480.北师大版九年级数学上册1.3 第2课时 正方形的判定3-课件
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1.3《正方形的性质与判定第2课时》北师大版数学九年级上册教学课件
满足怎样条件的矩形是正方形？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
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典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
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则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
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典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
北师大版数学书九年级上册
北师大版数学书九年级上册一、特殊平行四边形。
1. 菱形。
- 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 性质。
- 菱形的四条边都相等。
- 菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。
- 判定。
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 四条边相等的四边形是菱形。
2. 矩形。
- 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 性质。
- 矩形的四个角都是直角。
- 矩形的对角线相等。
- 判定。
- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 三个角是直角的四边形是矩形。
3. 正方形。
- 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
- 性质。
- 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
- 正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
- 判定。
- 有一组邻边相等的矩形是正方形。
- 有一个角是直角的菱形是正方形。
二、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)。
2. 解法。
- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。
- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}的形式，然后求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，其中b^2-4ac叫做判别式Δ。
- 因式分解法：将方程化为(mx + n)(px+q)=0的形式，则mx + n = 0或px+q = 0，进而求解。
3. 根的判别式。
- Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
满足什么条件的菱形是正方形？ 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
新北师大版九年级数学上册《正方形的判定》优质课课件(共21张PPT).ppt
一个角是直角 正方形 平行四边形 一组邻边相等
定义能否作为依据来判定四 边形是正方形呢？
解读定义：
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
识别正方形的方法
矩形
正方形
菱形
从而我们得出： ♥一组邻边相等的矩形是正方形。 ♥有一个内角是直角的菱形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
ADBiblioteka OOBC
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
B
C
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。
平行四边形
矩形
解题小结：正方形即
菱形 是特殊的矩形，又是
特殊的菱形。它没有
（２）
（１） 明确的判定定理，要
▪
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
谢谢观看
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
课后作业4：
已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E， ①求证：四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时，四边形
M
ADCE是正方形，说明理由。
AE
N
B
C
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021
定义能否作为依据来判定四 边形是正方形呢？
解读定义：
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
识别正方形的方法
矩形
正方形
菱形
从而我们得出： ♥一组邻边相等的矩形是正方形。 ♥有一个内角是直角的菱形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
ADBiblioteka OOBC
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
B
C
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。
平行四边形
矩形
解题小结：正方形即
菱形 是特殊的矩形，又是
特殊的菱形。它没有
（２）
（１） 明确的判定定理，要
▪
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
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Ｈ
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Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
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课后作业4：
已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E， ①求证：四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时，四边形
M
ADCE是正方形，说明理由。
AE
N
B
C
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021
北师大版九年级数学(上册)《1.3正方形的性质与判定(一)》课件(共23张PPT)
变式练习
1、如图，点E、F在正方形ABCD的边 BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
2．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、 BC为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴 对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
PF⊥BD于F,则PE+PF=______5________. A
E
D
分析：PE=AE，PF=OE
P
O
PE＋PF＝OA
3.正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
知识回顾 Knowledge Review
正方形的性质与判定
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
北师大版九年级数学上册1.3.2：正方形的判定课件(共20张PPT)
矩形 正 菱形
证明四边形EFGH是正方形. （既是菱形又是矩形的四边形是正方形） 通过本节课的学习，你学习了哪些知识？
方
∴ ∠1= ∠ABC=45°，∠2= ∠DCB= 45° ∴∠2=180－∠1=90°
形
∴ EF=FG=GH=EH， ∠1=∠3
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵HG∥AC，∠1=90°
又∵ DE=DF（已证）
问题3：除了刚才的方法外，怎样将一张矩形纸通过适当折叠后，一刀剪出正方形？
通过本节课的学习，你学习了哪些知识？ ∴四边形CFDE是正方形.
（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）
练习：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
小结：判定正方形的方法都可归结为既能判定一个四边
形是矩形，又能判定这个四边形是菱形，这也是今后我们判 定正方形的方法.
三、例题讲解，新知应用
DF⊥AC，垂足分别为E、F.
∵ ∠2+∠3= 90°
∴∴判∴∠EB定2FE=:==1既FC8G是F0－==矩DGA∠G形H1===又AE9HH是0°，菱形∠1的例=∠四31边：形D是如正F方图⊥形，A. C△，AB垂C足中分，别∠A为CEB、=F9.0°求，证C:D四平边分形∠CAFCDBE，是D正E方⊥形BC.，
例2：已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中
点.
方法2:
A
H
D 求证证明：：四∵边正形方E形FGAHB是CD正方形.
1
2
∴AB=BC=CD=DA，
∴ EF=FG=GH=EH ∴菱形EFGH
1.3.2 正方形的判定 北师大版九年级数学上册教学课件(共22张PPT)
∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴菱形ABCD是正方形.
知识精讲
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 对角线相等的菱形是正方形.
