圆锥曲线大题(有答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
一、选择题：（60分）
1．椭圆 的离心率是（）
A. B. C. D.
2.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，并且长轴长为12，离心率为 ，则该椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
3.方程 所表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.线段D.圆
4.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率曲线的实轴长和虚轴长。
（2）若 ,点 是双曲线上的任意一点，求 的最小值。
20.已知双曲线 。
（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程。
(2)直线 分别交双曲线的两条渐近线与A,B两点，当 时，求实数 的值。
（A）(B)(C)(D)
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则三角形ABC的周长是（）
（A）2（B）6（C）4（D）12
6．已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 , ,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
7.曲线 与曲线 的（）
A. B. C. D.
二、填空题：（30分）
11.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
12.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的2倍，则求该椭圆的标准方程为。
13.已知椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上。若 ,则 的大小为
14.已知点 ，椭圆 与直线 交于点A,B,则 的周长为（）
15.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ，则 ( ), （）。
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
8.已知F是双曲线 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则 的大小不可能是（）
圆锥曲线经典题目(含答案解析)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2．。
圆锥曲线经典好题目(带答案)
圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________．2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上．6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．二、解答题9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程．10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．O lxyA B F ·M第17题 11. 如图，已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值； （Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2－k )x －(1＋2k )y ＋(1＋2k )＝0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试求OQ →·NQ →的值，并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．参考答案1. 双曲线的一支 解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．2. 255 解析：由题意可知FF 2=38F 1F 2，即c -b 2=38⨯2c ，化简得c =2b ，所以c 2=4(a 2-c 2)，此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y =1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析：由渐近线方程可知ba =3，① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c =4，② 又c 2=a 2+b 2，③联立①②③，解得a 2=4，b 2=12，所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析：x =-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x =-254.6. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ，y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0， 由AB =x 1+x 2+p =8，得4p =8⇒p =2. 7. 83解析：如图，过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1，过B 作BC ⊥AA 1于C ，设BF =m ，由抛物线的定义知AA 1=3m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC =2m ，AB =4m ，k AB =3，直线AB 方程为y =3(x -1)，与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0，所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点，cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ，故e =23.9. 由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)，将交点⎝⎛⎭⎫32，6代入得p =2，故抛物线方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32，6也在双曲线上，因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1，解得a 2=14，b 2=34，因此，双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2=-m ，将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0，由韦达定理得y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=2pm ，∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2，又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22，两边平方即可得m 6+m 4=2. 11．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2（Ⅲ）以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0，2x -y +1=0，得直线所经过的定点(0,1)，所以b =1.由离心率e =32得a =2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。
圆锥曲线23道经典题(含答案)
= 1(a > b > 0)左、右焦点为 F1、 F2离心率为
3 3
过
F2
的直线
l交C于A、
B两点，若 Δ AF1B的周长为 4 3则C的方程为( )
A.
x2 3
+
y2 2
=1
B.
x2 3
+ y2
=1
C.
x2 12
+
y2 8
=1
D.
x2 12
+
y2 4
=1
3（2014重庆8，5分）
设
F1
F2 分别为双曲线
11
12
13
14 抛物线的标准方程为 x2 = -12y ,由此可以判断焦点在 y 轴上且开口向下且 p=6， 所以其准线方程为 y=3 15
16
17 18
19
20 21
22
23
24
− y0y
=
1与直线AF相交于点M，与直线
x
=
3 2
相交于点N。证明:当点P在C上移动时，
∣N
F
∣ 恒为定值，并求出此定值。
19（2014陕西，20,13分）
2
如图，曲线C
由上半椭圆
C1
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a > b > 0, y ⩾ 0)和部分抛物线
C2 : y = −x2 + 1(y ⩽ 0)连接而成， C1与 C2的公共点为A,B，其中 C1的离心率为
1)作斜率为
−
1 2
的直线与椭圆
C
:
x2 a2
+பைடு நூலகம்
(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)
