2018-2019学年北师大版数学选修4-5同步指导学案：第一章不等关系与基本不等式 5

2018学年北师大版高中数学选修4-5课件第一章不等关系与基本不等式本章高效整合1 精品

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内容精要：本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性质，基本不等式等)的基础上，继续学习不等式的知识，包括一些关于绝对值不等式的性质；平均不等式；证明不等式的方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；不等式的应用等等．本章知识的重点是不等式的基本性质，求解绝对值不等式和运用不等式的基本方法解决实际问题，掌握证明不等式的基本方法与技巧．
2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
课标要求：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋ b|≤c；|ax ＋ b|≥c ；|x－ a|＋|x － b|≥c；|x －a| ＋|x － b|≤c.
4．反证法和放缩法证明不等式反证法和放缩法 (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．
(2) 放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大 ( 或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．
两个不等式中等号成立的条件都是 a＝b，且 a＝b 是不等式中等号成立的充要条件．

2018学年北师大版高中数学选修4-5课件第一章不等关系与基本不等式 1.1.1、2 精品

解析： ∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.
答案： D
3．以下四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a； ④0＜b＜a.
其中使1a＜1b成立的充分条件是________．
解析： 1a＜1b⇔b－ aba＜0⇔b－a 与 ab 异号，依题设①②④ 能使 b－a 与 ab 异号．
答案： ①②④
1．实数的大小比较对于任意两个实数a、b，在a＞b，a＝b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立． (1)作差法判断两个实数大小只要考察它们的__差_就可以了． a＞b⇔__a_－_b_＞_0____， a＝b⇔__a_－__b_＝_0___， a＜b⇔__a_－_b_＜__0___.
(2)作商法当 a＞0，b＞0 时，我们可以用__求__商___的方法来比较两个数的大小．
(5)若ac＞bd，则 ad＞bc；
(6)若 a＞b，c＞d，则 a－d＞b－c.
A．(1)(2)
B．(4)(6)
C．(3)(6)
D．(3)(4)(5)
[思路点拨] 在利用不等式的性质判断命题结论的真假
时，关键是要搞清性质定理的条件与所研究的结论的条件是否
一致，如果一致则为真，而不一致的，往往只需举一个反例即
1．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小． [思路点拨] 作差是比较大小的常用方法．作差变形的关键是因式分解、合并成若干个平方的和的形式．解析：由题意可知： (x2＋1)2－(x4＋x2＋1) ＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1) ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 ＝x2.
A．1a＞1b C．|a|＞|b|
B．a－1 b＞1a D．a2＞b2
解析：取 a＝－2，b＝－1 得1a＞1b，a－1 b＜1a，|a|＞|b|， a2＞b2.故 B 不成立．

2018学年北师大版高中数学选修4-5课件第一章不等关系与基本不等式 1.3 精品

矩形 BCGH 和矩形 JCDI 的长均为 a，宽均为 b，它们的面积的和是 S 矩形 BCGH＋S 矩形 JCDI＝2ab.
2．重要不等式 a2＋b2≥2ab 和基本不等式a＋2 b≥ ab，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与 b 都为实数，并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而后者成立的条件 a 与 b 都为正实数，并且 a 与 b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如 a＝0，b＝0 仍然能使a＋2 b≥ ab成立．
定理3、4的理解
应用三个正数的算术—几何平均值不等式时还可能用到下
面的重要不等式链：
1a＋31b＋1c≤3 abc≤a＋3b＋c≤
a2＋b2＋c2 3.
在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大、最小值时，应注意的三点
1．函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变形为正数．
3．实际应用中的最值问题通常转化为 y＝ax＋bx型解决，考查形式多为小题，也有解答题．(易混点)
预习学案
1 ．定理 1 ：对 __任__意___ 的实数 a ， b ， __有__a_2_＋__b_2_≥_2_a_b____ __(_当__且__仅__当__a_＝__b_时__取__“__＝__”__号__)______ ．
[解题过程] y＝52x225－2x＝52x·x25－2x. ∵0≤x≤15，∴25－2x≥0. ∴y≤52x＋x＋325－2x3＝6475. 当且仅当 x＝x＝25－2x，即 x＝125时，ymax＝6475.
