经济问题模型3-4

第三章 经济问题模型

在人类社会中，经济活动是最为活跃的活动之一。小到个人，大到企业和国家，每天都要与经济问题打交道。本章将介绍几个有代表性的经济模型，以此帮助读者了解用数学建模解决经济问题的一些方法。

3.1日常生活中的经济模型

一般人日常生活中遇到最多的经济问题是存款问题、贷款问题和养老金问题。本节不做过多的理论解释，而是通过案例的形式分别给出这些问题的解决方法和数学模型，读者可以通过这些案例的学习了解这类问题的建模过程和解决方法。

1. 连续利率问题

某银行为吸引储户来存款，出台了一个特殊存款理财品种。该品种的政策是允许储户在一年期间可以任意次结算，但要求储户存款的最低金额为10万元且存款时间至少1年。假设该银行年利率为5%，某储户买了10万元的这个存款理财品种，随后他在一年的存款期间等间隔的结算n 次，每次结算后将本息全部存入银行，问在不计利息税的情况下，一年后该储户的本息和是多少？

解：设,0,1,2,n a n = 表示该储户在一年的存款期间里等间隔的结算n 次，一年后该储户的本息和。为得出该计算公式，先做如下分析：

若该储户每季度结算一次，则每季度利率为：0.054

，在一年要结算4次：

第一季度后储户本息共计：0.05100000(1)4+ ; 第二季度后储户本息共计：2

0.05100000(1)4+ ； 第三季度后储户本息共计：30.05100000(1)4

+

；

由此得出 一年后该储户本息共计：4

40.05100000(1)4a =+。

若该储户每月结算一次，则月利率为0.0512

，在一年要结算12次。按上面的方法易得一

年后储户本息共计：

12

120.05100000(1)12

a =+

观察规律可知，若该储户一年里等间隔地结算n 次，则一年后本息共计数学模型：

0.05100000(1)n

n a n =+

计算出几个n a 值会发现的确结算次数越多，一年后得到的本息和越多，如有

1412105000,105095,105116a a a ===

那么这种增加是否是不断增大的呢？回答是否定的，实际上，当结算次数不断增加，我们在上式中n->∞,有

0.05

0.05100000(1)100000n n Lim e

n

→∞

+

=

结果说明，这种存款理财产品虽然会随着结算次数的增加使储户一年后储户的本息和比一年的定期存款多一点。由于

0.05

100000100000(15%)1000000.127%e -⨯+≈⨯

故有一年期间多次结算产生的比一年定期存款多的金额不会超过储户存款金额的0.13% 。

2.贷款问题

小王夫妇打算贷款买一辆11万元的轿车用于家庭活动。他们选择了首付车价额30%，余额贷款的方式购买。假设他们打算用每月偿付固定的钱款分12个月还清银行贷款，他们每月要还多少钱才行？

解：因为要12个月还清贷款，故要选择银行的一年贷款。假设当年的年贷款利率为6.57%，故分配到每月上的利率就是0.0657÷12。此外，他们选择了首付车价额30%，则还欠车款的金额为：

11000011000030%77000-⨯=（元）

为此，他们向银行借了为期一年的贷款77000元。为确定每月的还款金额，引入数学符号如下:

设,0,1,2,n b n = 表示贷款第n 个月该夫妇所欠银行的钱数，r 是贷款的月利率，x 是每月还款金额，由题意有

()11n n n n b b r b x r b x +=+⋅-=+-

整理有数学模型

()()

()()()

()()

1

2

001111111

1,0,1,n

n n n n

n b r b r r r x

r r b x

n r

--=+-

++++++++-=+-=

因为0120.0657/120.5475%,77000,0r b b ====，有

()()

120

12

16647.3111

r r b x r +=

=+-元

故小王夫妇每月要还6647.31元。

假设某人贷款额为B 元，贷款机构的贷款月利率为r ，其每月偿付固定的钱款为x 元，同样设,0,1,2,n b n = 表示贷款第n 个月该贷款人所欠银行的钱数。则有对一般的贷款问题数学模型为：

()()

11

1,0,1,n

n

n r b r B x

n r

+-=+-=

3.养老金问题

养老金是为退休目的而规划的一种存取款品种。通常人们可以在年轻时按月存入一定数额的钱款，然后在自己退休后按月从先前的存款账户中支取固定的钱款用于生活。养老金对存入的存款付给活期存款利息并允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。

假设某人从现在开始，每月的第一天存500元到养老金账户，一直存20年。在银行活期率为1%的前提下，他20年后的养老金账户有多少存款？如果从21年后的每个月末支取500元，他能支取多长时间？

解：因为20年有240个月，设,1,2,,240n a n = 表示第n 个月此人养老金账户的存款金额，r 表示活期存款的月利率，因为活期存款的利率也是年利率，故有：

()010.01/121/1200,0

1500n n r a a r a +====++

整理有数学模型

()()

()

()(

)

1

2

015001111n

n n n a r a r r r --=+++++++++