如果aGb成等比数列

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等比数列

对于递推关系形如
的求数列通项公式问题，的求数列通项公式问题，
可利用待定系数法an＋1－λ＝c(an－λ)，求出＝可利用待定系数法＋＝，求出λ＝转化为等比数列解决．转化为等比数列解决．
，
的前n项和【例3】已知在数列 n}中a1＝1，求满足下列条件的数列 n}的前项和 n. 】已知在数列{a 中，求满足下列条件的数列{a 的前项和S
8 等比数列 n}中，Sn是数列 n}的前项等比数列{a 中是数列{a 的前的前n项则公比q= - 1 或1 . 和，S3=3a3，则公比
2
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意符合题意. 时则符合题意当q≠1时, 时
1 所以q=- 或1. 所以 2
a1 (1 − q 3 ) 1 2,解得 =3a1q 解得解得q=- 或1(舍去舍去). 舍去 1− q 2
－ 2．等比数列的通项公式： an＝a1·qn－1；．等比数列的通项公式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－ an＝am·qn－m (a1·q≠0)
3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数．等比中项：如果在与中间插入一个数 G，使a，G，b成等比数列，那么称这个成等比数列，，，，成等比数列的等比中项．数G为a与b的等比中项．为与的等比中项
，
；
当q＝－时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝－＝－2时＋＋＝得＝－

2013高三数学总复习同步练习：6-4数列的综合问题与数列的应用

6-4数列的综合问题与数列的应用

基础巩固强化

1.(2011·佛山月考)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．不确定 [答案] A

[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点．

2．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n

(n ≥2，n ∈N *

)，则a 3

a 5

的值是( )

1516

158

C.34

D.38

[答案] C

[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；

∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝3

3．(2012·浙江嘉兴基础测试)数列{a n }满足其中任何连续的三项之和为20，并且a 4＝9，a 12＝7，则a 2012＝( )

A ．9

B ．7

C ．4

D ．2

[答案] C

[解析] 据已知数列任意连续三项之和为20，a 4＝9可得a 5＋a 6

＝11，故a 7＝9.又a 12＝7可得a 10＋a 11＝13，从而又得a 9＝7，进而可得a 8＝4，又由a 6＋a 7＋a 8＝20，解得a 6＝7，a 5＝4，a 4＝9，a 3＝7，a 2＝4，a 1＝9，故数列{a n }的各项分别为9,4,7,9,4,7,9，…，构成以3为周期的周期数列，故a 2012＝a 2＝4.

等比数列复习

[规律总结] 本题第(1)问证明一个数列不是等比数列，只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列就否定了这个数列是等比数列；当证明一个数列是等比数列时，必需对任意的 n 值证明这个数列符合等比数列的定义．
变式训练 2 已知数列{an}的首项 a1＝5，前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝ 2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式以及 Sn.
答案：C
4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝6，S4＝30，则 S6＝__________.
解析：对等比数列{an}有 S2、S4－S2、S6－S4 成等比数列，
∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24， ∴S6－S4＝2642＝96，S6＝S4＋96＝126.
答案：126
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3＝________.
B．7
C．6
D．4 2
(2)(2013·海淀模拟)已知等比数列{an}满足 an>0，n＝ 1,2，…，且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n －1 等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
[思路点拨] (1)利用 a1·a2·a3，a4·a5·a6，a7·a8·a9 成等比数列求解．

(完整版)高中数学数列知识点整理

1数列中a n 与S n 之间的关系:

a n

S ‘（n 1）

注意通项能否合并。 S n & i ,（n 2）.

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

即a n - a n 1

=d ， (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 a 、A b 成等差数列

或a n pn q （p 、q 是常数）

⑷前n 项和公式：

n n 1 S n n^

⑸常用性质： ① 若 m

n p q m,n, p,q N ，贝U a m a n a p a q

；

② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,，仍组成等差数列； ③ 数列 a n b （ ,b 为常数）仍为等差数列；

④ 若｛a n ｝、｛0｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n pb n ｝（k 、p 是非零常数）、