2．求函数 y＝x2(1－3x)在0，13上的最大值．
[思路点拨] 由于 x2＋1－3x 不是定值．所以把 x2 拆为 x·x， 1－3x 变为3223－2x再利用平均不等式求最值．

2019版高中数学第一章不等关系与基本不等式学案北师大版选修4-5

第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质 1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质学习目标1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ；性质2：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质4：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；推论2：a >b >0⇒a 2>b 2推论3：a >b >0⇒a n >b n，n ∈N ＋；推论4：a >b >0⇒a 1n >b 1n ，n ∈N ＋.自主探究1.利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； (2)a >b >0，d >c >0⇒a c >b d； (3)a >b ，ab >0⇒1a <1b.提示 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <d ⇒a －c >b －d 的推导过程是：c <d ⇒－c >－d ，对a >b 和－c >－d 应用不等式的同向不等式的可加性质得：a －c >b －d . (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0d >c >0⇒a c >bd 的推导过程是：d >c >0两边同乘 1cd(cd >0)，则1c >1d>0，应用不等式可乘性质得a c >bd.(3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a <1b 的推导过程是，因ab >0⇒1ab >0，不等式a >b 两边同乘1ab ，根据不等式的乘法性质得：1b >1a，即1a <1b.2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.典例剖析知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b，且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b ，且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0，且c >d >0⇒ a d >bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立. ∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad > bc成立. ∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2，得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√【反思感悟】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc，故选B. 答案 B知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x .【反思感悟】两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.2.比较x 2＋3与3x 的大小，其中x ∈R .解 ∵(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，∴x 2＋3>3x .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.【反思感悟】利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz . 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz ，ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az .故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝32时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1，且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件. 答案 A3.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b一、选择题1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 2解析取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立，选A. 答案 A2.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2－b 2≥0 B.ac ＞bc C.|a |＞|b |D.2a＞2b解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0＞a ＞b 时，C 不成立；由a ＞b 知2a ＞2b成立，故选D. 答案 D3.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0，∴a 2＞a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错. 答案 C4.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y 3＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D5.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3<0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D二、填空题6.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3. 答案 (27，56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63三、解答题8.已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，∵a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴（a －b ）2（a ＋b ）ab >0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .9.已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.10.已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1， ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.§2 含有绝对值的不等式 2.1 绝对值不等式学习目标1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测1.a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.2.|a －b |表示点a －b 与原点间的距离，也表示a 与b 之间的距离.3.a ，b ，c ∈R ，|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间时等号成立.自主探究1.你能证明：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |吗？