正弦余弦函数的性质

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正弦函数、余弦函数的性质

2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1, 当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值都有时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最及取得最值时自值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、周期性正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,

三角函数正弦余弦正切的定义与性质

三角函数正弦余弦正切的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。

本文将对正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与性质进行详细介绍。

一、正弦函数的定义与性质1. 正弦函数的定义正弦函数（Sine Function）是一个周期函数，可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

2. 正弦函数的性质正弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。

（2）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

（4）单调性：在一个周期内，正弦函数是先递增后递减的，且在[0,π]上为递增函数，在[π,2π]上为递减函数。

二、余弦函数的定义与性质1. 余弦函数的定义余弦函数（Cosine Function）也是一个周期函数，可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。

余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

2. 余弦函数的性质余弦函数有以下几个重要的性质：（1）对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。

（2）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

（3）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

（4）单调性：在一个周期内，余弦函数在[0,π/2]上为递减函数，在[π/2,2π]上为递增函数。

三、正切函数的定义与性质1. 正切函数的定义正切函数（Tangent Function）可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正切函数的定义域为全体实数，但在其周期的特殊点（如π/2）处无定义。

2. 正切函数的性质正切函数有以下几个重要的性质：（1）周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。

正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)

4π
6π
正弦函数y=sinx的图象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝如果令（）＝sinx，则 f（x＋2π）＝（x) ，（＋）＝f（）＝）＝抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ，） ∈
余弦函数 y=cosx的图象的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心：无数个对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ，）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y=sinx的图象的
1-
− 6π
对称轴：无数条对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴：无数条对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心：无数个对称中心：
答： T =
2π

正弦函数余弦函数的性质

D .x0
2、求 yco2sx()函数的对称轴和对称中心。
3
小结
函数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
R
值域最值及相应的 x
的集合
周期性奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在上都x∈是[2增kπ函- 数π2, 2kπ+
(1)yco2xs
(2)y2sin 1x()
23
想一想：你能解决这个问题吗？
求函数 ysin(1xx)) ，
23 23
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
小结
求单调区间 y A s i n ( x ) y A s i n z （1）化未知为已知（2）负号：sin提出来；cos消去
正弦函数、余弦函数的性质（四）～最值
（ 2 ） s in 3 0 1 2 0_ =_ _ s in 3 0
能否说 1 2 0 是函数 f x s i n x , x R 的周期？
正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性
（观察图象） y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
正弦曲线
4
5 6 x
正弦函数 f(x)sinx性质如下：
2
2
-
o 2
2
3 2
2 5 2
3
7 2
4
-1
对称中ห้องสมุดไป่ตู้k（ ,0)

三角函数正弦余弦正切

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

正弦函数、余弦函数的性质(全)

当且仅当 x 2k，（ k Z）时， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数

y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0

正弦、余弦函数的性质

2k ,2 2k k Z 递增
2k , 2k k Z 递减
x 2k , k Z
x 2k , k Z
ymax 1
ymin 1
奇函数
偶函数
对称中心:k ,0, k Z
x k , k Z
对称轴：
2
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
x k , k Z
对称轴：
课堂小结
2、新课程导学P66 3,4
,k
Z
函数y
3sin
2x最大值是-3.
因为有负号，结论要相反呀！
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少。
（教材P39页例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1) sin( )与sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出它们取最大值、最小值的自变量的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？
(1) y cosx 1, x R;
(2) y 2sin 3x, x R;
解：(1)使函数y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是使函数y cos x, x R
2
最小值：当x 2k , k Z时，有最小值y 1.
2
知识点二、余弦函数的对称性与奇偶性
y
y cos x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：
在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数最大值：当x 2k , k Z时，有最大值 y 1; 最小值：当x 2k , k Z时,有最小值y 1.

正弦函数余弦函数的图像与性质

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数，用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用正弦和余弦函数来描述，如桥梁振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。

正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件

3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x
2
时，有最大值 y 1
最小值：当x
2
时，有最小值y 1
探究：余弦函数的最大值和最小值
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0
时，有最大值 y 1
最小值：当 x
时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
故 2k 1 x 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 4k , k Z.
3
3
则函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间是[ 5 4k, 4k]。
23
33
练习：求函数y sin( 1 x)，x R的单调递增区间 32
得 5 4k x 11 4k , k Z.
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z

正弦函数、余弦函数的性质(经典)

倍角恒等式用于计算一个角的两倍角的三角函数值，例如
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分，可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系，复数可以用三角函数的形式表示，而三角函数也可以用复数进行计算和分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的定义非常相似，因此可以将复数的运算转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$，即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性质和应用，例如：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。这些变换在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。

