排列组合二项式递推数列求通项常见
排列组合、二项式定理(附答案)
排列组合、二项式定理(附答案)
第六章：排列组合与二项式定理
一、考纲要求：
1.掌握加法原理和乘法原理，能够用这两个原理解决简单的问题。
2.理解排列和组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式以及组合数的性质，并能够用它们解决简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能够用它们计算和论证简单的问题。
二、知识结构：
加法原理和乘法原理
排列和组合
排列数和组合数的公式和应用
二项式定理和二项式系数的性质和应用
三、知识点、能力点提示：
1.加法原理和乘法原理是排列组合的基础，掌握这两个原
理为处理排列和组合中的问题提供了理论根据。
2.排列和排列数公式是中学代数中的独特内容，研究对象
和研究方法与前面掌握的知识不同，解题方法比较灵活。历届高考主要考查排列的应用题，通常是选择题或填空题。
3.组合和组合数公式是历届高考中常出现的题型，主要考
查排列组合的应用题，通常是选择题或填空题。组合数有两个性质：对称性和递推关系。
4.二项式定理和二项式系数的性质是高中数学中的重要内容，主要考查计算和论证方面的问题，通常是选择题或证明题。
3
a
4
的值为(。)
A.4
B.6
C.8
D.10
解：根据二项式定理，展开(2x+3)的四次方可得：2x+3)4= C4
1
2x)4+ C4
2
2x)3(3)+ C4
3
2x)2(3)2+ C4
4
2x)(3)3+ C4
5
3)4
16x4+96x3+216x2+216x+81
将(2x+3)表示成a+a
1
x+a
2
x+a
3
x+a
4
x的形式，可得：a+a
1
x+a
2
x+a
3
x+a
4
x= C4
a4+ C4
1
a3x+ C4
递推法解排列组合问题
递推法解排列、组合及概率问题
排列组合在高中数学旧教材中是相对独立的内容，而在高中数学新教材中排列组合是概率及统计的基础，因此，排列组合内容在高中数学新教材中的位置也变得相对重要起来了。而概率是新教材中新增加的内容，也是初等概率论中最基本的内容。在历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。本文试图用递推法来解决几类常见的排列组合及概率问题。
1 走楼梯问题
例1：欲登上第10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）（A）34种（B）55 种（C）89 种（D）144 种
解法1：分类法：
第一类：没有一步两级，则只有一种走法；
第二类：恰有一步是一步两级，则走完10 级要走9 步，9 步中选一步是一步两级的，有C91 9种可能走法；
第三类：恰有两步是一步两级，则走完10 级要走8 步，8 步中选两步是一步两级的，有C82 28种可能走法；
依此类推，共有 1 C91 C82 C73 C64 C55 =89，故选（C）。
解法2：递推法：
设走n级有a n 种走法，这些走法可按第一步来分类，
第一类：第一步是一步一级，则余下的n 1级有a n 1种走法；
第二类：第一步是一步两级，则余下的n 2级有a n 2种走法，
所以a n a n 1 a n 2 ，又易得a1 1,a2 2 ，由递推可得a10 89 ，故选（C）。
显然，递推法的关键是按照某种标准找出递推关系式，并求出n 取第一个值（或前几个值）时的各项，然后代入递推关系式，求出题中要求的值。当然，我们也可以由找出的递推关系，求出通项a n ，但对于选择填空题，我们不必大动干戈的去求通项，因为这样太浪费时间与精力。
数列通项的递推关系在排列组合中的应用
解： 不妨设 由甲发球经 ｎ 次传球后球回到甲手中的传球方法
数 为 ， 则ａ 。 ＝ ０ ， ａ ： ＝ ２ ， 由 树 状 图可 以 比较清 楚 地 看 出 ， 由 甲发
数 ９ ） ＝ ４ ＿ ４ ，
’ ． 田
乙
丙
传球 总方 法数
ｆ 传 球 ｎ 次 后 到 对 应 人 手 中
错位 排 问题 例１ ： 在编 号为 １ ， ２ ， ３ ， ４块地 上分别 种编 号为 １ ， ２ ， ３ ， ４的 ４个 被著名数学家欧拉称为“ 组合数论的一个妙题” 的“ 装错信封 品种 的小 麦 ， 但１ 号 地不 种 １ 号品种 小麦 ， ２号 地 不种 ２号 品种 小
、
麦， 问共 有多 少种 不 同种小 麦方 法 ？ 分析 ： 分 二类 ， 一类 是 ４号地 不 种 ４号 小麦 ， 即相 当 ４个 元 素 个人 写 了 ｎ 封不 同 的信 及相 应 的 ｎ个 不 同的信 封 ， 他 把 这 ｎ封信都装错了信封 ， 问都装错信封的装法有多少种？ 的全错 位排 法数 ａ 。 ， 另一 类是 ４号地 种 ４号 品种小 麦 ， 即相 当于 ３
语数外学 习
Ｎｏ ． ０ ３ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗ越 Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ３期
