第三章证明(三)单元复习
北师大九上 第三章 证明(三) 回顾与思考(一)
D
C
台上展示.小拓展
介绍——梯形的中位线:连接梯形两腰中点的线 段是梯形的中位线. 猜想——梯形中位线性质:与两底平行且是两底和 的一半。
证明——
已知:梯形ABCD,AB∥CD,E,F为BC, AD 中点。
求证:EF∥AB,2EF=AB+CD。 A 分析: B
M E C F D
N
你试试!!! 过F作MN∥BC,交BA延长线于点M, 交CD于点N.由三角形全等得线段 相等,再判定平行四边形.
B
M
台上展示3.
例5.
A F E D C 已知:如图在 △ABC中,∠BAC= 90°,D、E、F、分 别是BC、CA、AB边的 中点。 求证:AD=EF
B
台上展示4.
依次连接四边形各边中点,得 到四边形.合理填加条件并提 问. • 1.连接任意四边形各边中点得 到什么图形? • 2.满足什么条件的四边形,连 接其各边中点可以得到矩形? 菱形?正方形? 原四边形对角线位 置和数量关系,决 • 3.连接平行四边形、矩形、菱 定所得四边形邻边 形、正方形、等腰梯形的各边 的位置数量关系. 中点又可以得到什么图形?
学习任务
能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的 关系,熟练掌握这些四边形的判定和性质定理,并能够 应用数学符号语言表述已知、求证、证明。 掌握三角形中位线的定义和性质,能够推导出依次 连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特 殊四边形。 会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用 的归类、类比、转化等数学思想,通过复习课对证明的 必要性有进一步的认识。 学会对学习方法的总结。
例2.
A D
E
O
已知:如图,在平行 四边形ABCD中,AC与BD 相交于O点,点E、F在AC 上,且BE∥DF。 求证:BE=DF。
第三章:函数的概念与性质重点题型复习-【题型分类归纳】(解析版)
第三章:函数的概念与性质重点题型复习题型一函数的概念辨析【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是()A.函数定义域必不是空集,但值域可以是空集B.函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了C.数集都能用区间表示D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A,函数的定义域和值域均为非空数集,A错误;对于B,若函数的定义域和值域均为R,对应法则可以是y x=,也可以是2=,B错误;y x对于C,自然数集无法用区间表示,C错误;对于D,由函数定义可知,一个函数值可以有多个自变量值与之对应,D正确.【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是( ) A .A ⊆R ,B ⊆R ,221x y +=B .{}1,0,1A =-,{}1,2B =,:1f x y x →=+C .A =R ,B =R ,1:2→=-f x y x D .A =Z ,B =Z ,:21→=-f x y x 【答案】B【解析】对于A ,221x y +=可化为21y x =±-显然对任意x A ∈(1x =±除外),y 值不唯一,故不符合函数的定义; 对于B ,符合函数的定义;对于C ,当2x =时,对应关系无意义,故不符合函数的定义; 对于D ,当x 为非正整数时,对应关系无意义,故不符合函数的定义. 故选:B【变式1-2】已知集合{0,1,2}A =,{1,1,3}B =-,下列对应关系中,从A 到B 的函数为( )A .f :x y x →=B .f :2x y x →=C .f :2x y x →=D .f :21x y x →=-【答案】D【解析】对A :当0,1,2x =时,对应的y x =为0,1,2,所以选项A 不能构成函数;对B :当0,1,2x =时,对应的2y x 为0,1,4,所以选项B 不能构成函数;对C :当0,1,2x =时,对应的2y x =为0,2,4,所以选项C 不能构成函数; 对D :当0,1,2x =时,对应的21y x =-为1-,1,3,所以选项D 能构成函数;故选:D.【变式1-3】如图所示,下列对应法则,其中是函数的个数为( )A .3B .4C .5D .6 【答案】A【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义,即A 中每一个元素在对应法则下,在B 中都有唯一的元素与之对应, 对于④⑤,A 的每一个元素在B 中有2个元素与之对应,∴不是A 到B 的函数,对于⑥,A 中的元素3a 、4a 在B 中没有元素与之对应,∴不是A 到B 的函数,综上可知, 是函数的个数为3.故选:A.【变式1-4】下列关系中是函数关系的是( )A .等边三角形的边长和周长关系B .电脑的销售额和利润的关系C .玉米的产量和施肥量的关系D .日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A【解析】根据函数关系的定义可得,选项A 中,当等边三角形的边长取一定的值时,周长有唯一且确定的值与其对应,所以等边三角形的边长和周长符合函数关系;其他选项中,两个量之间没有明确的对应关系,所以不是函数关系故选:A【变式1-5】若函数()y f x =的定义域M ={x |22x -≤≤},值域为N ={y |02y ≤≤},则函数()y f x =的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】A 中定义域是{x |-2≤x ≤0},不是M ={x |-2≤x ≤2},故错误;C 中图象不表示函数关系,因为存在一个x 对应两个y ,不满足函数定义;D 中值域不是N ={y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意,且表示函数关系,符合题意.故选:B.题型二 判断是否为同一个函数【例2】下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .()()21,11x f x g x x x -==+- B .()()22,f x x g x x ==C .()()2,f x x g x x =D .()()211,1f x x x g x x +--【答案】C【解析】A. 函数()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠,()1g x x =+的定义域为R ,故不是同一函数;B. ()2f x x R ,()2g x x =的定义域为[0,)+∞,故不是同一函数;C. ()()2,f x x g x x x=的定义域都是R ,且解析式相同,故是同一函数;D. ()11f x x x +-{}|1x x ≥,()21g x x =-{|1x x ≥或1}x ≤-,故不是同一函数,故选:C【变式2-1】下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .()0f x x =,()xg x x = B .()211x f x x -=-,()1g x x =+C .()11f x x x -+()21g x x =-D .()f x x =,()2g x x =【答案】A【解析】A 中,()0f x x =,()xg x x= 定义域都为{|0}x x ≠ ,对应关系以及值域相同,故为同一函数;B 中,()211x f x x -=-,定义域为{|1}x x ≠,()1g x x =+定义域为R ,故不是同一函数;C 中,()11f x x x =-+定义域为{|1}x x ≥,()21g x x -{|1x x ≥或1}x ≤- ,故不是同一函数;D 中,()f x x =,定义域为R ,()2g x x =定义域为{|0}x x ≥,故不是同一函数;故选:A【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是( )A .2()f x x =与2()(1)g x x =+B .3()f x x -与()g x x =-C .()xf x x =与01()g x x=D .()33f x x x =+-2()9g x x =-【答案】C【解析】对于A ,()2f x x =,()()21g x x =+,对应关系不同,即不是同一函数,故A 不正确;对于B ,3()f x x x x -=--(,0]-∞,()g x x =-(,0]-∞, 定义域相同,对应关系不同,函数不是同一函数,故B 不正确; 对于C ,()1xf x x==,定义域为()(),00,∞-+∞,01()1g x x ==,定义域为()(),00,∞-+∞,定义域、对应关系相同,故为同一函数,故C 正确;对于D ,()33f x x x =+-[)3,+∞,2()9g x x =-(][),33,∞∞--⋃+,定义域不同,函数不是同一函数,故D 不正确;故选:C【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是( )A .321x x y x +=+与y x = B .2x y x =与y x =C .||x y x=与1y = D .()21y x =-1y x =-【答案】A【解析】对于A ,321x xy x x +==+的定义域为R ,y x =的定义域为R ,则两个函数的定义域和对应关系都相同,是同一函数;对于B ,2x y x x==的定义域为{}0x x ≠,y x =的定义域为R ,则两个函数的定义域不同,不是同一函数; 对于C ,||x y x=的定义域为{}0x x ≠,1y =的定义域为R ,则两个函数的定义域不同,不是同一函数;对于D ,()211y x x =-=-和1y x =-的对应关系不同,故不是同一函数.故选:A.题型三 求函数的定义域【例3】函数()1321f x x x =--的定义域为( ) A .2{|3x x >且1}x ≠ B .2{|3x x <或1}x >C .2{|1}3x x ≤≤ D .2{|3x x ≥且1}x ≠ 【答案】D 【解析】由题得3202,103x x x -≥⎧∴≥⎨-≠⎩且1x ≠.所以函数的定义域为2{|3x x ≥且1}x ≠故选:D【变式3-1】函数()20213y x x=--的定义域为( )A .1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C .11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11,,322⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【答案】C【解析】要使函数()20213y x x=--有意义, 则有30210x x ->⎧⎨-≠⎩,解得3x <且12x ≠,所以其定义域为11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C.【变式3-2】已知函数(+1)f x 的定义域为[1,2],则(23)f x -+的定义域为( ) A .[1,2] B .1[0,]2 C .[1,1]- D .1[,1]2【答案】B【解析】因为函数(+1)f x 的定义域为[1,2],所以12x ≤≤,则2+13x ≤≤, 所以22+33x ≤-≤,解得102x ≤≤, 所以(23)f x -+的定义域为1[0,]2,故选:B【变式3-3】已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-,则函数(21)1f x y x +=+的定义域为( )A .3[,1]2- B .3[,1)(1,1]2--⋃- C .[3,7]- D .[3,1)(1,7]--⋃- 【答案】B【解析】由题意得:2213x -≤+≤,解得:312x -≤≤,由10x +≠,解得:1x ≠-,故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭,故选:B .【变式3-4】函数f (x )221mx x --+R ,则实数m 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(﹣∞,﹣1] C .[1,+∞) D .(﹣∞,﹣1) 【答案】B【解析】f (x )的定义域是R ,则2210mx x --+≥恒成立,即2+210mx x -≤恒成立,则0Δ0m ⎧⎨≤⎩<,解得1m ≤-,所以实数m 的取值范围为(],1-∞-.故选:B.【变式3-5】若函数2()1f x ax ax =++R ,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ,则210ax ax ++>恒成立,0a =时,2110ax ax ++=>恒成立, 0a ≠时,则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩,解得04a <<, 综上,04a ≤<. 故答案为:[0,4).题型四 求函数的解析式【例4】已知函数()f x 是一次函数,且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立,则()2f =( ) A .1 B .3 C .7 D .9 【答案】D【解析】因为函数()f x 是一次函数,且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立,令()4f x x t -=,则()4f x x t =+, 所以()45f t t t =+=,解得1t =,所以()41f x x =+,(2)2419f =⨯+=,故选:D【变式4-1】已知二次函数()f x 满足()221465f x x x +=-+,求()f x 的解析式; 【答案】()259f x x x =-+【解析】设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,则()()()2212121f x a x b x c+=++++()()22442465ax a b x a b c x x =+++++=-+,故44,426,5a a b a b c =+=-++=,解得1,5,9a b c ==-=,故()259f x x x =-+.【变式4-2】若函数()63f g x x ⎡⎤=+⎣⎦,且()21g x x =+,则()f x 等于( ) A .129x + B .61x + C .3 D .3x 【答案】D【解析】令()21g x x t =+=,则12t x -=()63132f t t t -∴=⨯+=,即()3f x x =故选:D.【变式4-3】设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的表达式为( )A .()111x x x +-≠B .()111x x x +-≠C .()111xxx +≠-- D .()211xx x ≠-+ 【答案】B【解析】令()111t t x=+≠,则可得11xt 1t所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-,所以()()111x f x x x +-≠=,故选:B【变式4-4】若对任意实数x ,均有()2()92f x f x x --=+,求()f x . 【答案】32x -.【解析】利用方程组法求解即可;∵()2()92f x f x x --=+(1) ∴()()()292f x f x x --=-+(2) 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+, ∴()32()f x x x R =-∈. 故答案为:32x - .【变式4-5】设函数()f x 是R →R 的函数,满足对一切x ∈R ,都有()()22f x x f x +-=,则()f x 的解析式为()f x =______.【答案】2,111,1x x x ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=,得()()()222f x x f x -+-=,将()f x 和()2f x -看成两个未知数,可解得()()211f x x x=≠-, 当1x =时,()()()212112f f -+-=,解得()11f =,综上,()2,1,11, 1.x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为:2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩.题型五 定义法证明函数的单调性【例5】已知函数()218x f x x -=+,判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性. 【答案】单调递增,证明见解析【解析】()f x 在区间[]22-,上单调递增,理由如下: 任取1x ,[]22,2x ∈-,且12x x <,()()()()()()()()()()()()22122112121212122222221212121818811888888x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+-++----=-==++++++.因为1222x x -≤<≤,所以120x x -<,1244x x -<+<,1244x x -<<, 所以12128x x x x +->- 所以121280x x x x ++->,所以()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数()f x 在区间[]22-,上单调递增.【变式5-1】已知函数()1f x x =-()f x 在区间[)1,+∞上的单调性,并证明你的结论.【答案】增函数,证明见解析【解析】()f x 在区间[)1,+∞上是增函数.证明如下:设[)12,1,x x ∀∈+∞,且12x x <, 则()()121212121111f x f x x x x x -=---+-, 因为[)12,1,x x ∈+∞,所以110x -≥210x -≥,又12x x <,所以120x x -<11x -21x -0, 12110x x -->,故()()120f x f x -<, 故()f x 在区间[)1,+∞上是增函数.【变式5-2】证明:函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【答案】证明见解析.【解析】设12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,而3312121211()()22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3312211122x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()2212121122122x x x x x x x x x x -=-+++()()221211221212x x x x x x x x ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦因为221211221210,0,0x x x x x x x x -<++>>,则()()2212112212120x x x x x x x x ⎡⎤-+++<⎢⎥⎣⎦, 所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【变式5-3】已知函数()f x 对任意的a ,∈b R ,都有()()()1f a b f a f b +=+-,且当0>x 时,()1f x >,判断并证明()f x 的单调性; 【答案】函数()f x 在R 上为增函数;(2)4(1,)3m ∈-.【解析】设12,x x 是R 上任意两个不等的实数,且12x x <,则210x x x ∆=->,()()()()()()()()212111211111y f x f x f x x x f x f x x f x f x f x ⎡⎤∆=-=-+-=-+--=∆-⎣⎦,由已知条件当0x >时,()1f x >, 所以()1f x ∆>,即0y ∆>, 所以函数()f x 在R 上为增函数;题型六 利用函数的单调性求参数【例6】若函数()1f x ax =+[]1,1-内单调递减,则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)1,0-【解析】由题意知,第一步函数单调递减,由复合函数同增异减可知0a <,第二步考虑函数定义域,10ax +≥ 在[]1,1-恒成立,(1)0a f <⎧⎨≥⎩得到10a -≤< 故答案为:10a -≤<.【变式6-1】若1()1ax f x x +=-在区间(1,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <- 【解析】函数()111+1()=111a x a ax a f x a x x x -+++==+---, 由复合函数的增减性可知,若1()1a g x x +=-在(1,)+∞为增函数,10a ∴+<,1a <-,【变式6-2】(多选)函数2()(21)3f x x a x =+-+在(2,2)-上为单调函数,则实数a的取值范围可以是( )A .3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .35,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C .35,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D .5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】二次函数2()(21)3f x x a x =+-+图象对称轴为:212a x -=-, 因函数()f x 在(2,2)-上为单调函数,于是有: 当函数()f x 在(2,2)-上递减时,2122a --≥,解得32a ≤-, 当函数()f x 在(2,2)-上递增时,2122a --≤-,解得52a ≥, 所以实数a 的取值范围是:32a ≤-或52a ≥.故选:AD【变式6-3】已知函数21,22(),12x mx x f x m x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩对于12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ≠,都有1212()[()()]0x x f x f x -->,则m 的取值范围为 ______.【答案】40,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意可知,()f x 在[1,)+∞上为单调增函数,要使my x =-在[1,2)上单调递增,则0m -<,即0m >, 要使21()2f x x mx =-在[2,)+∞上单调递增,则2m ≤, 同时2112222m m ⨯-≥-,解得:43m ≤,综上可知:403m <≤.题型七 求函数的最值或值域【例7】求函数4y x x =+,142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值.【答案】最大值172,最小值4 【解析】函数4y x x=+,根据对勾函数的性质可得:4y x x =+在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减,[]2,4上单调递增. 当2x =时取到最小值4. 