2019-2020北京市各区九年级上数学期末数学试卷27题

（东城）27．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;

（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

图1图2

（西城）27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．

（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；

（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有1

MP AP，并说明理由．

=

2

图1 备用图

（海淀）27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．

（1）当△ABD为等边三角形时，

①依题意补全图1；

②PQ的长为_____________；

（2）如图2，当α=45°，且

4

3

BD 时, 求证：

PD=PQ；

（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）

（朝阳）27．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.

(1)根据题意补全图1；

(2)求证：①∠OAC=∠DCB；

②CD=CA（提示：可以在OA上截取OE=OC，连接CE）；

(3)点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意

的点C都有∠DCH=2∠DAH，写出你的猜想并证明.

图 1

Q

C

B

A

D

备用图

图1

（石景山）27．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；

（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明．

（门头沟）27．如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线

ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ． （1）依题意补全图形；

（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明； （3）连接AP ，设

AP

k OQ

=，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值；若不存在，请说明理由．

备用图

（房山）27.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以点B 为圆心、1为半

径作圆，设点M 为⊙B 上一点，线段CM 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CN ，连接BM 、AN ．

（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM ＝AN .

F

E

P D

C B

A

（2）连接MN ，若MN 与⊙B 相切，则∠BMC 的度数为________________. （3）连接BN ，则BN 的最小值为___________；BN 的最大值为___________

图27-1 备用图 备用图

（大兴）27.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角 △ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，

这个角是 ；

(2)

用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，

并证明.

（顺义）27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；

（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；

（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运

动的路线长．

（备用图）

E

D C

B A

E

D C

B A

（昌平）27.已知等边△ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD .

（1）若点E 是AC 上一点，且CE ＝BD ，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中

根据题意补全图形，直接写出△APE 的大小；

（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题

意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明.

图1 图2

（密云）27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接E C ． （1）如图1，若点M 在线段BD 上．

① 依据题意补全图1；

② 求∠MCE 的度数．

（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．

A

B

D

C

D

C

B

A

图1

图2