新知探究
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组 成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，以四边的中 点为顶点可以组成一个怎样的图形？先猜一猜，再证明.
C
∴∠EHG=∠1=90°，∴EFGH为矩形.
结论证明
（2）已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA边的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
A
H
D
E
O
G
B
F
C
探究思考
如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 依次连接平行四边形各边中点可得平行四边形.
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？
证明：连接AC，BD，相交于点O.在△ABD中，
∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH∥BD.
E
1H
在△CBD中，∵F，G分别为BC，CD的中点， ∴FG∥BD，∴EH∥FG.同理，可证EF∥HG.
B
O
D
∴四边形EFGH为平行四边形. 又∵四边形ABCD为菱形，
F
G
∴AC⊥BD.∴∠1=∠AOD=90°.
依次连接四边形各边中点所得的新四边形的形状与原四边形
的对角线有关：
四边形
对角线互相垂直 对角线相等
中点四边形为矩形 中点四边形为菱形
典例精讲
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定第2课时课件
123456
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D， 作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会 有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
123456
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D， 作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会 有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
123456
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)
3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)
(1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心___A__点，按顺 时针方向旋转__9_0__ 度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
解：(1)由SAS证明△ADE≌△ABF；
(3)由勾股定理得AE＝10，
由(1)得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
进而证∠EAF＝90°，
北师大版数学九年级上册
第一章 特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
学习目标
1．掌握正方形握正方形的性质，能正确运用正方形 的性质解题．
回顾旧知
1．菱形的四条边都_相__等___，菱形的对角线_互__相__垂__直___ ． 2．矩形的四个角都是_直__角___ ，矩形的对角线_相__等__．_ 3．有一组邻边相等的平行四边形叫_菱__形___；有一个角是直 角的平行四边形叫做_矩__形___．
5．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间 有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
答：如图： 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是
特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
知识模块二 正方形的性质应用
解： ∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝
BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC＝90°，∵AB
＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在
△FEN和△EBC中
，
∴△FEN≌△EBC(SAS)，∴FN＝EC.
6.如图，并排摆放两个正方形ABCD和 FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm， 则图中阴影部分的面积是多少？
1.3第2课时正方形的判定(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(北师大版)
-方法二：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么它是正方形。
-方法三：如果一个四边形的对角线把四边形分成四个全等的直角三角形，那么它是正方形。
3.正方形的对称性
-正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中垂线。
-正方形也是中心对称图形，它的中心对称点是两条对角线的交点。
4.正方形与矩形、菱形的联系与区别
3.对角线互相垂直是正方形的性质，可以通过勾股定理证明对角线相等。
4.正方形的面积可以用于计算地毯的覆盖面积，周长可以用于计算围栏的周长。
5.正方形与矩形、菱形的关系是，正方形是矩形和菱形的特殊情形，矩形的对角线不一定是相等且互相垂直的，菱形的对角线也不一定是相等且互相垂直的。
教学反思与总结
在教学方法上，我采用了讲授法、实践活动法和合作学习法，让学生在理论学习的基础上，通过实际操作和小组合作，深入理解和掌握正方形的性质和判定方法。我发现，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和学习效果。
教师活动：
-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕“正方形的判定”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正方形的基本性质。
-学生是否能够理解正方形的定义、性质和判定方法，并能正确运用。
-学生是否能够通过实际例子来解释和应用正方形的性质和判定方法。
2.小组讨论成果展示：
-小组成员是否能够积极参与讨论，提出自己的想法和观点。
-小组成员是否能够有效地沟通和合作，共同完成讨论任务。
-方法三：如果一个四边形的对角线把四边形分成四个全等的直角三角形，那么它是正方形。
3.正方形的对称性
-正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中垂线。
-正方形也是中心对称图形，它的中心对称点是两条对角线的交点。
4.正方形与矩形、菱形的联系与区别
3.对角线互相垂直是正方形的性质，可以通过勾股定理证明对角线相等。
4.正方形的面积可以用于计算地毯的覆盖面积，周长可以用于计算围栏的周长。
5.正方形与矩形、菱形的关系是，正方形是矩形和菱形的特殊情形，矩形的对角线不一定是相等且互相垂直的，菱形的对角线也不一定是相等且互相垂直的。
教学反思与总结
在教学方法上，我采用了讲授法、实践活动法和合作学习法，让学生在理论学习的基础上，通过实际操作和小组合作，深入理解和掌握正方形的性质和判定方法。我发现，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和学习效果。
教师活动：
-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕“正方形的判定”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正方形的基本性质。
-学生是否能够理解正方形的定义、性质和判定方法，并能正确运用。
-学生是否能够通过实际例子来解释和应用正方形的性质和判定方法。
2.小组讨论成果展示：
-小组成员是否能够积极参与讨论，提出自己的想法和观点。
-小组成员是否能够有效地沟通和合作，共同完成讨论任务。
《正方形的性质与判定》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第2课时)
第一章特殊的平行四边形1.3 正方形的性质与判定第2课时教学设计一、教学目标1．探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力．2．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索并证明正方形的判定定理．难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板、长方形折纸.四、相关资源《正方形的判定和性质》微课，《正方形的判定》图片.五、教学过程【情境导入】将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。
怎样剪才能剪出一个正方形？师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题．答：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形。