当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(
圆锥曲线大题练答案
圆锥曲线大题练答案1、解(1)8),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a且即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8,∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为1121622=+x y . (2)由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧==+=11216322x y kx y 消去y 得：(4+3k)x 2 +18kx-21=0. 此时，△=(18k)2-4(4+3k 2(-21)>0恒成立，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22122134213418k x x k k x x由OB OA OP +=知：四边形OAPB 为平行四边形.假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则00,=⋅⊥B OA OB OA 即 . 因为),(),,(2221y x OB y x OA ==，所以02121=+y y x x ， 而9)(3)3()3(212122121+++=+⋅+=x x k x x k kx kx y y ，故09)3418(3)3421)(1(222=++-++-+kk k k k ，即45,1852±==k k 得. 所以，存在直线l ：345+±=x y ，使得四边形OAPB 为矩形. 2、解：（1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则),(),,3(t s PQ t CP -== 由0=⋅PQ CP 得3s —t 2=0又由MQ PM 21=得),(21),(y x s t y x --=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∴)(21)(21y t y x s x ， ⎪⎩⎪⎨⎧==∴y t x s 233把②代入①得2)23(9y x -=0，即y 2=4x ，又x ≠0∴点M 的轨迹方程为：y 2=4x （x ≠0）（2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则0=⋅⊥OB OA OB OA 即设),4(),,4(222121y yB y y A ，则由0=⋅OB OA 可得016212221=+y y y y 解得1621-=y y ，又21212212444y y y y y y k AB +=--=则直线AB 的方程为：)4(421211y x y y y y -+=- 即212121214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得0)()164(1=+--y y y x令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0）答，存在点H （4，0），满足题意。
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线大题综合(含答案)
圆锥曲线大题综合1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线y =为渐近线，焦点是()3,0-，()3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．2．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．3．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022秋·广东江门·高二校考期中）椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点A （2，3）且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求|MN |．5．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，2a =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求线段MN 的长.6．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）已知P 为椭圆E :22221x y a b+=(0)a b >>上任意一点，F 1，F 2为左、右焦点，M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=，离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线l 倾斜角为135°，经过(2,1)-且与椭圆交于A ，B 两点，求弦长|AB|的值.7．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．(1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ．若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．8．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ，且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB =l 方程.9．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.10．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知两定点()4,0A -，()1,0B -，动点P 满足2PA PB =，直线:l ()()211530m x m y m +++--=．(1)求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点P 的轨迹为曲线E ，把曲线E 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线E '，求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长；(3)已知点M 的坐标为()5,3，点N 在曲线E '上运动，求线段MN 的中点H 的轨迹方程．11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，直线OM ON 、的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．12．（2022秋·广东江门·高二校考期中）动点N （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和N 到定直线2x =的距离的比是常数22．(1)求动点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(2,0)M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k ．随着直线l 的变化，12k k +是否为定值？请说明理由．13．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线L 与椭圆Γ相切，求证：点12,F F 到直线L 的距离之积为定值．14．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；15．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在椭圆C 上，点F 是椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在一点P ，使得直线l 绕点F 无论怎样转动都有0PM PN k k +=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022秋·广东广州·高二南海中学校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()4,0B ，M 是一个动点，且直线AM ，BM 的斜率之积是34-，记M 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），直线1PQ 与x 轴交于点G ，求点G 的坐标．17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()2,1P ，且离心率2e =．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求PAB 面积的最大值．18．（2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，||3MN =.(1)求椭圆C 的方程；(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.19．