又当12x =时,117822y =+=,当4x =时,415y =+= 所以当12x =时取到最大值172, 所以函数4y x x=+的最大值172,最小值4【变式7-1】312y x x =+- )A .7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为312y x x =+-所以1120,2x x -≥∴≤,又312y x x =+-12x ≤时单调递增, 所以当12x =时,函数取得最大值为72,所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,故选:A.【变式7-2】函数23()31x f x x -=+的值域( ) A .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .33,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】依题意,2112112(31)2321113333()3131313331x x x f x x x x x +-+--====-⋅++++,其中111331y x =-⋅+的值域为()(),00,∞-+∞,故函数()f x 的值域为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D .【变式7-3】若函数()f x 的值域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,则函数()()()1F x f x f x =+的值域是( ) A .132⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B .1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C .51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦, D .556⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 【答案】B【解析】令()f x t =,1y t t =+,则132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,. 当112t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,时,1y t t=+单调递减, 当[]13t ∈,时,1y t t=+单调递增,又当12t =时,52y =,当1t =时,2y =,当3t =时,103y =,所以函数()F x 的值域为1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,故选:B .【变式7-4】已知{},min ,,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 2,42x x x =--+-,则函数()f x 的最大值是( )A .2-B .1C .2D .3 【答案】B【解析】当2242x x x -≤-+-,即[]0,3x ∈时,()2f x x =-在[]0,3x ∈上单调递增,所以()max ()3321f x f ==-=, 当2242x x x ->-+-,即()(),03,x ∈-∞+∞时,()()224222f x x x x =-+-=--+在(),0x ∈-∞上单调递增,在()3,+∞上单调递减,因为()02f =-,()31f =,所以()()31f x f <=; 综上:函数()f x 的最大值为1,故选:B题型八 函数奇偶性的判断【例8】判断下列函数的奇偶性.(1)()31f x x x=-; (2)()(111x f x x x+=--(3)()2233f x x x -- (4)()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩.【答案】(1)奇函数;(2)既不是奇函数也不是偶函数(3)既是奇函数又是偶函数;(4)偶函数【解析】(1)()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞,关于原点对称,又()()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,所以()f x 是奇函数.(2)因为()f x 的定义域为[)1,1-,不关于原点对称,所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数. (3)因为()f x 的定义域为{}3,3-,所以()0f x =,则()f x 既是奇函数又是偶函数.(4)方法一(定义法)因为函数()f x 的定义域为R ,所以函数()f x 的定义域关于原点对称.①当x >1时,1x -<-,所以()()()()22f x x x f x -=-⨯-==; ②当11x -≤≤时,()2f x =;③当1x <-时,1x ->,所以()()()22f x x x f x -=⨯-=-=. 综上,可知函数()f x 为偶函数.方法二(图象法) 作出函数()f x 的图象,如图所示,易知函数()f x 为偶函数.【变式8-1】函数()2433x f x x -=+-的图象关于_________对称.【答案】原点【解析】要使函数有意义,则240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩,得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且,解得20x -≤<或02x <≤,则定义域关于原点对称.此时33x x +=+,则函数()22244433x x x f x x ---===+-, ()()24x f x f x --==-,∴函数()f x 是奇函数,图象关于原点对称故答案为:原点【变式8-2】判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性.【答案】当0a =时,()f x 既是奇函数,又是偶函数;当0a ≠时,()f x 是奇函数 【解析】因为x ∈R ,所以定义域关于原点对称,当0a =时,则()||||0f x x x =-=,所以()f x 既是奇函数,又是偶函数; 当0a ≠时,因为()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-, 所以()f x 是奇函数.综上所述,当0a =时,()f x 既是奇函数,又是偶函数;当0a ≠时,()f x 是奇函数.【变式8-3】设函数2()1f x x =+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()1f x + B .(1)f x + C .()1f x - D .(1)f x - 【答案】D 【解析】因为()21f x x =+ . 选项A :()2111f x x +=++,定义域为()()11-∞-⋃-+∞,,,定义域不对称,故A 错.选项B :()221112f x x x +==+++,定义域为()()22-∞--+∞,,,定义域不对称,故B 错.选项C :()2111f x x -=-+,定义域为()()11-∞-⋃-+∞,,,定义域不对称,故C 错.选项D :()22111f x x x-==-+,定义域为()()00-∞∞,,+,定义域对称,为奇函数.故D 正确.故选:D.【变式8-4】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A .()()f x f x -是奇函数B .()()f x f x -是奇函数 C .()()f x f x --是奇函数 D .()()f x f x +-是奇函数 【答案】C【解析】A 选项:设()()()F x f x f x =-,()()()()F x f x f x F x -=-=,则()()f x f x -为偶函数,A 错误;B 选项:设()()()G x f x f x =-,则()()()G x f x f x -=-,()G x 与()G x -关系不定,即不确定()()f x f x -的奇偶性,B 错误;C 选项:设()()()M x f x f x =--,则()()()()M x f x f x M x -=--=-, 则()()f x f x --为奇函数,C 正确;D 选项:设()()()N x f x f x =+-,则()()()()N x f x f x N x -=-+=, 则()()f x f x +-为偶函数,D 错误.故选:C.题型九 利用函数的奇偶性求值或求参【例9】若函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数,则a b +=___________.【答案】12-【解析】因为函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数,所以320a a ++=,得12a =-,又()()f x f x -=-,即323211()()()22x b x x x bx x -----=-++,即220bx =恒成立,所以0b =,所以12a b +=-. 故答案为:12-.【变式9-1】若函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数,则=a ( )A .12 B .23 C .34D .1 【答案】B【解析】根据题意得()()()()()323255x x a x x a f x xx-+---++==--,因为函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数,所以()()f x f x -=-,即()()()()323255x x a x x a x x-+++-=-,整理得:()640a x -=,所以640a -=,解得23a =.故选:B【变式9-2】已知函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数,则a =______.【答案】1【解析】函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数,则()()11f f -=,即()121121a a -+-=-+--,解之得1a = 经检验符合题意. 故答案为:1【变式9-3】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()(1)f x x x =+,那么()1f -等于( )A .﹣2B .﹣1C .0D .2 【答案】A【解析】因为0x >时,()(1)f x x x =+,可得()1122f =⨯=,又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得()()112f f -=-=-.故选:A.【变式9-4】设()f x 是定义域为()2,2-的奇函数,当02x ≤<时,()122f x x m x =++-(m 为常数),则()1f -=( )A .53- B .53 C .32- D .32【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为()2,2-的奇函数,所以()00f =,因为当02x ≤<时,()122f x x m x =++-, 所以()1002f m =-+=,解得12m =, 所以当02x ≤<时,()11222f x x x =++-,所以()()13111222f f ⎛⎫-=-=--++=- ⎪⎝⎭.故选:C.【变式9-5】设函数()()23211x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ,最小值为N ,则()20221M N +-的值为______.【答案】1【解析】由题意知,()32211x xf x x +=++([]2,2x ∈-), 设()3221x xg x x ++=,则()()1f x g x =+,因为()()3221x xg x g x x ---==-+,所以()g x 为奇函数, ()g x 在区间[]22-,上的最大值与最小值的和为0, 故2M N +=,所以()()202220221211M N +-=-=.题型十 利用函数的奇偶性求解析式【例10】设()f x 为奇函数,且当0x ≥时,2()f x x x =+,则当0x <时,()f x =( )A .2x x +B .2x x -+C .2x x -D .2x x -- 【答案】B【解析】设0x <,则0x ->,所以()2f x x x -=-,又()f x 为奇函数,所以()()()22f x f x x x x x =--=--=-+, 所以当0x <时,()2f x x x =-+.故选:B.【变式10-1】函数()f x 为偶函数,当()0,x ∈+∞时,()227f x x x =-,则当(),0x ∈-∞时,()f x =( )A .()227f x x x =-+B .()227f x x x =--C .()227f x x x =-D .()227f x x x =+ 【答案】D【解析】设(),0x ∈-∞,则()0,x -∈+∞,则()()()222727f x x x x x -=---=+,因为函数()f x 为偶函数,则当(),0x ∈-∞时,()()227f x f x x x =-=+.故选:D.【变式10-2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()21x a x a f x =+++,则当0x <时,()f x =( )A .2x x -B .2x x +C .2x x -+D .2x x -- 【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()00f =,即()010f a =+=,解得1a =-,当0x ≥时,()2f x x x =-,当0x <时,0x ->,则()()22f x x x x x -=-+=+,因为()f x 是奇函数,所以()()2f x f x x x =--=--.故选:D .【变式10-3】若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e xf xg x +=(e为无理数, 2.71828e =⋅⋅⋅),则()g x =( )A .e e x x --B .()1e e 2x x -+ C .()1e e 2x x -- D .()1e e 2x x -- 【答案】D【解析】由()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=,根据()f x 与()g x 的奇偶性可得()()()()e xf xg x f x g x --+-=-=,故()()()()e e x xf xg x f x g x ---+=-⎡⎤⎣⎦.整理得()2e e x xg x --=-,即()()1e e 2x xg x -=-.故选:D.题型十一 利用单调性奇偶性解不等式【例11】定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若()()1f m f m -<,则实数m 的取值范围是( )A .12m <- B .12m > C .112m -≤< D .122m <≤ 【答案】C【解析】∵()f x 是偶函数,()()()f x f x f x ∴=-=,故(1)()f m f m -<可变形为(1)()f m f m -<,∵()f x 在区间[]0,2上单调递减,故212131222212112m m m m m m m m ⎧⎧⎪⎪-≤-≤-≤≤⎪⎪-≤≤⇒-≤≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪->⎪⎪<⎩⎩.故选:C.【变式11-1】若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减,且()10f =,则不等式()2330f x x -+≥的解集是__________.【答案】[]1,2【解析】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减,所以()f x 在(),0∞-上单调递增,又()10f =,所以()()110f f -==,所以当11x -≤≤时()0f x ≥,则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤,解得12x ≤≤,所以原不等式的解集为[]1,2. 故答案为:[]1,2【变式11-2】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减,若2(2)(4)0,f a f a -+-<则a 的取值范围是( )A .)5,3 B .(3)(2,)-∞⋃+∞ C .()3,2 D .()3,2-【答案】C【解析】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减,2(2)(4)0f a f a -+-<可化为2(2)(4)f a f a -<-则2212114124a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩32a <故选:C【变式11-3】奇函数()2f x +是定义在()3,1--上的减函数,若()()1320f m f m -+-<,则实数m 的取值范围为______. 【答案】()1,2【解析】由题意知,函数()2f x +的定义域为()3,1--,所以函数()f x 的定义域为()1,1-,所以1111321m m -<-<⎧⎨-<-<⎩,解得12m <<.又奇函数()2f x +是()3,1--上的减函数,所以()f x 是()1,1-上的奇函数,且在()1,1-上单调递减. 由()()1320f m f m -+-<,得()()132f m f m -<--, 所以()()123f m f m -<-,所以123m m ->-,解得2m <.综上,12m <<. 故答案为:()1,2.【变式11-4】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,若1x ∀,[)20,x ∈+∞,且12x x ≠,都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立,则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为( )A .(),1-∞-B .(),1-∞C .()1,+∞D .()1,-+∞ 【答案】C【解析】令()()g x xf x =,因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-,即()g x 是定义在R 上奇函数.又1x ∀,[)20,x ∈+∞,且12x x ≠,都有()()()()11221212120x f x x f x g x g x x x x x --=<--成立,所以()g x 在[)0,∞+上单调递减,又()g x 是定义在R 上奇函数,所以()g x 在R 上单调递减,所以()()()()()2121210mf m m f m g m g m ---=-->,即()()21g m g m >-, 所以21m m <-,解得1m.故A ,B ,D 错误.故选:C .题型十二 利用单调性奇偶性比较大小【例12】定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,则下列判断正确的是( )A .311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B .113422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C .311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D .131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】因为()f x 为偶函数,所以11()()22f f -=,33()()22f f -=,又113422<<,且()f x 在(0,)+∞上是减函数, 所以311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A【变式12-1】已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且满足以下条件:①()(),x f x f x ∀∈-=R ;②()12,0,x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,()()2112120x f x x f x x x ->-.记()1a f =,()33f b -=,()55f c =,则( )A .c a b <<B .a b c <<C .c b a <<D .b c a << 【答案】B【解析】依题意,12,(0,)x x ∀∈+∞,12x x ≠,()()2112120x f x x f x x x ->-,即()()1212120f x f x x x x x ->-,所以函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增. 又x ∀∈R ,()()f x f x -=,所以函数()f x 是R 上的偶函数, 所以()()3333f f -=,则有()()()135135f f f <<,所以a b c <<,故选:B .【变式12-2】已知函数()1f x +是偶函数,当121x x <<时,()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(2)b f =,(3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .a b c << 【答案】B【解析】∵当121x x <<时,()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立,∴当121x x <<时,()()210f x f x ->,即()()21f x f x >, ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数, ∵函数(1)f x +是偶函数,即()()11f x f x +=-,∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称,∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数,∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭,∴b a c <<,故选:B .【变式12-3】已知()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=,且()f x 在区间[)0,2上是单调递增的,则( 6.5),(1),(0)f f f --的大小关系是( ) A .(1)(0)( 6.5)f f f -<<- B .( 6.5)(0)(1)f f f -<<- C .(1)( 6.5)(0)f f f -<-< D .