设计意图：从生活中的图片入手引出本节课要探究的内容，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同学交流。
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法．（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形． 老师强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直的矩形是正方形；（4）有一个角是直角的菱形是正方形；（5）对角线相等的菱形是正方形．证明：（2）已知：如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =AD ．求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°．又∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是正方形．（3）已知：如图，四边形ABCD 是矩形，AC ，BD 是对角线，且AC ⊥BD ．求证：四边形ABCD 是正方形．DC B A证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OD =OB ，∠DAB =90°．又∵AC ⊥BD ，OA =OA∴∠DOA =∠BOA =90°．∴△ABD ≌△BAC （SAS ）．∴AD =AB∴四边形ABCD 是正方形．（4）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =90°．求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．又∵∠A =90°．∴四边形ABCD 是正方形．（5）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 是对角线，且AC =BD ．求证：四边形ABCD 是正方形．A DC B A OA证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC．又∵AB=BA，BD=AC，∴△ABD≌△BAC（SSS）．∴∠DAB=∠CBA．又∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°．∴∠DAB=∠CBA=90°．∴四边形ABCD是正方形．设计意图：引导学生讨论正方形的判定方法，重点并不在于得到几条判定定理，而是要形成判定正方形的基本思路：一个四边形既是矩形又是菱形，这个四边形就是正方形。
新北师大版九年级数学上1.3《正方形的性质与判定》课件(共2课时)
平行四边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 矩形 菱形 正方形
√
√ √
√ √ √
正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
F C
E 证明
你能用另外 一种方法完 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 成证明吗？ ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
证题思路分析
从 条 件 分 析 从 结 论 分 析
①由已知正方形证三角形全等；
A
D/ D C/
②证得菱形；
③再证直角； ④是正方形
A/
A
A
B
F
C
D
E
B
E
C
D
课堂小结
矩形
正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定—判定
√
√ √
√ √ √
正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
F C
E 证明
你能用另外 一种方法完 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 成证明吗？ ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
证题思路分析
从 条 件 分 析 从 结 论 分 析
①由已知正方形证三角形全等；
A
D/ D C/
②证得菱形；
③再证直角； ④是正方形
A/
A
A
B
F
C
D
E
B
E
C
D
课堂小结
矩形
正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定—判定
北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定课件(共17张PPT)_3
第三环节 猜想结论，分组验证
问题：
1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点 四边形都由平行四边形变化为菱形？ 2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？ 3.你是从什么角度考虑的？ 4.你从哪儿得到的启发？ 5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？
例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（二）
第一环节 情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下 一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方 形？
第一环节 情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
第一环节 情景引入
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四 边形
第五环节 课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪 些数学思想和方法？
2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今 后的学习过程中应该怎么做？
第六环节 布置作业
必做：
1.习题1.8（1、3）
2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本 图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴 对称进行图案设计。
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
第三环节 猜想结论，分组验证
归纳：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形 ◆矩形的中点四边形是菱形 ◆菱形的中点四边形是矩形 ◆正方形的中点四边形是正方形 ◆等腰梯形的中点四边形是菱形 ◆直角梯形的中点四边形是平行四边形 ◆梯形的中点四边形是平行四边形
2.在AC的下方找一点D, 做 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
正方形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学
那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有( B )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
合作探究
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一
点，连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的
度数.
合作探究
解:(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定 第1课时
素养目标
1.知道正方形的概念、性质；知道正方形是轴对称图形.
2.知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的区分与联系.
3.通过四边形的从属关系渗透集合思想，明晰这几种特殊的
平行四边形的从属关系.
◎重点:正方形的性质，正方形与菱形、矩形的关系.
预习导学
∠ECB＝∠ECD＝45°.
又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS).
(2)∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC＝ ∠BED.
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF，∴∠EFD＝60°
＋45°＝105°.
合作探究
如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在
OA上，点G在OB上，且OE＝OG，CG的延长线交BE于点F，猜
归纳总结
又是
菱
矩形、菱形都是特殊的平行四边形，既是矩形，
形的四边形叫做
正方形 .
预习导学
·导学建议·
利用自制教具或借助几何画板等现代教学手段演示矩形到
正方形，菱形到正方形的变化过程，帮助学生理解正方形与菱
形、矩形的联系与区分.
预习导学
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
合作探究
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一
点，连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的
度数.