提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.∴|ab|≥ab显然成立，∴原不等式成立.2.你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.典例剖析知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式【例2】函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<12.证明设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f (x 2)－f (x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<12.【反思感悟】对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7.知识点3 绝对值不等式的应用【例3】若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解法一 ∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.法二式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3.3.若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析根据去绝对值符号后函数的图像求解.由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.答案－6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a ·b |C.|a ＋b |≤|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2解析当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b . 故A 不恒成立. 答案 A2.已知|x 1－a |<ε，|x 2－a |<ε，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a <ε. 证明 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a ＝12|x 1＋x 2－2a |＝12|(x 1－a )＋(x 2－a )|≤12(|x 1－a |＋|x 2－a |) <12(ε＋ε)＝ε.3.设|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<ε.证明 |(x ＋y )－(a ＋b )| ＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |<ε2＋ε2＝ε.一、选择题1.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8 解析利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x |x <0，或x ＝1}C.{x |x >0，或x ＝－1}D.{x |x ≤－1，或x ≥1}解析由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |2＋12|x |≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A4.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |＜|b －c |，则( ) A.ad ＝bc B.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定解析 ∴a ＋d ＝b ＋c ， ∴a 2＋2ad ＋d 2＝b 2＋2bc ＋c 2，a 2＋d 2－b 2－c 2＝2bc －2ad ，∵|a －d |<|b －c |，∴a 2－2ad ＋d 2bc . 答案 C5.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B 二、填空题6.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0，又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]7.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2] 三、解答题8.已知|x ＋1|<ε4，|y －2|<ε4，|z ＋3|<ε4，求证：|x ＋2y ＋z |<ε.证明 |x ＋2y ＋z |＝|x ＋1＋2(y －2)＋z ＋3| ≤|x ＋1|＋|2(y －2)|＋|z ＋3|＝|x ＋1|＋2|y －2|＋|z ＋3|<ε4＋ε2＋ε4＝ε.∴|x ＋2y ＋z |<ε.9.若a ，b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明法一设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，有a ＝－(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，① 若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1，即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.因此，方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.法二假设方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有|a |＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|， |b |＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.将以上两个不等式相加，得|a |＋|b |≥1.这与已知|a |＋|b |<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值均小于1. 10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且当|x |≤1时，|f (x )|≤1，求证： (1)|c |≤1； (2)|b |≤1.证明 (1)由|f (0)|≤1，得|c |≤1. (2)由|f (1)|≤1，得|a ＋b ＋c |≤1，由|f (－1)|≤1，得|a －b ＋c |≤1， ∴|b |＝|（a ＋b ＋c ）＋（－a ＋b －c ）|2≤12(|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c |)≤1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.预习自测1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.2.|x|>a (a>0)⇔x>a或x<－a.3.|x|<a (a>0)⇔－a<x<a.4.a<0时，|x|≤a的解集为∅；|x|≥a的解集为R.5.|f(x)|<a (a>0)⇔－a<f(x)<a.6.|f(x)|>a (a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.7.|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).8.|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).9.|f(x)|<|g(x)|⇔f2(x)<g2(x).10.|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).自主探究1.如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.