(0)(1)( 6.5)f f f <-<- 【答案】D 【解析】()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=,∴()f x 周期为2,偶函数()f x 在区间[)0,2上是单调递增,( 6.5)(1.5)f f ∴-=,(1)(1)f f -=,(0)(1)(1.5)f f f ∴<<,即(0)(1)( 6.5)f f f <-<-故选:D题型十三 利用函数的周期性求值【例13】已知()f x 是R 上的奇函数,且()()2f x f x +=-,当()0,2x ∈时,()22f x x x =+,则()15f =( )A .3B .3-C .255D .255- 【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得,()()42=()f x f x f x +=-+,故()f x 是以4为周期的周期函数,故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-,故选:B【变式13-1】已知()f x 是定义域为R 的奇函数,满足(2)()f x f x -=,若(1)2f =,则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=( )A .2B .2022-C .0D .2022 【答案】A【解析】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-,(2)()()f x f x f x ∴+=-=-,∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数,(0)0f ∴=,(2)(0)0f f ∴==,(3)(1)(1)2f f f =-=-=-,(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴,又202250542=⨯+(1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选:A.【变式13-2】已知函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称,且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=当(]0,2x ∈时,()2f x x =+.则()2022f =( )A .1-B .1C .2D .2- 【答案】D【解析】函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称,∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称,()()22f x f x ∴-+=--,取2x x =+可得()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦, ∴()()4f x f x =--又对x ∀∈R 有()()2f x f x +-=, 取4x x =--可得()()442f x f x --++=,所以()()()42f x f x f x =--=--.,()()424f x f x --=-+,()()4f x f x ∴+=-,()()()444f x f x f x ⎡⎤∴++=--=⎣⎦,即()()8f x f x +=,()f x ∴的周期8T =()()()()()()()2022252866242222222f f f f f f ∴=⨯+==+=-=-=-+=-.故选:D.【变式13-3】设函数()f x 的定义域为R ,()12f x +-为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,()2f x ax b =+.若()()011f f -+=,则20232⎛⎫= ⎪⎝⎭f ________. 【答案】34【解析】由()12f x +-为奇函数,可得()()1212f x f x +-=--++,函数()f x 关于点()1,2对称,又定义域为R ,则有()12f =;又()2f x +为偶函数,可得()()22f x f x +=-+,函数()f x 关于直线2x =对称,()()()4242f x f x f x =--=-+,又()()24f x f x +=--,则()()f x f x =-,则()()()222f x f x f x +=-+=-,函数()f x 周期为4,则202311131012422222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 由上可得()()()()1,041424f f a b f f a b ==+=-=---,则2441a b a b a b +=⎧⎨++--=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩,则39131244f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则2023334224f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:34.题型十四 抽象函数综合问题【例4】函数f (x )对于任意的实数x ,y 都有f (x+y )=f (x )+f (y )成立,且当x >0时f (x )<0恒成立. (1)证明函数f (x )的奇偶性;(2)若f (1)= -2,求函数f (x )在[-2,2]上的最大值;(3)解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【答案】(1)证明见解析;(2)4;(3){|2x x <-或1}x >-【解析】(1)令x =y =0得f (0)=0,再令y =—x 即得f (-x )=-f (x ), ∴()f x 是奇函数.(2)设任意12,R x x ∈,且12x x <,则210x x ->,由已知得21()0f x x -<①,又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-②, 由①②可知12()()f x f x >,由函数的单调性定义知f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,∴x ∈[-2,2]时,[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=, ∴f (x )当x ∈[-2,2]时的最大值为4.(3)由已知得:[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--,由(1)知f (x )是奇函数, ∴上式又可化为:[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+,由(2)知f (x )是R 上的减函数, ∴上式即:22424x x x --<+, 化简得(2)(1)0x x ++>,∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-.【变式14-1】已知函数()f x 的定义域是()0,∞+,对定义域内的任意12x x , 都有()()()1212f x x f x f x =+,且当01x <<时,()0f x >.(1)证明:当1x >时,()0f x <; (2)判断()f x 的单调性并加以证明;(3)如果对任意的()12,0,x x ∈+∞ ,()()()221212f x x f a f x x +≤+恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)函数()f x 单调递减,证明见解析;(3)(]0,2a ∈ 【解析】(1)(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=;1(1)()()0f f x f x=+=;当()0,1x ∈时,()11,x ∈+∞;()10()0f x f x>⇒<; ∴当1x >时,()0f x <.(2)单调递减.证明:()1212,0,x x x x ∀∈+∞<,且()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x <,211x x ∴>,210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭,即()()12f x f x > ∴()f x 单调递减(3)函数()f x 的定义域是()0,∞+0a ∴>;()()()()()222212121212f x x f a f x x f x x f ax x +≤+⇒+≤恒成立;由(2),()f x 单调递减,221212x x ax x +≥恒成立,221212x x a x x +≤恒成立,因为22121212212x x x x x x x x +=+≥,当且仅当12x x =时等号成立,所以2a ≤; 又()f a 有意义,所以0a > 综上:(]0,2a ∈.【变式14-2】已知函数()f x 对任意,R x y ∈,都有()()()1f x y f x f y +=+-,且当0x >时,()1f x >.(1)求证:()f x 在R 上是增函数;(2)若关于a 的方程2(75)2f a a +-=的一个实根是1,求(6)f 的值;(3)在(2)的条件下,已知R m ∈,解关于x 的不等式()(2)3f mx f x ->+. 【答案】(1)证明见解析;(2)3;(3)详见解析【解析】(1)依题意()()()1f x y f x f y +=+-,且0x >时,()1f x >,令0x y ==,则()()()()0001,01f f f f =+-=,()()()()()1,2f x x f x f x f x f x -+=-+--+=,任取12x x <,()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+()()()()12112111f x f x x f x f x x =--+-=--+⎡⎤⎣⎦,由于210x x ->,所以()211f x x ->,所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<,所以()f x 在R 上递增. (2)由(1)知,()f x 在R 上递增,()()217532f f +-==,()()()()6333313f f f f =+=+-=.(3)依题意()()()1f x y f x f y +=+-,()f x 在R 上递增,()(2)3f mx f x ->+.()(2)12f mx f x -->+,()()()22,23f mx x f mx x f +->+->,()23,15mx x m x +->+>,当1m =-时,不等式的解集为空集. 当1m <-时,不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭. 当1m >-时,不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.【变式14-3】设函数()y f x =的定义域为R ,并且满足()()()f x y f x f y -=-,且1()12f =-当0x >时,()0.f x < (1)求(0)f 的值;(2)判断函数()f x 的单调性,并给出证明; (3)如果()(2)2f x f x >-,求x 的取值范围;【答案】(1)0;(2)函数()f x 是定义在R 上的减函数,详见解析;(3)1x >-. 【解析】(1)令0x y ==,则()()()0000f f f -=-,∴()00f =;(2)函数()f x 是定义在R 上的减函数,设12,R x x ∀∈,且12x x >,则120x x ->, ∴()()()1212f x x f x f x -=-, ∵当0x >时,()0.f x <∴()120f x x -<,即()()120f x f x -< ∴()()12f x f x <,∴函数()f x 是定义在R 上的减函数;(3)∵()()()f x y f x f y -=-∴()()()00f x f f x -=-,又()00f =, ∴()()f x f x =--, ∴函数()f x 是奇函数,∵()()()f x y f x f y -=-,1()12f =-∴111112222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴()()(2)2(2)1(21)f x f x f x f f x >-=--=+, 又函数()f x 是定义在R 上的减函数, ∴21xx ,即1x >-,∴x 的取值范围为1x >-.题型十五 幂函数的图象性质【例15】现有下列函数:①3y x =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③24y x =;④51y x =+;⑤()21y x =-;⑥y x =;⑦(1)x y a a =>,其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】B【解析】幂函数满足ay x =形式,故3y x =,y x =满足条件,共2个故选:B【变式15-1】(多选)已知幂函数232()(21)m m f x a x -+=-,其中,a m R ∈,则下列说法正确的是( )A .1a =B .()f x 恒过定点(1,1)C .若3m =时,()y f x =关于y 轴对称D .若112m <<时,(2)(1)f f < 【答案】ABC【解析】因为232()(21)m m f x a x -+=-为幂函数,所以211a -=,解得1a =,故A 正确;则232()m m f x x -+=,故恒过定点(1,1),故B 正确;当3m =时,2()f x x =,22()()()f x x x f x -=-==,所以()y f x =为偶函数,则()y f x =关于y 轴对称,故C 正确; 当112m <<时,2320m m -+>,则()f x 在(0,)+∞上为增函数, 所以(2)(1)f f >,故D 错误.故选:ABC【变式15-2】图中1C ,2C ,3C 分别为幂函数1y x =α,2y x =α,3y x α=在第一象限内的图象,则1α,2α,3α依次可以是( )A .12,3,1-B .1-,3,12C .12,1-,3 D .1-,12,3【答案】D【解析】由题图知:10α<,201α<<,31α>,所以1α,2α,3α依次可以是1-,12,3.故选:D【变式15-3】当()0,x ∈+∞时,幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数,则m =_________. 【答案】2【解析】函数为幂函数,则211m m --=,解得1m =-或2m =,又因为函数在(0,)+∞上单调递减, 可得2230m m --<,可得2m =, 故答案为:2【变式15-4】已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递增,则m =______.【答案】4【解析】由题意可得23310m m m ⎧--=⎨>⎩,解得4m =故答案为:4.【变式15-5】已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若()()132f a f a +<-,求a 的取值范围.【答案】(1)()3f x x =;(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】(1)由题意,幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+,可得2331m m -+=,即2320m m -+=,解得1m =或2m =, 当1m =时,函数()311322f x x x ++==为奇函数,当2m =时,()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数,因为()f x 为奇函数,所以()3f x x =.(2)由(1)知()3f x x =,可得()f x 在R 上为增函数,因为()()132f a f a +<-,所以132a a +<-,解得23<a , 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.题型十六 简单函数模型的应用【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,把每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)表示为养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当04x <≤时,v 的值为2;当420x <≤时,v 是关于x 的一次函数.当x =20时,因缺氧等原因,v 的值为0.(1)当020x <≤时,求函数()v x 的表达式;。
北师大版九年级上册第三章《证明(三)》练习题(北师大版九年级上)
北师大版九年级上册第三章证明(三)练习题一、填空题1、如图,平行四边形ABCD ,对角线AC 、BD 交于点O ,请你写出图中三对一定相等的线段 。
2、在上题图中,若平行四边形ABCD 的周长为30cm ,且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小1cm ,那么AB= cm ,BC = cm 。
第1-2题图 第3题图第4题图 3、如图,将两块完全相同的含有30角的三角板一边重合拼在一起,可以得到一个四边形ABCD ,则四边形ABCD 是 (回答是什么四边形);若BC=10 cm ,则对角线BD = cm 。
4、如图平行四边形ABCD 中,AE 、AF 分别是BC 和CD 边上的高,若65EAF ∠=,则B ∠= 度,C ∠= 度。
5、如图,将两根等宽的纸条叠放在一起,重叠的部分(图中阴影部分)是一个四边形,对这个四边形的形状你认为最准确的一个描述是:这个四边形是 四边形。
第7题图 96、菱形ABCD 的面积是503cm 2,其中一条对角线的长是103 cm ,则菱形ABCD 的较小的内角为 ,菱形ABCD 的边长为 。
7、如图,矩形ABCD 中,BE ⊥AC 于E ,DF ⊥AC 于F ,若AE=1,EF =2,则FC = ,AB = 。
8、对角线 的四边形是正方形。
二、择题9、如图,平行四边形ABCD 中,AE=CF ,则图中的平行四边形的个数是( )个 A.2 B.3 C.4 D.510、若第1题的条件中,除原有条件外,再增加FA =FD ,则图中的等腰梯形个数是( )个A.2B.3C.4D.511、下列关于平行四边形的判定中正确的是( ) A. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形OC AD BC AD BE FC A DB FECADBCA DBE FD.一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行四边形12、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点,得到一个四边形,对这个四边形的形状描述最准确的是( )A. 平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形13、已知菱形ABCD 的面积为96cm 2,对角线AC 的长为16 cm ,则此菱形的边长为( )cm A.32 B.10 C.14 D.2014、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角 15、只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形,下列操作中最为恰当的是( ) A. 先测量两对角线是否互相平分,再测量对角线是否相等 B. 先测量两对角线是否互相平分,再测量是否有一个直角 C. 先测量两组对边是否相等,再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行,再测量对角线是否相等16、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90B C ∠+∠=,E 、F分别是AD 、BC 的中点,若AD=5cm ,BC=13cm ,那么EF=( )cmA.4B.5C.6.5D.9三、解答题17、按要求填图下面图中,表达了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
科粤版九年级化学上册第三章单元复习课件(共55张PPT)
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精要回放(三)
读法:由两种元素组成的化合物读作__ __某__化__某_________, 有时还需读出_化__学__式__中_各_ _元__素_的__原__子__个__数__, 含有酸根的读作 ____某_酸__某_____,含有氢氧根的读作______氢__氧__化__某_______ 化 学 式 计算[以Ca(OH)2为例]:相对分子质量为___7_4____;钙、 氧两种元素的质量比为___5_∶__4__;钙元素的质量分数为 ____5_4_._1_%_______
⑥ 发出白光,
放出热量
⑨
石蜡+氧气―点―燃→二氧化碳+水
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精要回放(三)
[注意] 在做铁丝在氧气中燃烧的实验时,集气瓶底部应预先 __装__少_量__水___或__铺_一__层_细__沙____,这样做是为了 _防__止_反__应_生__成_的__高__温_熔__融_物__溅__落_瓶__底_,__使__集_气__瓶_炸__裂_______。 可见, 氧气的化学性质_____比_较__活_泼_______,在一定条件下能和多种 物质发生化学反应。
学 式
②____二__氧__化_碳__由__碳__元__素__和__氧_元__素__组__成_________________
③____1_个__二__氧__化_碳__分__子_____________________________
④____1_个_二__氧__化__碳__分__子_由__1_个__碳__原__子__和_2_个__氧__原__子__构__成_____
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精要回放(三)
五、燃烧 1.燃烧条件 燃烧需要具备三个缺一不可的条件:物质本身是可燃物、 _温__度_达__到__可_燃__物_的__着__火_点___和___可__燃_物__接_触__氧_气__(_或_空__气__)______。
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真,而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真,所以,由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例:用数学归纳法证明:对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真,要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例:证明:若n是大于1的整数,则n可以 写成素数之积
解:分两种情况考虑:当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数,则P(n+1)为 真;若n+1是合数,则可以将其表示成两个 整数a和b之积,其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么? 对n=1,2,3,4,5来说,前n个正奇数之和为:
1=1,1+3=4,1+3+5=9, 1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的,我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真,然后知道P(2)为真,因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真,因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去,就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的?
