广东省广州市实验中学2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
广东省广州市实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷答案
广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试 数学（理科）答案及评分标准 一、选择题 1～12 DCDDD ACABB BD 二、填空题 13. 14. x－2y＋4＝0 三、解答题 17.（本题10分）证：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF ∥AD∵ EF∥AD ，EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，EFCF面∴BD⊥面EFC∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD解：()若截距不为0设直线的方程为＋＝1直线过点(－3)，∴＋＝1解得a＝1.此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0设直线方程为y＝kx代入点(－3)，有4＝－3k解得k＝－此时直线方程为4x＋3y＝0.综上所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时设其方程为y－10＝k(x－5)即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式得＝5解得k＝此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.．平面 ABC,, ∴,① ——2分 又∵,∴∴② ——4分 由①、②，,, ∴平面 ——6分 （2）过 A作∥交 CD于 H，则平面，过H作 HM, 连接AM，则为二面角所成的平面角. ——8分 在中，, ——9分 ∵∽,∴ ——10分 ∴ ——11分 故二面角的余弦值为. ——12分 20.（本题12分）（1）取中点为，连结， ∵分别为中点∴∥∥，∴四点共面，且平面平面 又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，∴．连结，因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面∴是在平面内的∴与平面所成的角为∠ 又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角 设，且三角形是等腰三角形∴，则，∴ ∴直线和平面所成的角的余弦值为． 21.（本题12分） 解：（1）∵，∴ . ——1分 设点的坐标为，则有，， ——2分 由点到直线的距离公式可知：， ——4分 故有，即为定值，这个值为1. ——5分 （2）由题意可设，可知. ∵与直线垂直，∴，即， 解得，又，∴ . ——8分 ∴， ——10分 ∴ , 当且仅当时，等号成立. ——11分 ∴此时四边形面积有最小值. ——12分 22. （本题12分） 解：（1）∵平面PEF平面ABFED平面PEF平面ABFED, ,∴, ——1分 不妨设，在中，，——3分 当且仅当，即 E为 CD中点时，PB取得最小值. ——4分 ——5分 （2）令 AC与 BD的交点为 M，∵，所以 Q在线段AP上， ——6分 设OQ与平面 PBD的交点为N，则 N在线段PM上， 过 O作于 H，则可证 , ——8分 为直线 OQ与平面 PBD所成的角， ——9分 ∵是等腰三角形，∴， ——10分 ∴>或>（三角形外角大于内角） ——11分 即，所以直线 OQ与平面 PBD所成角一定大于. ——12分 F E D C B A。
2015-2016学年广东省广州市执信中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z=z1z2﹣z1﹣z2﹣i所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C． D．4．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a11=12，则S13=（）A．60 B．78 C．156 D．不确定5．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）A．﹣3 B．C．3 D．6．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示程序框图中，输出S=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2 D．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣11．（5分）已知函数f（x）=|e x﹣e2x|，方程f2（x）+af（x）+a﹣1=0有四个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，e2） C．（﹣2e2，1﹣e2）D．（1﹣e2，1）12．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线y2=4x的两条切线l1、l2，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣4=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2+x﹣3y﹣2=0 D．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在[0，]上的最小值为．14．（5分）已知点P（﹣1，1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为．15．（5分）定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是．16．（5分）给出下列四个命题：①∃α∈R ，；②函数图象的对称中心是（k∈Z）；③函数是周期函数，2π是它的一个周期；④（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1）．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．）17．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x ﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n ＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．18．（12分）2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C 级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z的值评定该同学的得分等级．若w≥4，则得分等级为一级；若2≤w≤3．则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及其数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=AC=2，∠ACB=∠ACD=．（1）证明：AP⊥BD；（2）若AP=，AP与BC所成角的余弦值为，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM 的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解不等式可得A={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，∵集合A是B的真子集，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z=z1z2﹣z1﹣z2﹣i所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由图可知，z1=1+2i，z2=1﹣i，∴z=z1z2﹣z1﹣z2﹣i=（1+2i）（1﹣i）﹣1﹣2i﹣1+i﹣i=3+i﹣2﹣2i=1﹣i．∴复数z所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：如图，设，则，∴=（1，）﹣（2，0）=（﹣1，），设与的夹角为θ（0≤θ≤π），∴cosθ==．∴．故选：B．4．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a11=12，则S13=（）A．60 B．78 C．156 D．不确定【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a3+a11=12=a1+a13，则S13===78．故选：B．5．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣2，则=（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣2，∴tanα=2，∴====﹣，故选：D．6．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．7．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D．8．（5分）如图所示程序框图中，输出S=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=0，S=cos+sin，n=2，不满足条件n＞2016，S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×）），…n=2016，不满足条件n＞2016，S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×））+…+（cos（2016×）+sin（2016×）），n=2017，满足条件n＞2016，退出循环，输出S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×））+…+（cos（2016×）+sin（2016×））的值．∵sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，k∈Z，且cos+cos+cos+cos+cos+cos=0，k∈Z，2016=6×336，∴可得：S=0．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【解答】解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．故选：B．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【解答】解：如图，区域M为曲边梯形ABC，区域N为矩形OBCD，=e﹣1﹣，由几何概型的公式可得；故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=|e x﹣e2x|，方程f2（x）+af（x）+a﹣1=0有四个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，e2） C．（﹣2e2，1﹣e2）D．（1﹣e2，1）【解答】解：由g（x）=e x﹣e2x的导数为g′（x）=e x﹣e2，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=2处取得极小值，且为﹣e2，画出函数f（x）=|e x﹣e2x|的图象，f2（x）+af（x）+a﹣1=0的两根为f（x）=﹣1，f（x）=1﹣a，由题意可得y=f（x）与y=1﹣a有四个交点等价为0＜1﹣a＜e2，解得1﹣e2＜a＜1，故选：D．12．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线y2=4x的两条切线l1、l2，设l1、l2与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣4=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2+x﹣3y﹣2=0 D．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0【解答】解：由题意可知，△ABC的外接圆方程，A的坐标满足圆的方程，点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣4=0，左侧=4+9+6﹣4=15≠0，不成立．所以A 不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣2x﹣3y+1=0，左侧=4+9+4﹣9+1=9≠0，不成立．所以B不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2+x﹣3y﹣2=0，左侧=4+9﹣2﹣9﹣2=0，成立．所以C 正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣2y+1=0，左侧=4+9+6﹣9+1=11≠0，不成立．所以D不正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在[0，]上的最小值为．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，∵函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，∵|φ|＜，故φ的最小值是﹣．∴函数为y=sin（2x﹣）．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知点P（﹣1，1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为y=﹣3x﹣2．【解答】解：点P（﹣1，1）在曲线上，可得a﹣1=1，即a=2，函数f（x）=的导数为f′（x）=，曲线在点P处的切线斜率为k=﹣3，则曲线在点P处的切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即为y=﹣3x﹣2．故答案为：y=﹣3x﹣2．15．（5分）定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或0＜m＜3} ．【解答】解：∵；用代换x得：；用代换x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函数f（x）是以3为周期的周期函数；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴实数m的取值范围为{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案为：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．16．（5分）给出下列四个命题：①∃α∈R，；②函数图象的对称中心是（k∈Z）；③函数是周期函数，2π是它的一个周期；④（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1）．其中正确命题的序号是①③④．【解答】解：①∵sinα﹣cosα=，∴sinα﹣cosα∈[﹣]，即∃α∈R，，①正确；②函数=，由，得x=，图象的对称中心是（）（k∈Z），②错误；③∵f（x+2π）==，∴函数是周期函数，2π是它的一个周期，③正确；④∵（tan14°+1）（tan31°+1）=tan31°+tan14°+tan31°tan14°+1=2，（tan16°+1）（tan29°+1）=tan16°+tan29°+tan16°tan29°+1=2，∴（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1），④正确．∴真命题的序号是①③④．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．）17．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x ﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x﹣2，得a=3，b=﹣2，所以f（x）=3x2﹣2x．又因为点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以S n=3n2﹣2n．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，a n=6n﹣5（n∈N*）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，故T n===（1﹣）．因此，要使（1﹣）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．18．（12分）2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C 级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x +y +z 的值评定该同学的得分等级．若w ≥4，则得分等级为一级；若2≤w ≤3．则得分等级为二级；若0≤w ≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率； （Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a ，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求X 的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n==45，∵A 1，A 3，A 6，A 8等4名学生的英语成绩都是2分， 另外6名学生的英语成绩都是1分，∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数m==21，∴这两位同学英语得分相同的概率p=．（Ⅱ）得分等级是一级的同学有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，A 9，其中A 1，A 2，A 5，A 9的综合指标为4，A 6，A 8的综合指标为5，A 3的综合指标为6，得分等级为二级的同学有A 4，综合指标为1，A 7，A 10，综合指标都是3， ∴X 的可能取值为1，2，3，4，5， P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X的数学期望EX==．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=AC=2，∠ACB=∠ACD=．（1）证明：AP⊥BD；（2）若AP=，AP与BC所成角的余弦值为，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ACD=，BC=CD．∴BD⊥AC．∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AP．（2）解：连接BD与AC相交于点E，∵BC=CD=，∠ACB=∠ACD=．则BD⊥AC，又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴⊂平面APC．可得B（，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣3，0），设P（0，y，），=（﹣，1，0），=（0，y+3，）．∵AP与BC所成的余弦值为，∴===，﹣3≤y≤0，解得y=﹣1．∴P（0，﹣1，），∴=（﹣，﹣1，），=（，3，0），设平面ABP的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．同理可得：平面BPC的法向量=．∴===．∵二面角A﹣BP﹣C的平面角为钝角，∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x 1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM 的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．。