数 列 通 项 的递 推 关 系在 排 列 组 合 中 的应 用
考研数学难题汇编
考研数学难题汇编
很抱歉，目前我无法提供考研数学难题的汇编。但是，我可以为您提供一些常见的考研数学难题类型，希望对您有帮助：
1. 组合与排列题：包括排列组合、二项式定理等概念的应用。
2. 数列与数列极限题：包括等差数列、等比数列、递推数列等的性质和求解。
3. 函数极限题：包括函数极限的计算和性质的应用，如夹逼定理、无穷小代换等。
4. 导数与微分题：包括函数导数的计算和应用，如曲线的切线与法线、函数的单调性等。
5. 不定积分题：包括不定积分的计算和性质的应用，如分部积分、换元积分法等。
6. 定积分题：包括定积分的计算和应用，如面积、弧长、旋转体体积求解等。
7. 三角函数与三角恒等式题：包括三角函数的性质和恒等式的证明和应用。
8. 矩阵与行列式题：包括矩阵的运算和行列式的计算和性质的应用。
9. 空间解析几何题：包括三维空间中的点、直线、平面的性质和问题的求解。
希望以上内容对您有所帮助！如有其他问题，请随时提问。
等差数列与等比数列,排列组合与二项式定理
等差数列与等比数列，排列组合与二项式定理
一. 教学内容：
等差数列与等比数列，排列组合与二项式定理
二. 重点、难点：
1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式，并能写出数列的前n 项。
2. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（等比）数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
3. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
4. 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并会简单应用。
5. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
三. 教学过程： （一）数列的概念
1. 数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列。 {}记作：，，…，，…或a a a a n n 12
{}2. 通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式来a n a n n n 表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。 即：a f n n =()
3. 递推公式：给出数列最初的几项或一项，并给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式，该公式称为数列的递推公式。
例如：a a a n n n 111
22==+≥⎧⎨
⎩-() 4. 数列的前n 项和： S a a a n n =+++12…
a S a S a n S S n n n n n n 与有关系：===-≥⎧⎨
⎩-11112()
()
（二）等差数列 1. 定义：
{}a a d d a d n n n +-=1()为常数，则为等差数列，为公差。
2. 通项公式：
特殊二次递推数列通项公式奇葩解法的探究之旅
特殊二次递推数列通项公式奇葩解法的探究之旅
湖北省阳新县高级中学邹生书
俗话说：一行服一行，糯米服红糖。非常时期，用非常之举，行非常之力，成非常之功。兵来将挡，水不土掩。特殊的问题，用特殊的方法来解决。
本文从一个二次递推数列通项公式的两个奇葩解法入手，通过探究得到了一类特殊的二次递推数列通项公式及其特殊的求解方法。特殊的递推关系和奇葩的求解方法，给人展示了数学的奇异之美式和巧夺天工之美。最后再从一般到特殊，通过线性变换，可以从基本问题衍生出若干个相对复杂的问题，然而九九九归一，万万变不离其宗。
1.一个二次递推数列通项公式的两个奇葩解法
题目1:已知数列{a n}满足：a1=2,a n+1=2a n2-1,求数列{a n}的通项公式。
解法1：用双曲余弦函数的性质求解湖南郴州袁旭华提供
易证双曲余弦函数coshx=(e x+e-x)/2有如下性质：
(1)cosh2x=2cosh2x;
(2) coshx在(0,+∞)内单调递增。
下面用双曲余弦函数的上述性质求这个数列的通项公式。
解法2：构造倒数和数列求解浙江省平阳中学洪一平提供
解法反思：解法1通过式子的结构，联想到二倍角的余弦公式，又由余弦函数的有界性与已知条件所形成的矛盾冲突，调整为构造双曲余弦函数来解决问题。解法2，一开始设a n=(b n+1/b n)/2显得非常突然和奇葩，简直是神来之笔。这里有两点我们需要弄懂和慢慢体会：一是倒数和b n+1/b n的设法，这可从解法中体会它的巧妙。另一难点是前面的系数二分一是怎么来的？能否解一题，得一法，到会一类？那么，这个题目所属的基本问题是什么？上述两个解法都非常奇特，哪个解法具有一般性？笔者通过研究发现递推式为b n+1=b n2-2的数列通项公式问题是最基本是特殊的问题，由它可以衍生出一系列问题。解决了这个基本问题，再通过化归转化的练习，就可以达到“做
