在展开点附近必须有定义，并且在这个点附近是光滑的。
展开成幂级数的函数可以是多项式函数或者是一些特殊函数，比如正弦函数、余弦函数和指数函数等。
让我们以一个简单的例子来说明如何将一个函数展开成幂级数。
考虑函数 f(x) = sin(x)，我们希望将其展开为一个幂级数。
我们知道，sin(x) 在原点附近是光滑的，并且其所有导数在原点都有定义。
因此，我们可以使用泰勒级数来展开 sin(x)。
泰勒级数是一种将一个函数展开成幂级数的方法，使用函数在展开点处的各阶导数来确定幂次项的系数。
对于函数 f(x) = sin(x)，它的泰勒级数展开可以表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在这个展开式中，每一项的系数都是通过函数在展开点处的导数来计算的。
具体来说，幂级数的第n项系数是：a_n=f^(n)(a)/n!其中f^(n)(a)表示函数f(x)在展开点a处的n阶导数。
对于我们的例子 sin(x)，它的展开点是原点 a = 0。
因此，我们需要计算函数在原点的导数。
对于 sin(x) 而言，它的所有导数都是周期性的，且根据周期性，我们可以推导出所有的导数在原点的值。
sin(x) 的导数序列是 1，cos(x)，-sin(x)，-cos(x)，sin(x) ...可以看到，当 n 是 4 的倍数时，导数在原点的值为 0；当 n 是奇数时，导数在原点的值为 -1n/(n-1)！因此，我们可以得到 sin(x) 在原点展开的幂级数表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是 sin(x) 的泰勒级数展开。
函数展开成幂级数(课堂PPT)
无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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10.4 函数的幂级数展开式
内具有各阶导数， 则 f ( x) 在该邻域内能展开
成泰勒级数的充要条件是 f ( x) 的泰勒公式的 余项满足
lim Rn ( x) 0
n
(3)
其中
1） f（n（ ） Rn ( x) ( x x0 )n1 (n 1)!
定理2 若 f ( x) 能展开成 x 的幂级数，则此展 开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同．
x ( , )
用同样的展开方法，我们可以得到另一
个重要的展开式
m
m(m 1) 2 (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x ( 1 x 1) n!
从上述讨论不难看出，直接展开法较繁， 多数使用下面的间接展开方法。
1 n! 且其收敛半径为 R lim n 1 (n 1)!
考虑余项
e Rn ( x) x n1 (n 1)!
的极限，因
e lim Rn ( x) lim x n 1 n n ( n 1)!
x x lim e 0 n (n 1)!
10.4.4 小结
1. 泰勒级数
函数展开成泰勒级数的充要条件
2. 函数展开成幂级数的方法
直接展开法
间接展开法
π ( x) sin( x n ) 2
时，f ( n ) (0) (1) k ，其中 k 0 , 1, 2 ,
可得级数
1 3 1 5 1 n 1 x x x (1) x 2 n1 3! 5! (2n 1)!
其收敛半径为R . 考虑余项
1 x n 1 xn ( ) n x 6 n 0 3 6(1 ) 6 n 0 3 3 1
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
高等数学方明亮版数学课件103幂级数
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
13.06.2019
2
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
13.06.2019
3
例如, 等比级数 它的收敛域是
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un(x)
[2(n 1)] !
[(n 1) ! ]2
n l i m[ 2 n ] !
[ n ! ]2
x
x2(n1)
2n
自学课本例3、4
nl i m (2n(n1 )(1 2)n22)x2 4 x2
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0R, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;在[－R , R ]
外发散; 在 xR可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R Hale Waihona Puke R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收 o敛
发散
x
13.06.2019
节幂级数
章
（PowerSeries）
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结与思考练习
13.06.2019
1
一、函数项级数的概念
设 u n (x )(n 1 ,2 , )为定义在区间 I 上的函数, 称
高等数学方明亮版数学课件104 函数展开成幂级数.ppt
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
2019年10月23日星期三
2
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
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sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, ) (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2
4 2! 4 3! 4
2019年10月23日星期三
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例7 将
展成 x－1 的幂级数.（课本 例8）
解:
x2
1
1
4x 3 (x 1)(x 3)
x1
x1
( x 1 2)
2
4
1
x 1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x 1)n 2n
10
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可以证明，当 x (1,1) 时其余项极限为零(证明略)．
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
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n
n
2012年9月8日星期六
课外练习 思考练习
1. 函数
习题10－4
1（要求用两种方法）；
2；3；4；5；7
数” 有何不同 ?