2015-2016第1学期广州一中高二期中数学试卷
2015～2016学年度第一学期 高二年级期中考试 数学科试卷 （满分150分，时间：120分钟）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：34,3S rl V R ππ圆锥侧球==，1=3V sh 锥体。
一、 选择题：（每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
请把答案涂在选择题答题卡中）1、将一个直角三角形绕它的斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）A 、圆锥B 、圆柱C 、圆台D 、由两个底面贴在一起的圆锥组成的组合体 2、过点A(1，2)、B(—3，6)两点的直线AB 的斜率是( )A 、—1B 、12C 、1D 、23、两直线3x —4y +5=0与6x —8y —1=0的距离是( )A 、115B 、95C 、1110D 、9104、一个三角形的直观图是如图所示的直角边长为1的等腰Rt Δ，则原三角形的面积为( )AB、2C 、12D 、15、直线32+60x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是（ ）A 、2和3B 、2-和3C 、2和3-D 、2-和3-6、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A 、9π B 、10π C 、11πD 、12π7、若空间直线a ⊥b ，b ∥c ，则a 和c ( )A 、平行B 、垂直C 、异面D 、相交8、已知两个平面垂直，下列命题中正确是（ ）A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；C 、一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；D 、过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面./俯视图正视图侧视图9、点M 、N 分别是正方体''''ABCD A B C D -的'DD 、AD 的中点，则图中三角形BMN 在右侧面''BCC B 上的投影为 ( )10、设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )A 、①和②B 、②和③C 、③和④D 、①和④11、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A 、34k ≥B 、324k ≤≤C 、324k k ≥≤或D 、2k ≤12、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A 、81B 、71C 、61D 、51正视图 侧视图俯视图(A)(B)(C)(D)C'C第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4×5=20分)：13、若直线a ∥直线b ，b ⊂面α，则a 与α的位置关系是__________ 。
广东高二上学期期中考试理科数学试题 有答案(2)
阳东广雅中学2015～2016学年第一学期高二年级期中考试试卷数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分 选择题一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =()A 、-1B 、0C 、1D 、6 2.在△ABC 中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c= ( ) A ．B ．C ．D ．3.不等式13()()022x x +-≥的解集是( ) A.13{|}22x x -≤≤ B. 13{|}22x x x ≤-≥或 C.13{|}22x x -<< D. 13{|}22x x x <->或4.已知等比数列}{na 的公比为正数，且25932a a a =⋅，12=a ，则=1a ( ) A ．21 B ．22C ．2D ．25、在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6、若数列{}na的前n 项和12+=n s n 则91a a +等于( )A. 18B. 19 C . 20 D. 217、已知点(3, 1)和(4, 6)-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是( ). A 7a <-或24a > B 7a =或24a = C 724a -<< D 247a -<< 8、设x ，y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则z=3x+y 的最大值为( )A. 5B. 3 C . 7 D. 8 9、已知{}na 为等差数列，{}nb 为正项等比数列，公比1≠q ，若111111,b a b a ==，则()A ． 66b a =B ．66b a >C ．66b a < D.以上都有可能 10、在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221n a a a +++ 等于 ( )A ．()212-nB ．()3122-n C ．14-n D ．314-n11．若A B C ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足()422=-+c b a ，且︒=60C ，则ab 的值为 ( )A ．34B ．348-C ．1D ．3212.已知1)21()(-+=x f x F 是R 上的奇函数，)1()1()1()0(f nn f n f f a n +-+++= *)(N n ∈，则数列{}n a 的通项公式为 ( )A ．1-=n a nB ．n a n =C ．1+=n a nD ．2n a n =二、填空题(每题5分，共20分) 13．不等式21<+xx 的解集为 ；14、已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为 ；15、已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________；16、已知数列*))((2,1,}{2111N n a a a na a a n n n ∈+++==+ 中，则数列}{n a 的通项公式为 .三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．(本小题10分)已知等差数列的前n 项和为n S ， 340,4a S ==-.(1)求数列{}na的通项公式；(2)当n 为何值时， nS 取得最小值.18.(本小题12分)已知ABC ∆1，且sin sin A B C +=. (1) 求边AB 的长； (2) 若ABC ∆的面积为1sin 6C，求角C 的值.19.(本小题12分) 已知2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. (Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立，求t 的取值范围．20.(本小题12分)已知等差数列{a n }满足：2465,22a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求n a 及n S ；(2)若()211f x x =-，()n n b f a =(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和nT ．21.(本小题12分)某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．(Ⅰ)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼； ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？22.(本小题12分)已知正项数列}{na 的前n 项和为2)1(41,+=n n n a S S 且有， 数列123121,,,,----n n b b b b b b b 是首项为1，公比为21的等比数列.(1)求证数列}{na 是等差数列；(2)若}{),2(nn n n c b a c 求数列-⋅=的前n 项和n T ；(3)在(2)条件下，是否存在常数λ，使得数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2n n a T λ为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由.阳东广雅中学2015～2016学年第一学期高二年级期中考试试卷数学(理科)答案及说明一、选择题(每小题5分，共60分)1、B2、D3、A4、B5、D6、B7、C8、C9、B 10、D 11、A 12、C ．二、填空题(每题5分，共20分) 13、{}10><x x x 或14.3+15、42- 16、n a n =三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．(满分10分)解: (1) 340,4a S ==-，1120,434 4.2a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=-⎪⎩ ………………………2分解得14,2a d =-=. ………………………4分 ()41226n a n n ∴=-+-⨯=-． (6)(2)()()11412n n n dS na n n n -=+=-+-…………………………………8分 25n n=-252524n ⎛⎫=--⎪⎝⎭…………………9分∈n Ｎ*， ∴当2=n 或3=n 时， nS 取得最小值6-. ……………………10分18.(满分12分)3),,0(ππ=∴∈C C 又19.(本小题12分)解：(Ⅰ)2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以的解集是()0,5，所以是方程的两个根， 由韦达定理知，2()210f x x x =-. ------------5分(Ⅱ)()2f x t +≤ 恒成立等价于错误！未找到引用源。
广东省广州市执信中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科化学试卷答案.pdf
2015-2016学年度第一学期 高二级化学科（理科班）期中试题答案 一、单选题（每题3分，共45分）1.D2. A3. B4. B5. B6.D7.D8. C 9.B 10.C 11.A 12.A 13.C 14.D 15.C 16、（10分） （1）C2H2（g） + 5/2O2(g)=2CO2(g) + H2O(l) ΔH＝－J/mol （2分） ΔH=ΔH2×2+△H3×2-△H1=－488.3kJ/mol（2分） （3）(0.4 Q1 +0.05 Q3) kJ（2分） （4）放热 需要 409.0 kJ?mol-1（2分） 17、（15分） （1）Zn+Cu2+==Zn2++Cu? Zn+2H+==Zn2++H2↑（1×2=2分） （2）FeSO4(1分) （3）①V1=30 V6=10 V9=17.5 （1×3=3分）②加入一定量的CuSO4后，生成的铜会沉积在Zn的表面降低了Zn与溶液接触的表面积(2分) （4）当滴入最后一滴KOH标准溶液后，溶液由无色变成浅红色，且半分钟内不再恢复原来的颜色(2分) （5）AD(2分) （6）1.96% (2分) 18、（14分） （）①AD（1×2=2分） ②AB（1×2=2分） （）0. （）①使用催化剂实验Ⅱ与实验Ⅰ平衡状态相同，而实验Ⅱ达到平衡所需时间短② （2分） 19、（16分）I（）（2）⑤③④①②（2分）（3） （2分） II. 9：2（2分） III.（）（2）Fe(OH)3 + 3H+，加入CuO或Cu（OH）2后，消耗溶液中H+，使平衡正向移动，从而使Fe3+转化为Fe(OH)3。
（2分） （3）不能（1分），在HCl的气流中加热蒸发（1分）。
2015-2016第2学期省实高二期中考(理科)
2015-2016学年广东实验高二（下）期中数学试卷（理科）一、（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．2．（5分）已知集合A={x|log2x＞1}，B={x|＜1}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，要求每位同学只能选报一个球队，则所有的报名数有（）A．53B．35C．D．5!4．（5分）函数y=2sin（﹣2x）是（）A．最小正周期为π奇函数B．最小正周期奇函数C．最小正周期π偶函数D．最小正周期偶函数5．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R9．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．810．（5分）已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心11．（5分）函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）=，则f（f（﹣2））=，函数f（x）的零点的个数为．14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）若实数x、y，满足，则z=的取值范围是．16．（5分）若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A′，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出++=；类似的，若O为四面体ABCD 内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A′，B′，C′，D′，则+++=．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．18．（10分）数列{a n}满足：，，记数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n．19．（10分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．21．（14分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m与椭圆C 交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．22．（14分）已知f（x）=e x，g（x）为其反函数．（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．2015-2016学年广东省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•高安市校级一模）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，则z1=2+i，∴|z1|=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）（2016春•广东校级期中）已知集合A={x|log2x＞1}，B={x|＜1}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由log2x＞1，利用对数的运算性质可得x＞2．由＜1，化为：＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解出即可判断出结论．【解答】解：由log2x＞1，解得x＞2．由＜1，化为：＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣1．则x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016春•广东校级期中）5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，要求每位同学只能选报一个球队，则所有的报名数有（）A．53B．35C．D．5!【分析】根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3×3=35种不同的报名方法；故选B．【点评】本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”．4．（5分）（2014秋•通化期中）函数y=2sin（﹣2x）是（）A．最小正周期为π奇函数B．最小正周期奇函数C．最小正周期π偶函数D．最小正周期偶函数【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变形呈正弦型函数，进一步求函数的奇偶性．【解答】解：函数y=2sin（﹣2x）=2sin2x则：T=令：f（x）=2sin2x则：x∈Rf（﹣x）=﹣2sin2x故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数解析式的恒等变换，函数奇偶性的应用，属于基础题型．5．（5分）（2015春•玉田县期末）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），求出f′（0）的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，所以在点（0，f（0））处的切线的斜率k=1，又k=t anθ，则切线的倾斜角θ=，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系．6．（5分）（2016•汉中二模）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．【点评】本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•虎林市校级期末）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故①错误；若m⊥α，且m⊥n，则n∥α或n⊂α，又由n⊥β，可得α⊥β，故②正确；若m⊥β，m∥α，则存在直线a⊂α，使m∥a，则a⊥β，则α⊥β，故③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β可能平行也可以相交，故④错误．故正确命题的个数是2个，故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．8．