第三章-第二定律习题及解答
第三章 习题及解答复习题3. 证明:(1)在pV 图上,理想气体的两条可逆绝热线不会相交。
(2) 在pV 图上,一条等温线与一条绝热线只能有一个交点而不能有两个交点。
证明:使用反证法。
(1) 假设理想气体的两条可逆绝热线相交是成立的,则这两条可逆绝热线就可以和一条可逆等温线构成一个可逆循环。
如图所示,此可逆循环的结果是可以制成从单一热源吸热并全部做功的热机,这是违反热力学第二定律的,是不可能实现的,所以前面的假设是错误的,即理想气体的两条可逆绝热线是不会相交的。
(2) 假设一条等温线与一条绝热线有两个交点是成立的,则这条等温线与这条绝热线也构成一个可逆循环。
如图所示,此可逆循环的结果是可以制成从单一热源吸热并全部做功的热机,这是违反热力学第二定律的,是不可能实现的,所以这个假设也是错误的,即一条等温线与一条绝热线只能有一个交点而不能有两个交点。
1. 有5mol 某双原子理想气体,已知其C V ,m =2.5R ,从始态400K ,200kPa ,经绝热可逆压缩至400kPa 后,再真空膨胀至200kPa ,求整个过程的Q W ,ΔU ,ΔH 和ΔS 。
解 绝热可逆压缩过程:,,/ 3.5/2.5 1.4p m V m C C R R γ===11111122212p T pT pT T p γγγγγγ---⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭Q即 T 2=400K×(200kPa/400kPa)(1-1.4)/1.4=487.6K ΔU 1=W 1=nC V ,m (T 2-T 1)=5×2.5×8.315×(487.6-400)J=9105J ΔH 1=nC p,m (T 2-T 1)=5×3.5×8.315×(487.6-400)J=12747J Q 1=0,ΔS 1=0。
理想气体真空膨胀过程:Q 2=W 2=ΔU 2=ΔH 2=0ΔS 2=nRln(p 1/p 2)= [5×8.315×ln(400/200)] J·K -1=28.8J·K -1Q=Q 1+Q 2=0,W= W 1+ W 2=9105J ,ΔU=ΔU 1+ΔU 2=9105J ,ΔH=ΔH 1+ΔH 2=12747J ΔS=ΔS 1+ΔS 2=28.8J·K -12. 有5mol He(g),可看作理想气体,已知其C V ,m =1.5R ,从始态273.15K 和100kPa ,变到终态298.15K 和1000kPa ,计算该过程的ΔS 。
第三章__几何光学的基本原理复习课程
第三章__几何光学的基本原理第三章几何光学的基本原理3.眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(如图所示),平板的厚度d为30cm。
求物体PQ的像QP''与物体PQ之间的距离2d为多少?已知:1=n,51.='n,cmd30=求:?=2d解:由图可知12iQNQQdsin='=,设xQN=,即光线横向的偏移,则12ixdsin=(1)在入射点A处,有21inin sinsin'=在出射点B处,有12inin'='sinsin,因此可得11ii'=即出射线与入射线平行,但横向偏移了x。
由图中几何关系可得:()()21221iiidiiABx-=-=sincossin收集于网络,如有侵权请联系管理员删除收集于网络,如有侵权请联系管理员删除又因为 1i 和2i 很小,所以 12≈i cos , ()2121i i i i -≈-sin 而 21i n ni '= ,所以 1121i ni n ni '='=则 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=-=11211i n i d i i d x ,即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=n n di x 11 (2) (2)式代入(1)式得 cm d d n n i i d d 1031511511112==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'≈.. 6.高5cm 的物体距凹面镜顶点12cm ,凹面镜的焦距是10cm ,求像的位置及高度,并作光路图。
已知:cm y 5=, cm s 12-=,cm f 10-=' 求:?='s ?='y 作光路图解:根据 f s s '='+111得601121101111-=+-=-'='s f s ,cm s 60-='∴又据 n ns s y y '⋅'=' ,而 n n -='所以得 cm y s s y 2551260-=⨯---='-=' 光路图(cm r cm rf 20102-=∴-==',Θ)C为圆心。
第三章 证明(三)
第三章 证明(三)一、知识回顾 1知识网络图示:2、几种特殊平行四边形的性质:边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形3、几种特殊平行四边形的判定方法: 平行四边形 矩形 菱形 正方形证明(三) 平行四边形 定义、性质、判定特殊平行四边形 矩形菱形 正方形 等腰梯形 三角形中位线定理定义、性质、判定定义、性质、判定等腰梯形二、例题分析例1、如图3,已知ABCD 的对角线交于O ,过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ,求证:OE =OF .例2、如右上图ABCD ,四内角平分线相交于E 、F 、G 、H .求证:四边形EFGH 是矩形例3、在矩形ABCD 中,O是对角线AC 的中点,EF 是线段AC 的中垂线,交AD 、BC 于E 、F . 求证:四边形AECF 是菱形例4、已知,AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交AB 于点E ,DF ∥AB 交AC 于点F 。
求证:四边形AEDF 是菱形。
例5、如图,CD 是△ABC 的高,E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 上的中点. 求证:FG =DE例6、如图,AD 为ΔABC 的中线,E 为AC 上一点,连结BE 交AD 于F ,且AE =FE 。
求证:BF =ACA BCDE F三、习题1. 已知ABCD 的对角线相交于点O ,它的周长为10cm , BCO ∆的周长比ABO ∆的周长多2cm ,则AB= cm 。
2. 如图,已知E 为ABCD 内任一点,ABCD 的面积为40,那么EAB ECD S S += 。
A D E B C3. 下列命题①平行四边形的两组对边分别平行且相等;②平行四边形的对角线互相平分且相等;③平行四边形的对角相等,邻角互补;④平行四边形短边间的距离大于长边之间的距离。
其中正确的命题个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 三角形的中位线平行于__________,且等于__________的一半.5. 连结任意四边形的四边中点,所得到的四边形是__________.6. 一个三角形的三边长分别为4,5,6,则连结各边中点所得三角形的周长为__________.7. 已知ABC ∆的周长为50cm ,中位线DE=8cm ,中位线BF =10cm ,则另一条中位线DF 的长是( )A.7㎝B.5 ㎝C.9 ㎝D.10㎝8. 三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形. 9. 顺次连结梯形各边中点所组成的图形是A.平行四边形B.菱形C.梯形D.正方形 10. 顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11. 等腰梯形的对角线互相垂直,若连接该等腰梯形各边中点,则所得图形是A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形12. 顺次连接四边形各边中点,所得的图形是 。
2013-2014学年北师大版九年级数学(上册)《第三章 证明(三)检测题(1)》单元检测题(含答案详解)
第三章 证明(三)检测题【本试卷满分100分,测试时间90分钟】一、 选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点 O ,若BD 、AC的和为18 cm ,CD ︰DA=2︰3,△AOB 的周长为13 cm ,那么BC 的长是( )A.6 cmB.9 cmC.3 cmD.12 cm2. 一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( ) A.30° B. 45° C. 60° D. 75°3.下列判定正确的是( ) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两角相等的四边形是等腰梯形C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 4.如图,梯形中,∥,∠∠90°,分别是的中点,若cm ,cm ,那么( )cm.A.4B.5C.6.5D.95.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离( ) A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较6.正方形具备而菱形不具备的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角7.从菱形的钝角顶点,向对角的两条边作垂线,垂足恰好是该边的中点,则菱形的内角中钝角的度数是( )A.150°B. 135°C. 120°D. 100°8.顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形满足条件的是( ) ①平行四边形; ②菱形; ③等腰梯形; ④对角线互相垂直的四边形. A.①③B.②③C.③④D.②④9.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,能够找到一个点,使该点到各顶点距离相等的图形是( )A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形10.矩形的边长为10 cm 和15 cm ,其中一个内角的角平分线分长边为两部分,这两部分的长分别为( ) A.6 cm 和9 cmB. 5 cm 和10 cmDC. 4 cm 和11 cmD. 7 cm 和8 cm二、 填空题(每小题3分,共24分)11.已知菱形的周长为40 cm ,一条对角线长为16 cm ,则这个菱形的面积是 .12.如图,EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,已知AB = 4,BC = 5,OE = 1.5,那么四边形EFCD 的周长是 .13.已知:如图,平行四边形ABCD 中,AB = 12,AB 边上的高为3,BC 边上的高为6,则平行四边形ABCD 的周长为 .14.在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,若∠,则∠OAB= .15.已知菱形一个内角为120°,且平分这个内角的一条对角线长为8 cm ,则这个菱形的周长为 .16.如图,把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案,则∠________ ,∠________.17.边长为的正方形,在一个角剪掉一个边长为的正方形,则所剩余图形的周长为 .18.顺次连接四边形各边中点,所得的图形是 .顺次连接对角线_______ 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形. 三、 解答题(共46分) 19.(7分)如图,在四边形中,,⊥,⊥,垂足为,,求证:四边形是平行四边形.20.(7分)如图,在△中,∠,⊥于,平分∠,交于,交于,⊥于,求证:四边形是菱形.21.(7分)如图,已知正方形,过作∥,∠30,交于点,求证:22.(8分)辨析纠错 已知:如图,△中,是∠的平分线,∥,∥.求证:四边形是菱形.对于这道题,小明是这样证明的:证明:∵平分∠,∴ ∠1=∠2(角平分线的定义).∵∥,∴ ∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).∴∠1=∠3(等量代换). ∴(等角对等边).同理可证, ∴ 四边形是菱形(菱形定义). 老师说小明的证明过程有错误,你能看出来吗?(1)请你帮小明指出他的错误是什么?(先在解答过程中划出来,再说明他错误的原因) (2)请你帮小明做出正确的解答.23.(8分)如图,在平行四边形中,,E 为中点,求∠的度数.24.(9分)如图,在△中,∠0°,BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于E ,F 在DE 上,且.⑴求证:四边形是平行四边形;⑵当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?并说明理由.A B C D E F 1 2 3第三章证明(三)检测题参考答案一、选择题1.A 解析:因为cm ,所以cm. 因为△的周长为13 cm,所以cm.又因为,所以cm.2.B 解析:如图,梯形ABCD中,高则所以∠,故选B.3.C4.A 解析:如图,作EG∥AB,EH∥DC ,因为∠∠,所以∠.因为四边形和四边形都是平行四边形,所以.又因为cm ,cm ,所以cm ,,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得cm.5.A 解析:如图,直角梯形中,是的中点,设是的中点,连接,则E是梯形的中位线,所以∥,即⊥.又,所以是的中垂线,所以.6.C7.C 解析:如图,菱形中⊥连接,因为,所以是的中垂线,所以.所以三角形是等边三角形,所以∠,从而∠.第2题答图第4题答图BACEF第5题答图第7题答图8.D 9.C 10.B二、填空题11.解析:如图,菱形ABCD的周长为40 cm ,cm,则cm ,cm,又OA⊥OB,所以cm.所以菱形的面积为.12.12 解析:由平行四边形可得,∠∠OCB.又∠∠,所以△≌△,所以,,所以四边形的周长.13.36 解析:由平行四边形的面积公式,得,即,解得,所以平行四边形的周长为.14.40°15.32 cm 解析:由菱形有一个内角为120°,可知菱形有一个内角是60°,由题意可知菱形的边长为8 cm ,从而周长为(cm).16.90°,45°解析:通过证明△FGA≌△ABC可得.17.18.平行四边形,互相垂直,相等,互相垂直且相等三、简答题19. 证明:因为DE⊥AC,BF⊥AC ,所以∠∠.因为,所以.又因为,所以△ADE≌△CBF,所以∠∠,所以AD∥BC.又因为,所以四边形ABCD是平行四边形.20. 证明:∵平分∠,∴.∵,∴∥.∴∠∠.又∠∠,∴∠∠,得,∴.又∥,得四边形是平行四边形.C又,∴四边形是菱形.21. 证明:连结交于点,作于,∵∠,∴∵⊥,⊥,∴G ∥又∥,∴四边形D是平行四边形,∴.又,∴,∴∠.又∠∠∠,∴∠∠E,∴22. 解:⑴小明错用了菱形的定义.⑵改正:∵∥,∥,∴四边形是平行四边形.∵平分∠,∴∠1=∠2.又∵∠3=∠2,∴∠1=∠3.∴,∴平行四边形是菱形.23. 解法1:∵为中点,∴21BC.∵,∴∴∠∠,∠∠.∵四边形是平行四边形,∴.又,∴,∴∴. 解法2:如图,设F为AD的中点,连接EF.因为,所以又因为∥,所以四边形是菱形.所以∠∠同理,∠∠所以∠∠24.(1)证明:由题意知,∴∥,∴ .∵ ,∴.又∵ ,∴ △≌△,∴, ∴ 四边形ACEF 是平行四边形 . (2)解:当∠时,四边形是菱形 .理由如下:∵ AB 21.∵ 垂直平分,∴又∵,∴ 四边形是菱形.。
第三章单元复习 必修一教案35
(2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为
x0=a0+ (b0-a0)= (a0+b0).