数列的概念与性质
数列的概念与性质
数列，是指按照一定规律排列的一组数。数列的概念与性质是数学中非常重要的内容之一，对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要意义。本文将重点介绍数列的概念以及数列的常见性质。
一、数列的概念
数列是指按照一定的规律排列的一组数，数列中的每一个数称为该数列的项。通常用字母 a，b，c，... 表示数列的项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的规律可以通过给出递推公式或者直接给出数列的项来表示。递推公式是指通过前一项或前几项计算得到下一项的公式，例如斐波那契数列的规律可以表示为 aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂。直接给出数列的项可以是通过某种规律或者特征得到的，例如等差数列的项可以通过一个常数 d 与前一项的和得到。
二、数列的性质
1. 通项公式：数列中的每一项都可以通过一个公式来表示，该公式称为数列的通项公式。通项公式可以通过数列的规律或者特性来推导得到，能够用通项公式表示的数列称为解析数列。
2. 公差和公比：对于等差数列和等比数列，分别有公差和公比的概念。等差数列是指数列的相邻两项之差都相等，该公差称为等差数列
的公差。等比数列是指数列的相邻两项之比都相等，该比值称为等比
数列的公比。
3. 首项和末项：数列的第一项称为首项，最后一项称为末项。根据
数列的规律，我们可以求得数列的首项和末项。
4. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。有界的数列是指
数列的项存在上界和下界，即数列的项的取值范围是有限的；无界的
数列是指数列的项没有上界或下界，即数列的项的取值范围是无限的。
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字
数列是指按照一定规律排列的数字集合。在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。
一、数列的概念
数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
二、数列的简单表示法
在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。
以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。
另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
几何图形的染色问题
排列组合在几何图形的染色问题中也 有广泛应用，如地图的染色、平面分 割等问题。
感谢您的观看
THANKS
概率分布
利用排列组合知识，可以推导出各种概率分布，如二项分布、泊松 分布等。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是排列组合中的重要原理，也是解决概率问题 的关键。
以排列组合知识解决数列问题
01
02
03
数列的通项公式
通过排列组合知识，可以 推导出数列的通项公式， 如等差数列、等比数列等。
数列的求和
算。
捆绑法
总结词
捆绑法是将多个元素视为一个整体，再 进行排列组合。
VS
详细描述
当多个元素需要同时考虑时，可以将它们 捆绑在一起作为一个整体。这样可以简化 问题，使得原本复杂的排列组合变得简单 明了。捆绑法特别适用于处理位置和顺序 都需考虑的问题。
插空法
总结词
插空法是通过在已有的排列中插入新元素来 得到新的排列。
数学排列组合常用方法与技 巧精讲
目录
• 排列组合基础概念 • 排列组合常见问题类型 • 排列组合常用解题方法 • 排列组合常见解题技巧 • 排列组合综合应用题解析
01
排列组合基础概念
排列的定义与计算公式
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （m≤n），按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同元素中取出m 个元素的排列。
高二数学知识点归纳公式
高二数学知识点归纳公式
定义：数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学，它是一种逻辑严谨的学科，也是一种探索真理的方法。
在高二的数学学习中，我们需要掌握各种重要的知识点和公式。以下是我对高二数学知识点的归纳和总结：
1. 代数
1.1 二次函数：一般式、顶点式、描点式、根与系数关系等。
1.2 指数与对数：指数函数、对数函数、指数与对数变换、常见指数与对数公式等。
1.3 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数基本性质等。
1.4 二项式与多项式：二项式定理、多项式除法、多项式因式分解等。
2. 几何
2.1 点、线、面：直线、射线、线段、平面、角、多边形等。
