2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质优化
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 新人教A版选修1-1
解析答案
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 设所求双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴136－2k2－4＋4 k＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4.
∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，
渐近线方程为 y＝± 33x，离心率 e＝2.
解析答案
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为153； 解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
当λ<0时，焦点在y轴上.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率、渐近线方程. 解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程x92－y42＝1，即3x22－2y22＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
答案 不一样.椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.
(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
答案 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；
反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线， 如具有相同的渐近线 y＝±bax 的双曲线可设为ax22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)， 当λ>0时，焦点在x轴上，
2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程(二) 新人教B版选修2-1
因为焦点在x轴上，故m>1，故选A.
12345
2.设B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为
答案 解析
√A.2x52 ＋y92＝1(y≠0)
B.2y52 ＋x92＝1(y≠0)
C.1x62 ＋1y62 ＝1(y≠0)
D.1y62 ＋x92＝1(y≠0)
12345
答案 解析
把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a， 即4 3 .
12345
5.△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程.
解答
以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)， C(3,0)，B(x，y)， 则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12， ∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆， 且a′＝6，c′＝3，b′2＝27. 故所求的轨迹方程为3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0).
答案
标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或 y轴上.
xy 标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于 a 与 b 的平 方和，并且分母为不相等的正值.
思考2
依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
答案
把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦 点就在相应的轴上.
思考3
观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程 较简单？并写出求解过程.
3B.两已点知.椭若圆ABE的：中ax22＋点b坐y22＝标1为(a(>1b，>0－)的1)右，焦则点椭为圆FE(的3,方0)，程过为点_1x_82F_＋的__y9直_2＝_线_1_交. E于A，
答案 解析
12345
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修2_1
用相关点法求轨迹方程的步骤: ①先设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0 上的动点Q(x',y'); ������' = ������1 (������,������), ②找出 P,Q 之间坐标的关系,并表示为 ������' = ������2 (������,������);
+ +
������2 ������ ������2 ������
2
= 1(������ > ������ > 0). = 1(������ > ������ > 0).
2
(3)a,b,c 之间的关系是 a2=b2+c2.
归纳总结(1)求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先确定焦 点所在的坐标轴,再求a2,b2的值. (2)在椭圆的标准方程中,都有a>b>0,a>c>0. (3)椭圆焦点的位置可根据其标准方程中x2,y2项的分母的大小进 行判断,即若x2项的分母大,则焦点在x轴上;若y2项的分母大,则焦点 在y轴上.可简单记为:“谁大在谁上”.
如果焦点在 x ������ > 0); 如果焦点在 y
������2 轴上,那么设所求的椭圆方程为 2 ������ ������2 轴上,那么设所求的椭圆方程为 2 ������
+ +
������2 ������
2
= 1(������ > = 1(������ >
������2 ������
2
������ > 0). (2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴 上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求 解.
第二章 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0， x2 y2 ± 5)，则可设所求椭圆方程为 ＋ m m＋5 ＝1(m＞0)． 又椭圆经过点(2，－3)， 4 9 则有 ＋ ＝1. m m＋5 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)． x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 10 15
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
考点三
利用椭圆定义求方程
先根据几何知识找出动点所满足的几何 关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后再确 定出椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法 称为定义法．
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
【解析】 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋ |PB|＝2a(a＞0，且a为常数)， 所以命题甲是命题乙的必要条件． 若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)，不能推出P 点的轨迹是椭圆． 这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点的轨迹是椭圆； 而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB； 当2a＜|AB|时，P点无轨迹． 所以命题甲不是命题乙的充分条件． 综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件． 【答案】 B
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第 二 章 2．椭圆的标准方程 圆 锥 曲 线 与 方 程 焦点在x轴上 标准方程
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程课件3 新人教B版选修2-1
建系
y
F1
o
设点 列出方程 化简方程．
P(x, y) 由椭圆定义有：椭圆上的点满
F2
x 足|PF1|+|PF2|为定值，设为2a，
| PF1|+|PF2| =2a，即
(x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
化 简方程
① 回忆、归纳求曲线方程的一般步骤：
建系 设点 列出方程 化简方程．
a2c20
令b2a2c2 (b0)
得
x2 a2
y2 b2
1
（a＞b＞0）
y
F1
o
一定焦点位置；二设椭圆方程；
三求a、b的值.