计算f(x0)和f(a0).
判断:①如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;
②如果f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]内,令a1=a0,b1=x0;
4.函数模型,解决实际问题的基本过程.
(二)方法总结
1.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.
2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径:
(1)利用求根公式;
(2)利用二次函数的图象;
(3)利用根与系数的关系.
③如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]内,令a1=x0,b1=b.
(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为
x1=a1+ (b1-a1)= (a1+b1).
计算f(x1)和f(a1).
判断:①如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
②如果f(a1)·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1.
因此,这三个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.
由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1)、(0,1)和(1,2)内,那么,对于区间(-2,-1)、(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5.
【例2】分别就a=2,a= 和a= 画出函数y=ax,y=logax的图象,并求方程ax=logax的解的个数.
高考理科数学一轮总复习第三章利用导数证明不等式
第3课时 利用导数证明不等式方法一:移项补充构造法(2020·江西赣州模拟)已知函数f (x )=1-ln x x ,g (x )=a e e x +1x-bx ,若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的一个公共点是A (1,1),且在点A 处的切线互相垂直.(1)求a ,b 的值;(2)证明:当x ≥1时,f (x )+g (x )≥2x .【解】 (1)因为f (x )=1-ln xx ,所以f ′(x )=ln x -1x 2,f ′(1)=-1. 因为g (x )=a e e x +1x -bx ,所以g ′(x )=-a e e x -1x2-b .因为曲线y =f (x )与曲线y =g (x )的一个公共点是A (1,1),且在点A 处的切线互相垂直,所以g (1)=1,且f ′(1)·g ′(1)=-1,所以g (1)=a +1-b =1,g ′(1)=-a -1-b =1,解得a =-1,b =-1. (2)证明:由(1)知,g (x )=-e e x +1x +x ,则f (x )+g (x )≥2x ⇔1-ln x x -e e x -1x +x ≥0.令h (x )=1-ln x x -e e x -1x+x (x ≥1),则h (1)=0,h ′(x )=-1-ln x x 2+e e x +1x 2+1=ln x x 2+ee x +1. 因为x ≥1,所以h ′(x )=ln x x 2+ee x+1>0, 所以h (x )在[1,+∞)上是增加的,所以h (x )≥h (1)=0,即1-ln x x -e e x -1x +x ≥0,所以当x ≥1时,f (x )+g (x )≥2x.待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,利用导数研究其单调性,借助所构造函数的单调性即可得证.已知函数f (x )=ax +x ln x 在x =e -2(e 为自然对数的底数)处取得极小值.(1)求实数a 的值;(2)当x >1时,求证:f (x )>3(x -1). 解:(1)因为f (x )=ax +x ln x , 所以f ′(x )=a +ln x +1, 因为函数f (x )在x =e-2处取得极小值,所以f ′(e -2)=0,即a +ln e -2+1=0, 所以a =1,所以f ′(x )=ln x +2.当f ′(x )>0时,x >e -2;当f ′(x )<0时,0<x <e -2,所以f (x )在(0,e -2)上是减少的,在(e -2,+∞)上是增加的, 所以f (x )在x =e-2处取得极小值,符合题意,所以a =1.(2)证明:由(1)知a =1,所以f (x )=x +x ln x . 令g (x )=f (x )-3(x -1), 即g (x )=x ln x -2x +3(x >0).g ′(x )=ln x -1,由g ′(x )=0,得x =e. 由g ′(x )>0,得x >e ;由g ′(x )<0,得0<x <e.所以g (x )在(0,e)上是减少的,在(e ,+∞)上是增加的, 所以g (x )在(1,+∞)上的最小值为g (e)=3-e>0.于是在(1,+∞)上,都有g (x )≥g (e)>0,所以f (x )>3(x -1). 方法二:隔离分析法(2020·福州模拟)已知函数f (x )=eln x -ax (a ∈R ). (1)讨论f (x )的单调性;(2)当a =e 时,证明:xf (x )-e x +2e x ≤0. 【解】 (1)f ′(x )=ex-a (x >0),①若a ≤0,则f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上是增加的; ②若a >0,则当0<x <ea 时,f ′(x )>0,当x >ea时,f ′(x )<0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫0,e a 上是增加的,在⎝⎛⎭⎫ea ,+∞上是减少的. (2)证明:法一:因为x >0,所以只需证f (x )≤e xx-2e ,当a =e 时,由(1)知,f (x )在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, 所以f (x )max =f (1)=-e. 记g (x )=e xx-2e(x >0),x 2所以当0<x <1时,g ′(x )<0,g (x )是减少的, 当x >1时,g ′(x )>0,g (x )是增加的, 所以g (x )min =g (1)=-e. 综上,当x >0时,f (x )≤g (x ), 即f (x )≤e xx-2e ,即xf (x )-e x +2e x ≤0.法二:由题意知,即证e x ln x -e x 2-e x +2e x ≤0, 从而等价于ln x -x +2≤e xe x.设函数g (x )=ln x -x +2,则g ′(x )=1x-1.所以当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0, 故g (x )在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的, 从而g (x )在(0,+∞)上的最大值为g (1)=1. 设函数h (x )=e xe x ,则h ′(x )=e x (x -1)e x 2.所以当x ∈(0,1)时,h ′(x )<0,当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )>0, 故h (x )在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的, 从而h (x )在(0,+∞)上的最小值为h (1)=1. 综上,当x >0时,g (x )≤h (x ),即xf (x )-e x +2e x ≤0.若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.已知f (x )=x ln x .(1)求函数f (x )在[t ,t +2](t >0)上的最小值;(2)证明:对一切x ∈(0,+∞),都有ln x >1e x -2e x 成立.解:(1)由f (x )=x ln x ,x >0,得f ′(x )=ln x +1, 令f ′(x )=0,得x =1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,f ′(x )<0,f (x )是减少的; 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,f (x )是增加的. ①当0<t <1e <t +2,即0<t <1e时,min ⎝⎭e e②当1e ≤t <t +2,即t ≥1e时,f (x )在[t ,t +2]上是增加的,f (x )min =f (t )=t ln t .所以f (x )min=⎩⎨⎧-1e ,0<t <1et ln t ,t ≥1e.(2)证明:问题等价于证明x ln x >x e x -2e (x ∈(0,+∞)).由(1)可知f (x )=x ln x (x ∈(0,+∞))的最小值是-1e ,当且仅当x =1e 时取到.设m (x )=x e x -2e (x ∈(0,+∞)),则m ′(x )=1-xex ,由m ′(x )<0得x >1时,m (x )为减函数, 由m ′(x )>0得0<x <1时,m (x )为增函数,易知m (x )max =m (1)=-1e,当且仅当x =1时取到.从而对一切x ∈(0,+∞),x ln x ≥-1e ≥x e x -2e ,两个等号不能同时取到,即证对一切x ∈(0,+∞)都有ln x >1e x -2e x成立.方法三:特征分析法已知函数f (x )=ax -ln x -1. (1)若f (x )≥0恒成立,求a 的最小值; (2)证明:e -xx+x +ln x -1≥0;(3)已知k (e -x +x 2)≥x -x ln x 恒成立,求k 的取值范围. 【解】 (1)由题意知x >0, 所以f (x )≥0等价于a ≥ln x +1x .令g (x )=ln x +1x ,则g ′(x )=-ln xx2,所以当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0.则g (x )在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的,所以g (x )max =g (1)=1,则a ≥1, 所以a 的最小值为1.(2)证明:当a =1时,由(1)得x ≥ln x +1. 即t ≥ln t +1.令e -xx=t ,则-x -ln x =ln t , 所以e -x x ≥-x -ln x +1,即e -xx +x +ln x -1≥0.(3)因为k (e -x +x 2)≥x -x ln x , 即k ⎝⎛⎭⎫e-xx +x ≥1-ln x 恒成立,所以k ≥1-ln xe -x x +x =-e -xx +x +ln x -1e -xx +x +1, 由(2)知e -xx +x +ln x -1≥0恒成立,所以-e -xx+x +ln x -1e -xx+x +1≤1,故k ≥1.这种方法往往要在前面问题中证明出某个不等式,在后续的问题中应用前面的结论,呈现出层层递进的特点.已知函数f (x )=ln x +1x.(1)求函数f (x )的单调区间和极值;(2)若对任意的x >1,恒有ln(x -1)+k +1≤kx 成立,求k 的取值范围; (3)证明:ln 222+ln 332+…+ln n n 2<2n 2-n -14(n +1)(n ∈N +,n ≥2).解:(1)f (x )的定义域是(0,+∞),f ′(x )=-ln xx2,由f ′(x )=0⇒x =1,列表如下:x (0,1) 1 (1,+∞)f ′(x ) + 0 - f (x )增加极大值减少因此函数f (x 1,无极小值. (2)因为x >1,ln(x -1)+k +1≤kx ⇔ln (x -1)+1x -1≤k ⇔f (x -1)≤k ,所以f (x -1)max ≤k ,所以k ≥1.(3)证明:由(1)可得f (x )=ln x +1x ≤f (x )max =f (1)=1⇒ln x x ≤1-1x ,当且仅当x =1时取等号.令x =n 2(n ∈N +,n ≥2). 则ln n 2n 2<1-1n 2⇒ln n n 2<12⎝⎛⎭⎫1-1n 2 <12⎣⎡⎦⎤1-1n (n +1) =12⎝⎛⎭⎫1-1n +1n +1(n ≥2), 所以ln 222+ln 332+…+ln n n 2<12⎝⎛⎭⎫1-12+13+12⎝⎛⎭⎫1-13+14+…+ 12⎝⎛⎭⎫1-1n +1n +1 =12⎝⎛⎭⎫n -1+1n +1-12=2n 2-n -14(n +1)(n ∈N +,n ≥2). 方法四:换元构造法已知函数f (x )=ln x -ax (x >0),a 为常数,若函数f (x )有两个零点x 1,x 2(x 1≠x 2).求证:x 1x 2>e 2.【证明】 不妨设x 1>x 2>0, 因为ln x 1-ax 1=0,ln x 2-ax 2=0,所以ln x 1+ln x 2=a (x 1+x 2),ln x 1-ln x 2=a (x 1-x 2),所以ln x 1-ln x 2x 1-x 2=a ,欲证x 1x 2>e 2,即证ln x 1+ln x 2>2.因为ln x 1+ln x 2=a (x 1+x 2),所以即证a >2x 1+x 2,所以原问题等价于证明ln x 1-ln x 2x 1-x 2>2x 1+x 2,即ln x 1x 2>2(x 1-x 2)x 1+x 2,令c =x 1x 2(c >1),则不等式变为ln c >2(c -1)c +1.令h (c )=ln c -2(c -1)c +1,c >1,所以h ′(c )=1c -4(c +1)2=(c -1)2c (c +1)2>0,所以h (c )在(1,+∞)上是增加的,所以h (c )>h (1)=ln 1-0=0,即ln c -2(c -1)c +1>0(c >1),因此原不等式x 1x 2>e 2得证.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ,再结合所证问题,巧妙引入变量c =x 1x 2,从而构造相应的函数.其解题要点为:联立消参 利用方程f (x 1)=f (x 2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c =x 1x 2,消掉变量x 1,x 2,构造关于c 的函数h (c )用导求解 利用导数求解函数h (c )的最小值,从而可证得结论已知函数f (x )=ln x -12ax 2+x ,a ∈R .(1)当a =0时,求函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线方程;(2)若a =-2,正实数x 1,x 2满足f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,求证:x 1+x 2≥5-12. 解:(1)当a =0时,f (x )=ln x +x ,则f (1)=1,所以切点为(1,1),又因为f ′(x )=1x +1,所以切线的斜率k =f ′(1)=2,故切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.(2)证明:当a =-2时,f (x )=ln x +x 2+x (x >0). 由f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,得ln x 1+x 21+x 1+ln x 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2-ln(x 1x 2),令t =x 1x 2(t >0),令φ(t )=t -ln t ,得φ′(t )=1-1t =t -1t,易知φ(t )在区间(0,1)上是减少的,在区间(1,+∞)上是增加的,所以φ(t )≥φ(1)=1,所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因为x 1>0,x 2>0,所以x 1+x 2≥5-12.两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程.(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链:e x >x +1>x >1+ln x (x >0,且x ≠1).(1)已知函数f (x )=1ln (x +1)-x,则y =f (x )的图象大致为( )(2)已知函数f (x )=e x ,x ∈R .证明:曲线y =f (x )与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点.【解】 (1)选B.因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)-x ≠0,即{x |x >-1,且x ≠0},所以排除选项D. 当x >0时,由经典不等式x >1+ln x (x >0), 以x +1代替x ,得x >ln(x +1)(x >-1,且x ≠0),所以ln(x +1)-x <0(x >-1,且x ≠0),即x >0或-1<x <0时均有f (x )<0,排除A ,C ,易知B 正确.(2)令g (x )=f (x )-⎝⎛⎭⎫12x 2+x +1=e x -12x 2-x -1,x ∈R , 则g ′(x )=e x -x -1,由经典不等式e x ≥x +1恒成立可知,g ′(x )≥0恒成立,所以g (x )在R 上为增函数,且g (0)=0.所以函数g (x )有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.已知函数f (x )=x -1-a ln x . (1)若f (x )≥0,求a 的值;(2)证明:对于任意正整数n ,⎝⎛⎭⎫1+12⎝⎛⎭⎫1+122·…·⎝⎛⎭⎫1+12n <e. 【解】 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),①若a ≤0,因为f ⎝⎛⎭⎫12=-12+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a >0,由f ′(x )=1-a x =x -ax 知,当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,a )上是减少的,在(a ,+∞)上是增加的,故x =a 是f (x )在(0,+∞)的唯一最小值点.因为f (1)=0,所以当且仅当a =1时,f (x )≥0,故a =1. (2)证明:由(1)知当x ∈(1,+∞)时,x -1-ln x >0. 令x =1+12n ,得ln ⎝⎛⎭⎫1+12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1+12+ln ⎝⎛⎭⎫1+122+…+ln ⎝⎛⎭⎫1+12n <12+122+…+12n =1-12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1+12⎝⎛⎭⎫1+122…⎝⎛⎭⎫1+12n <e. 设函数f (x )=ln x -x +1. (1)讨论f (x )的单调性;(2)求证:当x ∈(1,+∞)时,1<x -1ln x<x .【解】 (1)由题设知,f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x )=1x-1,令f ′(x )=0,解得x =1.