2. 如何求 提示: y
1 2
1
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
n
提示: 后者必需证明 lim Rn ( x) 0, 前者无此要求.
的幂级数 ?(习题 题2(4))
从 0 到 x 积分, 得
ln(1 x)
(1)
n 0
x dx
0
n 0
( 1)
n
n 1
x
n 1
, 1 x 1 1 x 1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
第十章
第四节 函数展开成幂级数
(Expanding to power series)
两类问题: 在收敛域内
求和 展开 和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
2012年9月8日星期六 1
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一、泰勒级数（Taylor series）
若函数 该邻域内有 :
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(n)
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x0 ) 2!
n
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 )
Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn (x)
,
x (1,1)
(1)
n 0
0
x 2n
x
d x
n 0
2n 1
, 因此
( 1)
n
x
2 n 1
x＝±1 时, 此级数条件收敛, f (0)
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定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
证明:
f ( x)
n 0
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 ) ,
m
m( m 1) 2! n!
x ( , )
x
2
x x (1, 1)
n
m( m 1) ( m n 1)
当 m = –1 时
1 1 x
2 3
1 x x x (1) x , x (1, 1)
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17
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sin x x
x
3
x
5
x
7
( 1)
n
x
2 n 1
3! x
2
5! x
4
7! x
6
( 2n 1) ! x
2n
x ( , )
cos x 1
( 1)
n
2!
4!
6!
( 2n) !
(1 x) 1 m x
由此得
(1 x)
m
1 m x
m( m 1)
x x
n
2
2! m( m 1) ( m n 1) n!
上式称为二项展开式 . 说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
1 2
cos 2 x
n
1
n
x
1
2
(1) 2
n 0
n
1 ( 2n) !
2 n 1
2012年9月8日星期六
(1)
4
2n
,
x ( , )
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( 2n) !
19
3. 将下列函数展开成 x 的幂级数 解:
(1) x
n n 0 n
2n
展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
骤如下 :
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为0.
f
( n 1)
( )
( n 1) !
( x x0 )
n 1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
2012年9月8日星期六 2
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) 2!
n
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
n
于是得 级数 1 mx
x
2
由于
R lim
an an 1
n
lim
n 1 mn
1
n
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
2012年9月8日星期六 10
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可以证明，当 x ( 1,1) 时其余项极限为零(证明略)．
2012年9月8日星期六 15
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例7 将 解:
1 x 4x 3
x 1 2
2
展成 x－1 的幂级数.（课本 例8）
1 ( x 1)( x 3)
x 1 4
( x 1 2 )
n
1
1 8
x 1 2
(x 1) 2
2
2
( 1)
1 3 1 5 ( x ) ( x ) ( x ) 3! 4 5! 4 4
1 1 2 1 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
1 1 x
2
（自学课本 例6）
2 4 n 2n
1 x x (1) x
( 1 x 1 )
13
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2012年9月8日星期六
例5 将函数 解: f ( x)
1 1 x
(1) x
n n 0
x n n
展开成 x 的幂级数.
n
( 1 x 1 )
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2012年9月8日星期六
4
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定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
f ( x) a1 2a2 x nan x
n 1
a0 f (0)
;
a1 f (0)
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
(n 1) !
1 2!
2012年9月8日星期六
x
n 1
e
x
n
( 在0与x 之间) 故 e 1 x
x
x
2
1 3!
x
7
3
1 n!
x ,
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n
例2 将 解: f
f
(n)
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin( (n 1) )
2
(n 1) !
3! 5!
x
n 1
n
2 n 1 1 x ( 2 n 1) !
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3 5 n 1 sin x x 1 x 1 x (1)
2012年9月8日星期六
2012年9月8日星期六
9
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例3 将函数 为任意常数 .
(n)
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
m( m 1) 2! m( m 1) ( m n 1) n! x
2012年9月8日星期六 11
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对应 m 1 , 1 ,1 的二项展开式分别为 2 2
1 x 1 1 2 x
1 2 4 1 3 2 4 x
2
1 3 246 1 3 5 246
x
3
1 3 5 2 4 6 8 1 3 5 7 2 4 6 8
f
(n)
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 )
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?