(浙江专版)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(四)导数的运算法则新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（四） 导数的运算法则
A 级——学考水平达标
1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )
A ．1 B. 2 C ．－1
D ．0 解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，
又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.
2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)
2＝3x 2＋2x －1，
∴y ′| x ＝1
＝4. 3．函数y ＝(2 018－8x )8
的导数为( ) A ．y ′＝8(2 018－8x )7
B ．y ′＝－64x
C ．y ′＝64(8x －2 018)7
D ．y ′＝64(2 018－8x )7 解析：选C y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′
＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7
.
4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )
A ．x －y －π－1＝0
B ．2x －y －2π－1＝0
C ．2x ＋y －2π＋1＝0
D ．x ＋y －π＋1＝0 解析：选C 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，
则f ′(x )＝2cos x －sin x ，
∴f ′(π)＝－2，
∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.
5．设曲线f (x )＝ax －ln(x ＋1)在点(1，f (1))处的切线与y ＝12
x 平行，则a ＝( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析：选B f ′(x )＝a －
1x ＋1，由题意得f ′(1)＝12
， 即a －12＝12，所以a ＝1.
6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x
在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.
答案：x －y ＋1＝0
7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝1. 答案：2－1 1
8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2
处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.
解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，
所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2
， 所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2
9．求下列函数的导数：
(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；
(3)y ＝x 2
sin x ； (4)y ＝
x ＋3x 2＋3； (5)y ＝x 1＋x 2； (6)y ＝cos x ·sin 3x .
解：(1)y ′＝(x －ln x )′ ＝(x )′－(ln x )′＝12x －1x
. (2)y ′＝[(x 2
＋1)(x －1)]′
＝(x 3－x 2＋x －1)′＝(x 3)′－(x 2)′＋(x )′－(1)′
＝3x 2－2x ＋1.
(3)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2
·(sin x )′sin 2 x
＝2x sin x －x 2cos x sin 2x
. (4)y ′＝1·(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. (5)y ′＝ 1＋x 2＋x [(1＋x 2)12]′ ＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)－12
(1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)－12
·2x ＝1＋x 2＋x 2
1＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.
(6)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′
＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′
＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .
10．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．
解：f ′(x )＝12x
，g ′(x )＝a x (x >0)， 设两曲线的交点为P (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝a ln x 0，12x 0＝a x 0，解得a ＝e 2
，x 0＝e 2， 所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)．
切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e
， 所以切线的方程为y －e ＝12e
(x －e 2)， 即x －2e y ＋e 2
＝0.
B 级——高考能力达标
1．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( )
A ．cos 2x －cos x
B ．cos 2x ＋sin x
C ．cos 2x ＋cos x
D ．cos 2
x ＋cos x 解析：选C y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′
＝cos x (cos x ＋1)＋sin x (－sin x )
＝cos 2x ＋cos x .
2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0 解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，
∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.
3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )
A ．a ＝e ，b ＝－1
B ．a ＝e ，b ＝1
C ．a ＝e －1，b ＝1
D ．a ＝e －1，b ＝－1 解析：选D ∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，
∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，
∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，
即y ＝(a e ＋1)x －1.
又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1
，b ＝－1. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )
A ．－e
B ．1
C ．－1
D ．e
解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x
，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.
5．已知曲线y 1＝2－1x
与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.
解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20
，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20
＝3，所以x 0＝1. 答案：1
6．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵f (x )＝e x －mx ＋1，
∴f ′(x )＝e x －m ，
∵曲线C 存在与直线y ＝12
x 垂直的切线， ∴f ′(x )＝e x －m ＝－2成立，
∴m ＝2＋e x >2，故实数m 的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
7．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.
(1)求a ，b 的值；
(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14
x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，
由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，
解得a ＝1，b ＝－16.
(2)∵切线与直线y ＝－14
x ＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.
设切点的坐标为(x 0，y 0)，
则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.
由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，
或y 0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.
即y ＝4x －18或y ＝4x －14.
8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2，求f n ′(2)．
解：由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1.
所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2
n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2
n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2
n －1－n ·2n
＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，
所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.。