2.2 相似三角形：相似三角形的判定、相似三角形的性质、相
似三角形的应用等。
2.3 圆与圆的性质：切线定理、切线与半径的关系、圆与直线
的位置关系等。
2.4 三角函数在平面几何的应用：正弦定理、余弦定理、解三
角形等。
3. 数列与数列极限
3.1 等差数列：通项公式、求和公式、性质等。
3.2 等比数列：通项公式、求和公式、性质等。
3.3 递推数列：递推公式、递推数列的性质、递推数列的求和等。
4. 解方程与不等式
4.1 一元二次方程：求解一元二次方程、韦达定理、判别式等。
4.2 一元三次方程和一元四次方程：求解一元三次方程和一元
四次方程的方法等。
4.3 一元二次不等式：解一元二次不等式、一元二次不等式的
性质等。
5. 概率与统计
5.1 随机事件与概率：基本概念、计算方法、概率的性质等。
5.2 排列与组合：排列、组合的基本概念和性质、排列组合的应用等。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法
求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，
我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需
要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。在下面，我将介绍十种常用
的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法
递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的
关系，可以找到递推公式。常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种
形式。
方法二：列元法
列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平
方项和立方项等。
方法三：指数递推法
指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果
找到通项公式的方法。常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶
指数递增等。
方法四：利用级数
对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。通过构
造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数
生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可
以得到数列的通项公式。常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成
函数。
方法六：利用逼近方法
逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函
数的表达式来求解数列的通项公式。常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和
拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算
对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。通
过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数
利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性
初中二项式与数列的解法
递归分析数列
递归求和公式
1. 是什么：是一种计算数列综合的方法。它基本上是通过将一个数列分成两个或多个子数列，然后对这些子数列应用相同的来计算数列的总和。
谢谢
二项式定理的内容
二项式定理的内容
1. 推导二项式定理的过程：可以介绍二项式定理的历史渊源，以及通过数学归纳法、组合等方法推导出二项式定理的过程。
2. 二项式定理的应用：可以着重介绍二项式定理在数列综合题中的应用，如利用二项式定理求解二次项系数、求和等问题。同时也可以扩展介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域中的应用。
2. 杨辉三角的应用：杨辉三角不仅是一种简单的数学模型，还可以被应用到数学的许多领域中。例如，杨辉三角可以被用来证明二项式定理，求解组合问题，计算多项式系数等等。同时，杨辉三角还可以被用来计算斐波那契数列、爬楼梯问题等等。
3. 杨辉三角的拓展：除了最基本的杨辉三角之外，还存在很多形式各异的杨辉三角。例如，帕斯卡三角、中心係数三角、拉马努金三角等等。这些扩展形式可以进一步拓展杨辉三角的应用场景，例如在组合数学中的应用。
5. 使用组合数求和公式解决一些有趣、奇特的问题，如怎样证明所有正整数的立方和等于所有前缀和的平方之和。
数学竞赛-排列组合、二项式定理
n! p1! p2 ! p s !