P(x, y)
x
F2
y
F 2 P(x, y)
x o
F 1(c,0),F 2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）
F
1
F 1(0,c),F 2(0,c)
y
F1
o
(x c)2y2(x c)2y22 a
P(x, y) 移项平方，化简得 cx a2a(xc)2y2
x 移项得：a (xc)2y2a2cx
F 2 两边平方，化简得：(a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
即
x2
y2
a2 a2 c2 1
y2 a2
x2 b2
1 （a＞b＞0）
思考：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
例题分析
例1. 已知椭圆的焦点为F1(0，－6)， F2(0，6)，且椭圆过点P(2，5)，求 椭圆的标准方程．
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程课件1 新人教B版选修2-1
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程 焦点坐标
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
a、b、c 的关系
a2=b2+c2
焦点位置的判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上
（五）尝试应用
根据下列椭圆方程，写出a，b，c的值，
并指出焦点的坐标：
（1） x2 y2 1；
16 9
（1） a
；
（2）
y2 x2 1 25 16
（2） a
；
b
；
b
；
c
；
c
；
焦点坐标为
. 焦点坐标为
.
（六）典例分析
例1、已知椭圆的两个焦点的坐标分别
是F1(-
2、0),F2（2，0）,并且经过点P
5 2
2.2.1 椭圆及其标准方程（1）
（一）认识椭圆
（二）动手试验
(1)取一条一定长的细绳. (2)把它的两端用图钉固定在画板上 (3) 用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸 板上慢慢移动，画出什么图形？
（三）概念透析
椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆.
，-
3 2
，
求椭圆的标准方程。
（六）典例分析
例1、已知椭圆的两个焦点的坐标分别
是F1(-
2、0),F2（2，0）,并且经过点P
5 2
，-
3 2
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程1课件新人教A版
反思与感悟
用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是 否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
跟踪训练 3 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的 距离分别为435和235，过点 P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦 点，求此椭圆的方程. 解答
(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)； 解答
设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 则92A5A＋＋4BB＝ ＝11， ， 解得AB＝＝9193161，. 故所求椭圆的标准方程为9x12 ＋9y12 ＝1.
3 16
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解答
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例4 (1)已知P是椭圆 y52＋x42＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且 ∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积. 解答
(2)已知椭圆x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上.若|PF1|＝4，求 ∠F1PF2 的大小. 解答
由x92＋y22＝1，知 a＝3，b＝ 2，∴c＝ 7， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝－12， ∴∠F1PF2＝120°.
条件
结论
2a>|F1F2| 2a＝ |F1F2|
2a<|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
动点的轨迹是线段F1F2 动点不存在，因此轨迹不
存在
知识点二 椭圆的标准方程
思考1
在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？ 答案 不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.
2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件6苏教版
．
c 6 ，∴ b2 102 62 64 ∴ a 10 ，
x y 1 所以椭圆的标准方程为 或 100 64
2 2
，
y 2 x2 ． 1 100 64
敬请各位老师 批评指正！
备用练习 1.椭圆过 (3,0) 点，离心率为
6 3
,求椭圆的标准方程.
2.如图, B2 F2O 30 , OB2 2, y
. (0, 4) ( 5, 0) .顶点坐标是： .
3 离心率等于： 5
8
.
80
.
解题的关键：2 1、将椭圆方程转化为标 2 x y 准方程 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置
根据所学知识画椭圆简图
x y 1 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
1.基本量：a、b、c、e 2.基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） 3.基本线：对称轴 y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
C级问题
2.已知椭圆的方程为x2+a2y2=a(a>0且a 1) 当a>1时： 当0<a<1时
它的长轴长是：
短轴长是： 焦距是：
；
； ；
。 。
。
。 。 。
离心率等于：
a 6 b 1 则c a b 5
2 2
练习2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： 2) 0) Q(0, （1）经过点P(3,、 ； 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 ． 5 b又∵长轴在 2 解:（1）由题意， a 3 , x
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用课件新人教A版选修1_120170915293
(2)由Δ=0,得m=± 3 2 ,也就是当m=±3 2 时,方程③有 两个相等的实数根,可知原方程组有两个相同的实数解,
这时直线与椭圆有且只有一个公共点,即直线与椭圆相
切.