如何解|ax＋b|>|cx＋d|，|ax＋b|<|cx＋d|型的不等式？提示两边平方后转化成不含绝对值的不等式，解不含绝对值的不等式即可.3.你能归纳出解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤吗？提示(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.典例剖析知识点1 解|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式【例1】解不等式：(1)|x －a |≤b (b >0)；(2)|x －a |≥b (b >0). 解 (1)|x －a |≤b (b >0)⇔－b ≤x －a ≤b ⇔a －b ≤x ≤b ＋a .所以原不等式的解集为{x |a －b ≤x ≤a ＋b }. (2)|x －a |≥b ⇔x －a ≥b 或x －a ≤－b ⇔x ≥a ＋b 或x ≤a －b .所以原不等式的解集为{x |x ≥a ＋b 或x ≤a －b }.1.解不等式：(1)2|x |＋1>7；(2)|1－2x |<5. 解 (1)2|x |＋1>7⇔2|x |>6 ⇔|x |>3⇔x >3或x <－3.∴不等式的解集为{x |x >3或x <－3}. (2)|1－2x |<5⇔|2x －1|<5⇔－5<2x －1<5 ⇔－4<2x <6⇔－2<x <3. ∴不等式的解集为{x |－2<x <3}.知识点2 解|f (x )|<|g (x )|型不等式【例2】解不等式|x －a |<|x －b | (a ≠b ).解由|x －a |<|x －b |两边平方得：(x －a )2<(x －b )2. 整理得：2(a －b )x >a 2－b 2. 因a ≠b ，当a >b 时，x >a ＋b2；当a b 时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12（a ＋b ）；当a 0，|x 2－2x ＋3|<|3x －1|⇔x 2－2x ＋3<|3x －1| ⇔3x －1>x 2－2x ＋3或3x －1<－x 2＋2x －3⇔x 2－5x ＋4<0或x 2＋x ＋2<0.由x 2－5x ＋4<0，得：1<x <4，由x 2＋x ＋2<0，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74<0，该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1，4).知识点3 解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式【例3】解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25，或x >2.【反思感悟】对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.3.解不等式|x ＋1|－|2x －3|＋2>0.解令x ＋1＝0，∴x ＝－1，令2x －3＝0，∴x ＝32，(1)当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)>－(2x －3)－2， ∴x >2与条件x ≤－1矛盾，无解； (2)当－1<x ≤32时，原不等式化为x ＋1>－(2x －3)－2，∴x >0，故0<x ≤32；(3)当x >32时，原不等式化为x ＋1>2x －3－2，∴x <6，故32<x <6.综上，原不等式的解集为{x |0<x <6}.课堂小结解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：(1)根据实数的绝对值的意义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.(2)根据不等式的性质： |x |<a ⇔－a <x <a (a >0).(3)根据|a |2＝a 2(a ∈R )，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.随堂演练1.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4)D.(1，5)解析利用零点分区间法解绝对值不等式. ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件. |x －2|＜1⇔1＜x ＜3.由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 答案 A3.若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解. ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，故a ＝－3.答案－3一、选择题1.如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13解析解不等式1x <2得x <0或x >12.解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13.答案 B2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1}D.{x |x <1且x ≠－1}解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4D.－8解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4. 答案 C5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)D.(－4，－2)∪(0，2)解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5)B.[0，5)C.(－∞，1)D.[0，1]解析由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.解析思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.答案 0≤a ≤149.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.解析|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解去绝对值号，化成不等式组求解. 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.§3 平均值不等式(一)学习目标1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用(两个正数的)平均值不等式解决某些实际问题.预习自测1.定理1(重要不等式)：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b a ，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0，y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值(2)若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.自主探究1.你会证明不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)吗？提示 (1)∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . (2)∵a ＋b2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝（a －b ）22≥0(a >0，b >0)，∴a ＋b2≥ab .2.探究函数y ＝x ＋1x的单调性及函数图像的大体形状.提示定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2，∴当x 1，x 2∈(0，1)时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2， ∴y 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.