6．二项式定理 （1）二项式定理 (a b)
n
C
k 0
n
k n
a nk b k （ n N * ） ．
（2）二项开展式共有 n 1 项． （3） Tr 1 C n a
r nr
b r （ 0 r n ）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第 r 1
1 2 n 19．求证： Cn Cn Cn n2 n1 2 ．
n1 n n n 20．设 n 2 ， n N ， a b 0 ， a b ．求证： 2 (a b ) (a b) ．
6
N 1 N 的形式，为 N 自然数，则 N ＝
．
9． 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素， 并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______． 10．设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻 两顶点之一．若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 11．如果： （1）a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}； （2）ab,bc,cd,da；(3)a 是 a,b,c,d 中的最 小值，那么，可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________． 12．在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻 的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有 种载种方案． 13．10 人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔 4 人，有 种坐法． 14． 1991
通项公式和递推关系
通项公式和递推关系
通项公式是指数列中的每一项与项号之间的关系式。通项公式可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用数学方法推导得出。
递推关系是数列中相邻项之间的关系式。通过已知的前几项，可以通过递推关系计算出后面的项数。递推关系可以是线性关系、二次关系、几何关系等。
举例来说：
1.等差数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
递推关系：an = an-1 + d
2.等比数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
递推关系：an = an-1 * r
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等，它们都有各自的通项公式和递推关系。
拓展：
还有一种特殊的数列称为递归数列，它的每一项都是前面若干项
的函数。递归数列的通项公式无法通过递推关系直接得出，而是需要
找到项之间的递推规律，通过前面的项算出后面的项。递归数列常见
的例子是费氏数列，其通项公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = F2 = 1。
有时候，数列的规律不仅仅通过递推关系来确定，还需要借助于
其他数学工具，如组合数学中的排列组合、二项式定理等。在某些情
况下，数列的通项公式可能无法通过已知的方法求得，这时候需要借
助于数值计算、数学推论或者近似方法来获取数列的一些特性和性质。
排列组合与数列递推关系
例析排列、组合、概率问题中的递推数列
一、a n =p ·a n －1+q 型
【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出
现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是1
3
，出现绿灯
的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是2
5
，记开关
第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
(1)求：P 2；(2)求证：P n <1
2(n ≥2)；(3)求lim n n P →∞
。
解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红
灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=7
15
。
(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有
P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+3
5
，
再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－9
19
∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－4
15)的等比数列
P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415
)n －
1
∴当n ≥2时，P n <919+138=1
2
(3)由(2)得lim n n P →∞
=9
19。
【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析
1.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能
作9用)的个数为()
A．8B．6C．14D．48
【答案】D
【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.
第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上
的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的
三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.
方法二:第一步,排百位有6种选择,
第二步,排十位有4种选择,
第三步,排个位有2种选择.
根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.
2.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记
.若，且，则的值可以为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，因此除的余数为，即，因此的值可以为，故选A.
【考点】1.二项式定理；2.数的整除性
3.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．【答案】150
【解析】将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分
配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.
(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.
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排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集
排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一.特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先
安排的方法。
例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有
A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故站法共有：A4-A5 = 48o（种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，
有A种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A：种，故站法共有：A A4 = 480 （种）
二.相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一
个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
6 3
解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再进行排列，有A3种，所以排法共有：A6 A3 ^4320 （种）。
三•相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 种，所以排法共有：此A =1440 （种）
四.定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有A^种，
m（m空n）个元素的全排列有A；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以
利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有虫种排列方法。
A m
排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集
例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有A5 A S种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位
数有:
=300 （个）
五•分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共
六•复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条
件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）
A. 150 种
B.147种
C. 144种
D.141 种
解：从10个点中任取4个点有C10种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C；种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C0 -4C： -6-3 = 141 （种）。
七.多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。
例7.已知直线ax by • c = 0中的a，b, c是取自集合｛- 3,—2, - 1, 0, 1, 2, 3｝中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
a
解：设倾斜角为厂由二为锐角，得tan ' - - 0 ,即卩a, b异号。
b
（1 ）若c= 0, a, b各有3种取法，排除2个重复（3x—3y = 0, 2x—2y = 0, x — y = 0）,故有：
3 X 3 —2 = 7 （条）。
（2）若C = 0 , a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3X 3X 4= 36 （条）。
从而符合要求的直线共有：7+ 36 = 43 （条）
八.排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
（种），第二步将这三组教师分派到 3种中学任教有 A 33种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有:
九. 隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9.有10个三好学生名额，分配到 6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有 9个空，将5个隔板插入9个空,
每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：
C ； = 126 （种）
例说二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率 理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，
题型多为选择题，填空
题，偶尔也会有大题岀现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，
希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式
1•“ （a b ）n ”型的展开式
— 1 4
例1•求（3・.x ——）的展开式；
J x
解：原式=产 1）4=（3x 21
）4
T x x
1
4
1
3
2
2
3 4
= -T 【C 4（3X ）
C 4（3X ） C 4（3X ） C 4
（3x ） C 4
]
x
= A （81X 4
84x 3
54x 2
12x 1）
x
2 12 1 = 81x 84 x 亠 亠 2 54
x x
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题 目中会有体现的。
2
•
“ （a-b ）n ” 型的展开式
解：可分两步进行: 第一步先将4名教师分为三组
(1,1,2),( 2,1，),( 1,2,1)，共有:
C
4 C 2 c ；
C 2 C 2 c ；1
A 2
A3 = 36 （种）。因此共有 36种方案。