高一数学第二章(第18课时)对数(2)

课 题：2.7.2 对数的运算性质

教学目的：

1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 教学重点：对数运算性质

教学难点：对数运算性质的证明方法. 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．对数的定义 b N a =log 其中 a ∈),1()1,0(+∞ 与 N ∈,0(+∞

2

．指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a

⑶对数恒等式N a

N

a =log

3．指数运算法则 )

()()

,()()

,(R n b a ab R n m a

a R n m a a a n n n mn

n

m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

二、新授内容：

积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

)

()()

(3R)M(n nlog M log 2N log M log N

M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=

证明：①设a log M=p, a log N=q

由对数的定义可以得：M=p a ，N=q

a

∴MN= p a q a =q

p a

+ ∴a log MN=p+q ，

即证得a log MN=a log M + a log N ②设a log M=p ，a log N=q

由对数的定义可以得M=p a ，N=q

a

∴

q p q p

a a

a N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N

M

a a a

log log log -= ③设a log M=P 由对数定义可以得M=p

a ,

∴n

M ＝np

a ∴a log n

M =np ， 即证得a log n

M =n a log M

说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式

①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+③真数的取值范围必须是),0(+∞：

)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的

)10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的

④对公式容易错误记忆，要特别注意：

N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±三、讲授范例： 例1 计算

（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×5

2）， （4）lg 5100 解：（1）5log 25= 5log 2

5=2

（2）4.0log 1=0

（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 5

2

= 2log 7

22

⨯+ 2log 5

2 = 2×7+5=19

（4）lg 5100=

5

2lg1052log10512== 例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：

log )2(;

(1)log z

xy

a

a 解：（1）z

xy

a log =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）3

2log z

y

x a

=a log （2

x

3log )z y a -

= a log 2

x +a log 3log z y a -=2a log x+y a a log 3

1

log 21-例3计算： (1)lg14-2lg

37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2

.1lg 10

lg 38lg 27lg -+ 说明：此例题可讲练结合. (1)解法一：lg14-2lg

3

7

+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(2

3×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 解法二：

lg14-2lg

37+lg7-lg18=lg14-lg 2

)3

7(+lg7-lg18 =lg

1lg 18)3

7(7

142

==⨯⨯

评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所

忽视.

23lg 23lg 53

lg 3lg 9lg 243lg )2(2

5=== 10

23lg

2.1lg 10lg 38lg 27lg )

3(2

2

13

2

13⨯=

-+

2

12lg 23lg )

12lg 23(lg 23

=-+-+=

评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)

题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 四、课堂练习：

1.求下列各式的值：

（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２

（３）5log ３＋5

log 3

1

（４）3log ５－3log １５ 解：（１）2log ６－2log ３＝2log =3

6

2log ２＝１

（２）lg ５＋lg ２＝lg （５×２）＝lg １０＝１(3) 5log ３＋5

log 31＝5log (３×3

1

)＝5log １＝０ (4) 3log ５－3log 15＝3log 15

5

＝3log 31＝－3log ３＝－１.

2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：

(1) lg （xyz ）； （２）lg z xy 2； （３）z

xy 3lg ； （４）z y x

2lg

解：(1) lg （xyz ）＝lg ｘ＋lg ｙ＋lg ｚ；

(2) lg z

xy 2＝lg ｘ2y －lg ｚ＝lg ｘ＋lg 2

y －lg ｚ

＝lg ｘ＋２lg ｙ－lg ｚ；