(3)由Δ<0,得m<- 3 2 或m> 3 2 , 也就是当m<- 3 2 或m> 3 2 时,方程③没有实数根,
可知方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点,
2
5 2 5 5 1 2 [( ) 4 0] . 3 3
2x y 2 0, 方法三:由方程组 消去x得 x 2 y2 5 4 1,
3y2+2y-8=0, 因为Δ=22+4×3×8=100>0,
则y1+y2=- 2 ,y1y2=- 8 .
【方法总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标,转化为两点间距离. (2)用公式来求.
设直线斜率为k,直线与椭圆两交点为
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 k 2· |x1-x2| = 1 1 · |y1-y2|. 2
k
提醒:在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为 一元二次方程,常用根与系数的关系,此时易忽视对所
时,即m<- 5 或m> 5 ,方程③无实根,直线与椭圆相离.
【延伸探究】若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,
x 2 y2 椭圆方程改为 ＋ =1,试讨论直线与椭圆的位置关系. 4 2
【解析】联立方程组得:
y 2x m, ① 2 x y2 1, ② 2 4
将①代入②,并整理得
A,B两点,求弦AB的长.
【解题指南】可先求出A,B两点坐标,再转化为两点间 的距离问题;也可以利用弦长公式求解.
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件15 新人教B版选修2-1
k 8 9
2
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c 2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
（ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,(0, a)
(±c,0)
(0, ±c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
68
[例]已知椭圆方程为 x2 y2 1
25 16
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
y2
2
b
=1
13:50:21
54
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:50:21
55
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
13:50:21
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
56
从图形上看： 椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。
y2
2
b
=1
13:50:21
37
2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件9苏教版
(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意得a92＋b42＝1，
a2＝b2＋c2，
解得 b2＝245，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为2y52 ＋2x52＝1. 4
综上，所求椭圆的标准方程为4x02＋1y02 ＝1 或2y52 ＋2x52＝1. 4
[提出问题]
图中椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
问题1：椭圆具有对称性吗？
有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以 x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？ 可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可 得B1(0，－b)，B2(0，b)． 问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？ x∈[－a，a]，y∈[－b，b]． 问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变 化？
顶点坐[解标] 和椭离圆心方率程．变形为x92＋y42＝1， ∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5， 焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)， 离心率 e＝ac＝ 35.
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例 3 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率 e
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
∴b2＝36，故方程为1y020＋3x62 ＝1.
答案：C
探究一 圆定义及应用 [典例 1] 如图，已知 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的左、右两个焦点， (1)求 F1，F2 的坐标； (2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦，求△ABF2 的周长．
[解析] (1)由椭圆方程2x52＋y92＝1 可知，a2＝25，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝25－9＝16， ∴c＝4， ∴F1(－4,0)，F2(4,0)． (2)由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10， ∴△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a ＝4a＝20.
利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭 圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
课时作业
[自主梳理]
一、椭圆的定义
定义
平面内与两个定点 F1、F2 的 距离的和等于常数
的轨迹叫作椭圆
焦点 两个定点 叫作椭圆的焦点
焦距 两焦点间的 距离 叫作椭圆的焦距 集合语言 P＝{M|| MF1|＋|MF2|＝2a ,2a>|F1F2|}
(大于|F1F2|)的点
二、椭圆的标准方程 焦点位置 标准方程
解析：由方程知 a2＝25，b2＝16，
∴c2＝9，故焦点坐标为(0，±3)．
答案：D
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质二课件新人教B版选修2_1
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2 )且斜率为k的直线l与椭圆有 x2 2 ＋ y ＝ 1 两个不同的交点 P 和 Q . 求 k 的取值范围 . 2
解答
x 由已知条件知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，代入椭圆方程得 2 ＋(kx＋ 2)2＝1. 1 2 2 整理得2＋k x ＋2 2kx＋1＝0. 1 2 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ＝8k －42＋k ＝4k2－2>0，
思考2
类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆 x2 y2 2＋ 2＝1 (a>b>0)的位置关系的判定吗？ a b
答案
2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆外时，a2＋b2>1； 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆上时，a2＋b2＝1； 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆内时，a2＋b2<1.