合作探究
解:(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定 第1课时
素养目标
1.知道正方形的概念、性质；知道正方形是轴对称图形.
2.知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的区分与联系.
3.通过四边形的从属关系渗透集合思想，明晰这几种特殊的
平行四边形的从属关系.
◎重点:正方形的性质，正方形与菱形、矩形的关系.
预习导学
∠ECB＝∠ECD＝45°.
又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS).
(2)∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC＝ ∠BED.
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF，∴∠EFD＝60°
＋45°＝105°.
合作探究
如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在
OA上，点G在OB上，且OE＝OG，CG的延长线交BE于点F，猜
归纳总结
又是
菱
矩形、菱形都是特殊的平行四边形，既是矩形，
形的四边形叫做
正方形 .
预习导学
·导学建议·
利用自制教具或借助几何画板等现代教学手段演示矩形到
正方形，菱形到正方形的变化过程，帮助学生理解正方形与菱
形、矩形的联系与区分.
预习导学
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∴ EB=EC, ∴ 在△EBC中
BECF是菱形
∴ ∠ BEC =90°, ∴菱形BECF是正方形
×
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ √ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
2．四个内角都相等的四边形一定是（ C）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，
能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
4. 已知在□ABCD中，
…… ……
……
去又醉年
月红谁，粟醉？华
， 余 生 茫 茫 。
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
韵 风 味
离绵别，不思思谁，人
F
∴ DE=DF( 角平分线的定理 )
B
D
A
∴四边形ABCD是正方形（ 有一组邻边相等的矩形是正方形 )
练一练
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边 在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
Hale Waihona Puke 选择题:1、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该
四边形是正方形，那么这个条件可以是（D ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
5 ．四个内角都相等，四条边也都相等的
四边形一定是：（ A ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
正方形 定义法
2、 菱形
一内角是直角 对角线 相等
3、 矩形
一组邻边相等
对角线垂直
正方形 菱形法 正方形 矩形法
以四边形为基础：
四边形
①四条边相等，四个角都是直角 ②对角线互相垂直、平分且相等
正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
正方形的判定
1、 2、有 3、对角线
叫正方形。 的矩形是正方形。
的矩形叫正方形
4、有
的菱形是正方形。
5、对角线
的菱形叫正方形
6、有
，有
7、对角线
的平行四边形是正方形 的平行四边形是正方形
8、对角线
（B ）
Ａ．正方形
Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
C 顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（ ）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
A 顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ ）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？
证明: ∵ BF∥CE，CF ∥ BE ∴四边形BECF 是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=90°, ∠DCB =90°,
∵BE平分∠ ABC, CE平分∠ DCB
∴ ∠ EBC=45°, ∠ ECB =45°,
∴ ∠ EBC= ∠ ECB
∵ ∠ EBC=45 ,∠ ECB =45°,
第2课时 正方形的判定
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
一、课前自主学习
1、矩形的判定方法是 2、菱形的判定方法是
的四边形是正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
做一做
• 现在请大家做一做这样一个实 验：将一张长方形纸对折两次， 然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？
例1：已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ ABC， CE平分∠ DCB，BF∥CE，CF ∥ BE. 求证:四边形BECF是正方形
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会 发生变化？并说明理由。
探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边 分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间 的关系.
探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与
BN之间的关系是否还成立？ 探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面 积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正 方形的边长为多少？
又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴四边形A`B`C`D`是正方形。
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
证题思路分析
A
D/ D
①、由已知正方形证三角形全等； A/
②、证得菱形；
C/
③、再证直角； ④、是正方形
B B/
C
上一页
例3:已知：如图，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D 。
求证：四边形A`B`C`D`是正方形。 证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA 又∵A`A=B`B=C`C=D`D ∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C` ∴四边形A`B`C`D`是菱形
无 月 亦 无 殇 。 谁
香 。 雪 入 窗 ， 今
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一 杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
3、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° 而∠ACB=90°
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形)
∵ CD平分∠ACB
DE⊥AC， DF⊥BC
一定是正方形 （ √ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ √ ）
× × ×
× ×
（6）正方形一定是矩形．（√ ）
（7）正方形一定是菱形．（√ ）
（8）菱形一定是正方形．（ ）
（9）矩形一定是正方形．（ ）
(10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边
形．
√（ ）
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
3、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上， 且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
例2：已知：如图(2)，点A’、B’、C’、D’分别是 正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点， 求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
分析:你能先证明四 边形是矩形吗？
应用举例：
1 已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
A
D
F
B
C
E
课后练习
见章末练习
XXX X
X X
古 X
X 设
风 计
P P T 模 版
，陌 长芦 门殇 清， 宫半
古 韵 一
问胜 卿逝 ，一 忆江 解秋
古 韵 二
千三丝 落千三 何落千 处满落 ？地腰
古 韵 三
人是
难水