（5分）（2014•北海四模）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的倍，得到答案．【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．属基础题．9．（5分）（2014•文登市三模）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2016春•广东校级期中）已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【分析】由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解．【解答】解：如图，取BC的中点P并连结AD，则+=，，∵﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），∴=λ，即A、P、D三点共线，又∵AD为BC边上的中线，∴直线AP一定过△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查平面向量的线性运算性质及其几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．11．（5分）（2013秋•鹿城区校级期末）函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由=0，得，设函数，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：要使函数有意义，则，解得﹣1≤x≤1．由=0，得，设函数，分别作出两个函数对应的函数图象，要使函数有零点，则两个图象有交点，当直线y=m（x+3），与半圆相切时，m＞0，此时圆心（0，0）到直线mx﹣y+3m=0的距离d=，解得m=，所以要使函数有零点，则m满足0，故选C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用函数零点定义将函数转化为两个基本函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．12．（5分）（2016•吉林三模）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a 等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a 的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2016•温州一模）已知f（x）=，则f（f（﹣2））=14，函数f（x）的零点的个数为1．【分析】根据x＜0与x≥0时f（x）的解析式，确定出f（f（﹣2））的值即可；令f（x）=0，确定出x的值，即可对函数f（x）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f（﹣2）=（﹣2）2=4，则f（f（﹣2））=f（4）=24﹣2=16﹣2=14；令f（x）=0，得到2x﹣2=0，解得：x=1，则函数f（x）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2015•郑州三模）若实数x、y，满足，则z=的取值范围是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：z的几何意义是区域内的点到D（﹣1，﹣3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：A（3，0），B（0，4），由图象可知，当AD的斜率最小为=，BD的斜率最大为=7，故z的取值范围，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．16．（5分）（2014•荆州二模）若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A′，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出++=2；类似的，若O为四面体ABCD内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A′，B′，C′，D′，则+++=3．【分析】（1）根据=，推得，，然后求和即可；（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，求出+++的值即可．【解答】解：（1）根据=推得，所以++===2（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，可得+++===3故答案为：2，3．【点评】本题主要考查了类比推理的思想和方法，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出可能的定理．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）（2016•大庆校级二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．【分析】（1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC≠0，可得sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cosB﹣1=0，解得cosB，即可求得B的值．（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c⇒2b（sinC+cosC）=a+c⇒bsinC+bcosC=a+c⇒sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC⇒sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）⇒sinB=cosB+1，⇒3sin2B=cos2B+1+2cosB，⇒2cos2B+cosB﹣1=0，⇒cosB=或﹣1（由于B∈（0，π），舍去），⇒B=（Ⅱ）设AB=c、BC=a，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，在△ABM中同理可得：AM2=（）2+c2﹣2•ccosB=+c2﹣ac，因为AM=AC，所以：a2+c2﹣ac=+c2﹣ac，化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2﹣2accosB，可得：AC2=a2+（）2﹣a•=a2，解得：AC=a，在△ABC中，由正弦定理得，解得：sin∠BAC===．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．18．（10分）（2016春•广东校级期中）数列{a n}满足：，，记数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n．【分析】（1）由已知得，所以数列为等比数列，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法求S n．【解答】解：（1）由已知得，所以数列为等比数列，，即（6分）（2）S n=++…+①∴S n=++…+②①﹣②整理得到（12分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．19．（10分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．20．（12分）（2016•常德一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【分析】（Ⅰ）若AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2，则AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，﹣2，﹣2λ），=（2，0，0），=（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为=（1，0，0）．则•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2x=0，则x=0，y=﹣λz，令z=1，则y=﹣λ，则=（0，﹣λ，1）设面A1DC1的一个法向量为=（x，y，z）•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2y=0，则y=0，2x﹣2λz=0，令z=1，则x=λ，则=（λ，0，1），∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，∴cos＜，＞===，即（1+λ2）（1+3λ2）=8，得λ=1，即AA1=AC，则三棱锥C1﹣A1CD的体积V=V===4．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．21．（14分）（2015•南充一模）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可求出椭圆的标准方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立，转化成关于x的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明；（3）借助于弦长公式表示出三角形的面积公式，再求出面积的最大值即可．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程=1（a＞b＞0）由已知可得解得a2=2，b2=1．故椭圆C的标准方程=1．（2）联立方程，消y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．当△=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2+1＞m2①时，x1+x2=，x1•x2=．所以，．又，化简整理得：2k2+1=2m②．（3）代②入①得：0＜m＜2．又原点O到直线AB的距离为d=．|AB|=．所以S△AOB=．而2k2+1=2m且0＜m＜2，则S△AOB=，0＜m＜2．所以当m=1，即k2=时，S△AOB取得最大值．【点评】本题考查的知识点椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22．（14分）（2016春•广东校级期中）已知f（x）=e x，g（x）为其反函数．（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．【分析】（1）根据函数与其反函数的图象关于y=x直线对称；（2）设h（x）=x，利用导数求得f（x）﹣h（x）=e x﹣x的最小值大于0，从而得e x＞x，利用导数求得h （x）﹣g（x）=x﹣lnx的最小值大于0，从而得x＞lnx，这样可证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）根据导数的几何意义得直线的斜率为==，利用＞0得：0＜x2＜1⇒lnx2＜0⇒x1＞x2+1，可证x1＞1．【解答】解：（1）f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，（2）证明：g（x）=lnx，设h（x）=x，令y=f（x）﹣h（x）=e x﹣x，y′=e x﹣1，令y′=0，即e x=1，解得x=0，当x＜0时，y′＜0，当x＞0时，y′＞0，∴当x=0时，y min=e x﹣0=1＞0，∴e x＞x，令y=h（x）﹣g（x）=x﹣lnx，y′=1﹣=（x＞0），令y′=0，解得：x=1；当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1，时y′＞0，∴当x=1时，y min=1﹣ln1=1＞0，∴x＞lnx（x＞0）∴f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）f′（x）=e x，g′（x）=，切点的坐标分别为（x1，）（x2，lnx2），可得方程组：，∵x1＞x2＞0，∴＞1∴＞1，∴0＜x2＜1，∴lnx2＜0，又lnx2﹣=（x2﹣x1），∴lnx2=（x2﹣x1+1）＜0，∴x2﹣x1+1＜0，x1＞x2+1，∴x1＞1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数证明不等式、导数的几何意义、斜率计算公式、指数函数与对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【答案】B【解析】试题分析：由两条直线平行可得到两条直线没有公共点，反之不成立，所以“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：存在一个能被2整除的整数不是偶数考点：全称命题与特称命题3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是( ) A ．若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C ．若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m αD ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ【答案】B【解析】试题分析：A 中直线m,n 可能平行，可能相交，可能异面；B 中由平面法向量的知识可知结论正确；C 中直线a 可能与面平行，可能在平面内；D 中两平面可能平行可能相交考点：空间线面平行垂直的判定4.已知命题“函数)(),(x g x f 定义在R 上，)()()(x g x f x h ⋅=，如果)(),(x g x f 均为奇函数，则)(x h 为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C考点：四种命题及函数奇偶性5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22136108x y -=B ．221927x y -= C ．22110836x y -= D ．221279x y -= 【答案】B【解析】试题分析：由抛物线方程可知22462p p =∴=，所以焦点为()6,0-，6c ∴=，由渐近线可知b a=解方程可知229,27a b ==，方程为221927x y -= 考点：双曲线抛物线方程及性质6.若直线:1l y kx =+被圆C ：22230x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．1y =C ．10x y +-=D ．0x =【答案】A【解析】试题分析：直线过定点()0,1，与圆心()1,0连线的斜率为1-，所以弦长最短时直线斜率为1，直线方程为110y x x y =+∴-+=考点：直线和圆相交的弦长问题7.已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为()A ．23cmB ．43cmC ．63cmD ．83cm【答案】A考点：三视图8.若实数x y 、满足240 00x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则21y z x +=-的取值范围为 ( ) A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞ B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3-D ．2[4,]3-【答案】B【解析】试题分析：由不等式可知可行域为直线0,0,240x y x y ==+-=围成的三角形，顶点为()()()0,0,0,2,4,0，21y z x +=-看作点()(),,1,2x y -连线的斜率，结合图形可知斜率的范围为2(,2][,)3-∞-⋃+∞ 考点：线性规划问题 9.已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝（ ）A ．－12B ．－2C ．0D ．4【答案】C考点：双曲线性质及向量运算10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【解析】试题分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x 轴，公垂线与x 轴交点为原点，公垂线所在直线为z 轴，过x 且垂直于公垂线的平面为xoy 平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a （a 是两异面直线公垂线长度，是个常数），空间内任意点设它的坐标是（x ，y ，z =()22212z y x a a=-+，过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a ，分别代入所得式子z=0时 代入可以得到222y x a -=-，图形是个双曲线，z=a 时，代入可以得到222y x a -=，图形也是个双曲线考点：抛物线的定义；双曲线的标准方程11.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14- ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12BCD ．34【答案】C考点：直线与圆锥曲线的综合问题12.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．()13，B ．()14，C ．()23，D ．()24， 【答案】D【解析】试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，M ()00,x y ，斜率存在时，设斜率为k ，则2211224,4,y x y x ==，则两式相减，得()()()1212124y y y y x x +-=-，当l 的斜率存在时，利用点差法可得02y k =，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线x=3．将x=3代入24y x =，得212y =，∴0y -<<，∵M 在圆上，∴()222220005412416x y r r y -+=∴=+≤+=，∵直线l 恰有4条，∴00y ≠，∴2416r <<，故2＜r ＜4时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条，2＜r ＜4考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为_______ _【答案】x 2＋y 2＝2【解析】试题分析：圆心()0,0到直线的距离为d r =x 2＋y 2＝2 考点：直线与圆相切的位置关系14.已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：1223x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_______________ 【答案】13,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：充分条件与必要条件15.已知抛物线C:x y 122=与点），（43-M ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则k 的值为【答案】32考点：抛物线的简单性质16.