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交
可利用Δ>0.
x y 例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆 ＋ ＝1.无论k取何值，直线l恒过 16 9 定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.
2 2
题型探究
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断
命题角度1 点与椭圆位置关系的判断 例1
梳理
x2 y2 设P(x0，y0)，椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示： a b
位置关系
P在椭圆外 P在椭圆上
满足条件
a
2 2 x 0 y0 2＋ 2>1
b
2 x2 y 0 0 a2＋b2＝1 2 x2 y 0 0 2＋ 2<1 a b
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程教学案 新人教B
2．1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝＋2＋02＋－2＋02＝10,2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1. 要点二 椭圆定义的应用例2如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 在椭圆x25＋y24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理．跟踪演练2 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.要点三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不包括与x 轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10； 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又因为点A 不在x 轴上，所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A 不在x 轴上，因此y ≠0.跟踪演练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0⇒0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，从而简化运算．。
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修1_1201708303100
学 习 目 标 思 1 .了解 椭圆的实际背景,经历从 具体情境中抽象出椭圆的过程, 理解 椭圆、焦点、焦距的定义. 理解椭圆标准方程的推导与化 简. 2 .掌握 椭圆的标准方程及几何 图形.理解 参数 a ,b ,c 的几何意 义,会求一些简单的椭圆的标准 方程.学好数形结合数学思想的 运用. 3 .通过椭圆定义的归纳和标准 方程的推导,培养发现规律、认 识规律并利用规律解决实际问 题的能力,提高 探索数学的兴 趣,激发学习热情.
【做一做1】 (1)命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是 焦点,则命题乙是命题甲的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件 (2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
维
脉
络
1.椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F圆的焦点,两个焦点 F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
名师点拨点M满足集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,a>0,c>0,且a,c都为常数. (1)当a>c,即2a>2c时,动点轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆; (2)当a=c,即2a=2c时,动点轨迹为线段F1F2; (3)当a<c,即2a<2c,动点轨迹不存在. 对于后两种情况应该注意,它们可以帮助我们理解椭圆的定义, 并在具体问题中做出适当的判断.
������2 (3)方程������ ������2 + ������ =1(m>0, n>0)必定表示椭圆. ( ) ������2 2 (4)已知椭圆的标准方程为16 +x =1, F1 , F2 分别为它的两个焦点,
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1.2 椭圆的简单性质实用课件 北
椭圆的简单性质
[例 1] 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用 m 表示出 a，b， c，再由 e＝ 23，求出 m 的值，然后再求 2a,2b，焦点坐标，顶 点坐标．
[精解详析]
标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，
(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率
e＝
5 3.
椭圆性质的简单应用 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率 e＝23，短轴长为 8 5； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距 为 6. [思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为ax22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)． (2)画出图形，结合图形明确已知条件．
[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立 a，c 的关系式，此 题可利用 kPF2＝kAB 以及 a2＝c2＋b2 来建立 a，c 的关系．
[精解详析] 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． 则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2， ∴P－c，ba2.又 PF2∥AB，∴kPF2＝kAB， ∴－b22ac＝－ab，即 b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
问题 1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200， 371＋5 100
⇒2a＝18 042 (km)．
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2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质[A 组 基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)解析：方程化为x 2＋y 26＝1，∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A.答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率 e ＝2c2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －－k ＝4，故选B答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1 解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D. 答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12， ∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________． 解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0) 8．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c3＋4c3＝2a ，∴e ＝c a ＝33. 答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1. (1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝ca ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值． 解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组 能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2m ＋R n ＋R 千米 B.m ＋R n ＋R 千米C ．mn 千米D ．2mn 千米解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n2＋R ，c ＝m －n 2， 故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋m ＋n R ＋mn ＝m ＋R n ＋R . 即2b ＝2m ＋R n ＋R .答案：A 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.23B.33C.53D.73 解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)， ∴e ＝53.故选C. 答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________． 解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35， ∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a， 故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ， 整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b a ， 故CD 方程为y ＝b a(x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0. ∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ， 将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22. (2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c . 与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为 S ＝c |y C －y D |＝22c x C ＋x D 2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2 ＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2. 故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。