（2022春·广东广州·高二二师番禺附中校考期中）已知点A的坐标为()-，点B的坐标为()，且动点M 到点A 的距离是8，线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知(2,1)D -，过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点，求DEF 面积的最大值.20．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求OMN 面积的最大值.21．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，当A ，B 两点的纵坐标相同时，4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)若P ，Q 为抛物线C 上两个动点，()0PQ m m =>，E 为PQ 的中点，求点E 纵坐标的最小值．22．（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，短轴顶点分别为M 、N ，四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()2,1-，求直线l 的方程.23．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆221:1164x y E +=,()22222:10,4x y E a b a a b+=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上，()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =，求点Q 的轨迹方程；(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ，直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线，C 、D 为切点，直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ，求2212k k ⋅的值；(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点，且()AB tEF t =∈R，若M 是AB 中点，求证：P 、O 、M 三点共线（O 为坐标原点）.24．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ，若PQR 和PMN 的面积相等，求点P 的横坐标．25．（2022秋·广东·高二校联考期中）设椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆Γ的左、右焦点，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上，点()4,0P 在椭圆Γ外，且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程；(2)若1,B ⎛ ⎝⎭，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记OMN ，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求221122S S S S -+的最小值．26．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，左､右顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ，N 为C 上且在y 轴右侧的两点，12//MF NF ，2MF 与1NF 的交点为P ，试问12PF PF +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.27．（2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）已知定点)P，圆Q :(2216x y +=，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ．(1)求点M 的轨迹Γ的方程；(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求ABC 面积的最大值.28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当OMN 的面积最大时，求l 的方程．29．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P （x 0，y 0）（y 0≠0）为直线x ＝4上任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．30．（2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．圆锥曲线大题综合答案1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线y =为渐近线，焦点是()3,0-，()3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ，联立228y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得21240xx -+=，所以1212x x +=，由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=．3．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点A （2，3）且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求|MN |．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求线段MN 的长.6．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）已知P 为椭圆E :221x y a b+=(0)a b >>上任意一点，F 1，F 2为左、右焦点，M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=，离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线l 倾斜角为135°，经过(2,1)-且与椭圆交于A ，B 两点，求弦长|AB|的值.7．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．(1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ．若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．8．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ，且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，若AB =l 方程.9．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知点1，圆2，点在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.:l ()()211530m x m y m +++--=．(1)求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点P 的轨迹为曲线E ，把曲线E 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线E '，求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长；(3)已知点M 的坐标为()5,3，点N 在曲线E '上运动，求线段MN 的中点H 的轨迹方程．11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，直线OM ON 、的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．的比是常数2．(1)求动点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(2,0)M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k ．随着直线l的变化，12k k +是否为定值？请说明理由．13．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线L 与椭圆Γ相切，求证：点12,F F 到直线L 的距离之积为定值．