已知F 双曲线1822=-y x 的右焦点, P 在双曲线的左支上,），（660A ，当APF ∆的周长最小值时,该三角形的面积为 【答案】612【解析】试题分析：由题意，设F ′是左焦点，则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF ′|+2≥|AF|+|AF ′|+2（A ，P ，F ′三点共线时，取等号），直线AF ′的方程为13x =-与2218y x -=联立可得2960y +-=，∴P 的纵坐标为，∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯-⨯⨯= 考点：双曲线的简单性质 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，若ABC ∆的面积为58，求直线l 的方程. 故四边形OABC 不可能是菱形. ——12分考点：椭圆的标准方程与简单几何性质21.（本题12分）如图，M 是抛物线上x y =2上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程【答案】（1）详见解析（2）2122().9273y x x =-> 【解析】试题分析：（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E ，F 的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF 的斜率为定值；（2）设出点M 的坐标，如（1）用参数表示出点E ，F 的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的方程试题解析：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) ——1分则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=- ——2分∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得 ——3分 解得20021(1),F F ky ky y x k k --=∴= ——5分 ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值) ——6分 所以直线EF 的斜率为定值.（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以 ——7分直线ME 的方程为200()y y x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- ——8分 同理可得200((1),(1)).F y y +-+ ——9分设重心G （x, y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩——10分 消去参数0y 得2122().9273y x x =-> ——12分 考点：直线的倾斜角；轨迹方程；抛物线的应用22.(本题14分)已知）（0,2-1F ,）（0,22F ,点P 满足221=-PF PF ，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值. （ii ）在（i ）的条件下，求MPQ ∆面积的最小值.【答案】（1）).1(1322≥=-x y x （2）（i ）1-（ii ）9 【解析】试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P ()11,x y ，Q ()22,x y ，与双曲线方程联立消y 得()222234430k x k x k --++=，利用根与系数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+=⋅>-=+>∆≠-∴0334034003222122212k k x x k k x x k 解得k 2 >3 ——5分 （i ）2121))((y y m x m x +--=⋅分7.3)54(343)2(43)34)(1(4))(2()1()2)(2())((222222222222221221221221 m k k m k m k m k k k k k k m x x m k x x k x x k m x m x +-+-=++-+--++=++++-+=--+--= 0,=⋅∴⊥MQ MP MQ MP ，故得0)54()1(3222=--+-m m k m 对任意的32>k 恒成立，.1,0540122-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=-∴m m m m 解得 ∴当m =－1时，MP ⊥MQ. 当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立，综上，当m =－1时，MP ⊥MQ. ——8分 （ii ）由（i ）知，(1,0)M -，当直线l 的斜率存在时，222163k PQ x k +=-=-， M 点到直线PQ 的距离为d，则d =∴12MPQ S PQ d ∆=== ——10分 令23(0)k t t -=>，则MPQ S ∆=，因为10t >所以9MPQ S ∆=> ——12分 当直线l 的斜率不存在时，13692MPQ S ∆=⋅⋅= ——13分 综上可知9MPQ S ∆≥，故MPQ S ∆的最小值为9. ——14分 考点：圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质：。
【2016年高考数学】广东省广州市高中名校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度第一学期高二级(文科)数学期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12}A x x，{|03}Bx x，则A B（）A ．(1,3)B ．(1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．向量)1,1(a ，)2,1(b ，则a b a2=（）A ．-1B ．0C ．1D ．3 3．已知椭圆222125xy m（0m）的左焦点为1F 4,0，则m （）A ．9B ．4C ．3D ．24．设a 、b 为实数，则“0b a”是“0ab”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知R yx,，不等式组kyy x y x002所表示的平面区域的面积是6，则实数k （）A ．1B ．2C ．3D ．26．重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是（）A ．19B ．20C ．21.5D ．237．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学0 8 9 1 2 5 8 20 0 338312a > ba = a -b b = b - a输出a 结束开始输入a ，b a ≠b 是是否否。
2015-2016学年广东省广州市实验中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年广东省广州市实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A={x|x﹣1＜0}，B={x|log2x＜0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜1} C．{x|x＜0} D．∅【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】解对数不等式求出集合B，再根据两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选A．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，两个集合的交集的定义，属于中档题．2．三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别根据指数幂和对数的性质分别判断a，b，c的大小即可．【解答】解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1，∴0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【专题】应用题．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．【点评】本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B 中都有唯一的确定的一个元素与之对应．4．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．5．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】可得f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，由零点判定定理可得．【解答】解：由题意可得f（1）=﹣4＜0，f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，f（4）=ln4+2＞0，显然满足f（2）f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（2，3）故选C【点评】本题考查函数零点的判定定理，涉及对数值得运算和大小比较，属基础题．6．若全集U={0，1，2，3，4}且∁U A={2，4}，则集合A的真子集共有（）个．A．8个B．7个C．4个D．3个【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由补集概念求得A，然后直接写出其真子集得答案．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}且∁U A={2，4}，则集合A={0，1，3}．∴集合A的真子集为23﹣1=7，故选：B．【点评】本题考查了补集及其运算，计算集合真子集的个数，n个元集合有2n个子集，有2n﹣1个非空子集，有2n﹣1个真子集．有2n﹣1真子集是解答本题的关键．属于基础题．7．函数的图象的大致形状是（）A A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．下列函数中既是偶函数又是（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．y=B．C．y=x﹣2D．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=，既是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，故A不正确；函数，是非奇非偶函数，故B不正确；函数y=x﹣2，是偶函数，但在区间（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；函数，是非奇非偶函数，故D不正确；故选C．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数单调性的判定和幂函数的性质，属于基础题．9．已知是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得0＜a＜1，且3a﹣1＜0，（3a﹣1）×1+4a＞a，于是可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是R上的减函数，∴0＜a＜1，①且3a﹣1＜0，②（3a﹣1）×1+4a≥a，③由①②③得：≤a＜．故选B．【点评】本题考查函数单调性的性质，难点在于对“f（x）=是R 上的减函数”的理解与应用，易错点在于忽视“（3a﹣1）×1+4a≥a”导致解的范围扩大，考查思维的缜密性，属于中档题．10．若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），则当不等式|f（x+t）﹣1|＜3的解集为（﹣1，2 ）时，t的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】综合题．【分析】由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，求出f（x+t）的范围，然后根据f（x）的图象经过点A （0，4）和点B（3，﹣2），得到f（0）=4和f（3）=﹣2的值，求出的f（x+t）的范围中的4和﹣2代换后，得到函数值的大小关系，根据函数f（x）在R上单调递减，得到其对应的自变量x的范围，即为原不等式的解集，根据已知不等式的解集（﹣1，2），列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t的值．【解答】解：由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，得到：﹣3＜f（x+t）﹣1＜3，即﹣2＜f（x+t）＜4，又因为f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），所以f（0）=4，f（3）=﹣2，所以f（3）＜f（x+t）＜f（0），又f（x）在R上为减函数，则3＞x+t＞0，即﹣t＜x＜3﹣t，解集为（﹣t，3﹣t），∵不等式的解集为（﹣1，2），∴﹣t=﹣1，3﹣t=2，解得t=1．故选C．【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质．把不等式解集中的﹣2和4分别换为f（3）和f（0）是解本题的突破点，同时要求学生熟练掌握函数单调性的性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．11．已知，则f（x）=x2+4x+5（x≥﹣1）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】换元法．【分析】求解析式常用方法：换元法、待定系数法、方程组法．根据题意选择用换元法求该函数的解析式．【解答】解：设，则t≥﹣1，所以==可变形为f（t）=t2+4t+5所以f（x）=x2+4x+5（x≥﹣1）．【点评】该题考察函数解析式的求解中的换元法，注意换元时是将看成一个整体换元．12．函数f（x）=a x﹣1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是（1，4）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】综合题．【分析】通过图象的平移变换得到f（x）=a x﹣1+3与y=a x的关系，据y=a x的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）【解答】解：f（x）=a x﹣1+3的图象可以看作把f（x）=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f（x）=a x一定过点（0，1），则f（x）=a x﹣1+3应过点（1，4）故答案为：（1，4）【点评】本题考查指数函数的图象恒过点（0，1）；函数图象的平移变换．13．若函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，得1＜x≤2，即0＜x﹣1≤1，则函数y=f（log2x）中，0＜log2x≤1，由此能求出函数y=f（log2x）的定义域．【解答】解：由函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，得1＜x≤2，∴0＜x﹣1≤1．∴函数y=f（log2x）中，0＜log2x≤1，∴1＜x≤2．则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要认真审题，仔细解答，注意抽象函数的定义域的求法，是基础题．14．函数y=的值域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】本题利用分离的方法来求函数的值域，由函数的解析式分离出2x的表达式，利用2x＞0来求解y的取值范围，进而求出函数的值域．【解答】解：由已知得：，由2x＞0得所以有：y＞1或y＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题考查了函数的三要素﹣﹣值域，指数函数的性质，分离法求函数的值域．15．已知函数f（x）=，则f（x）的值域是[﹣2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】先分析内函数y=3+2x﹣x2的图象和性质，进而得到最大值，再由外函数是减函数，得到答案．【解答】解：∵函数y=3+2x﹣x2的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，函数取最大值4，故当x=1时，函数f（x）=取最小值﹣2，无最大值，故f（x）的值域是[﹣2，+∞），故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，难度中档．16．设偶函数f（x）=a|x+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f（a+1）的大小关系为f（a+1）＞f（b﹣2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=a|x+b|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即a|﹣x+b|=a|x+b|，则|x﹣b|=|x+b|，解得b=0，则f（x）=a|x|，设t=|x|，则当x≥0时，函数为增函数，若f（x）=a|x|在（0，+∞）上单调递增，则y=a t上单调递增，即a＞1，则f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），f（a+1）＞f（1+1）=f（2），即f（a+1）＞f（b﹣2），故答案为：f（a+1）＞f（b﹣2）．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质求出b=0，a＞1是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简或求值：（1）（）+（0.008）×（2）+log3﹣3．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：（1）（）+（0.008）×=+25×=．（2）+log3﹣3=﹣5log32+﹣5=+﹣5=﹣5=﹣7．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则、换底公式的合理运用．18．已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分类法；集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|（x﹣6）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜6}，且A∩B=A，∴A⊆B，当A=∅时，则有a＞2a﹣4，即a＜4，满足题意；当A≠∅时，则有，解得：﹣1＜a＜5，综上，a的范围是a＜5．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．（1）判断函数f（x）=在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m 的取值范围？