2.2.2双曲线的几何性质(杨金煜)
平面解析几何的双曲线性质与像
平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍双曲线的一些基本概念和定义，并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。
一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中，双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
双曲线具有以下基本性质：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴两者都对称。
2. 双曲线有两个分支，分别称为实部和虚部。
3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。
4. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。
二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素：焦点、顶点、直角坐标系和平行线。
1. 焦点：双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。
焦点是双曲线上的两个特殊点，它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be，其中e是双曲线的离心率。
通过确定离心率和焦点的位置，可以确定双曲线的形状和大小。
2. 顶点：双曲线的顶点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。
通过确定顶点的位置，可以确定双曲线的中心位置。
3. 直角坐标系：在平面直角坐标系中绘制双曲线时，可以确定双曲线的位置和方向。
通过绘制直角坐标系，然后确定双曲线的中心和顶点的位置，可以绘制出双曲线的形状。
4. 平行线：平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。
通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线，可以确定双曲线的近似位置和范围。
综上所述，通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线，我们可以确定双曲线的像。
在确定了这些要素后，我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。
总结：双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型，具有独特的性质和特点。
确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。
通过确定这些要素，我们可以确定双曲线的形状、大小和位置，从而深入研究双曲线的性质和像。
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为7六、板书设计。
高二双曲线知识点大招
高二双曲线知识点大招在高二数学学习中，双曲线是一个非常重要的知识点。
它具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等等。
为了帮助同学们更好地理解和掌握双曲线的知识，本文将介绍一些双曲线的基本概念、性质和应用，以及一些解题的技巧和方法。
一、双曲线的基本概念双曲线是平面上的一条曲线，它的定义是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个定点叫作焦点，与焦点连线的直线叫作准线。
双曲线可以看作是一对镜面对称的开口朝下的抛物线，焦点在横轴上。
二、双曲线的性质1. 镜面对称性：双曲线有关于横轴和纵轴的镜面对称性。
即，如果曲线上一点坐标为(x, y)，那么该曲线上的另一点坐标为(x, -y)；如果曲线上一点坐标为(x, y)，那么该曲线上的另一点坐标为(-x, y)。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是横渐近线和纵渐近线。
横渐近线是指曲线的两支曲线无限延伸时，与横轴趋于无限远的两条直线。
纵渐近线是指曲线的两支曲线无限延伸时，与纵轴趋于无限远的两条直线。
3. 焦准关系：双曲线上的任意一点到焦点的距离减去到准线的距离的差等于常数，这个常数叫作双曲线的离心率。
4. 参数方程：双曲线的参数方程是一个参数化的方程，通过给定一个参数t，可以得到曲线上的点的坐标。
三、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 光学：在光学中，双曲线被用于描述折射和反射的规律。
光线在介质间传播时，由于折射率的不同，会按照双曲线的形状传播。
2. 通讯：在无线通讯中，双曲线被用于定位和测距。
通过接收到信号的时间差和双曲线方程，可以计算出发送信号的位置。
3. 经济学：在经济学中，双曲线被用于描述供求关系，特别是在价格弹性的分析中。
通过双曲线的坡度和弹性系数，可以判断市场上商品的需求和供应情况。
四、解题的技巧和方法1. 曲线的参数方程：了解双曲线的参数方程可以方便我们对双曲线进行计算和分析，尤其是在解题过程中。
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
人教A版高中数学选修1-1课件 2.2.2 双曲线的简单几何性质 课件(人民教育出版社)
∴|PF1|＝ba2.
由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.
知|F1F2|＝12|PQ|＝|PF1|， ∴ba2＝2c，则b2＝2ac. ∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0. 即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋ 2或e＝1－ 2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.
1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性 质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．
2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张 口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下 三点：
(1)当焦点在x轴上时，渐近线为y＝±ba x；当焦点在y 轴上时，渐近线为y＝±abx.
(2)当渐近线为y＝
很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几
何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．
2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By＝0，为避免讨
论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或
x2 B2
－
y2 A2
＝λ(λ≠0)
的形式，从而使运算更简捷．
3．与双曲线
x2 a2
－
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±32x； (2)双曲线ax22－by22＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，
(0，b)两点，且原点到直线l的距离为
3 4 c.
【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系
吗？利用这种关系能求出离心率吗？
(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？
解得ba22＝13或ab22＝3. 又∵0＜a＜b，∴ba22＝3. ∴e＝ 1＋ab22＝2.