｛a p nq ｝（ p,q N ）、，…也成等差数列。

⑤单调性： a n 的公差为d ，则：

i) d 0 a n 为递增数列； ii) d 0 a n 为递减数列； iii) d 0

a n 为常数列；

⑥数列｛a n ｝为等差数列 a n pn q （ p,q 是常数）

⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2k

S k 、S 3k S 2k …

是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，

那么这个数

列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a 、Gb 成等比数列

第一部分第二章 2.3 第二课时等比数列的性质

(1)2a1,2a2,2a3… (2)a2，a4，a6… (3)a1b1，a2b2，a3b3… (4)ab11，ba12，ab33…
返回
问题1：若数列{an}的公比为q1，(1)、(2)中的数列是等比数列吗？
提示：(1)、(2)仍然是等比数列，公比分别是 q1，q21，问题2：若{an}、{bn}的公比为q1、q2，则(3)、(4)中的两个数列是等比数列吗？提示：(3)，(4)中的两个数列仍然是等比数列，它们的公比分别是 q1q2，qq12.
返回
[一点通] 等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．
返回
4．在等比数列{an}中，若 a3a5a7a9a11＝243，则aa1291 的值为________．
解析：由 a3a5a7a9a11＝243，得 a57＝243， ∴a7＝3. ∴aa1291＝a7a·1a111＝a7＝3. 答案：3
返回
[精解详析] (1)∵a3a4a5＝8，∴a34＝8，a4＝2. ∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a42·a24·a4＝32. (2)∵a2·a10＝a62，∴a10＝aa262＝1262＝128. (3)∵a3·a7＝a25，∴a5＝± a3a7＝±4 2. 又∵a5＝a3q2<0，∴a5＝－4 2.

等比数列的概念及通项公式

从容说课

本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来

引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程

教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的

感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性

准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进

而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的教学重点1.等比数列的概念； 2.等比数列的通项公式.

教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比

关系； 2.等比数列与指数函数的关系教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标

、知识与技能

1. 了解现实生活中存在着一类特殊的数列

2.理解等比数列的概

念，探索并掌握等比数列的通项公

3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系，并能

用有关的知识解决相应的实际问题

4.体会等比数列与指数函数的关系

、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方

法进行教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动

3.密切联系实际，激发学

生学习的积极性

、情感态度与价值观

1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学

生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的

密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就

专题32 等比数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题32等比数列及其前n 项和

等比数列求和例题

等比数列及其前n 项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项∈a ，G ，b 成等比数列∈G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1. (2)前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q

1－q q ≠1. 3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －

m (n ，m ∈N *)．

(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .

(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n b

n (λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .

4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考

行测数量关系的常用公式

*创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW*

创作者：凤呜大王*

行测常用数学公式

工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

设总工作量为1或最小公倍数

1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N2

最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

2.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2

＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。

3.N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。

4.实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4

5.方阵：总人数=N2 N排N列外圈人数=4N-4

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人）

(2)排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人

M-层。

(3)爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬N

线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔

（2）单边环形植树：棵数＝总长÷间隔；总长=棵数×间隔

（3）单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔

（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。

（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段

等比数列的概念及通项公式课件

课前探究学习
课堂讲练互动
由
等
比
中
项
的
定
义
可
知
：
G a
＝
b G
⇒
G2
＝
ab
⇒
G
＝
± ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项
的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比
中项．反之，若 G2＝ab，则Ga ＝Gb ，即 a，G，b 成等比数列．所以 a，G，b 成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
课前探究学习
课堂讲练互动
证明 an＋1a－n－nn＋1＝3an－2n＋an1－＋n3－n＋1 ＝3aann－－3nn＝3(n＝1,2,3，…)．又 a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2 为首项，以 3 为公比的等比数列． (2)由(1)知 an－n＝－2·3n－1， ∴an＝n－2·3n－1.
aa21＝q，将以上 n－1 个等式左右两边分别相乘得aan1＝qn－1 即
an＝a1qn－1. 迭代法：因为{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝ a1qn－1，所以an＝a1qn－1.
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)aan＋n 1均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．

第四讲等比数列

例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？
练一练:
1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求a2的值.
2.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗 n次后,存留的污垢在1%以下,则n 的最小值为多少?
解：设洗之前的污垢为1个单位. 洗1次剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 洗2次剩下污垢为 (1/4)2 则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一 Baidu Nhomakorabea等比数列 {an } .
an=(1/4)n a4= (1/4)4=1/256<1% 而 n=3时, a3= (1/4)3=1/64>1% 答: n的最小值为4.
an a2 a3 a4 q a1 a2 a3 an 1
把这n-1个式子两边分别相乘得： n
a a1 q
n 1
数定
列义
等差数列
an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d
等比数列
a n1
an
q
公差（比）定义变形通项公式
q叫公比 an+1=an q