又y 是奇函数，∴y 在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数.图像如图：典例剖析知识点1 不等式证明【例1】求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3，由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. 【反思感悟】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 又a ，b ，c ∈R *，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b ). 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c ). 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.知识点2 最值问题【例2】设x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解法一 2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.法二设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥83当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83.【反思感悟】利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值. 解由x ＋2y ＋xy ＝30，得y ＝30－x2＋x (0<x <30)，xy ＝30x －x 22＋x ＝－（2＋x ）2＋34（2＋x ）－642＋x＝34－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）＋64x ＋2，注意到(x ＋2)＋64x ＋2≥2 （x ＋2）·64x ＋2＝16，可得xy ≤18，当且仅当x ＋2＝64x ＋2，即x ＝6时等号成立.代入x ＋2y ＋xy ＝30中可得y ＝3.故xy 的最大值为18.知识点3 基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购芯片的平均价格为 20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ，∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab ，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b2>21a ＋1b，∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ，又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的. 2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为________.解析因为3a ＋b＝9，所以a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，所以f (ab )＝3ab≤3.答案 3一、选择题1.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D.答案 D2.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B4.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A. 3－1 B. 3＋1 C.2 3＋2D.2 3－2解析 a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2 （a ＋b ）（a ＋c ）＝2 4－2 3＝2 3－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D5.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2D.a ≥3解析 x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y ，对任意实数x 、y 都成立，则a ≥－y 2－2y －x 2－2x ＝2－(x ＋1)2－(y ＋1)2恒成立，而2－(x ＋1)2－(y ＋1)2≤2，∴a ≥2. 答案 C6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0)B.y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解析 A 中的函数式，x 5与5x 都不一定是正数，故可排除A ；B 中的函数式，lg x 与1lg x都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x ＝1lg x，即x ＝10与1<x <10矛盾，。

2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2不等式的性质学案北师大版选修4_5

1.2 不等式的性质学习目标 1.理解不等式的性质，并掌握不等式的性质.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．知识点不等式的性质(1)性质1(对称性)：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .(2)性质2(传递性)：如果a >b ，b >c ，那么a >c . (3)性质3(加法性质)：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c . ①移项法则：如果a ＋b >c ，那么a >c －b .②推论(加法法则)：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (4)性质4(乘法性质)：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .①推论1(乘法法则)：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . ②推论2(平方法则)：如果a >b >0，那么a 2>b 2.③推论3(乘方法则)：如果a >b >0，那么a n>b n (n 为正整数)． ④推论4(开方法则)：如果a >b >0，那么1na >1nb (n 为正整数).类型一不等式的性质的应用例1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若a ＞b ＞0，则1a ＜1b；(2)若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a ＞bc －b；(3)若a c ＞b d，则ad ＞bc ；(4)设a ，b 为正实数，若a －1a ＜b －1b，则a ＜b .解 (1)正确．因为a ＞b ＞0，所以ab ＞0.两边同乘以1ab ，得a ·1ab ＞b ·1ab ，得1b ＞1a.(2)正确．因为c －a ＞0，c －b ＞0，且c －a ＜c －b ，所以1c －a ＞1c －b ＞0. 又a ＞b ＞0，所以a c －a ＞bc －b.(3)不正确．因为a c ＞b d ，所以a c －b d＞0，即ad －bccd＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ＞0，cd ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ＜0，cd ＜0，即ad ＞bc 且cd ＞0或ad ＜bc 且cd ＜0.(4)正确．因为a －1a＜b －1b，且a ＞0，b ＞0，所以a 2b －b ＜ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a ＜0⇒ab (a－b )＋(a －b )＜0⇒(a －b )(ab ＋1)＜0，所以a －b ＜0，即a ＜b . 