【详解】（1）因为12||22F F c ==，则c ＝1，因为2222,3a b a c ==-=，所以椭圆Γ的方程22143x y +=；（2）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，①当直线l 垂直于x 轴时，因为直线l 与椭圆Γ相切，所以直线l 的方程为2x =±，此时点12,F F 到直线l 的距离一个为11d =，另一个为23d =，所以123d d =，②当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ,联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y ,整理得222(34)84120k x kbx b +++-=，所以，222222644(34)(412)16(9123)k x k b k b ∆=-+-=+-，因为直线l 与椭圆Γ相切，Δ＝0，所以，2234b k =+，因为1(1,0)F -到直线l 的距离为12||1-=+k b d k ，2(1,0)F 到直线l 的距离为22||1+=+k b d k ，所以，222221222222|||||||(34)||33|311111k b k b k b k k k d d k k k k k-+--++=⋅====+++++，所以点12,F F 到直线l 的距离之积为定值，且定值为3．14．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；【详解】（1）因为PA ，PB 为圆M 的切线，所以90PBM PAM ∠=∠=︒，设PM 的中点为N ，所以点A ，B 在以PM 为直径的圆N 上，又点A ，B 在圆M 上，所以线段AB 为圆N 和圆M 的公共弦，因为圆22:430M x x y -++=①，AB的中点设为F点，由HF始终垂直干当P点在x轴上时，F点与H点的重合，M，得HM的中点坐标为⎛(2,0)⎝圆去掉点M，圆C上，点F是椭圆C的右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转k k+=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．动都有0PM PN，M 是一个动点，且直线AM ，BM 的斜率之积是34-，记M 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），直线1PQ 与x 轴交于点G ，求点G 的坐标．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求PAB 面积的最大值．18．（2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，||3MN =.(1)求椭圆C 的方程；(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.且动点M 到点A 的距离是8，线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知(2,1)D -，过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点，求DEF 面积的最大值.20．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知椭圆C :221(0)a b a b+=>>的焦距为2，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求OMN 面积的最大值.交于A ，B 两点，当A ，B 两点的纵坐标相同时，4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)若P ，Q 为抛物线C 上两个动点，()0PQ m m =>，E 为PQ 的中点，求点E 纵坐标的最小值．22．（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆C ：()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，短轴顶点分别为M 、N ，四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()2,1-，求直线l 的方程.23．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆1:1164x y E +=,()222:10,4E a b a a b +=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上，()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =，求点Q 的轨迹方程；(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ，直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线，C 、D 为切点，直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ，求2212k k ⋅的值；(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点，且()AB tEF t =∈R，若M 是AB 中点，求证：P 、O 、M 三点共线（O 为坐标原点）.8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ，若PQR 和PMN 的面积相等，求点P 的横坐标．25．（2022秋·广东·高二校联考期中）设椭圆Γ：()2210a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆Γ的左、右焦点，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上，点()4,0P 在椭圆Γ外，且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程；(2)若1,2B ⎛- ⎝⎭，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记OMN ，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求221122S S S S -+的最小值．26．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）已知椭圆()22:10y x C a b a b+=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，左､右顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ，N 为C 上且在y 轴右侧的两点，12//MF NF ，2MF 与1NF 的交点为P ，试问12PF PF +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.）27．（2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）已知定点P ，圆Q :216x y +=，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ．(1)求点M 的轨迹Γ的方程；(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求ABC 面积的最大值.(1)因为N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ，28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当OMN 的面积最大时，求l 的方程．（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．29．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）曲线Γ上动点M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之积为﹣1 4．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P（x0，y0）（y0≠0）为直线x＝4上任意一点，PA，PB交椭圆Γ于C，D两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【点睛】熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系及函数单调性是解题关键30．（2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中）已知椭圆()22:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．。
圆锥曲线求方程真题练习(解析版)
圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。
圆锥曲线经典题型(含详解答案)
1.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B = ,则||AF =(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 32.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．123.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝A. －12B. －2C. 0D. 44.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C.115 D.37165.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________6.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.7.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F P F ∠=，则椭圆的离心率为( ) A ． B ．33C ．D ．8（重点）.已知双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4A F F B =,则C 的离心率为 ( ) A ．B. C. D.9.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为 。