等比数列课件

[答案] A
第2课时 │ 典例类析
[解析] 利用性质“若 m＋n＝p＋s，则 am·an＝ap·as”建立关于 a3，
a5 的方程组，再由性质“在等比数列{an}中，aamn＝qm－n”求得答案．由已知条件 a1a5－2a3a5＋a3a7＝36， a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，
知aa2323－＋22aa33aa55＋＋aa2525＝＝3160，0， ∴aa33－＋aa5522＝＝3160，0，
第2课时 │ 自学探究
5．在等比数列an中，am，am＋k，am＋2k，…，am＋(n－1)k，…
仍成等比数列，公比为__q_k_____；
数列kan(k≠0)仍成等比数列，公比为__q______；数列{a2n}仍成等比数列，公比为__q_2_____． 6 ．若 {an} ， {bn} 是项数相同的等比数列，则 {an·bn} 成 __等__比____数列，abnn成_等__比_____数列．
第2课时 │ 典例类析
典例类析
► 题组一与等比中项有关的问题【例题演练】
例 1 三个数成等比数列，它的和为 14，它们的积为 64，
则这三个数为( )
A．8,4,2
B．8,4,2 或 2,4,8
C．－2,4，－8
D．2,4,8
答案 B
第2课时 │ 典例类析

2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案

即病毒共复制了13次．

∴所需时间为13×3＝39(秒).]

(对应学生用书第106页)

考点1等比数列的基本运算

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、a n、q、n、S n、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).

(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．

1.设S n为等比数列{a n}的前n项和、已知3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、则公比q＝()

A．3B．4C．5D．6

∴q ＝－1

2或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]

4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中、a 1＝1、a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和、若S m ＝63、求m . [解] (1)设{a n }的公比为q 、由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2、

解得q ＝0(舍去)、q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1、则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188、此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1、则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64、解得m ＝6. 综上、m ＝6.

抓住基本量a 1, q 、借用方程思想

求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优．

考点2 等比数列的判定与证明

故⎩⎨⎧⎭

⎬⎫an 2n 是首项为12、公差为3

2020版高考数学大一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和课件理新人教A版

【例 1】 (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sm＝63，求 m. 解析 (1)设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1.由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2.故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
3．能在具体的问题情境中 2017·全国卷Ⅱ，17 通项公式证明数识别数列的等比关系，并 2016·全国卷Ⅲ，17 列为等比数列．
数学运算、逻辑
能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函
分值：5～12 分
2．利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前
推理的核心素养.
(2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由条件可得na＋n＋11
＝2nan，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(3)由(2)可得 Sn＝11－－22n＝2n－1，所以 S10＝210－1＝1 023.
[递进题组]
1．[考法二]在等比数列{an}中，a2，a16 是方程 x2＋6x＋2
且
a
2 n＋1
＝
an·an
＋
2
(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3) 通项公式法：若数列 {an} 的通项公式可写成 an ＝ c·qn－1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

等比数列概念及通项公式

3．等比数列的通项公式
（1）公式 an a1qn1
（2）对公式的认识 a、函数观点 b、方程观点八、教学反思等比数列是在等差数列之后介绍的，学生对等差数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解．因此只需要引导学生用类比等差数列的方法自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公式．这样从学生的最近发展区出发，不仅符合学生的认知规律，而且充分发挥了学生的主体作用．在教学过程中，尽可能在教师的启发与点拨下，学生自主展开，让学生去联想，去探究，去归纳，去总结；这样既激发了学生学习数学的热情，也为他们的学习打下了坚实的基础。总体而言，学生对这节课的整体把握较好，教学达到了较理想的效果。
起，每一项与前一项的项起，每一项与它前
差等于同一个常数，那一项的比都等于同一
么这个数列叫做等差个常数,那么这个数列
数学式子表示通项公式
数列.这个常数叫做等叫做等比数 an1 q 列.这个常 an
差数a列n+1的-a公n=差d ，用d表数叫做等比数列的公
示 an = a1 +（n-1）d
比，用q表示
通过对比两种数列的相同点，不同点，加深学生的理解
探究等比数列的图象与指数函数之间的关系
师：类比等差数列，我们还可以从哪个角度分析这个数列呢？生：（1）可以从函数观点去认识，把通项看成

等比数列的性质及等比中项

等比数列的性质及等比中项等比中项?如果在a与b中间插入一个数g使agb成等比数列那么g是a与b的等比中项
等比数列的性质及等比中项
等比中项
• 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G是
a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
设数列an
为等差数列，且m,
n,
p,
q
N
，
若m n p q,则am an ap aq.
若m n 2 p,则am an 2ap.
思考：等比数列有没有同样的性质？
例2.在等比数列an中，a2a8 a3a7是否成立？
a52 a1a9是否成立？
思考：你能得到更一般的结论吗？
证明：设等比数列an首项为a1,公比为q
则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
a q2 mn2 1
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an
中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1, a4, a7 , a10, 构成一个新数列，该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项依原序构成的新数列是等比数列。
练习：已知等比数列an 1 若an＞0，a2a4 2a3a5 a4a6 25, 求a3 a5的值。