正弦函数、余弦函数的性质

结论：结论： y = A sin( ω x + ϕ ) 的周期是
1.求下列函数的周期
y = A sin( ω x + ϕ )的周期的一半。的周期的一半。
(1) y = sin 2 x ; ( 2) y = sin 3 x + sin x ⋅ cos 2 x
π 2. y = cos ωx + (ω > 0)最小正周期为1，求ω 4 nπ 3.若函数 f ( n) = sin ( n ∈ Z ), 求f (1) + f ( 2) + L + f (102) 6 4.为了使函数 y = sin ωx(ω > 0)在区间[0，上至少出现 50次 1]
正弦函数、余弦函数的性质
定义域与值域
定义域与值域
由三角函数定义及三角函数线，由三角函数定义及三角函数线，我们知道正弦函余弦函数的定义域为R，值域为[-1,1]. 数、余弦函数的定义域为，值域为从正弦函数、余弦函数的图象，从正弦函数、余弦函数的图象，也可以得到定义域与值域. 域与值域
思考：思考：
单调递减区间
3π π 2 + 2kπ , 2 + 2kπ
单调性与最值
[2kπ − π ,2kπ ]
π
[2kπ ,2kπ + π ]
y = sin x当 x = 2 kπ +
2 π 3π ( 2 kπ − )时，取得最小值 − 1. 当 x = 2 kπ + 2 2 y = cos x当 x = 2 kπ时，取得最大值 1；当 x = 2 kπ + π时，取得最小值 − 1.
奇偶性
正弦函余弦函数关于轴对称，偶函数

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心．【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域：（1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。

正弦函数、余弦函数的性质

方法总结
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如 y=Asin(ωx+ )或 y=Acos(ωx+ )(A,ω, 是常数,A≠0,
ω≠0)的函数,T=

||
.
(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期
2
2
奇函数
2
对称轴： x k , k Z
2
对称中心： (k , 0) k Z
x 2k 时， ymax 1
x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ]
增函数
x[2k , 2k ]
减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z
例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且
当

π
x∈0，2时，f(x)＝cos

x，求 f
解 ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f
5π
5π

π
＝f －2π＝f － .
3
3

3
又∵f(x)是R上的偶函数，

5
2
-2

3
2
-

2
o
正弦曲线关于原点o对称

2

3
2
2
5
2
3
x
7
2
4
-1
y余弦曲线关于 y 轴对称
1
-3

5
2

三角函数正弦余弦与正切函数

三角函数正弦余弦与正切函数三角函数是数学中非常重要的一部分，其中正弦、余弦和正切函数是三角函数中最常用的函数之一。

它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多数学相关领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将详细讨论正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

正弦函数（sine function）是一个周期为2π的周期函数，常用符号为sin(x)。

在一个单位圆内，正弦函数的值等于对应角的弧度值的y坐标。

换句话说，对于一个角度x，正弦函数的值等于对应的弧度值sin(x)。

余弦函数（cosine function）也是一个周期为2π的周期函数，常用符号为cos(x)。

在一个单位圆内，余弦函数的值等于对应角的弧度值的x坐标。

换句话说，对于一个角度x，余弦函数的值等于对应的弧度值cos(x)。

正切函数（tangent function）是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为tan(x)。

正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。

正弦、余弦和正切函数有许多重要的性质。

其中一个重要的性质是它们的周期性，即它们的值在每个周期内都是重复的。

正弦和余弦函数的最小正周期是2π，而正切函数的最小正周期是π。

另一个重要的性质是它们的奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

正切函数则既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tan(x)。

正弦、余弦和正切函数还有许多其他的性质，例如它们的定义域、值域以及增减性等。

对于正弦和余弦函数来说，它们的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而对于正切函数来说，它的定义域是所有余弦函数不等于零的实数，值域是整个实数集。

在几何学中，正弦、余弦和正切函数常常用来计算三角形的边长和角度。

通过已知两个边长或两个角度，可以使用三角函数来求解未知的边长或角度，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。

正弦函数和余弦函数的性质

正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。

正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。

正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。

2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。

3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。

2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。

正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。

2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。

3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。

就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。

正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。

高中数学-正弦函数、余弦函数的性质

函数值才能重复出现
w
T 2 w
是使等式 Asin w x T j Asin wx j , Acos w x T j Acoswx j ,
成立的最小正数.
函数yAsinwxj , x∈R
及函数yAcoswxj , x∈R的周期
T 2 w
思考 “如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数
y=f(ωx)的周期是 T ”能否成立？
w
令z=ωx 有y=f(z)且周期为T
z
T
wx
T
w
x
T
w
f z f z T
f
wx
f
w
x
T
w
y=f(ωx)的周期是
T
w
(2)奇偶性
-4π -3π
-2π -π
y
1
关y=于sin原x,x点∈R对称
Oπ
-1
2π 3π
4π x
sin(-x)=-sinx 正弦函数是奇函数
π
y
2
sin
1 2
x
6
,
x
R.
4π
这些函数的周期与解析式中哪些量有关?
与自变量的系数有关
练习求下列函数的周期
1 y sin 3 x, x R;
4
T 8
3
2 y cos 4x, x R;
T
2
3 y 1 cos x, x R;
2
T 2
4
y
sin
1 3
x
4
,
x
R.
T
6
探究
Z
由
2x z 2k
2
x k
4
因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x