圆锥曲线大题(有答案)
| 3k |
y
22
9 5
,
9 4
且 1
y
1 ,则
y
1,2 2
35 5
.
所以点 Q
的轨迹方程是 10 y
22
3x2
18
,其中,
x
6 ,
2
6 2
,
y
1 2
,
2
3
5 5
C:
3.．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆
6.．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长
轴在 x 轴上,离心率 e
2 2
,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于
A, A 两点,
AA
4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P ,过 P, P 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆
由②可知
x1
x2
8k ,
2k 2 1
x1x2
6 ,
2k 2 1
代入①中并化简,得 x2 18
③
10k 2 3
因为点 Q 在直线 y kx 2 上,所以 k y 2 ,代入③中并化简,得10y 22 3x2 18 .
x
由③及
k2
3 2
,可知 0
x2
圆锥曲线专题40大题练习（含答案）
圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。
〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。
〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。
的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。
华师一附中2024届高三《圆锥曲线大题--每日一题》答案
华师一高三上每日一题（圆锥曲线）参考答案：1．(1)2214x y +=(2)111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据题意，列出关于,a b 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由34OA OB OM+=可得123x x =-，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且124MF MF +=，所以22241314a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ，由34OA OB OM+=得，()()12123,30,4x x y y m ++=，123x x =-联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-=222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯-> ，即226416160k m -+>，22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又123x x =-22441km x k \=+，则222122224443()4141km m x x x k k -×=-==++，，设直线l 的方程为(0y kx t t =+≠将y kx t =+代入椭圆方程整理得，()()2222364133612k t k t ∆=-+-=由韦达定理得：12613kt x x k +=-+由题可知22MN b ==，可得b =又离心率32c e a ==，所以22a b a -所以椭圆标准方程为2214x y +=.（2）由（1）可知()(0,1,0,M N -当直线l斜率不存在时，不妨设⋅=⋅，||||||||GA GF GP GQ所以A ，P ，F ，Q 四点共圆7．(1)22154x y -=(2)证明见解析【分析】（1）利用距离公式结合已知条件化简可得出曲线由MP PN λ= 可得112255,1,133x y x y λ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1212553311x x y y λλ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=-⎩，所以，121251311x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，由MH HN λ=- 可得()()1122,,x x y y x x y y λ--=---，即()()1212x x x x y y y y λλ⎧-=--⎪⎨-=--⎪⎩，所以，121211x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，所以，22121212253111x x x x x x x λλλλλλ+--=⋅=+--，121111y y y y y λλλλ+-⋅=⋅+-所以，222221122254541111x y x y x y λλ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-===，即43x -9．(1)2213y x -=(2)存在，2λ=【分析】（1）根据离心率，以及【点睛】关键点睛：本题的关键是由11．(1)24y x=(2)1-设()2:1CD y k x m =--，同理可得∴12,k k 是方程()22366m k mk -++联立()1214y k x m x y⎧=--⎨=⎩，消y 得2x -同理44x x k m =+，）证明：法一：根据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，(H x 24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，2(4)160k ∆=-+>，x x +=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、解答题1.( 2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题，第1小题满分 已知椭圆C 的两个焦点分别为只(1,0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为B (1) 若RBB2为等边三角形,求椭圆c 的方程；ujir (2) 若椭圆C 的短轴长为2 ,过点F 2的直线I 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F 1P2 2【答案】［解］(1)设椭圆C 的方程为x 2y 2 1(a b 0).a ba 2b2 42 1根据题意知。
…，解得a 2 4, b 2' a 2 b 21 332 2故椭圆C 的方程为X y 1.41 3 32⑵ 容易求得椭圆C 的方程为X y 21.2当直线I 的斜率不存在时，其方程为x 1,不符合题意; 当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y k(x 1).设 P(X 1，yJ ，Q(X 2, y 2),则unr uuir uir uur 因为F 1P F 1Q ,所以F 1P FQ 0,即4分,第2小题满分9分.B 2uurFQ ,求直线I 的方程•y k(x 由x22—y 21)x 2 4k 2x 2(k 21) 0.x X 24k 2 2k 2严2(k 2 2k1) uiruuir(X 1 1,yJ, FQ (X 2 1小)1)得(2k 2 1解得k 21,即k 7所以，a 2. 又由已知，c 1,所以椭圆C 的离心率e C 12a V 222X2由 知椭圆C 的方程为—y 1.设点Q 的坐标为(x,y).⑵ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx 2 .因为M,N 在直线I 上，可设点M,N 的坐标分别为(石，心 2),(x 2,kx 2 2),则2 2(k1)x 1x 2 (k 21)(x 1 x 2) k 17 k 2 1 2 k 2 10,故直线l 的方程为x7y 10 或 x 7y2. (2013年高考四川卷(理)) 2已知椭圆C : x 2 a 2y 2 1,(a b 0)的两个焦点分别为 R( b1,0),F 2(1,0),且椭圆(I )求椭圆C 的离心率；(n )设过点 A(0,2)的直线I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且1 ,22 | AQ|2| AM |2 ,求点Q 的轨迹方程•|AN |2【答案】解:2a PF 1PF 2(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于0,1 , 0, 1两点，此时Q 点坐标为0,22 2 2 2AM | (1 k2)x；,AN (1 2 2k )X2 . 