【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（1）函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数（3）根据在x∈[1，5]上恒成立，可得在x∈[1，5]上恒成立求出左边函数的最小值即可．【解答】（1）解：函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则…=…又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）=在（0，2]上是减函数…又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）=在[2，+∞）上是增函数…（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数…（3）解：∵在x∈[1，5]上恒成立∴在x∈[1，5]上恒成立…由（2）中结论，可知函数在x∈[1，5]上的最大值为10，此时x=1 …要使原命题成立，当且仅当2m2﹣m＞10∴2m2﹣m﹣10＞0 解得m＜﹣2，或∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或} …【点评】本题重点考查函数的单调性的判定与证明，考查恒成立问题，解题的关键是利用单调性的定义，利用函数的最值解决恒成立问题．20．已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【专题】综合题．【分析】（1）利用赋值法，令y=﹣1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；（3）先利用赋值法求得f（3）=，再利用函数的单调性解不等式即可【解答】解：（1）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）•f（﹣1），∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），且x∈R∴f（x）为偶函数．（2）若x≥0，则f（x）==•=[]2≥0．若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则，与已知矛盾，∴当x＞0时，f（x）＞0设0≤x1＜x2，则0≤＜1，∴f（x1）==•f（x2），∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．∴0≤＜1，又∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2）＞0∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，∴9=[f（3）]3，∴f（3）=，∵f（a+1）≤，∴f（a+1）≤f（3），∵a≥0，∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），∵函数在[0，+∞）上是增函数．∴a+1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2．【点评】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．【考点】二次函数的性质；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，要使函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则f（﹣1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴是x=8∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴要使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，须满足f（﹣1）•f（1）≤0．即（1+16+q+3）•（1﹣16+q+3）≤0解得﹣20≤q≤12．所以使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[﹣20，12]；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．22．已知函数f（x）=lg，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）=lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中函数，以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f（x）的表达式；（2）由（1）中函数f（x）的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据f（x）的定义域即可求出．（3）根据对数的运算性质，可将方程f（x）=lg（8x+m），转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案【解答】解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）=lgx．lg﹣lg=lgx，即lg﹣lg=lgx，即lg（•）=lgx，•=x．整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x=0恒成立，∴a=b，又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1．∴f（x）=lg，∵＞0，∴x＜﹣1，或x＞0，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）（2）方程f（x）=lgt有解，即lg=lgt，∴t=，∴x（2﹣t）=t，∴x=，∴＜﹣1，或＞0，解得t＞2，或0＜t＜2，∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），（3）方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，∴lg=lg（8x+m），∴=8x+m，∴8x2+（6+m）x+m=0，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程8x2+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18，②方程8x2+（6+m）x+m=0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）=8x2+（6+m）x+m则解得0≤m≤2综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，属于中档题．。
广东省广州实验中学2016届高三数学上学期第二次阶段性考试试题理
2015-2016广东实验中学高三上学期第二次阶段考试题理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合},0log |{},1|{22>=>=x x B x x A 则=B A （ ） A ．}1|{-<x x B ．}0|{>x x C ．}1|{>x x D ．}11|{>-<x x x 或2.设复数θθθsin cos i e i +=，则复数i e 3π的虚部为（）A ．B ．C ． iD ．i3.已知等边三角形ABC ，边长为1，则|43|+等于（ ） A ．37 B ．5 C ．13 D ．7 4．执行如图的程序框图，当k 的值为2015时，则输出的S 值为（ ）A ．20142013B ．20152014C ．20162015D ．201720165.设等比数列}{n a 的公比为q ，则“10<<q ”是}{n a 是递减数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） ①|)(|x f y = ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)-x A ．①③ B ． ②③ C ．①④ D ．②④7．已知f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)的图象与y ＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移125π个单位 D ．向右平移125π个单位8．设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ） A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-9. 已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（） A ．B ．C ．D ．10.若)23cos(,41)3sin(απαπ+=-则等于（ ）A ．87-B ．41- C ．41 D ．8711.甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，若甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为（ ）A ．31B ．41C ．43D ．5312.过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点且斜率为2的直线交C 于A,B 两点，以AB 为直径的圆与C 的准线有公共点M ，若点M 的纵坐标为2，则P 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线1222=-y x 的离心率为 。
广东实验中学2015—2016学年(上)高二级期中考试
广东实验中学2015—2016学年（上）高二级期中考试化 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试用时60分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共56分）一、单项选择题(每题4分，共56分)1．下列各物质在水溶液中的电离方程式，书写正确的是( ) A ． H 2S2H + + S 2—B ． KHSO 4═K ++HSO 4—C ． CH 3COOHH ++CH 3COO —D ． NaH 2PO 4Na ++H 2PO 4—2．已知醋酸达到电离平衡后，改变某条件电离平衡向正反应方向移动，则下列说法正确的是( )A ．实现该变化的只能是升高温度B ．溶液的导电能力一定变强C ．溶液的pH 一定减小D ．发生电离的分子总数增多3．下列有关热化学方程式的表示及说法正确的是 ( )A ．已知2H 2(g)+O 2(g)＝2H 2O(g) △H=－483.6kJ/mol ，则氢气的燃烧热为241.8kJ/molB ．含20.0g NaOH 的稀溶液与稀硫酸完全中和，放出28.7kJ 的热量，则表示该反应中 和热的热化学方程式为：NaOH(aq)+1/2H 2SO 4 (aq)＝NaCl(aq)+H 2O(l) △H=－57.4kJ/molC ．已知C(石墨，s)＝C(金刚石，s) △H>0，则金刚石比石墨稳定D ．已知I 2(g)+ H 2(g)＝2HI(g) △H 1， I 2(s)+ H 2(g)＝2HI(g ) △H 2 则△H 1>△H 24．标准状态下，气态分子断开l mol 化学键的焓变称为键能。
【数学】广东省广州市执信中学2015-2016学年高二上学期期中考试(理).docx
执信中学 2015-2016 学年度第一学期高二级 (理科 )数学期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10 页，满分为 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项： 1、答卷前， 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的 学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上 。
3、非选择题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔 在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上， 超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
参考公式： 柱体的体积锥体的体积VSh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高。
1 VSh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。
3第一部分选择题(共 40 分 )一、选择题 : 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 M=3， 1,1, 3 ， N= x| x 24x3 0 ，则 M N( ).A ．B ． {3}C ． {1,3}D ．x1 x 32．已知命题 p ： x R,2 x 1 0 ，则命题p 为（）A ． x R,2 x1B ．x R,2 x10 C ．xR,2 x 1 0D ． x R,2x 13. 函数 ysin( x)cos( x ) 是（ ）44A ．最小正周期为 的奇函数B ．最小正周期为 的偶函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数22m 1”是“直线 mx (2 m 1) y 2 0与直线 3x my 3 0垂直 ”的（ ）4. “A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）cm3.A. 33B. 18C. 2 3 18D.36. 已知执行如左图所示的程序框图，输出的S 485 ，则判断框内的条件是（）A ．k5?B．k7?C．k5?D．k6?17.已知数列a n中， a3 2， a71，且数列{} 为等差数列，则a8（）a n1A ．71311D．5 11B．C．711138.偶函数 f (x) 满足 f (1x) f (1x) ，且在 x[0,1]时， f ( x)2x2x ，若直线kx y k0 (k0) 与函数 f(x) 的图像有且仅有三个交点，则k 的取值范围是（）A ．(15 ,15)B ．(15, 3 )C． ( 5 , 15 ) D ．(1, 5 )1531533333第二部分非选择题 (共 110 分 )二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
广东省广州市执信中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科化学试卷.pdf
2015-2016学年度第一学期 高二级化学科期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 第一部分选择题(共4分) 单项选择题：本大题共小题，每小题3分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得3分，选错或不答的得0分。
同种物质气态时熵值最小，固态时熵值最大 2N2O5(g)4NO2(g)+O2(g) ΔH>0，在室温下能自发进行是因为反应是熵增的 2、下列有关叙述正确的是 3、下列实验操作合理的是 A．B．用25 mL的碱式滴定管量取1480 mL的NaOH溶液 C．25 mL的式滴定管 0.1 mol/L的H2SO4溶液0 刻度，则所盛溶液25.00 mL D.用量筒量取一定体积的溶液前，必须先用该溶液润洗 4、下列说法正确的是A．等质量的蒸气和固体分别完全燃烧，后者放出的热量多B．人类日常利用的煤、天然气、石油等的能量，归根到底是由太阳能转变来的C．燃烧热是指1mol物质放出的热量D．F6是一种优良的绝缘气体，分子结构中只存在S-F键。
已知：1molS(s)转化为气态硫原子吸收能量280kJ，断裂1molF-F 、S-F键需吸收的能量分别为160kJ、330kJ。
【数学】广东省广州执信中学2015-2016学年高二下学期期中考试(理)
2015-2016学年度第二学期 高二级理科数学期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U =R ，函数2log (2)y x =-的定义域为M ，2{|20}N x x x =-<，则下列结论正确的是（）．A ．U M (C N )⋂=∅B ．M N N ⋂=C ．M N U =D ．U M (C N )⊆ 2．设复数z 满足(1+i) z = 2，其中i 为虚数单位，则z =（）．A ．1－iB ．1+iC ．2+2iD ．2-2i3．若110a b<<，则下列不等式正确的是（）． A ．a b ab +>B ．||||a b >C ．a b <D ．2b a a b+> 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－1(ω＞0)的导数f '(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是（）．A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π25．今年是我校建校95周年，11月20日举行庆祝活动，学校要从朱老师、周老师、肖老师、左老师、徐老师五名老师中选派四人分别负责纪念品派发、校园巡查、接待组织、会场组织等四项不同工作，若其中朱老师和周老师只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）．A ．12种B ．18种C ．36种D ．48种6．已知函数()a f x x bx =+的导数为()21f x x '=+，则数列1{}(N*)()∈n f n 的前n 项和为（）． A ．nn 1- B ．nn 1+ C ．12++n nD ．1+n n 7．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）．A ．48B ．C ．24D ．188．执行如右图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）．A ．21B ．28C ．36D ．459．已知椭圆1:C 22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点为F ，上顶点为A ，若与AF 平行且在y轴上的截距为3l 恰好与圆2C :22(3)1x y +-=相切，则求椭圆1C 的离心率为（ ）．A．2B ．12C．2D．210．给出下列函数：①()cos f x x x =；②()x f x e x =+；③())f x x =．0a ∃>，使得()0a af x dx -=⎰的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．下列图象中，有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象，则(1)f -等于（）．A ．13B ．－13C ．73D ．－13或5312．设直线t y =与曲线23y x(x )=-的三个交点分别为),(t a A 、),(t b B 、),(t c C ，且a b c <<．现给出如下结论：① t 的取值范围是(0,4)；②222a b c ++为定值；③ abc 的取值范围是(0,4)． 其中正确结论的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置． 13．⎰-=-222)sin 3(dx x x①②③ ④14．若实数,x y 满足不等式组30300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B 两点，且||AB =则m 的值为__________。