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关
18-19 第2章 2.2 2.2.2 双曲线的几何性质
2.2.2 双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质[提示] e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当ba 的值越大，渐近线y ＝ba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线). ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．x 22－y 2＝1A [由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.]3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )【导学号：73122139】A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1C [∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.]4．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为______．17或174 [若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，ba ＝4， ∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17. 若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4. ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116. ∴e 2＝1716，故e ＝174， 即双曲线的离心率是17或174.][合 作 探 究·攻 重 难]标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【导学号：73122140】[解] 把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋n m ，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[跟踪训练]1．求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是 x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程.【导学号：73122141】[思路探究]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定(讨论)焦点位置→求双曲线的标准方程[解] (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3， ∴b ＝92.∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3， ∴b ＝2.∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94， 当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135， ∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝144， 故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则ba ＝12. ①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1. ② 由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12. ③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1. ④ 由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．【导学号：73122142】[解] 由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0. ① (1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．∴⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－1∪()－1，1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，52.(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解；当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0，解得k ＝±52， 故k 的值为±1或±52.(3)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．∴⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k >52或k <－52， 则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.3．(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于A ，B 两个不同的点．①求双曲线的离心率e 的取值范围；②设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．(2)已知过点P (1,1)的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，试探究直线l 的斜率k 的取值．[解] (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，(*)由题意得⎩⎨⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，得0＜a ＜2且a ≠1.又双曲线的离心率 e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴e ＞62且e ≠ 2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知P (0,1)， ∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 故x 1＝512x 2.又x 1，x 2是方程(*)的两个根， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.又a ＞0，∴a ＝1713.(2)设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程得 (4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0，则Δ＝(2k －2k 2)2－4(4－k 2)(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52. 综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2.[探究问题]1．直线与双曲线的弦长问题，应如何解答？[提示] 设直线与双曲线相交所得弦AB 端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.涉及弦长的问题，常常设而不求．2．直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？[提示] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝b 2a2，即k AB ·y 0x 0＝b 2a 2.斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求l 的方程.【导学号：73122143】[思路探究] 设出直线方程，与双曲线联立消元后利用弦长公式求解． [解] 设直线l 的方程为y ＝2x ＋b 与x 23－y 22＝1联立 消y 得10x 2＋12bx ＋3b 2＋6＝0设直线l 与双曲线x 23－y 22＝0的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－65bx 1·x 2＝3b 2＋610.∴|AB |＝1＋4·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫3625b 2－6b 2＋125＝6b 2－605＝ 6解得b ＝±15.∴直线l 的方程为y ＝2x ±15.1．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0. ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.]2．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )【导学号：73122144】A ．－12B ．－2C ．0D ．4C [ 由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C.] 3．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.63D.33B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°， ∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan 30°＝bc ＝33，b 2c 2＝13， c 2－a 2c 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝13，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝32，∴e ＝62.] 4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________.【导学号：73122145】x 23－y 212＝1 [依题意设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.]5．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (22，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P ，且OF →·FP →＝－6，求双曲线的方程．[解] 法一：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 则过F 且与其垂直的直线方程为y ＝－ab (x －22)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b (x －22)可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222，ab 22. ∴FP →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 222－22，ab 22， OF →·FP →＝(22，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a222－22，ab 22＝－6. 解得a 2＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝(22)2－2＝6， ∴双曲线方程为x 22－y 26＝1.法二：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， ∵点P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x∴FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22，b a x ，OF →＝(22，0)．由OF →·FP →＝－6得22(x －22)＝－6，即x ＝22. 又由OP →·FP →＝0，得x (x －22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2＝0，代入x＝22，得⎝⎛⎭⎪⎫ba2＝3.而a2＋b2＝(22)2＝8，∴a2＝2，b2＝6.∴双曲线方程为x22－y26＝1.。
【精品课件】选修2-2 2.2.2双曲线的简单几何性质
B2
a
则 | MQ || MN | .
当x逐渐增大时,| MN | 逐渐减小, x无
F1 A1 O
QN M
A2 F2 x
限增大,| MN | 无限接近于零,| MQ |
B1
也 无 限 接 近 于 零.
即双曲线在第一象限的部分从射线
ON的下方逐渐接近于射线ON .