当0<x <1时,f ′(x )>0,f (x )在(0,1)上是增加的; 当x >1时,f ′(x )<0,f (x )在(1,+∞)上是减少的.(2)证明:由(1)知f (x )在x =1处取得最大值,最大值为f (1)=0. 所以当x ≠1时,ln x <x -1.故当x ∈(1,+∞)时,ln x <x -1,x -1ln x >1.①因此ln 1x <1x -1,即ln x >x -1x ,x -1ln x <x .②故当x ∈(1,+∞)时恒有1<x -1ln x<x .[基础题组练]1.(2020·河南豫南九校联考)设定义在(0,+∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )>1,则( )A .f (2)-f (1)>ln 2B .f (2)-f (1)<ln 2C .f (2)-f (1)>1D .f (2)-f (1)<1解析:选A.根据题意,函数f (x )的定义域为(0,+∞),则xf ′(x )>1⇒f ′(x )>1x=(ln x )′,即f ′(x )-(ln x )′>0.令F (x )=f (x )-ln x ,则F (x )在(0,+∞)上是增加的,故f (2)-ln 2>f (1)-ln 1,即f (2)-f (1)>ln 2.2.若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2-e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2解析:选C.令f (x )=e xx ,则f ′(x )=x e x -e x x 2=e x (x -1)x 2.当0<x <1时,f ′(x )<0,即f (x )在(0,1)上是减少的,因为0<x 1<x 2<1, 所以f (x 2)<f (x 1),即e x 2x 2<e x 1x 1,所以x 2e x 1>x 1e x 2,故选C.3.已知函数f (x )=a e x -ln x -1.(e =2.718 28…是自然对数的底数). (1)设x =2是函数f (x )的极值点,求实数a 的值,并求f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≥1e时,f (x )≥0.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=a e x -1x .由题设知,f ′(2)=0,所以a =12e 2.从而f (x )=12e 2e x -ln x -1,f ′(x )=12e 2e x -1x .当0<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上是减少的,在(2,+∞)上是增加的. (2)证明:当a ≥1e 时,f (x )≥e xe -ln x -1.设g (x )=e x e -ln x -1,则g ′(x )=e x e -1x.当0<x <1时,g ′(x )<0;当x >1时,g ′(x )>0.所以x =1是g (x )的最小值点.故当x >0时,g (x )≥g (1)=0.因此,当a ≥1e时,f (x )≥0.4.(2020·武汉调研)已知函数f (x )=ln x +ax,a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)当a >0时,证明:f (x )≥2a -1a. 解:(1)f ′(x )=1x -a x 2=x -a x 2(x >0). 当a ≤0时,f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上是增加的.当a >0时,若x >a ,则f ′(x )>0,函数f (x )在(a ,+∞)上是增加的;若0<x <a ,则f ′(x )<0,函数f (x )在(0,a )上是减少的.(2)证明:由(1)知,当a >0时,f (x )min =f (a )=ln a +1.要证f (x )≥2a -1a ,只需证ln a +1≥2a -1a, 即证ln a +1a-1≥0. 令函数g (a )=ln a +1a -1,则g ′(a )=1a -1a 2=a -1a 2(a >0), 当0<a <1时,g ′(a )<0,当a >1时,g ′(a )>0,所以g (a )在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,所以g (a )min =g (1)=0.所以ln a +1a-1≥0恒成立, 所以f (x )≥2a -1a. 5.(2020·广东茂名一模)已知函数f (x )=a e x -1x (a ∈R )的图象在x =2处的切线斜率为e 2. (1)求实数a 的值,并讨论函数f (x )的单调性;(2)若g (x )=e x ln x +f (x ),证明:g (x )>1.解:(1)由f ′(x )=a e x -1(x -1)x 2, 得切线斜率k =f ′(2)=a e ·2-122=e 2,解得a =2. 所以f (x )=2e x -1x ,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f ′(x )=2e x -1·x -1x 2. 令f ′(x )>0,解得x >1,故f (x )在区间(1,+∞)上是增加的;令f ′(x )<0,解得x <1,且x ≠0,故f (x )在区间(-∞,0)和区间(0,1)上是减少的.(2)证明:由(1)知g (x )=e x ln x +2e x -1x,定义域为(0,+∞), 所以g (x )>1,即e x ln x +2e x -1x >1等价于x ln x >x e x -2e . 设h (x )=x ln x (x >0),则h ′(x )=ln x +1.因为h ′⎝⎛⎭⎫1e =ln 1e+1=0,所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,h ′(x )<0;当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,h ′(x )>0.故h (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,1e 上是减少的,在区间⎝⎛⎭⎫1e ,+∞上是增加的,所以h (x )在(0,+∞)上的最小值为h ⎝⎛⎭⎫1e =-1e. 设m (x )=x e x -2e (x >0),则m ′(x )=1-x e x .所以当x ∈(0,1)时,m ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,m ′(x )<0.故m (x )在区间(0,1)上是增加的,在区间(1,+∞)上是减少的,所以m (x )在(0,+∞)上的最大值为m (1)=-1e. 综上可得,在区间(0,+∞)上恒有h (x )>m (x )成立,即g (x )>1.6.已知函数f (x )=λln x -e -x (λ∈R ).(1)若函数f (x )是单调函数,求λ的取值范围;(2)求证:当0<x 1<x 2时,e1-x 2-e1-x 1>1-x 2x 1. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),因为f (x )=λln x -e -x ,所以f ′(x )=λx +e -x =λ+x e -x x, 因为函数f (x )是单调函数,所以f ′(x )≤0或f ′(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,①当函数f (x )是减函数时,f ′(x )≤0,所以λ+x e -x x ≤0,即λ+x e -x ≤0,λ≤-x e -x =-x e x . 令φ(x )=-x e x ,则φ′(x )=x -1e x , 当0<x <1时,φ′(x )<0;当x >1时,φ′(x )>0,则φ(x )在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,所以当x >0时,φ(x )min =φ(1)=-1e ,所以λ≤-1e. ②当函数f (x )是增函数时,f ′(x )≥0,所以λ+x e -x x ≥0,即λ+x e -x ≥0,λ≥-x e -x =-x e x , 由①得φ(x )=-x e x 在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,又φ(0)=0,x →+∞时,φ(x )<0,所以λ≥0.综上,λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,-1e ∪[0,+∞).(2)证明:由(1)可知,当λ=-1e 时,f (x )=-1eln x -e -x 在(0,+∞) 上是减少的, 因为0<x 1<x 2,所以f (x 1)>f (x 2),即-1e ln x 1-e -x 1>-1eln x 2-e -x 2, 所以e 1-x 2-e 1-x 1>ln x 1-ln x 2.要证e 1-x 2-e 1-x 1>1-x 2x 1, 只需证ln x 1-ln x 2>1-x 2x 1,即证ln x 1x 2>1-x 2x 1. 令t =x 1x 2,t ∈(0,1),则只需证ln t >1-1t, 令h (t )=ln t +1t -1,则h ′(t )=1t -1t 2=t -1t 2, 当0<t <1时,h ′(t )<0,所以h (t )在(0,1)上单调递减,又因为h (1)=0,所以h (t )>0,即ln t >1-1t,原不等式得证.。
初三数学上学期第三章证明(三)试题
1-3】(2004、重庆北碚,10分)如图1-已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=DC,AD PB=PC.求证:PA=PD..已知:如图 l -3-6,E 是□MABCD 的对角线上的两点,A E =CF .求证:(1)△ABE ≌△CDF ;(2)BE ∥DF ..如图1-3-8,已知等腰梯形ABCD ,AD ∥为梯形内一点,且 EA=ED ,求证:EB=EC.在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F、G、BC、CD、DA边上的中点,当梯形___________条件时,四边形EWIH是菱形.-3-13,边长为3的正方形ABCD.已知:如图1-3-l5,在矩形ABCD中,点边上,且BE=CF,AF、DE交于点AM=DM。
年新课标中考题一网打尽★★★)在备用图中,画出满足上述条件的图形,记为图⑵试用刻度尺在图1-3-17⑴⑵中量得AQ的长度,估计AQ、B Q间的关系,并填入下表.由上表可猜测AQ、BQ间的关系是______________.2)上述问)中的猜测AQ,BQ间的关系成立吗?3】(2005、温州,8分)如图1-3-ABCD是平行四边形,对角线AC、BD过点O画直线EF,分别交AD、BC于点OE=OF.【回顾4】(2005、南充,3分)如图1-3-21是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点绕正方形ABCDFC=HB:EC,顺次连结四边形ABCD各要使四边形EFGH为矩形,90°D、33【备考7】如图l-3-28,在□ABCD中,E为DC边的中点,AE交BD于点O.若SΔDOE= 9,则SΔAOB等于()A.18 B.27 C.36 D.45【备考10】如图l-3-30,在□ABCD中,AB=10AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是()A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.8【备考14】(动手操作题)在给定的锐角三角形中,求作一个正方形DEFG,使D、E落在F、G分别落在AC、AB边上,作法如下:第一步:画一个有三个顶点落在△ABC15】(探究题)如图l-3-35,矩形ABCDAC与BD的交点,过O点的直线EF与的延长线分别交于E、F.(l)求证:△BOE≌△)当EF与AC满足什么条件时,四边形。
第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点网络 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素(定义域、对应法则、值域) 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性:“任意性”、“存在性”、“唯一性”; 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式; 3、对应关系包括一对一、多对一。
一、判断对应法则或图象是否是一个函数(非空性、任意性x 、唯一确定性y )二、判断两个函数是否是相同函数(定义域、对应法则) 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数(定义域、值域) 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法:解析法、列表法、图像法; 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点,函数图象呈现形式主要有2种:连续的曲线或孤立的点; 3、画函数图象方法:描点法(列表、描点、连线)6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数(概念、图象、性质)三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接,写成不等式组。
2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域;②已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域;③已知f(g(x))的定义域,求f(g(x))的定义域;④已知f(g(x))的定义域,求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键:定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同(空间不变原理)3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时,[4ac−b24a,+∞)a<0时,(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法(利用基本不等式求解)4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域,定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数,x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2,则函数f(x)在区间D 上为减函数,x 1,x 2∈D ,且x 1≠x 2,则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同, 自变量增量与函数值增量同号。
实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导
主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念,内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集.但是,这样引入的可测概念不便于进一步讨论.我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集(即定义3.2.3),为此,首先讨论了外测度的性质(定理3.1.1).注意到外测度仅满足次可列可加(而非可列可加)性,这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度,该测度自然应该等于这个集合的外测度,即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来,因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质.其中,最基本的是测度满足在空集上取值为零,非负,可列可加这三条性质.由此出发,可以导出测度具有的一系列其它性质,如有限可加,单调,次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类.这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类.我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集,勒贝格可测集类,勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质,才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中,我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理,其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性.限于本书的篇幅而把它略去.读者只须知道:任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意2、对任意E R n,m*E都存在。
(√)E R n,mE都存在。
(×)3、设E R n,则m*E可能小于零。
(×)4、设5、设A B,则m* A m*B。
(√)A B,则m* A m*B。
(×)6、m*(S n) m*S n。
(×)n1n17、m*(S n) m*S n。
(√)n1n118、设E为R n中的可数集,则m*E0 。
第三章证明(三)复习试卷
第三章证明(三)复习试卷一、选择题:(1)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点 O ,若BD 、AC 的和为cm 18,CD :DA=2:3,⊿AOB 的周长 为cm 13,那么BC 的长是 ( )A cm 6B cm 9C cm 3D cm 12(2)一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为 ( ) A ︒30 B ︒45 C ︒60 D ︒75(3)在直角三角形ABC 中,∠ACB =︒90,∠A =︒30,AC =cm 3,则AB 边上的中线长为( )A cm 1B cm 2C cm 5.1D cm 3(4)等边三角形的一边上的高线长为cm 32,那么这个等边三角形的中位线长为 ( ) A cm 3 B cm 5.2 C cm 2 D cm 4 (5)下列判定正确的是 ( ) A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 两角相等的四边形是等腰梯形 C 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D 两条地对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 二、填空题:(1)已知菱形的周长为cm 40,一条对角线长为cm 16,则这个菱形的面积是 ; (2)如图,EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,已知AB = 4,BC = 5,OE = 1.5,那么四边形 EFCD 的周长是 ;(3)已知:如图,平行四边形ABCD 中,AB = 12,AB 边上的高 为3,BC 边上的高为6,则平行四边形ABCD 的周长为 ; (4)在Rt ⊿ABC 中,∠C =︒90,周长为cm )325(+; 斜边上的中线CD =cm 2,则Rt ⊿ABC 的面积为 ; (5)如图,在Rt ⊿ABC 中,∠C =︒90,AC = AB ,AB = 30,矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上,顶点G 、F 分别在AC 、BC 上,若AB CDOABCDOE FABCD EFABC DF GDG :GF = 1:4,则矩形DEFG 的面积是 ; 三、解答题:(1)如图,在平行四边形ABCD 中,BC = 2AB ,E 为BC 的中点,求∠AED 的度数;(2)如图,四边形ABCD 中,AD = BC ,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足为E 、F ,BE = DF ,求证:四边形ABCD 是平行四边形;(3)已知菱形ABCD 的周长为cm 20;,对角线AC + BD =cm 14,求AC 、BD 的长;(4)如图,四边形ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC,点E,F 在BC 上,且BE=CF,连接DE,AF.求证:DE=AF.FEDCBAABCDE(5) 图:在平面直角坐标系中,有A (0,1),B (1-,0),C (1,0)三点坐标.(1)若点D 与A B C ,,三点构成平行四边形,请写出所有符合条件的点D 的坐标;(2)选择(1)中符合条件的一点D ,求直线BD(6) 已知菱形ABCD 中,E 、F 分别是CB 、CD 上的点,且BE=DF 。