广州市实验中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上)期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题,每题5分，共60分）1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．若D′是平面α外一点,则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行4．点（1，﹣1)到直线x﹣y+1=0的距离是(）A．B．C．D．5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β;④若m∥α，α∩β=n,则m∥n,其中不正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2:（m﹣1）x﹣y+1=0．若l1∥l2,则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1或﹣27．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．8．若变量x，y满足x+5y+13=0（﹣3≤x≤2，且x≠1)，则的取值范围是（）A．k≥或k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．≤k≤4 D．﹣≤k≤49．如图，定点A和B都在平面α内,定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是(）A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆,但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆,但要去掉两个点10．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1)对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）11．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B． C． D．12．如图，在体积为2的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G,使AE：EB=AF:FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD 的体积等于（)A．B．C．D．二、填空题(共4小题，每题5分，共20分)13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是14．过点A（2，3)且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为．15．如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q，则以下四个结论：①QC∥A1D②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有．。
2015-2016第2学期省实高二期中考(理科)数学试卷
2015-2016学年广东实验高二（下）期中数学试卷（理科）一、（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．2．（5分）已知集合A={x|log2x＞1}，B={x|＜1}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，要求每位同学只能选报一个球队，则所有的报名数有（）A．53B．35C．D．5!4．（5分）函数y=2sin（﹣2x）是（）A．最小正周期为π奇函数B．最小正周期奇函数C．最小正周期π偶函数D．最小正周期偶函数5．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．7．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R9．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．810．（5分）已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心11．（5分）函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）=，则f（f（﹣2））=，函数f（x）的零点的个数为．14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）若实数x、y，满足，则z=的取值范围是．16．（5分）若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A′，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出++=；类似的，若O为四面体ABCD 内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A′，B′，C′，D′，则+++=．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．18．（10分）数列{a n}满足：，，记数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n．19．（10分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．21．（14分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m与椭圆C 交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．22．（14分）已知f（x）=e x，g（x）为其反函数．（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．2015-2016学年广东省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•高安市校级一模）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2 D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，则z1=2+i，∴|z1|=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）（2016春•广东校级期中）已知集合A={x|log2x＞1}，B={x|＜1}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由log2x＞1，利用对数的运算性质可得x＞2．由＜1，化为：＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解出即可判断出结论．【解答】解：由log2x＞1，解得x＞2．由＜1，化为：＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣1．则x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016春•广东校级期中）5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，要求每位同学只能选报一个球队，则所有的报名数有（）A．53B．35C．D．5!【分析】根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3×3=35种不同的报名方法；故选B．【点评】本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”．4．（5分）（2014秋•通化期中）函数y=2sin（﹣2x）是（）A．最小正周期为π奇函数B．最小正周期奇函数C．最小正周期π偶函数D．最小正周期偶函数【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变形呈正弦型函数，进一步求函数的奇偶性．【解答】解：函数y=2sin（﹣2x）=2sin2x则：T=令：f（x）=2sin2x则：x∈Rf（﹣x）=﹣2sin2x故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数解析式的恒等变换，函数奇偶性的应用，属于基础题型．5．（5分）（2015春•玉田县期末）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），求出f′（0）的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，所以在点（0，f（0））处的切线的斜率k=1，又k=t anθ，则切线的倾斜角θ=，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系．6．（5分）（2016•汉中二模）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A．2B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．利用体积计算公式、勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为的正方形，高为h．则×h=2，解得h=3∴此四棱锥最长的侧棱长PC==．故选：C．【点评】本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•虎林市校级期末）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故①错误；若m⊥α，且m⊥n，则n∥α或n⊂α，又由n⊥β，可得α⊥β，故②正确；若m⊥β，m∥α，则存在直线a⊂α，使m∥a，则a⊥β，则α⊥β，故③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β可能平行也可以相交，故④错误．故正确命题的个数是2个，故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．8．（5分）（2014•北海四模）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的倍，得到答案．【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．属基础题．9．（5分）（2014•文登市三模）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2016春•广东校级期中）已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【分析】由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解．【解答】解：如图，取BC的中点P并连结AD，则+=，，∵﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），∴=λ，即A、P、D三点共线，又∵AD为BC边上的中线，∴直线AP一定过△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查平面向量的线性运算性质及其几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．11．（5分）（2013秋•鹿城区校级期末）函数有零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由=0，得，设函数，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：要使函数有意义，则，解得﹣1≤x≤1．由=0，得，设函数，分别作出两个函数对应的函数图象，要使函数有零点，则两个图象有交点，当直线y=m（x+3），与半圆相切时，m＞0，此时圆心（0，0）到直线mx﹣y+3m=0的距离d=，解得m=，所以要使函数有零点，则m满足0，故选C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用函数零点定义将函数转化为两个基本函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．12．（5分）（2016•吉林三模）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a 等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a 的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2016•温州一模）已知f（x）=，则f（f（﹣2））=14，函数f（x）的零点的个数为1．【分析】根据x＜0与x≥0时f（x）的解析式，确定出f（f（﹣2））的值即可；令f（x）=0，确定出x的值，即可对函数f（x）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f（﹣2）=（﹣2）2=4，则f（f（﹣2））=f（4）=24﹣2=16﹣2=14；令f（x）=0，得到2x﹣2=0，解得：x=1，则函数f（x）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2015•郑州三模）若实数x、y，满足，则z=的取值范围是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：z的几何意义是区域内的点到D（﹣1，﹣3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：A（3，0），B（0，4），由图象可知，当AD的斜率最小为=，BD的斜率最大为=7，故z的取值范围，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．16．（5分）（2014•荆州二模）若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A′，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推出++=2；类似的，若O为四面体ABCD内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A′，B′，C′，D′，则+++=3．【分析】（1）根据=，推得，，然后求和即可；（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，求出+++的值即可．【解答】解：（1）根据=推得，所以++===2（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，可得+++===3故答案为：2，3．【点评】本题主要考查了类比推理的思想和方法，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出可能的定理．三、解答题（共6大题，共计70分）17．（10分）（2016•大庆校级二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．【分析】（1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC≠0，可得sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cosB﹣1=0，解得cosB，即可求得B的值．（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c⇒2b（sinC+cosC）=a+c⇒bsinC+bcosC=a+c⇒sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC⇒sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）⇒sinB=cosB+1，⇒3sin2B=cos2B+1+2cosB，⇒2cos2B+cosB﹣1=0，⇒cosB=或﹣1（由于B∈（0，π），舍去），⇒B=（Ⅱ）设AB=c、BC=a，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，在△ABM中同理可得：AM2=（）2+c2﹣2•ccosB=+c2﹣ac，因为AM=AC，所以：a2+c2﹣ac=+c2﹣ac，化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2﹣2accosB，可得：AC2=a2+（）2﹣a•=a2，解得：AC=a，在△ABC中，由正弦定理得，解得：sin∠BAC===．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．18．（10分）（2016春•广东校级期中）数列{a n}满足：，，记数列{a n}的前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n．【分析】（1）由已知得，所以数列为等比数列，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法求S n．【解答】解：（1）由已知得，所以数列为等比数列，，即（6分）（2）S n=++…+①∴S n=++…+②①﹣②整理得到（12分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．19．（10分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．20．（12分）（2016•常德一模）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，AA1=λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【分析】（Ⅰ）若AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2，则AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，﹣2，﹣2λ），=（2，0，0），=（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为=（1，0，0）．则•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2x=0，则x=0，y=﹣λz，令z=1，则y=﹣λ，则=（0，﹣λ，1）设面A1DC1的一个法向量为=（x，y，z）•=2x﹣2y﹣2λz=0，•=2y=0，则y=0，2x﹣2λz=0，令z=1，则x=λ，则=（λ，0，1），∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，∴cos＜，＞===，即（1+λ2）（1+3λ2）=8，得λ=1，即AA1=AC，则三棱锥C1﹣A1CD的体积V=V===4．