反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧 ①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 ①倒数法则要求两数同号；②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定； ③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．跟踪训练1 下列命题中正确的是________．(填序号) ①若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ad ＜b c； ②若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＋5≥2(2a －b )； ③若a ，b ∈R ，a ＞b ，则a 2＞b 2； ④若a ，b ∈R ，a ＞b ，则a c 2＋1＞bc 2＋1. 答案 ②④解析对于①，∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c＞0，∴a d ＞b c ＞0，∴a d ＞bc，∴①不对；对于②，a 2＋b 2＋5－(4a －2b )＝a 2－4a ＋b 2＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2＋5≥2(2a －b )，∴②对；对于③，由于a ＞b 不能保证a ，b 同时大于0， ∴a 2＞b 2不成立，∴③不对；对于④，∵c 2＋1＞0，∴由a ＞b ，可得a c 2＋1＞bc 2＋1， ∴④正确．类型二利用不等式的性质证明不等式例2 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，求证：ba －c ＜ab －d.证明 ∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0. 又a ＞b ＞0， ∴a －c ＞b －d ＞0， ∴0＜1a －c ＜1b －d. 又0＜b ＜a ， ∴ba －c ＜ab －d.引申探究1．若本例条件不变，求证：3a d＜3b c. 证明 ∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0， ∴0＜1－c ＜1－d .∴a －d ＞b－c＞0， ∴3a－d＞3b－c，即－3a d＞－3b c， ∴3a d＜3b c. 2．若本例条件不变，求证：ac a －c ＜bd b －d. 证明 ∵a ＞b ＞0，∴1b ＞1a＞0.又∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0， ∴1－d ＞1－c＞0. ∴1b ＋1－d ＞1a ＋1－c ＞0，即d －b bd ＞c －aac ＞0， ∴ac c －a ＞bd d －b ＞0， ∴ac a －c ＜bd b －d. 反思与感悟进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练2 已知a ＞0，b ＞0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明 b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b －b ＝(b ＋a )(b －a )a ＋(a ＋b )(a －b )b ＝(a －b )(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝1ab(a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，∴1ab (a －b )2(a ＋b )≥0，即b 2a ＋a 2b≥a ＋b .类型三利用不等式的性质求代数式范围例3 设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b ，于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.反思与感悟 (1)应用同向不等式相加性质时不能多次使用，否则范围将会扩大． (2)整体代换思想，是解这类问题常用的方法．跟踪训练3 已知①－1≤a ＋b ≤1，②1≤a －b ≤3，求3a －b 的取值范围．解设3a －b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由①＋②×2，得－1＋2≤(a ＋b )＋2(a －b )≤1＋3×2，即1≤3a －b ≤7.1．若a ＜b ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2B ．ab ＜a 2C.b a ＋ab＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |答案 A解析 ∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，即(－a )2＞(－b )2，∴a 2＞b 2.2．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 ∵q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．但p ⇏q ，∴p 不是q 的充分条件． 3．若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( ) A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a答案 D解析 ∵－1＜b ＜0， ∴b ＜b 2＜1. ∵a ＜0， ∴ab ＞ab 2＞a .4．下列命题中不正确的是( )A ．若3a ＞3b ，则a ＞bB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －cC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞bcD ．若a ＞b ＞0，ac ＞bd ，则c ＞d 答案 D解析只有当c ＞0且d ＞0时，才有a ＞b ＞0，ac ＞bd ⇒c ＞d .5．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案 A解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.1．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行．2．利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式的性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．一、选择题1．已知a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，给出下列不等式：(1)ad ＞bc ；(2)a －c ＞b －d ；(3)a (d －c )＞b (d －c )．其中成立的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析因为a ＞0，b ＜0，c ＜d ＜0，所以ad ＜0，bc ＞0，故(1)不成立；因为a ＞b ，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ，所以a －c ＞b －d ，故(2)成立；由c ＜d ＜0，知d －c ＞0，又a ＞0＞b ，所以a (d －c )＞b (d －c )，故(3)成立． 2．已知实数a ，b ，c 同时满足下列条件：(1)abc >0；(2)ab ＋bc ＋ca <0；(3)a >b >c . 有下列判断：①a >0；②b >0；③c >0；④bc >0. 其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵abc >0，a >b >c ， ∴a >0，bc >0.又∵ab ＋bc ＋ca <0，∴b <0，c <0. 3．