第三章复习单选题
第三章复习单选题基本信息:[矩阵文本题] *1.在小额支付中占据主导地位的是()。
[单选题] *A.票据B.汇兑C.条码支付(正确答案)D.委托收款2.根据支付结算法律制度的规定,下列经济业务使用的非现金支付工具中,属于结算方式的是()。
[单选题] *A.甲公司与戊公司签订购销合同,签发一张3个月后到期的银行承兑汇票抵付货款B.乙国有企业与戊国有企业签订购销合同,合同约定采用托收承付方式结算(正确答案)C.丙公司与戊公司签订购销合同,签发一张支票抵付货款D.丁公司与戊公司签订购销合同,签发借据一张,注明货款暂欠3个月内支付3.根据支付结算法律制度的规定,下列表述中错误的是()。
[单选题] *A.支付工具“三票一卡”是指支票、本票、汇票和银行卡B.非金融支付机构属于支付结算服务组织C.网络支付在小额支付中占据主导地位D.填写票据和结算凭证时,收款人名称必须记载全称,不得使用简称(正确答案)4.付款人账户内没有资金,或收款人应收的款项由于付款人的原因不能收回时,银行的中介职责可以不履行,这体现的办理支付结算的原则是()。
[单选题] *A.恪守信用B.谁的钱进谁的账,由谁支配C.银行不垫款(正确答案)D.履约付款5.除法律法规另有规定外,银行无权在未经存款人授权或委托的情况下,擅自动用存款人在银行账户里的资金,这体现的办理支付结算的原则是()。
[单选题] *A.恪守信用B.谁的钱进谁的账,由谁支配(正确答案)C.银行不垫款D.履约付款6.下列各项中,不属于办理支付结算应遵循的原则的是()。
[单选题] *A.恪守信用,履约付款B.谁的钱进谁的账,由谁支配C.银行不垫款D.礼貌用语(正确答案)7.某出纳在10月20日填写支票的出票日期,下列填写正确的是()。
[单选题] *A.零拾月零贰拾日B.零壹拾月贰拾日C.零壹拾月零贰拾日(正确答案)D.拾月零贰拾日8.某票据的出票日期为“2018年3月15日”,其规范写法是()。
八年级数学上册 第三章 3.1 勾股定理的证明知识点与同步训练(含解析)苏科版
勾股定理的证明一.勾股定理1.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么222a b c+=.2.勾股定理的变形:22c a b=+,22a c b=-,22b c a=-.二.勾股定理的证明1.如下图,()22142ABCDS c a b ab==-+⨯正方形,所以222a b c+=.HGFEDCBA cba 2.如下图,2()()112222ABCDa b a bS ab c+-==⨯+梯形,所以222a b c+=.cb ac baEDCBA一.勾股定理逆定理1.如果三角形的三边长a,b,c满足222a b c+=,那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理与其逆定理的区别是:勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提,得到这个三角形的三边长的数量关系;勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c+=”为前提,得到这个三角形是直角三角形.两者的题设和结论正好相反,应用时要注意其区别.二.勾股数1.满足222a b c+=的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.2.常用勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17;9、40、41.题模一:证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图(如图),说明勾股定理.【答案】见解析【解析】∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形,∴AE DE BD AB===,1809090EAG BAC EAG AEG∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒,∴四边形ABDE是正方形,∵90AGE EHD BMD ACB∠=∠=∠=∠=︒,∴90HGC∠=︒,∵GH HM CM CG b a====-,∴四边形GHMC是正方形,∴大正方形的面积是2c c c⨯=,大正方形的面积也可以是:2222214222ab b a ab a ab b a b⨯+-=+-+=+(),∴222a b c+=,即在直角三角形中,两直角边a b(、)的平方和等于斜边c()的平方.例1.1.2如图所示,P是△ABC边AC上的动点,以P为顶点作矩形PDEF,顶点D,E在边BC上,顶点F在边AB上;△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a,h,且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根,设过D,E,F三点的⊙O的面积为S⊙O,矩形PDEF的面积为S矩形PDEF.(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4;(2)求OPDEFS S 矩形的最小值;(3)当OPDEFSS 矩形的值最小时,过点A 作BC 的平行线交直线BP 与Q ,这时线段AQ 的长与m ,n ,k 的取值是否有关?请说明理由.【答案】 见解析 【解析】 解法一:(1)据题意,∵a+h=-n m ,ah=k m∴所求正方形与矩形的面积之比: 2()a h ah+=2()n m k m-=2n mk (1分) ∵n 2-4mk≥0,∴n 2≥4mk,由ah=km知m ,k 同号, ∴mk>0 (2分)(说明:此处未得出mk >0只扣(1分),不再影响下面评分) ∴2n mk ≥4mk mk=4(3分) 即正方形与矩形的面积之比不小于4.(2)∵∠FED=90°,∴DF 为⊙O 的直径.∴⊙O 的面积为:S ⊙O =π(2DF )2=π24DF =4π(EF 2+DE 2). (4分)矩形PDEF 的面积:S 矩形PDEF =EF•DE. ∴面积之比:OPDEFSS 矩形=4π(EF DE+DE EF),设EF DE=f .OPDEFSS 矩形=4π(f+1f)=4π[(f )2+(1f )2-2f -1f+2f1f]=4π(f -1f)2+2π.(6分)∵(f -1f )2≥0,∴4π(f -1f)2+2π≥2π,∴f =1f,即f=1时(EF=DE ),OPDEFSS 矩形的最小值为2π(7分)(3)当OPDEFSS 矩形的值最小时,这时矩形PDEF 的四边相等为正方形.过B 点过BM⊥AQ,M 为垂足,BM 交直线PF 于N 点,设FP=e ,∵BN∥FE,NF∥BE,∴BN=EF,∴BN=FP=e. 由BC∥MQ,得:BM=AG=h . ∵AQ∥BC,PF∥BC,∴AQ∥FP, ∴△FBP∽△ABQ. (8分)(说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分) ∴FP AQ =BNBM,(9分) ∴e AQ =eh,∴AQ=h (10分) ∴AQ=242n n mkm -±-(11分)∴线段AQ 的长与m ,n ,k 的取值有关. (解题过程叙述基本清楚即可) 解法二:(1)∵a,h 为线段长,即a ,h 都大于0,∴ah>0 (1分)(说明:此处未得出ah >0只扣(1分),再不影响下面评分) ∵(a-h )2≥0,当a=h 时等号成立. 故,(a-h )2=(a+h )2-4ah≥0.(2分) ∴(a+h )2≥4ah,∴2()a h ah+≥4.(﹡) (3分)这就证得2()a h a h+-≥4.(叙述基本明晰即可)(2)设矩形PDEF 的边PD=x ,DE=y ,则⊙O 的直径为22x y +. S ⊙O =π(222x y +)2(4分),S 矩形PDEF =xyOPDEFSS 矩形=22()4x y xyπ+=4π[22(2)2x xy y xy xy ++-]=4π[2()x y xy +-2](6分)2()x y xy+≥4由(1)(*). ∴4π[2()x y xy +-2]≥4π(4-2)=2π.∴OPDEFSS 矩形的最小值是2π(7分)(3)当OPDEFSS 矩形的值最小时,这时矩形PDEF 的四边相等为正方形.∴EF=PF.作AG⊥BC,G为垂足.∵△AGB∽△FEB,∴ABBF =AGEF.(8分)∵△AQB∽△FPB,ABBF =AQPF,(9分)∴ABBF =AGEF=AQPF.而EF=PF,∴AG=AQ=h,(10分)∴AG=h=242n n mkm-+-,或者AG=h=242n n mkm---(11分)∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关.(解题过程叙述基本清楚即可)题模二:勾股定理例1.2.1如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系式()A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a【答案】C【解析】∵AC=2243+=5=25,BC=2241+=17,AB=4=16,∴b>a>c,即c<a<b.故选C.例1.2.2有一个三角形两边长为3和4,要使三角形为直角三角形,则第三边长为()A.5B.7C.5或7D.不确定【答案】C【解析】本题考查勾股定理的使用.此题要分两种情况进行讨论:①当3和4为直角边时;②当4为斜边时,再分别利用勾股定理进行计算即可.①当3和4为直角边时,第三边长为22345+=②当4为斜边时,第三边长为22437-=,故选C.例1.2.3在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()A.365B.1225C.94D.334【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示:在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得:AB=22AC BC+=15,过C作CD⊥AB,交AB于点D,又S△ ABC=12AC•BC=12AB•CD,∴CD=AC BCAB=91215⨯=365,则点C到AB的距离是365.故选A例1.2.4已知直角三角形的一直角边等于35cm,另外两条边的和为49cm,求斜边长.【答案】斜边长为37cm【解析】设直角三角形的斜边长为x cm,则另一直角边为()49x-cm,根据勾股定理可列方程:()2223549x x+-=,解得37x=随练1.1勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a)∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2证明:连结____.∵S五边形ACBED=____.又∵S五边形ACBED=____.∴____.∴a2+b2=c2.【答案】(1)BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a(2)S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE=12ab+12b2+12ab,(3)S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE=12ab+12c2+12a(b-a)(4)12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a)【解析】证明:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S 五边形ACBED =S △ ACB +S △ ABE +S △ ADE =12ab+12b 2+12ab , 又∵S 五边形ACBED =S △ ACB +S △ ABD +S △ BDE =12ab+12c 2+12a (b-a ), ∴12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a (b-a ), ∴a 2+b 2=c 2.随练1.2 如图,在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中,△ABC 的三个顶点均在格点上,则△ABC 的周长为=_____,面积为_____【答案】 62610+;36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算.由勾股定理得:2239310AB =+=,226662BC =+=,1.2239310AC =+=, 2. 所以△ABC 的周长为62610AB AC BC ++=+,1199662393622ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=△随练1.3 若一直角三角形两边长为6和8,则第三边长为()A . 10B . 27C . 10或D . 10【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理.(1)当6和8是直角边时,斜边10==;(2)当8是斜边时,另一直角边==;故选C .随练1.4 若一直角三角形两边长为6和8,则第三边长为( )A . 10B .C . 10或D . 10【答案】C【解析】 该题考查的是勾股定理.(1)当6和8是直角边时,斜边10==;(2)当8是斜边时,另一直角边==;故选C .随练1.5 设a 、b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab 的值是____A . 1.5B . 2C . 2.5D . 3【答案】D【解析】 本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用.由该三角形的周长为6,斜边长为2.5可知a+b+2.5=6,再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab 的值.∵三角形的周长为6,斜边长为2.5,∴a+b+2.5=6,∴a+b=3.5,①∵a、b 是直角三角形的两条直角边,∴a 2+b 2=2.52,②由①②可得ab=3,故选D .随练1.6 已知在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AB c =,BC a =,AC b =.如果26c =,:5:12a b =,求a 、b 的值.【答案】 10a =,24b =【解析】 ∵Rt ABC △中,90C ∠=︒,26c =,:5:12a b =,可设5a x =,则12b x =,∴()()22251226x x +=,解得2x =,∴10a =,24b =.作业1 如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了( )m 的路,却踩伤了花草.A . 5B . 4C . 3D . 2【答案】B【解析】 该题考查的是勾股定理.根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方,可得斜边长为2251213+=,因此少走的路为512134+-=.所以本题的答案是B .作业2 如图,点E 在正方形ABCD 内,满足90AEB ∠=︒,6AE =,8BE =,则阴影部分的面积是( )E ACB D A . 48B . 60C . 76D . 80【答案】C 【解析】 211100687622ABE ABCD S S S AB AE BE ∆=-=-⨯⨯=-⨯⨯=正方形阴影部分.故选C .作业3 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm ,8cm ,那么这个直角三角形斜边上的高为cm.【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm,8cm,∴斜边为=10,设斜边上的高为h,则直角三角形的面积为×6×8=×10h,h=4.8cm,这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.作业4如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,面积分别记为S1、S2,则S1+S2等于____.【答案】2π【解析】S1=12π(2AC)2=18πAC2,S2=18πBC2,所以S1+S2=18π(AC2+BC2)=18πAB2=2π.故答案为:2π.作业5学习勾股定理相关内容后,张老师请同学们交流这样的一个问题:“已知直角三角形的两条边长分别为3,4,请你求出第三边.”张华同学通过计算得到第三边是5,你认为张华的答案是否正确:_____________,你的理由是______________________________________________________________________【答案】不正确;若4为直角边,第三边为5;若4为斜边,第三边为7【解析】本题需要分类讨论.当4为直角边时,第三边的长为22345+=;当4为斜边时,第三边的长为22437-=.因此答案为5或7.作业6如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.【答案】5连接BD ,∵等腰直角三角形ABC 中,D 为AC 边上中点,∴BD⊥AC(三线合一),BD=CD=AD ,∠ABD=45°,∴∠C=45°,∴∠ABD=∠C,又∵DE 丄DF ,∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF,∴∠FDC=∠EDB,在△EDB 与△FDC 中,∵EBD C BD CD EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△EDB≌△FDC(ASA ),∴BE=FC=3,∴AB=7,则BC=7,∴BF=4,在Rt△EBF 中,EF 2=BE 2+BF 2=32+42,∴EF=5.答:EF 的长为5.作业7 操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a 、b 、c (如图①),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状,图②中的两个小正方形的面积2S 、3S 与图③中小正方形的面积1S 有什么关系?你能得到a 、b 、c 之间有什么关系?【答案】 三个小正方形的面积满足231S S S +=,其边长满足222a b c +=【解析】 分别用4张直角三角形纸片,拼成如图2、图3的形状,观察图2、图3可发现,图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积,即231S S S +=,这个结论用关系式可表示为222a b c +=.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。
