圆锥曲线大题(有答案)

三、解答题

1.( 2013年上海市春季高考数学试卷

(含答案))本题共有2个小题，第1小题满分 已知椭圆C 的两个焦点分别为

只(1,0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为

B (1) 若RBB2为等边三角形,求椭圆c 的方程；

ujir (2) 若椭圆C 的短轴长为2 ,过点F 2的直线I 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F 1P

2 2

【答案】［解］(1)设椭圆C 的方程为x 2

y 2 1(a b 0).

a b

a 2b

2 4

2 1

根据题意知。…

，解得a 2 4, b 2

' a 2 b 2

1 3

3

2 2

故椭圆C 的方程为X y 1.

4

1 3 3

2

⑵ 容易求得椭圆C 的方程为X y 2

1.

2

当直线I 的斜率不存在时，其方程为x 1,不符合题意; 当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y k(x 1).

设 P(X 1，yJ ，Q(X 2, y 2),则

unr uuir uir uur 因为F 1P F 1Q ,所以F 1P FQ 0,即

4分,第2小题满分9分.

B 2

uur

FQ ,求直线I 的方程•

y k(x 由x

2

2

—

y 2

1)x 2 4k 2x 2(k 2

1) 0.

x X 2

4k 2 2k 2严

2(k 2 2k

1) uir

uuir

(X 1 1,yJ, FQ (X 2 1小)

1)

得(2k 2 1

解得k 2

1

,即k 7

所以，a 2. 又由已知，c 1,

所以椭圆C 的离心率e C 1

2

a V 2

2

2

X

2

由 知椭圆C 的方程为—y 1.

设点Q 的坐标为(x,y).

⑵ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx 2 .

因为M,N 在直线I 上，可设点M,N 的坐标分别为(石，心 2),(x 2,kx 2 2),则

2 2

(k

1)x 1x 2 (k 2

1)(x 1 x 2) k 1

7 k 2 1 2 k 2 1

0,

故直线l 的方程为x

7y 1

0 或 x 7y

2. (2013年高考四川卷(理)) 2

已知椭圆

C : x 2 a 2

y 2 1,(a b 0)的两个焦点分别为 R( b

1,0),F 2(1,0),且椭圆

(I )求椭圆

C 的离心率；

(n )设过点 A(0,2)的直线

I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且

1 ,2

2 | AQ|2

| AM |

2 ,求点

Q 的轨迹方程•

|AN |2

【答案】解:2a PF 1

PF 2

(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于

0,1 , 0, 1两点，此时Q 点坐标为

0,2

2 2 2 2

AM | (1 k2)x；,AN (1 2 2

k )X2 . 又AQ (1 k2)x2.

AM

2

k2x

1

k2

AN

—2

X1

1

1 k2X22,即

1

2

X2

X

1

X2

2

X X2

2

2x1x2

2

kx 2代入y21中,得

2k28kx

8k 2k2 1 6 0,得k2

由②可知x!X

2

代入①中并化简，得

8k

2k21,X1X2

18

2

10k2 3

因为点Q在直线y kx 2上，所

以

3

由③及k2,可知0

2 x2；,即x

y 2,代入③中并化简，得10

x

26,0 0, 6

2

2

3x218.

又0,2 聖5满足10

5 3x218,故x

由题意，

Q

x, y在椭圆C内部，所以1, 又由10 y 18 3x2有

所以点Q的轨迹方程是10 y 3x218 ,其中, 1

,2 2

3.( 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆

2

C :x2

a

2

；2 1(a b 0)的左、

右焦点分别是F1, F2,离心率为3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆

2

C截得的线段长为1.

M (m,0),求m 的取值范围

----------------- umv ujuv ujuv uuuv uuv ujuv uuuv ujuv

(n )由题意可知：UJUV uUJv = UUUV uUJv , PF Uuu/M = PF Juuv M ，设 P(x o ,y 0)其中 x 2 4,将向量坐标代

|PF 1||PM| |PF 2||PM| |PR| IPF 2I

2 3 2

入并化简得：m(4x° 16) 3x 0 12x 0,因为x 0 4,

3

3 3 所以 m — x °,而 X o ( 2,2),所以 m (—,—)

4

2 2

2

X (3分+5分+8分)如图，已知曲线 G ：

2

1,曲线C 2 :| y | | x| 1 ,P 是平面上

一点,若存在过点P 的直线与G ,C 2都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点” (1)在正确证明 G 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线 ，试写出一条这样的直线的方程

(不要求验证);

2

【答案】解：(I )由于c

2

a .2

b ,将x

2b 2

1

2

e

由题意知 a

,即a 2b

又

所以

a 2, b

1 所以椭圆方程为

2 x

C 代入椭圆方程a

2

b 2 1得y

b 2 a

C 3

a

2

2

x

— y 1 4

4.( 2013年高考上海卷(理))

【答案】：(1)C 1的左焦点为F (

3,0),过F 的直线x

与C 交于(\3,

/)，与

C 2交于

(J 3, W3 1)),故C 的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x

5 .( 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯

WORD 版))如图，点P(0, 1)是椭圆

2 2

C 1: —— 1(a b 0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2: x 2

a b

y 2 4的直径.h, I ?是过点P 且互相垂直的两

条直线，其中h 交圆C2于两点，I2交椭圆G 于另一点D (1)求椭圆G 的方程