选修2-2 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质
a
则Y b x . a
选修2-2 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质
第二章
情境引入
新知导学
关键能力
所以| MN | Y y b x x2 a2
分子有理化
a
b x x2 a2 x x2 a2
ab
a
x x2 a2
.
x x2 a2
y
设 | MQ | 是点M到直线y b x的距离,
新知导学
关键能力
-6-
3.顶点
y
B2
左顶点：A1(-a,0)
F1 A1 O A2 F2 x 右顶点：A2(a,0)
B1
线段A1 A2称为实轴
实轴长为2a,实半轴长为a
线段B1B2称为虚轴
虚轴长为2b,虚半轴长为b
选修2-2 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质
第二章
情境引入
新知导学
关键能力
关关键键能能力力
为什么 y
b a
x
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1的渐近线？
y
如
图1,
先
取
双
曲
线x 2 a2
y2 b2
1
2.2.2双曲线的几何性质
例4.直线y kx与双曲线 4x2 y2 16
不可能( B )
y
A. 相交
B. B. 只有一个交点 C.C. 相离
x o
D.D. 有两个公共点
第28页，共40页。
例5. 过双曲线 x2 y2 1的右焦点F, 做直
3
线l与双曲线的两支都相交, 则直线l的倾斜
角α的取值范围是____________________ y
形 F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
O
A1 F1
F2(0,c) x
F1(0,-c)
方程
范围
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1(-a,0), A2(a,0)
关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a), A2(0,a)
离心率
渐进线
ybx a
第9页，共40页。
ya x b
4
25 16
相离
第23页，共40页。
练习:判断下列直线和双曲线x2-y2=4的位置关系.
1. y 1 x 3 2
相交 两个交点 △>0
2. y 13 x 3 2
3. y x 3
相切 一个交点 △=0
相交 一个交点 无△
第24页，共40页。
例2.过点(0, 3)作直线l, 如果它与双曲线
b B2
A1
A2
o a
x
ybx a
B1
y b x a
第7页，共40页。
直线y b x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 1的渐进线为：y 3 x
2
x2 y2 1的渐进线为：y x
2.2.2第2课时双曲线的简单几何性质课件-高二上学期数学北师大版选择性
离心率为 e 13 ;
3
渐近线方程为 y 2 x.
3
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结 由双曲线的方程求几何性质的步骤
化标准 定位置 求参数 写性质
对于非标准形式的双曲线方程要先化成标准形式
根据方程确定焦点在x轴上还是在y轴上 写出a2,b2的值，由a2+b2=c2得出c2的值 根据上面所求a,b,c,由焦点所在的坐标轴得出 所求的几何性质
a
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：双曲线的渐近线
阅读并讨论教材P64“思考交流”，尝试给出你的解释.
例4中双曲线x2-4y2=1上的点P(x,y)在第一象限时， y x
2
1 1 .
x2
当x
时，
1
1 x2
<1且无限逼近于1，y无限逼近于
x. 2
也就是说，当x 时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无
新授课 2.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解并掌握双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 2.会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
复习回顾：
方程 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
我们把 e
c 叫作双曲线
a
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率，用e表示.
∵c＞a＞0，e c >1. a
问题1： b 决定双曲线的开口大小，b 越大，双曲线的开口就越大，你知
a
a
道这是为什么吗？
双曲线的知识点
双曲线的知识点双曲线是二次曲线的一种，它有着独特的形状和特点，具有广泛的应用领域。
在数学中，双曲线的研究可以追溯到古希腊时期，一直延续至今。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及几个常见的双曲线方程。
1. 定义双曲线是一个点到两个固定点的距离之差等于一个常数的点集合。
这两个固定点被称为焦点，常数被称为离心率。
双曲线的形状可分为两支，中间没有实际的交点。
它的几何特征是曲线上的每一点到两个焦点的距离之差恒定，这个常数被定义为双曲线的离心率。
2. 性质（1）焦托性质：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于常数，而且双曲线上的每一点都有两个对称的焦点。
（2）渐近线性质：双曲线的两支曲线分别趋近于两条直线，这两条直线被称为双曲线的渐近线。
（3）对称性质：双曲线具有对称性，即关于原点和两条渐近线对称。
（4）参数方程：双曲线可以用参数方程来描述，例如常见的参数方程为x=a/cosh(t)，y=b*sinh(t)，其中a,b为常数，cosh和sinh分别是双曲函数。
3. 常见的双曲线方程（1）标准方程：双曲线的标准方程可表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1，其中a和b分别为双曲线的半轴。
当常数为1时得到的是右开口的双曲线，当常数为-1时得到的是左开口的双曲线。
（2）焦准方程：双曲线的焦准方程可表示为x^2 - y^2 = a^2 + b^2或x^2 - y^2 = a^2 - b^2，其中a和b分别为双曲线的离心率和半焦距。
4. 应用领域双曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学中，双曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于等高线图、极坐标、椭圆函数等领域。
在物理学中，双曲线常用于描述光学镜面反射、电磁波传播等现象，如光学器件中的抛物和双抛物面等。
总结而言，双曲线是一种独特的二次曲线，具有焦托性质、渐近线性质、对称性质等特点。
它可以通过标准方程或焦准方程进行描述，可用参数方程表示。