2023-2024学年浙教版七年级数学上册第三章单元复习测试卷附答案解析
2023-2024学年七年级数学上册第三章单元复习测试卷实数(满分100分)一、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)1.下列实数为无理数的是()A.4B.32C.2πD.02.9的平方根是()A.3B.3±C.3-D.93.在函数15x y x -=-,自变量x 的取值范围是()A.1x ≥B.1x ≤C.1x ≤且5x ≠D.1x ≥且5x ≠4.下列说法不正确的是()A.-1的立方根是-1B.-1的平方是1C.-1的平方根是-1D.1的平方根是±15.下列各式正确的是()A.16=±4B.()2 3-=-3C.±81=±9D.4-=26.若()233x x -=-,则x 的取值范围是()A.3x >B.3x ≥C.3x <D.3x ≤7.估计58的立方根的大小在()A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间8.下列计算正确的是()A.2a a =B.2a a =±C.2||a a =D.2a a=-9.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,且|a |>|b |,则化简2a a b -+的结果为()A.2a +b B.-2a +b C.b D.2a -b10.有一个数值转换器,流程如下:当输入的x 值为64时,输出的y 值是()A.4B.2C.2D.32二、填空题(本大题共有6个小题,每小题3分,共18分)11.计算:13128--=.12.比较大小:521.(填“>”、“<”或“=”)13.若21(2)30x y z -+-+-=,则x+y+z=.14.已知一个正数的平方根是8x -和510x -,则这个数是.15.已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示,则化简2|1|(2)a a ---的结果是________16.已知222233=,333388=,44441515=,⋅⋅⋅请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来:.三、解答题(本大题共有6个小题,共52分)17.求下列各式中的x ,(1)24250x -=(2)()327364x -=-18.已知21a +的平方根是3±,522a b +-的算术平方根是4,求34a b -的平方根.19.计算:(1)()2383|12|-+---.(2)20233(1)9128--+---20.对于任意实数,定义关于“⊗”的一种运算如下:a ⊗b=,例如:3⊗2==,求5⊗10⊗2的值21.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示,化简22()()a b b c b c --+--.22.请你计算下列四个式子的值:31;3312+;333123++;33331234+++,并观察你的计算结果,用你发现的规律得出:333333333312345678910+++++++++的值.解答卷二、选择题(本大题共有10个小题,每小题3分,共30分)1.下列实数为无理数的是()A.4B.32C.2πD.0【答案】C2.9的平方根是()A.3B.3±C.3-D.9【答案】B 3.在函数15x y x -=-,自变量x 的取值范围是()A.1x ≥B.1x ≤C.1x ≤且5x ≠D.1x ≥且5x ≠【答案】D4.下列说法不正确的是()A.-1的立方根是-1B.-1的平方是1C.-1的平方根是-1D.1的平方根是±1【答案】C5.下列各式正确的是()A.16=±4B.()2 3-=-3C.±81=±9D.4-=2【答案】C 6.若()233x x -=-,则x 的取值范围是()A.3x >B.3x ≥C.3x <D.3x ≤【答案】B7.估计58的立方根的大小在()A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间【答案】B8.下列计算正确的是()A.2a a =B.2a a =±C.2||a a =D.2a a=-【答案】C9.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,且|a |>|b |,则化简2a a b -+的结果为()A.2a +b B.-2a +b C.b D.2a -b【答案】C 10.有一个数值转换器,流程如下:当输入的x 值为64时,输出的y 值是()A.4B.2C.2D.32【答案】B三、填空题(本大题共有6个小题,每小题3分,共18分)11.计算:13128--=.【答案】012.比较大小:521.(填“>”、“<”或“=”)【答案】>13.若21(2)30x y z -+-+-=,则x+y+z=.【答案】614.已知一个正数的平方根是8x -和510x -,则这个数是.【答案】2515.已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示,则化简2|1|(2)a a ---的结果是________【答案】23a -16.已知222233=,333388=,44441515=,⋅⋅⋅请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来:.【答案】2211n nn n n n +=--(2n ≥且n 为整数)三、解答题(本大题共有6个小题,共52分)17.求下列各式中的x ,(1)24250x -=(2)()327364x -=-解:(1)24250x -=,方程两边同时除以4,移项得,2254x =,即254x =±,∴52x =±;(2)解:()327364x -=-,方程两边同时除以27,得,()364327x -=-,∴36443273x -=-=-,∴53x =.18.已知21a +的平方根是3±,522a b +-的算术平方根是4,求34a b -的平方根.解:∵21a +的平方根是3±,522a b +-的算术平方根是4,∴21a +=9,522a b +-=16,∴a =4,b =-1把a =4,b =-1代入34a b -得:3×4-4×(-1)=16,∴34a b -的平方根为:164±=±.20.计算:(1)()2383|12|-+---.(2)20233(1)9128--+---解:(1)()2383|12|-+---23(21)=-+--22=-.(2)20233(1)9128--+---13212=--+-+23=-.20.对于任意实数,定义关于“⊗”的一种运算如下:a ⊗b=,例如:3⊗2==,求5⊗10⊗2的值解:5⊗10⊗2=⊗2=7⊗2==.21.有理数a、b、c 在数轴上的位置如图所示,化简22()()a b b c b c --+--.解:()()22a b b c b c --+--=a b b c b c--+--=b-a+b+c-b+c =b-a+2c23.请你计算下列四个式子的值:31;3312+;333123++;33331234+++,并观察你的计算结果,用你发现的规律得出:333333333312345678910+++++++++的值.解:311=;33129312+===+;333123366123++===++;33331234100101234+++===+++,…,∴3333123...123...n n ++++=++++,∴333333333312345678910+++++++++12345678910=+++++++++55=.。
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第三章《证明三》知识点一.正确理解定义(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义.(2”表示平行四边形,例如:平行四边形ABCD ABCD,读作“平行四边形ABCD”.2.熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的.(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;(5)面积:①S=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.3.学会判别方法(1)平行四边形的判别方法①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形的判别方法的选择二、.几种特殊四边形的有关概念(1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:(1)平行四边形;(2)一个角是直角,两者缺一不可.(2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:(1)平行四边形;(2)一组邻边相等,两者缺一不可.(3)正方形:一组邻边相等的矩形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.(4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,对于这个定义,要注意把握:(1)一组对边平行;(2)一组对边不平行,同时要注意和平行四边形定义的区别,还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题.(5)等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等的梯形,特殊梯形还有直角梯形.2.几种特殊四边形的有关性质(1)矩形:(1)边:对边平行且相等;(2)角:对角相等、邻角互补;(3)对角线:对角线互相平分且相等;(4)对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)菱形:(1)边:四条边都相等;(2)角:对角相等、邻角互补;(3)对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;(4)对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(3)正方形:(1)边:四条边都相等;(2)角:四角相等;(3)对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;(4)对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(4)等腰梯形:(1)边:上下底不相等,两腰相等;(2)角:对角互补;(3)对角线:对角线相等;(4)对称性:是轴对称图形不是中心对称图形.3.几种特殊四边形的判定方法(1)矩形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形(1)有一个角是直角的平行四边形;(2)对角线相等的平行四边形;(3)四个角都相等(2)菱形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形(1)有一组邻边相等的平行四边形;(2)对角线互相垂直的平行四边形;(3)四条边都相等.(3)正方形的判定:满足下列条件之一的四边形是正方形.(1)有一个角是直角的菱形;(2)有一组邻边相等的矩形;(3)对角线相等的菱形;(4)对角线互相垂直的矩形.(4)等腰梯形的判定:满足下列条件之一的梯形是等腰梯形(1)同一底两个底角相等的梯形;(2)对角线相等的梯形.4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析(1)识别矩形的常用方法(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.(3)说明四边形ABCD的三个角是直角.(2)识别菱形的常用方法(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直.(3)说明四边形ABCD的四条相等.(3)识别正方形的常用方法(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等.(3)先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.(4)先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD的一个角为直角.(4)识别等腰梯形的常用方法(1)先说明四边形ABCD为梯形,再说明两腰相等.(2)先说明四边形ABCD为梯形,再说明同一底上的两个内角相等.(3)先说明四边形ABCD为梯形,再说明对角线相等.5.几种特殊四边形的面积问题(1)设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.(2)设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b,则S菱形=12ab.(3)设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形=2a;若正方形的对角线的长为a,则S正方形=212a.(4)设梯形ABCD的上底为a,下底为b,高为h,则S梯形=1()2a b h+.三、多边形:1.多边形的定义在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形,叫做多边形.2.正多边形的定义在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.3.探索多边形内角和公式n边形内角和公式:180)2(⨯-n任意多边形的外角和都等于360°.4.密铺的定义:何谓密铺呢?课本上介绍:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片,叫作平面图形的密铺.5.密铺的特征:(1)边长都相等;(2)顶点公用;(3)在一个顶点处各正多边形的内角和为3600.8、中心对称图形1·如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个中心点叫做对称中心。
2·图形上对称点的连线被对称中心平分;练习题(一)知识点回顾:平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系1.矩形是特殊的平行四边形,矩形的四个内角都是_________。
矩形的对角线__________________2.菱形是特殊的平行四边形,菱形是四条边都_____,它的两条对角线___________________每条对角线平分一组_____.3.正方形四条边都_____,四个角都是_____。
所以正方形可以看作为:一个角是直角的____;有一组邻边相等的_____;4.等腰梯形的两腰_______,同一底边上的两个内角_______。
等腰梯形的两条对角线________。
5__________________________________________的平行四边形是矩形6._______________________________________________ 的平行四边形是菱形7._________________________________________ 的平行四边形是正方形8.______________________________________________ 的梯形是等腰梯形即有下面的流程图,在箭头里填上变化根据(二)主要知识点的相关练习利用平行四边形、特殊四边形的定义解答填空、选择题1.平行四边形ABCD中,∠A-∠B=20°,则∠C的度数为。
2.平行四边形两邻角的平分线相交所成的是()A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定3.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,∠B=100°,则∠DAE= .A AB CD E C B P1A B O C B(第3题) (第4题) (第5题)4.如图,直角∠AOB内任意一点P,到这个角的两边的距离和为6,则图中四边形的周长为。
5.如图,是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架,若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则∠1=度。
6.在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是()A.∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180°C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180°特殊的四边形的有关计算练习1.已知菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,其周长为20cm,则其面积为_______边长为__________边上的高为_________ ;2.若菱形的一个内角为60°,且边长为2cm,则它的较短对角线长为___________cm;3.菱形ABCD两条对角线相交于O,AO=1,∠ABD=30°,则BC的长为_________4. 正方形的对角线为2cm,则正方形的面积为______________;正方形的面积为18cm²,则它的对角线长为_______________________cm;5.矩形ABCD 两条对角线相交于O ,O 到短边距离比到长边的距离多8cm ,矩形的周长为56cm ,求矩形各边长E 6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42 ,求四个内角的度数。
7.从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线,如果这两条垂线间的夹角为75︒,求这个平行四边形各内角的度数。
解:连AC 即∠1+∠2+∠3+∠4+180︒=360︒利用特殊四边形性质证明有关线段或角相等1.如图,平行四边形ABCD 中,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E 、F 。
求证:∠BAE=∠DCF 。
A D F EB C2.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 在对角线BD 上,且BE=DF ,CB求证:AE=CF 。
A DF E B C3.如图,四边形ABCD 是菱形,CE ⊥AB ,交AB 的延长线于E ,CF ⊥AD ,交AD 的延长线于F ,请你猜想CE 与CF 的大小有什么关系?并证明你的猜想。
FD CA B E(三)课堂演练 一、选择题1、下列说法中,不是..一般平行四边形的特征的是( ) A 、对边平行且相等 B 、对角线互相平分C 、是轴对称图形D 、对角相等 2、菱形和矩形都具有的性质是( )A 、对角线相等B 、对角线互相平分C 、对角线平分一组对角D 、对角线互相垂直3、在 中,两条对角线AC 、BD 相交于点O ,如右图与△ABO 面积相等的三角形有( )个。