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．21．（14分）（2015•南充一模）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可求出椭圆的标准方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立，转化成关于x的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明；（3）借助于弦长公式表示出三角形的面积公式，再求出面积的最大值即可．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程=1（a＞b＞0）由已知可得解得a2=2，b2=1．故椭圆C的标准方程=1．（2）联立方程，消y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．当△=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2+1＞m2①时，x1+x2=，x1•x2=．所以，．又，化简整理得：2k2+1=2m②．（3）代②入①得：0＜m＜2．又原点O到直线AB的距离为d=．|AB|=．所以S△AOB=．而2k2+1=2m且0＜m＜2，则S△AOB=，0＜m＜2．所以当m=1，即k2=时，S△AOB取得最大值．【点评】本题考查的知识点椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22．（14分）（2016春•广东校级期中）已知f（x）=e x，g（x）为其反函数．（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1．【分析】（1）根据函数与其反函数的图象关于y=x直线对称；（2）设h（x）=x，利用导数求得f（x）﹣h（x）=e x﹣x的最小值大于0，从而得e x＞x，利用导数求得h （x）﹣g（x）=x﹣lnx的最小值大于0，从而得x＞lnx，这样可证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）根据导数的几何意义得直线的斜率为==，利用＞0得：0＜x2＜1⇒lnx2＜0⇒x1＞x2+1，可证x1＞1．【解答】解：（1）f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，（2）证明：g（x）=lnx，设h（x）=x，令y=f（x）﹣h（x）=e x﹣x，y′=e x﹣1，令y′=0，即e x=1，解得x=0，当x＜0时，y′＜0，当x＞0时，y′＞0，∴当x=0时，y min=e x﹣0=1＞0，∴e x＞x，令y=h（x）﹣g（x）=x﹣lnx，y′=1﹣=（x＞0），令y′=0，解得：x=1；当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1，时y′＞0，∴当x=1时，y min=1﹣ln1=1＞0，∴x＞lnx（x＞0）∴f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；（3）f′（x）=e x，g′（x）=，切点的坐标分别为（x1，）（x2，lnx2），可得方程组：，∵x1＞x2＞0，∴＞1∴＞1，∴0＜x2＜1，∴lnx2＜0，又lnx2﹣=（x2﹣x1），∴lnx2=（x2﹣x1+1）＜0，∴x2﹣x1+1＜0，x1＞x2+1，∴x1＞1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数证明不等式、导数的几何意义、斜率计算公式、指数函数与对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
2015学年广东省广州市执信中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2021-2021 学年广东省广州市执信中学高二〔上〕期中数学试卷〔理科〕一、：本大共8 小，每小 5 分，在每小同的四个中，只有一是吻合目要求的．．〔分〕会集A={ x| x 2 x 2＜ 0} ，B={ x| 1＜ x＜ 1} ，〔〕1 5A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?2．〔5 分〕在一本数据〔 x1，y1〕，〔 x2，y2〕，⋯，〔 x n，y n〕〔 n≥ 2，x1，x2，⋯，x n不全相等〕的散点中，假设所有本点〔x i，y i〕〔i=1，2，⋯，n〕都在直 y=x+1上，本数据的真相关系数〔〕A． 1 B．0 C．D．13．〔5 分〕正三角形 ABC的点 A〔1，1〕，B〔1，3〕，点 C 在第一象限，假设点〔 x，y〕在△ ABC内部， z= x+y 的取范是〔〕A．〔1，2〕B．〔0，2〕 C．〔1，2〕D．〔0，1+ 〕4．〔5分〕 F1、F2是 E：+ =1〔 a＞b＞0〕的左、右焦点， P 直x=上一点，△ F2PF1是底角 30°的等腰三角形， E 的离心率〔〕A．B．C．D．．〔22〕分〕“a+b ≠0〞的含〔55A．a，b 不全 0B． a， b 全不 0C．a，b 最少有一个 0D．a≠0 且 b=0，或 b≠0 且 a=06．〔5分〕如，网格上小正方形的1，粗画出的是某几何体的三，此几何体的体〔〕A．6B．9C．12D．187．〔5 分〕ω＞ 0， 0＜φ＜π，直线 x=和x=是函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕图象的两条相邻的对称轴，那么φ=〔〕A．B．C．D．8．〔5 分〕数列 { a n} 满足 a1=1，，记数列{ a n2}前n项的和为S n，假设对随意的 n∈N*恒成立，那么正整数t 的最小值为〔〕A．10 B．9C．8D．7二、填空题：本大题共 6 个小题，每题 5 分，共计 30 分．9．〔5 分〕不等式 2x2﹣ x﹣ 1＞ 0 的解集是．10．〔 5 分〕把 89 化为二进制的结果是．11．〔 5 分〕以以下图的程序框图输出的结果是．12．〔5 分〕在正三角形 ABC中，D 是 BC上的点．假设 AB=3，BD=1，那么=．13．〔 5 分〕某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差 s2=．14．〔 5 分〕曲线 C 是平面内与两个定点 F1〔﹣1，0〕和 F2〔1，0〕的距离的积等于常数 a2〔a＞1〕的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C 过坐标原点；②曲线 C 关于坐标原点对称；③假设点 P 在曲线 C 上，那么△ F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 6 个小题，总分值 80 分．解同意写出文字说明、证明过程或推演步骤．15．〔 12 分〕函数．〔 1〕求的值；〔 2〕设，假设，求的值．16．〔 12 分〕为了认识某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100 名年龄为 17.5 岁～ 8 岁的男生体重〔 kg〕，获取频率分布直方图如图：求：〔 1〕依照直方图可得这100 名学生中体重在〔 56，64〕的学生人数；〔 2〕请依照上面的频率分布直方图估计该地区﹣18 岁的男生体重；〔 3〕假设在这 100 名男生中随意抽取 1 人，该生体重低于62 的概率是多少？17．〔14 分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD中为菱形，∠ BAD=60°，Q为 AD 的中点．（1〕假设 PA=PD，求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（2〕点 M 在线段 PC上， PM=tPC，试确定实数 t 的值，使得 PA∥平面 MQB．18．〔 14 分〕在等差数列 { a n} 中， a1=3，其前 n 和 S n，等比数列 { b n} 的各均正数， b1=1，公比 q，且 b2+S2=12， q=．（1〕求 a n与 b n；（2〕求 + +⋯+ 的取范．19．〔 14 分〕双曲E：=1〔a＞0，b＞0〕的两条近分l1：y=2x，l2：y= 2x．（1〕求双曲 E 的离心率；（2〕如， O 点坐原点，直 l 分交直 l1， l2于 A，B 两点〔 A，B 分在第一、第四象限〕，且△ OAB 的面恒 8，研究：可否存在与直 l有且只有一个公共点的双曲 E？假设存在，求出双曲 E 的方程，假设不存在，明原由．20．〔 14 分〕函数 f 〔x〕 =x〔 1〕假设[ 8 f 〔x〕 ] 在 [ 1，+∞] 上是减函数，求数 a 的取范；〔 2〕 a=1，x+y=k，假设不等式所有〔x，y〕∈〔0，k〕第4页〔共 22页〕2021-2021 学年广东省广州市执信中学高二〔上〕期中数学试卷〔理科〕参照答案与试题解析一、：本大共8 小，每小 5 分，在每小同的四个中，只有一是吻合目要求的．．〔分〕会集A={ x| x 2 x 2＜ 0} ，B={ x| 1＜ x＜ 1} ，〔〕1 5A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【解答】解：由意可得， A={ x| 1＜ x＜2} ，∵B={ x| 1＜x＜1} ，在会集 B 中的元素都属于会集A，但是在会集 A 中的元素不用然在会集B 中，例如 x=∴B?A．故： B．2．〔5 分〕在一本数据〔 x1，y1〕，〔 x2，y2〕，⋯，〔 x n，y n〕〔 n≥ 2，x1，x2，⋯， x n不全相等〕的散点中，假设所有本点〔x i，y i〕〔i=1，2，⋯，n〕都在直 y= x+1上，本数据的真相关系数〔〕A． 1 B．0C．D．1【解答】解：由知，所有本点〔x i，y i〕〔i=1，2，⋯，n〕都在直 y=x+1上，∴ 本数据完好正相关，故其相关系数 1，故： D．3．〔5 分〕正三角形ABC的点 A〔1，1〕，B〔1，3〕，点 C 在第一象限，假设点〔 x，y〕在△ ABC内部， z= x+y 的取范是〔〕A．〔1，2〕B．〔0，2〕 C．〔1，2〕D．〔0，1+〕【解答】解：设 C〔a， b〕，〔a＞0，b＞0〕由 A〔1，1〕， B〔 1， 3〕，及△ ABC为正三角形可得， AB=AC=BC=2即〔 a﹣1〕2+〔b﹣1〕2=〔 a﹣ 1〕2+〔b﹣3〕2=4∴b=2，a=1+ 即 C〔 1+ ，2〕那么此时直线 AB 的方程 x=1，AC的方程为 y﹣ 1=〔x﹣1〕，直线 BC的方程为 y﹣3=﹣〔x﹣1〕当直线 x﹣y+z=0 经过点 A〔1，1〕时，z=0，经过点 B〔1，3〕z=2，经过点 C〔1+，2〕时， z=1﹣∴应选： A．4．〔5 分〕设 F1、F2是椭圆 E：+ =1〔 a＞b＞0〕的左、右焦点， P 为直线x= 上一点，△ F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，∴| PF2| =| F2F1|∵ P 为直线 x=上一点∴∴应选： C．第7页〔共 22页〕225．〔5 分〕“a+b ≠0〞的含义为〔〕A．a，b 不全为 0B． a， b 全不为 0C．a，b 最少有一个为 0D．a≠0 且 b=0，或 b≠0 且 a=0【解答】解： a2+b2≠0 的等价条件是 a≠0 或 b≠0，即两者中不全为 0比较四个选项，只有 A 与此意思同， A 正确；B 中 a，b 全不为 0，是 a2+b2≠0 充分不用要条件； B 错误．C 中 a，b 最少有一个为 0，C 错误．D 中可是两个数仅有一个为0，概括不全面，故 D 不对；应选： A．6．〔5 分〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔〕A．6B．9C．12D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体V=×6×3×3=9．故： B．7．〔5 分〕ω＞ 0， 0＜φ＜π，直 x=和x=是函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕象的两条相的称，φ=〔〕A．B．C．D．【解答】解：因直 x=和x=是函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕象的两条相的称，因此 T==2π．因此ω=1，并且 sin〔+φ〕与 sin〔+φ〕分是最大与最小， 0＜φ＜π，因此φ= ．故： A．．〔分〕数列n}足a1 ，，数列n2} 前 n 的和 S n，假设8 5{ a=1{ a随意的 n∈N*恒成立，正整数t 的最小〔〕A．10 B．9C．8D．7【解答】解：∵，∴，∴〔n∈N*〕，∴{} 是首 1，公差 4 的等差数列，∴=1+4〔n 1〕=4n 3，∴ a n2=∵〔 S2n+1S n〕〔 S2n+3S n+1〕=〔a n+12+a n+22+⋯+a2n+12〕〔 a n+22+a n+32+⋯+a2n+32〕=a n+12a2n+22a2n+32==＞ 0，∴数列 { S2n+1S n} 〔n∈ N*〕是减数列，数列 { S2n+1 S n} 〔n∈N*〕的最大S3S1=a22+a32==，∵≤，∴ m≥又∵ m 是正整数，∴m 的最小 10．故：A．二、填空：本大共 6 个小，每小 5 分，共 30 分．9．〔5分〕不等式2 x 1＞ 0 的解集是．2x【解答】解：不等式 2x2x 1＞0，可化：或，解得： x＞1 或 x＜，原不等式的解集．故答案：10．〔 5 分〕把 89 化二制的果是 1011001．〔 2〕【解答】解： 89÷2=44⋯144÷2=22⋯022÷2=11⋯011÷2=5⋯15÷2=2⋯12÷2=1⋯01÷2=0⋯1故 89〔10〕=1011001〔2〕故答案： 1011001〔2〕11．〔 5 分〕如所示的程序框出的果是5．【解答】解：解析程序中各量、各句的作用，再依照流程所示的序，可知：程序的作用是算 S=〔 1〕+2+〔 3〕+4+⋯+10 ∵〔 1〕+2+〔 3〕 +4+⋯+10=5故答案： 512．〔 5 分〕在正三角形ABC 中， D 是 BC 上的点．假设 AB=3， BD=1，=．【解答】解：∵ AB=3， BD=1，∴ D 是 BC上的三均分点，∴，∴===9=，故答案．13．〔 5 分〕某老从星期一到星期五收到信件数分是10，6，8，5，6，数据的方差 s2．【解答】解：∵收到信件数分是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：14．〔 5 分〕曲线 C 是平面内与两个定点 F1〔﹣1，0〕和 F2〔1，0〕的距离的积等于常数 a2〔a＞1〕的点的轨迹．给出以下三个结论：②曲线 C 关于坐标原点对称；③假设点 P 在曲线 C 上，那么△ F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是②③ ．【解答】解：关于①，由题意设动点坐标为〔x， y〕，那么利用题意及两点间的距离公式的得：? [ 〔x+1〕2+y2] ?[ 〔x﹣1〕2+y2] =a4〔 1〕将原点代入考据，此方程但是原点，因此①错；关于②，把方程中的 x 被﹣ x 代换， y 被﹣ y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；关于③，由题意知点P在曲线C上，那么△F1PF2的面积= a2sin∠ F1PF2，≤a2，因此③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共 6 个小题，总分值 80 分．解同意写出文字说明、证明过程或推演步骤．15．〔 12 分〕函数．〔 1〕求的值；〔 2〕设，假设，求的值．【解答】解：〔1〕===；〔 2〕因=tan〔α+π〕=tan α=2．因此，即 sin α=2cos．α①因 sin2α+cos2α =1，②由①、②解得．因，因此，．所以==．16．〔 12 分〕了认识某地区高三学生的身体育情况，抽了地区100 名年17.5 ～ 8 的男生体重〔 kg〕，获取率分布直方如：求：〔 1〕依照直方可得100 名学生中体重在〔 56，64〕的学生人数；〔 2〕依照上面的率分布直方估地区17.5 18 的男生体重；（3〕假设在 100 名男生中随意抽取 1 人，生体重低于 62 的概率是多少？【解答】解：〔 1〕依照直方得， 100 名学生中体重在〔 56，64〕的学生人数：（×〕× 2××100=40〔人〕；⋯〔 4 分〕（2〕依照率分布直方得，本的平均数是：利用平均数来衡量地区17.5 18 的男生体重是；⋯〔8 分〕〔 3〕依照率分布直方得，本数据中低于62kg 的率是〔×2〕×，∴ 100 名男生中随意抽取1 人，生体重低于 62kg 的概率是．⋯〔12分〕17．〔14 分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD中为菱形，∠ BAD=60°，Q 为 AD 的中点．（1〕假设 PA=PD，求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（2〕点 M 在线段 PC上， PM=tPC，试确定实数 t 的值，使得 PA∥平面 MQB．【解答】解：〔1〕连 BD，四边形 ABCD菱形∵ AD=AB，∠BAD=60°∴△ ABD是正三角形， Q 为 AD 中点∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q 为 AD 中点 AD⊥PQ又 BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面 PQB， AD? 平面 PAD∴平面 PQB⊥平面 PAD〔 2〕当 t=时，使得PA∥平面MQB，连 AC交 BQ于 N，交 BD于 O，那么 O 为 BD 的中点，又∵ BQ 为△ ABD边 AD 上中线，∴ N 为正三角形 ABD的中心，令菱形 ABCD的边长为 a，那么 AN= a，AC= a．∴PA∥平面 MQB，PA? 平面 PAC，平面 PAC∩平面 MQB=MN∴PA∥MN即： PM= PC， t=．．〔14分〕在等差数列n}中，a1，其前n和n ，等比数列{ b n}的各18{ a=3S均正数， b1=1，公比 q，且 b2+S2=12， q=．（1〕求 a n与 b n；（2〕求 + +⋯+ 的取范．【解答】解：〔1〕 { a n } 的公差 d，∵b2+S2=12， b1=1，q= ，∴，解得 q=3 或 q= 4〔舍〕，d=3．故 a n=3n，b n=3n﹣1⋯〔 4 分〕〔 2〕 S n==，∴== 〔〕，∴++⋯+=〔1++⋯+〕= 〔1〕⋯〔8 分〕∵ n≥ 1，∴ 0＜≤，≤1＜1，∴≤〔1〕＜，即≤+ +⋯+＜⋯〔12分〕19．〔 14 分〕双曲E：=1〔a＞0，b＞0〕的两条近分l1：y=2x，l2：y= 2x．〔 1〕求双曲 E 的离心率；（2〕如图， O 点为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1， l2于 A，B 两点〔 A，B 分别在第一、第四象限〕，且△ OAB 的面积恒为 8，试试究：可否存在总与直线 l有且只有一个公共点的双曲线 E？假设存在，求出双曲线 E 的方程，假设不存在，说明原由．【解答】解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，因此 =2．因此=2．故 c= a，从而双曲线 E 的离心率 e= =．〔 2〕由〔 1〕知，双曲线 E 的方程为﹣=1．设直线 l 与 x 轴订交于点 C，当 l⊥ x 轴时，假设直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，那么 | OC| =a， | AB| =4a，因此 | OC| ?| AB| =8，因此a?4a=8，解得 a=2，此时双曲线 E 的方程为﹣=1．以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E 的方程为﹣=1 也满足条件．设直线 l 的方程为 y=kx+m，依题意，得 k＞2 或 k＜﹣ 2；那么 C〔﹣， 0〕，记 A〔x1，y1〕，B〔x2， y2〕，由得 y1，同理得 2，=y =由 S△OAB= | OC| ?| y1﹣y2| 得：| ﹣| ?|﹣| =8，即 m2=4| 4﹣ k2| =4〔k2﹣4〕．由得：〔 4﹣ k2〕x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为 4﹣k2＜ 0，因此△ =4k2m2+4〔 4﹣ k2〕〔 m2+16〕=﹣16〔4k2﹣m2﹣16〕，又因为 m2=4〔 k2﹣4〕，因此△ =0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点．因此，存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为﹣=1．20．〔 14 分〕设函数 f 〔x〕 =﹣x〔 1〕假设[ 8﹣f 〔x〕 ] 在 [ 1，+∞] 上是单调递减函数，求实数 a 的取值范围；〔 2〕设 a=1，x+y=k，假设不等式对所有〔x，y〕∈〔0，k〕恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：〔 1〕令 u〔x〕=8﹣ f〔x〕=x﹣ +8，要使 y=log[ 8﹣f〔x〕] 在 [ 1，+∞〕上是单调递减等价于由 u〔1〕＞ 0 得 1﹣a+8＞0 a＜9由 u〔x〕在 [ 1， +∞〕上是增函数，即对 1≤x1≤ x2＜+∞， u1〔 x〕﹣ u2〔x〕=〔x1﹣x2〕 +﹣恒成立，解得 a≥﹣ 1，因此﹣ 1≤a≤9．〔 2 〕由条件 f 〔 x 〕 f 〔 y 〕= 〔﹣x〕〔﹣y〕===xy+，令 xy=t，由 x+y=k，那么 t ∈〔 0，]令 g〔t 〕 =f〔x〕f〔 y〕=t +，t∈〔0，]当 1﹣k2≤ 0， g〔t 〕单调递加，那么g〔 t〕max=，条件不成立．当 1﹣k2＞0，即﹣ 1＜ k＜ 1 时，t+，当且仅当t=取到等号．①当时，即 0≤k≤2时，g〔t〕在t∈〔0，] 上是减函数，且 g〔t 〕min=≥〔〕2恒成立，满足题意，②当＞，即﹣1＜k＜0或2＜k＜1时，即那么g〔〕＞g〔〕，即，不成立．综上所述： 0≤k≤ 2．赠予初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特色：运用举例：1. A、 B、C、 D 是⊙ O 上的四个点 .(1)如图 1，假设∠ ADC＝∠ BCD＝ 90°，AD＝ CD，求证 AC⊥ BD；第 18 页〔共 22 页〕AA DBEOOD CB C2.如图，四边形ABCD内接于⊙ O，对角线AC⊥ BD 于 P，设⊙ O 的半径是2。
