第二章 8.二次函数与一元二次方程配套课件

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《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根：（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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新知探究
(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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课堂小测
3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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课堂小测
解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根．根据一元二次方程根与系数的关系，得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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新知探究
【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )

二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件

(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结拓展我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我方程根的关系:
们
函数
方程
的收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。

《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件

情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，

《二次函数与一元二次方程》精品教学课件

再见
（1）yx2x2
2，1
（2）yx26x9
3
（3）yx2x1
没有实数根
y＝x2－x+1 y 4
y＝x2＋x－2
3 2 1
y＝x2－6x＋9
–3 –2 –1 O –1 –2 –3
1234 x
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
典型例题
例：利用函数图象求方程x22x2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．
yax²bxc(a0)
ax²bxcm(a0)
形
yax²bxc(a0) 与x轴的位置关系没有公共点有一个公共点有两个公共点
数
ax²bxc0 (a≠0) 根的情况
没有实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
教科书第47页习题22.2 第1、2、3、5题
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
回顾与思考
一次函数 ykxb 的图象如图所示，则关于x的一元一次方程 kxb0 的解为 x3 ．
关于x的一元一次方程 kxb0 的解
y
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
函数解析式
数
数形结合
函数图象形
解：画出函数y＝x22x2的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7．
所以方程x22x2＝0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7．
图片是【数学探究】《探究二次函数与x轴交点》的动画缩略图，可以通过改变参数值，改变函数图象位置,观察图象与x轴的交点情况.

2.8二次函数与一元二次方程上课课件

1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
2.二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
5
6
1.已知竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以 40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有两个交点有一个交点没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相异的实数根有两个相等的实数根
没有实数根
当堂训练
九年级数学(下)第二章二次函数
8. 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.会根据二次函数的图象和横轴交点的个数判别一元二次方程的根的情况 2.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。
自学指导：
1.完成课本70页的两个问题。 2.完成课本71页的议一议。 3.二次函数的图象与x轴的交点有几种情况？即y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

二次函数与一元二次方程-用PPT课件

点的是（ D ）
(A)yx2 2
(B)yx2 x
(C)yx26x9 (D . )yx2x+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ D ）（A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0
(D）a＜0 b2-4ac＜0
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1 . △＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
x1 x2
x
OA B
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
B（x2，0
），
a
a
随堂练习
1、方程 x24x50的根是 -5，1 ；则函数 yx24x5的图象与x轴的交点有 2 个，其坐标是（-5，0）、（1．，0）
2、方程 x21x0 2 50的根是 x1 x2 5；
则函数 yx210x25的图象与x轴的交点

《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件

有两个不相等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点有两个相等的实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.

《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件

虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个

交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)

九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416

x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根

课件《二次函数与一元二次方程》优秀课件完美版_人教版1

（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
新知讲解
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程（1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
x －6x＋9=0有两个相等的实数根3. 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
与一元二次方程小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.
x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示
，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（（2）正确作出点M，N；
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根. （3）球的飞行高度能否达到20.
)
（3）写出方程的根为-0. t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 解：（1）当h=15m时，
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
(1)y＝x2＋x－2；

二次函数二次函数与一元二次方程课件ppt

定义1
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函数与一元二次方程的基本概念和性质；
培养学生的数学思维能力和创新意识。
会用二次函数与一元二次方程解决实际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得到最大利润。

《二次函数的图像与一元二次方程》课件二次函数的图像与一元二次方程

02
通过解一元二次方程，可以找到抛物线与x轴的交点，进而确定
函数图像与坐标轴的交点。
判断函数图像的对称性
03
一元二次方程的对称性和抛物线图像的对称性密切相关，可以
通过方程的性质判断图像的对称性。
二次函数图像与一元二次方程在实际问题中的应用
解决几何问题
在几何问题中，经常需要利用二次函数图像和一元二次方程来解决面积、体积和角度等问题。
《二次函数的图像与一元二次方程》课件二次函数的图像与一元二次方程
汇报人： 2023-12-23
目录
• 二次函数图像的基本概念 • 一元二次方程的基本概念 • 二次函数图像与一元二次方程
的关系 Байду номын сангаас 实际应用案例分析
01
二次函数图像的基本概念
二次函数图像的形状
01
02
03
开口方向
根据二次项系数a的正负判断，a>0向上开口， a<0向下开口。
公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解，即 $x = frac{-b
pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因式分解法是将一元二次方程化为两个一次方程，然后求解。
一元二次方程的根的性质
01
02
03
04
一元二次方程的根的性质包括根的和、根的积和判别式。
根的和是指方程的两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数。
实例
例如，在建筑设计中，需要计算支撑结构的受力分布，可以利用一元二次方程来求解。同时，通过绘制二次函数图像，可以直观地观察到受力分布的情况，有助于更好地进行结构设计。
THANKS
谢谢您的观看

《二次函数与一元二次方程》课件

(－1，0)，(－5，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=
x1＝－1，x2＝－5
0的根为_________________．
2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，
(0，－3)
(1，0) (－3，0)
与x轴的交点坐标是________________.
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不
是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个
连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范
围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n
(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如
下：取 m 和 n
+
的平均数
，计算出当
2
=
+
时的
2
函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，
量x的值时，二次函数问题就转化了一元二
次方程问题.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=m
m=ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
转化
思想
一元二次方程
新知探究
知识点1
y=ax2+bx+c(a≠0)0

人教版初中数学《二次函数与一元二次方程》_PPT课件

2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，
对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( ) A A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3
D．x＝－2
3．二次函数y＝x2－2x－3与x轴的两个交点之间的距离为__4__．
4．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程ax2＋bx＋c＝k＝1，x2＝3 (2)1<x<3 (3)x>2 (4)k<2
【获奖课件ppt】人教版初中数学《二次函数与一元二次方程》_p pt课件 1-课件分析下载
7．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c
为常数)一个解的范围是( C )
A.3<x<3.23
B．3.23<x<3.24
x
3.23 3.24 3.25 3.26
C．3.24<x<3.25 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
D．3.25<x<3.26
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10．已知抛物线 y＝x2－2x＋1 与 x 轴的一个交点为(m，0)，则代数式 m2－2m＋2017 的值为( B )
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

人教版二次函数与一元二次方程PPT演示课件

（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
一元二次方程与二次函数川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。有什么关系？
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。
飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。