已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 ∵a >b >1，∴a －1>b －1>0， ∴1a －1<1b －1. 取a ＝－1，b ＝2，有1a －1<1b －1，但不满足a >b >1. ∴“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的充分不必要条件，故选A. 4．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1a ＜1bB.1a ＞1bC ．a ＞b 2D ．a 2＞2b答案 C解析 ∵－1＜b ＜1，∴b 2＜1＜a . 5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a答案 A解析由c a ＋b＜a b ＋c＜b c ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋cb ＋c＜a ＋b ＋cc ＋a.又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c ，可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a ，可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .6．设a ，b ∈(－∞，0)，则“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 a ，b ∈(－∞，0)， ∵a ＞b ，∴1a ＜1b ，即－1a ＞－1b，∴a －1a＞b －1b，∴“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”成立的充分条件．又由a －1a ＞b －1b ⇒a －b ＋1b －1a ＞0⇒(a －b )＋a －b ab ＞0⇒(a －b )·ab ＋1ab＞0⇒a －b ＞0⇒a ＞b .∴“a ＞b ”又是“a －1a ＞b －1b”成立的必要条件．故“a >b ”是“a >1a >b －1b”成立的充要条件．故“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的充要条件．二、填空题7．已知a ，b ，c 是实数，则a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小关系是__________．答案 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca解析 ∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 8．若a ，b ，c 均为实数，下列四个条件： ①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 3>b 3；④a －c >b －c .其中能成为a >b 的充分不必要条件的序号是________．答案 ①解析 ①由ac 2>bc 2⇒a >b ，反之不成立，∴ac 2>bc 2是a >b 的充分不必要条件； ②∵a c >b c ，∴a c －b c ＝a －bc>0.∵c 的符号不能确定， ∴a ，b 的大小关系不确定； ③a 3>b 3是a >b 的充要条件； ④a －c >b －c 是a >b 的充要条件． 9．在以下四个条件中：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a <1b成立的序号为________．答案 ①②④解析 ①∵b >0>a ，∴1b >0>1a；②∵0>a >b ，∴1a <1b <0；③∵a >0>b ，∴1a>0>1b；④∵a >b >0，∴1b >1a>0.10．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .以其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成________个正确命题．答案 3解析若ab ＞0，bc ＞ad 成立，不等式bc ＞ad 两边同除以ab ，得c a ＞d b，即ab ＞0，bc ＞ad ⇒c a ＞d b；若ab ＞0，c a ＞d b 成立，c a ＞d b两边同乘以ab ，得bc ＞ad ，即ab ＞0，c a ＞d b⇒bc ＞ad ；若c a ＞d b ，bc ＞ad 成立，由于c a －d b ＝bc －adab ＞0，又bc －ad ＞0，故ab ＞0，所以c a ＞d b，bc ＞ad ⇒ab ＞0.综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．三、解答题11．已知a >b >c >d >0，且a b ＝c d，求证：a ＋d >b ＋c . 证明 ∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －dd. ∴(a －b )d ＝(c －d )b .又∵a >b >c >d >0，∴a －b >0，c －d >0，b >d >0且bd>1， ∴a －bc －d ＝bd>1，∴a －b >c －d ，即a ＋d >b ＋c . 12．已知a ，b ，c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋ac.证明由⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －c a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －a b 2≥0，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥0. 所以a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c.13．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. ∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0， ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0，∴1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2.四、探究与拓展14．设x ，y ∈R ，判定下列各题中，命题A 与命题B 的充分必要关系．(1)命题A ：⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0；命题B ：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.(2)命题A ：⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2；命题B ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4，xy >4.解 (1)若a >0且b >0，由实数的性质可知，a ＋b >0，且ab >0.若ab >0⇒a ，b 同号，又a ＋b >0⇒a ，b 同正，即a >0，b >0.所以命题A 是命题B 的充要条件．(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x >2>0，y >2>0⇒x ＋y >4，xy >4.(不等式的性质)11 反之不然，如反例，当x ＝6，y ＝1时，有x ＋y ＝6＋1＝7>4，xy ＝6>4，但x >2，y <2，即x >2，且y >2不成立，所以命题A 是命题B 的充分不必要条件．15．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．解设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋λ2＝1，λ1－2λ2＝3，解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，∴－113≤a ＋3b ≤1，即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.。