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2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱2．直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行4．点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1或﹣27．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．8．若变量x，y满足x+5y+13=0（﹣3≤x≤2，且x≠1），则的取值范围是（）A．k≥或k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．≤k≤4 D．﹣≤k≤49．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点10．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）11．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B． C． D．12．如图，在体积为2的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是14．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为．15．如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q，则以下四个结论：①QC∥A1D②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有．16．已知△ABC中，顶点A（﹣2，1），点B在直线l：x+y﹣3=0上，点C在x轴上，则△ABC 周长的最小值．三、解答题（共6大题，共计70分）17．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．19．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．21．已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．22．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（i）求四棱锥P﹣BDEF的体积；（ii）若点Q满足=λ（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【考点】由三视图还原实物图．【专题】作图题．【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．【点评】本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题2．直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由题意可知，直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，设其倾斜角为α，由tanα=﹣，可得直线x+y+1=0的倾斜角．【解答】解：设其倾斜角为α，∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，∴tanα=﹣，又α∈[0°，180°），∴α=120°．故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角，着重考查直线的倾斜角与斜率间的关系，属于基础题．3．若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．4．点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】应用到直线的距离公式直接求解即可．【解答】解：点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是：=故选D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，是基础题．5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】平面与平面平行的判定．【专题】综合题．【分析】从直线与平面平行和垂直的判定定理，以及性质定理，对四个选项逐一判断；判断时通过反例即可．【解答】解：真命题有①直线与平面垂直的判定定理之一；②两个平面平行的判定之一；③直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定．④是假命题，m、n可以是异面直线．故选B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，平面与平面垂直的判定，直线与直线平行的判定，是基础题．6．设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1或﹣2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线的平行关系可得2×（﹣1）﹣（﹣m）（m﹣1）=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0，且l1∥l2，∴2×（﹣1）﹣（﹣m）（m﹣1）=0，解得m=﹣1或m=2，经验证当m=﹣1时两直线重合，应舍去故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力．8．若变量x，y满足x+5y+13=0（﹣3≤x≤2，且x≠1），则的取值范围是（）A．k≥或k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．≤k≤4 D．﹣≤k≤4【考点】函数的值域．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】如图所示，P（1，1），A（2，﹣3），C（﹣3，﹣2），利用斜率计算公式及其斜率的意义即可得出．【解答】解：如图所示，∵P（1，1），A（2，﹣3），C（﹣3，﹣2），k PA==﹣4，k PC==．∴则的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．【点评】本题考查了斜率计算公式及其斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】先由PB⊥α，得到PB⊥AC，再由PC⊥AC，得到AC⊥面PBC，进而得到BC⊥AC，从而得到结论．【解答】解：∵PB⊥α∴PB⊥AC又∵PC⊥AC∴AC⊥面PBC∴BC⊥AC∴动点C在平面α内的轨迹是以AB为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点故选B【点评】本题主要考查线线垂直与线面垂直间的转化为圆的周角的定义．10．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4）D．（4，﹣2）【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】常规题型．【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选B【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点一定在直线l2上．11．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积．【解答】解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，则∴∴∴故选B．【点评】此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．12．如图，在体积为2的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，三棱锥O﹣BCD的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．【解答】解：AA'为正三棱锥A﹣BCD的高；OO'为正三棱锥O﹣BCD的高因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比已知三棱锥A﹣BCD的体积为2所以，三棱锥O﹣BCD的体积为： (1)由前面知，FG∥CD且=所以由平行得到，==所以，=[面BCG所在的平面图如左上角简图]同理，=则=所以，PN∥BC那么，==亦即，==设GQ=x那么，GT=x则，QT=GQ﹣GT=x﹣x=x而===，所以：=则，TO=QT=×x=所以：GO=GT+TO=x+=所以，OQ=GQ ﹣GO=x==又=所以， = (2)且， =所以：= (3)由（2）*（3）得到：=代入到（1）得到：三棱锥O ﹣BCD 的体积就是=．故选：D ．【点评】本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状：上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，底面是半径为2的半圆，圆锥的高为2，圆柱的高为1．所以体积V=（π•22•2+π•22•1）=π．故答案为：．【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．14．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为x﹣2y+4=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣3=（x﹣2），化为一般式可得x﹣2y+4=0故答案为：x﹣2y+4=0【点评】本题考查直线的一般式方程与垂直关系，属基础题．15．如图四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q，则以下四个结论：①QC∥A1D②B1Q=2QB；③直线A1B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有①②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①由于平面BCB1C1∥平面ADD1A1，即可判断出正误；②如图所示，设A1Q∩DC=E点，则E点也在AB的延长线上，利用A1B1∥AB，BC∥AD，可得====，即可判断出正误；③直线A1B与直线CD是异面直线，即可判断出正误；④如图所示，设S1==BC•BB1．可得：S△BCQ=S1，=S1．分别计算出=，（h为平面BCC1B1与平面ADD1A1之间的距离），=，即可判断出正误．【解答】解：①∵平面BCB1C1∥平面ADD1A1，平面BCB1C1∩α=CQ，α∥平面ADD1A1=A1D，∴QC∥A1D，正确；②如图所示，设A1Q∩DC=E点，则E点也在AB的延长线上，∵A1B1∥AB，BC∥AD，∴====，∴B1Q=2QB，正确；③直线A1B与直线CD是异面直线，不可能相交，因此不正确；④如图所示，设S1==BC•BB1．S△BCQ==S1，==3QB=9×=S1．=•H=，（h为平面BCC1B1与平面ADD1A1之间的距离）．=•h=，因此四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积不相等，不正确．综上可得：只有①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定、体积计算公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知△ABC中，顶点A（﹣2，1），点B在直线l：x+y﹣3=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值2．【考点】三角形中的几何计算．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】作出A与直线l的对称点E，A关于x轴的对称点D，BA=BE，CA=CD，于是△ABC周长的最小值为线段DE的长．【解答】解：设A关于直线l：x+y﹣3=0的对称点为E（a，b），则，解得a=2，b=5，即E（2，5）．设A关于x轴的对称点为D，则D（﹣2，﹣1）．∴DE===2．故答案为2．【点评】本题主要考查求已知点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想．三、解答题（共6大题，共计70分）17．如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．18．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由截距不为0和截距为0两种情况分别讨论，能求出直线方程．（2）当直线的斜率不存在时直线方程为x﹣5=0，成立；当直线斜率存在时，设其方程为kx﹣y+（10﹣5k）=0，由点到直线的距离公式，求出k=，由此能求出直线方程．【解答】（本题12分）解：（1）若截距不为0，设直线的方程为+=1，﹣﹣∵直线过点（﹣3，4），∴+=1，解得a=1．﹣﹣此时直线方程为x+y﹣1=0．﹣﹣若截距为0，设直线方程为y=kx，代入点（﹣3，4），有4=﹣3k，解得k=﹣，﹣﹣此时直线方程为4x+3y=0．﹣﹣综上，所求直线方程为x+y﹣1=0或4x+3y=0．﹣﹣（2）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x﹣5=0．﹣﹣当直线斜率存在时，设其方程为y﹣10=k（x﹣5），即kx﹣y+（10﹣5k）=0．﹣﹣由点到直线的距离公式，得=5，解得k=．﹣﹣此时直线方程为3x﹣4y+25=0．﹣﹣综上知，所求直线方程为x﹣5=0或3x﹣4y+25=0．﹣﹣【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，易错点是容易忽略直线的斜率不存在时的解．19．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】空间角．【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）连结B1M，…因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（1）由f（2）=2+=2+求解a．（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．（3）由（2）可将S转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构四边形OMPN面积模型求最值．造S四边形OMPN【解答】解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△OPN=x02+．=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．∴S四边形OMPN当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．22．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（i）求四棱锥P﹣BDEF的体积；（ii）若点Q满足=λ（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则=（2﹣x，2，﹣x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P﹣BDEF的体积；（ⅱ）确定的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，HB=2，HC=2．又设PO=x，则OH=2﹣x，OA=4﹣x．所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2﹣x，2，0），故=（2﹣x，2，﹣x），所以||=，∴当x=时，|PB|min=．此时PO=，OH=由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，﹣2，0），P（0，0，）．所以，∵=λ（λ＞0），∴，∴．∴Q（，0，），∴=（）．设平面PBD的法向量为，则．∵，∴，取x=1，解得：y=0，z=1，所以．设直线OQ与平面PBD所成的角θ，∴sinθ=|cos|==．又∵λ＞0∴sinθ＞．∵θ∈[0，]，∴θ＞．因此直线OQ与平面PBD所成角大于，即结论成立．【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．。