2.2.2双曲线的简单几何性质(2)课件高二上学期数学北师大版选择性
概念辨析
所有等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x．故错误．
共轭双曲线有相同的渐近线，但是离心率不同．故错误．
先将双曲线方程化为标准方程形式再进行求解．
求双曲线方程时，需要注意焦点（顶点）位置．
C D
D
➢ 知识点 (1)离心率；(2)渐近线；(3)求双曲线方程．
➢ 题型归纳 待定系数法．
类比椭圆，给出双曲线离心率的定义，并比较双曲线的离心率与椭圆的离心率有 什么不同？
椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那双曲线的离心率刻画 了双曲线的什么几何特征呢？双曲线的离心率表达式还有其他形式吗？
双曲线渐近线的定义
等轴双曲线与共轭双曲线各有什么样的特曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线． 共轭双曲线有相同的渐近线；有相同的焦距； 离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1．
➢ 易混点 设双曲线方程未考虑到参数的取值范围而致错．
教材第65页练习题．
第二章 圆锥曲线
● 2.2.2 双曲线的简单 ●几何性质(2)
1.掌握求双曲线离心率的方法； 2.会解决与渐近线有关的问题； 3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法．
双曲线几何性质，渐近线和离心率的求解．
双曲线的渐近线及离心率相关问题．
我们学习了双曲线的部分几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲 线基本问题的关键，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步学习双曲线的标 准方程及其几何性质，并运用它们解决有关双曲线的简单问题．
课件12：2.2.2 双曲线的简单几何性质
2
− 2 =(
−
2
=1共渐近线的双曲线方程可设为
2
≠ 0).
巩固训练
2
(1)求与椭圆
49
+
2
=1有相同焦点，且以
24
4
y=± x为渐近线的双曲线的方程.
3
2
(2)求与双曲线
3
的双曲线方程.
−
2
=1有共同渐近线，且过点(-1，2)
4
2
解：(1)椭圆
49
+
2
=1的焦点是F1(-5，0)，F2(5，0).
(2)若已知a，b，可直接利用e= 1 +
2
( )
得解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+q·
ac+r·a2=0(p，q，
r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
巩固训练
2 2
已知双曲线 + =1的离心率e∈(1，2)，则
4
m的取值范围是
(
)
−
2
2
= 1(a>0，b>0)，若矩形ABCD
的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且
2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________.
【解析】(1)由题意知圆心(1，2 2)在双曲线的渐近线
y= x上，则2
e= =3.
【答案】B
2= ，所以b2=8a2，即c2-a2=8a2，所以
2
3
=1的离心率e=2，渐近线方程为y=± x.
双曲线的几何性质 2019高考绝密资料
双曲线的几何性质主标题：双曲线的几何性质副标题：为学生详细的分析双曲线的几何性质的高考考点、命题方向以及规律总结 关键词：双曲线的几何性质，知识总结 难度：4 重要程度：5考点剖析：考查双曲线的简单的几何性质.命题方向：1.从考查内容看，高考中主要侧重于对双曲线的离心率、渐近线的考查； 2.从考察形式看，主要以选择题、填空题为主，属于中等题；有时也可与其他圆锥曲线结合出现在解答题中，具有一定难度。
知识梳理：双曲线的标准方程和几何性质知识延伸： 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)． 规律总结：解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝ba 或|m |＝a b讨论．标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A 1(－a,0)，A 2(a,0)顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a xy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a 、b 、c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0， ∴x >ln 2或x <0.令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)． (2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )． ∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立． ∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立． 由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.【备考策略】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．考点二利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝a ln x＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．解(1)由f(x)＝a ln x＋12x＋32x＋1，∴f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0.从而a－12＋32＝0，∴a＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋12x＋32x＋1(x>0)，∴f′(x)＝－1x－12x2＋32＝(3x＋1)(x－1)2x2.令f′(x)＝0，解得x＝1或－13(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．【备考策略】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 审题路线 (1)⎩⎨⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16⇒a ，b 的值；(2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )9＋c极大值极小值－9＋c由表知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。