第1讲 数学模型概论

二、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全 部重要特征： 模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆ 机理分析 ◆ 测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律， 所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量 系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模 型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来 确定模型的参数，也是常用的建模方法。
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x,
y表示船速和水速）；
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20,
y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20公里）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型概论
1、什么是数学建模
2、建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗
3、数学建模的方法和步骤
什么是数学模型
玩具、照片… ~ 实物模型
我们常见 的模型
风洞中的飞机…
地图、电路图…
~ 物理模型
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
你碰到过的数学模型——―航行问题”
甲乙两地相距 750 公里，船从甲到乙顺水航行需 30 小时， 从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船的速度是多少。
用x表示船速，y表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里
实例
返回
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
C´
O

D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
建模过程示意图
三、数学模型及其分类
模型
直观模型 具体模型 物理模型 思维模型 符号模型 抽象模型 数学模型 数式模型 图形模型
数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方 程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、 生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模 型等。
层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传
导进行对比，对双层玻璃窗百度文库够减少多少热量损失给出定量分析结果。
返回
怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
实际问题 在实际过程中用那一种方 法建模主要是根据我们对研究 对象的了解程度和建模目的来
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地 求解、确定参数
决定。机理分析法建模的具体
步骤大致可见右图。
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例1
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模：建立数学模型的全过程
（包括建立、求解、分析、检验）。
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展 • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
数学模型类型
• 确定－随机
•静态－动态
• 线性－非线
• 离散－连续
3、双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着
一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外
的热量流失。 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双