又AQ (1 k2)x2.AM2k2x1k2AN—2X111 k2X22,即12X2X1X22X X222x1x22kx 2代入y21中,得2k28kx8k 2k2 1 6 0,得k2由②可知x!X2代入①中并化简，得8k2k21,X1X218210k2 3因为点Q在直线y kx 2上，所以3由③及k2,可知02 x2；,即xy 2,代入③中并化简，得10x26,0 0, 6223x218.又0,2 聖5满足105 3x218,故x由题意，Qx, y在椭圆C内部，所以1, 又由10 y 18 3x2有所以点Q的轨迹方程是10 y 3x218 ,其中, 1,2 23.( 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆2C :x2a2；2 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1, F2,离心率为3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆2C截得的线段长为1.M (m,0),求m 的取值范围----------------- umv ujuv ujuv uuuv uuv ujuv uuuv ujuv(n )由题意可知：UJUV uUJv = UUUV uUJv , PF Uuu/M = PF Juuv M ，设 P(x o ,y 0)其中 x 2 4,将向量坐标代|PF 1||PM| |PF 2||PM| |PR| IPF 2I2 3 2入并化简得：m(4x° 16) 3x 0 12x 0,因为x 0 4,33 3 所以 m — x °,而 X o ( 2,2),所以 m (—,—)42 22X (3分+5分+8分)如图，已知曲线 G ：21,曲线C 2 :| y | | x| 1 ,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与G ,C 2都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点” (1)在正确证明 G 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线 ，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);2【答案】解：(I )由于c2a .2b ,将x2b 212e由题意知 a,即a 2b又所以a 2, b1 所以椭圆方程为2 xC 代入椭圆方程a2b 2 1得yb 2 aC 3a22x— y 1 44.( 2013年高考上海卷(理))【答案】：(1)C 1的左焦点为F (3,0),过F 的直线x与C 交于(\3,/)，与C 2交于(J 3, W3 1)),故C 的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x5 .( 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))如图，点P(0, 1)是椭圆2 2C 1: —— 1(a b 0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2: x 2a by 2 4的直径.h, I ?是过点P 且互相垂直的两条直线，其中h 交圆C2于两点，I2交椭圆G 于另一点D (1)求椭圆G 的方程2【答案】解：(I )由已知得到 b 1,且-a 4 a -,所以椭圆的方程是 X y - 1；46.( 2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点 (1)求该椭圆的标准方程；,过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外 .若，求圆的标准方程.a - 0 a (0,1) X (0,1), y (0,1).(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在⑵ 取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点7.( 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题)设椭圆2 E :2a2—y 2 1的焦点在X 轴上1 a - (I )若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;( n )设F 1,F -分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F ?P 交y 轴与点Q ,并且RPFQ ,证明：当a 变化时，点p 在某定直线上【答案】解：(I) a 21 a - ,2C 1,a -1 a -椭圆方程为：8x 28x 21.5 3设F 1 ( c,0), F 2(C ,0),P(X , y),Q(0, m),则F ?P (x C , y),QF 2(C , m).(X c, y),RQ (c,m).由F 2P//QF2FP—— m(c X ) F 1Q得:C (X C )yc my 02 2已知圆：，圆:，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (i )求C 的方程；(n )是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线C 交于A,B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【答案】由已知得圆的圆心为 (-1,0)，半径=1,圆的圆心为(1,0)，半径=3. 设动圆的圆心为(,)，半径为R.(I 厂•圆与圆外切且与圆内切，•••|PM|+|PN|===4,由椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为• (n )对于曲线 C 上任意一点(,)，由于|PM|-|PN |= < 2, • R W 2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2. •当圆P 的半径最长时，其方程为， 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由MR 知不平行轴，设与轴的交点为 Q,则=,可求得Q(-4,0), •••设:,由于圆M 相切得，解得. 当=时，将代入并整理得，解得=,• |AB|==. 当=-时，由图形的对称性可知|AB|=, 综上,|AB|=或 |AB|=.31 9【答案】解：(1)由P(1,)在椭圆上得,221①2a 4b依题设知a 2c ,则b 2 3c 2 ②②代入①解得c 2 1,a 2 4,b 2 3.（X c ）（xc ） y 1 2x2a2 2c .联立 x2a1 2y 1 y2" a2 c 2a解得 2c2x 2 x 2y 21 2y2 1（y 1）2-（o,i ）,y（0,1） X 1 y 所以动点P 过定直线x y 10.C.8 (2013年高考江西卷2x （理））如图,椭圆C : 2 a 2+古3 1 =1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e 二一，直线I 的方程为x=4 .2 22 2故椭圆C 的方程为x y 1.4 3⑵方法一：由题意可设 AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为y k(x 1)③代入椭圆方程3x 2 4y 2 12并整理，得(4k 2 3)x 2 8k 2x 4(k 2 3) 0, 设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2),则有32k2 x 1 x 21),则直线FB 的方程为：y —y ^(x 1),X 。
1令 x 4,求得 M (4, 3y o ),X o 12 28k3级第3)④4k 2在方程③中令 x 4得，M 的坐标为(4,3k).3 从而 k 1 ------- 2, k 2x 1y 1 3 x 2 13k 3 ___ 2 4 1注意到A,F,B 共线，则有k k AFk BF ,即有y 11y 21所以k 1 k 23 y1 2 x 1 13 y2 — 72 2 x 2 1y 1x 1 1 y 2 x 2 1 3( 2 x 1 1 X212)④代入⑤得K k 2 2k8k22 3 4(k 2 3) 8k 2 4k 2 34k 2 3 4k 22k 11, 又k 3 k12,所以k1k 2 2 k g .故存在常数2符合题意.x 1x 2 (x-1 x 2)方法二：设 B(x o ,y o )(x o从而直线PM的斜率为k32y o x o 1 2(x o 1)y y\(x 1)联立X。
1，得A(5X O 8 3y o), X2y 42X0 5‘2X0 5———14 3则直线PA的斜率为：匕2y0 2X0 5,直线PB的斜率为：k22 y2(X031)'所以k1k22y—2X—52(X0 1)2(X0 1)2 y32(X0 1)2y；0；1 2k3,故存在常数2符合题意•9.( 2013年广东省)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,c c 0到直线I: X y 2 0的距离为3 2设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线P代PB ,其中A,B为切点•2(I)求抛物线C的方程；(n)当点P X o,y。