[推荐学习]高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质学案北师大版选修4_5

§1 不等式的性质1．理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义，掌握求差比较法和求商比较法．2．掌握不等式的性质，并能进行证明．3．会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式．1．实数大小的比较(1)求差比较法．①a ＞b ⇔______；②______⇔a －b ＜0；③a ＝b ⇔______．判断两个实数a 与b 的大小归结为判断它们的差a －b 的符号，至于差究竟是多少则是无关紧要的．(2)求商比较法．当a ＞0，b ＞0时，①a b ＞1⇔______；②______⇔a ＜b ；③a b ＝1⇔______．答案：(1)①a －b ＞0 ②a ＜b ③a －b ＝0 (2)①a ＞b ②a b＜1 ③a ＝b【做一做1－1】比较大小：x 2＋3__________3x (其中x ∈R )．【做一做1－2】比较1816与1618的大小．2．不等式的性质(1)性质1：如果a ＞b ，那么______；如果b ＜a ，那么______．(2)性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么______．(3)性质3：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞______．推论：如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞______．(4)性质4：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ____bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ____bc ．推论1：如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞____．推论2：如果a ＞b ＞0，那么a 2____b 2．推论3：如果a ＞b ＞0，那么a n ____b n (n 为正整数)．推论4：如果a ＞b ＞0，那么1n a ____1n b (n 为正整数)．(1)引导学生掌握性质的证明方法，举反例是证明命题错误的主要方法，证明过程体现数学的严谨性．(2)特别注意性质4使用的前提，不等号方向取决于c 的符号．【做一做2－1】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ． (2)如果a ＞b ，那么a c ＞b c．【做一做2－2】若a ＞b ＞c ，则下列不等式成立的是( )． A ．1a －c ＞1b －c B ．1a －c ＜1b －cC ．ac ＞bcD ．ac ＜bc 答案：1．(1)①a －b ＞0 ②a ＜b ③a －b ＝0 (2)①a ＞b ②a b＜1 ③a ＝b【做一做1－1】＞ (x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3－94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34＞0，即x 2＋3＞3x ．【做一做1－2】分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用求商的方法．解：18161618＝⎝ ⎛⎭⎪⎫181616·1162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9816·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98216， ∵982∈(0,1)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫98216＜1． ∵1816＞0,1618＞0，∴1816＜1618．2．(1)b ＜a a ＞b (2)a ＞c (3)b ＋c b ＋d (4)＞＜ bd ＞＞＞【做一做2－1】分析：从不等式的性质找依据，与性质相符的为真，与性质不相符的为假．解：(1)真命题．理由：根据不等式的性质3，由a ＞b ，可得a ＋(－c )＞b ＋(－c )，即a －c ＞b －c ．(2)假命题．理由：由不等式的性质4可知，如果a ＞b ，c ＜0，则a c ＜b c，即不等式的两边同乘以一个数时，必须明确这个数的正负．【做一做2－2】B ∵a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c ＜1b －c ．1．比较两个实数的大小剖析：比较两个实数a ，b 的大小，可以转化为a ，b 的差与0的大小比较，这种比较大小的方法称为求差比较法．它的主要步骤是：(1)作差；(2)变形(分解因式，配方等)；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中最关键的是第(2)步，变形要有利于判断差的符号才行．比较两个实数a ，b 的大小，也可以转化为a 与b 的商与1的大小比较，这种比较大小的方法称为求商比较法．它的主要步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)下结论．其中最关键的是第(3)步，在第(4)步中要注意不等号的方向，不等号的方向受分母的符号的影响．2．不等式和等式的基本性质的区别与联系剖析：区别：在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况：若这个数为正数，则不等号方向不变，若这个数为负数，则不等号方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，对等式(或不等式)两边形式的变化相同，讨论的都是两边同时加上或减去，同时乘以或除以(除数不为0)同一个数时的情况．题型一利用作差法比较大小【例1】比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．分析：此题为两个代数式比较大小，可先作差，然后展开，合并同类项后，判断差值的正负．反思：利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．如本题，只需看差－7的正负即可．题型二利用作商法比较大小【例2】已知a ＞b ＞c ＞0，比较a 2a b 2b c 2c 与a b ＋c b c ＋a c a ＋b 的大小．分析：用求差比较法不易变形，所以用求商比较法．反思：用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．题型三利用不等式的性质证明不等式【例3】已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，且a b ＝cd，求证：a ＋d ＞b ＋c ．分析：利用不等式的性质，将已知等式进行适当变形，注意符号的变化．反思：在证明不等式时，往往不等式的性质和比例式的性质联合使用，使式子间转换更迅速．如本题，不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息．因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例性质的应用技巧．题型四易错辨析【例4】已知函数f (x )＝ax 2－c ，－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．错解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，由(1)，(2)利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3,1≤c ≤7，(3)∴由f (3)＝9a －c ，可得－7≤f (3)≤26．错因分析：由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式的性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a ，c 的范围扩大，这样f (3)的范围也随之扩大了．反思：解本题时，利用f (1)，f (2)设法表示a ，c ，然后再代入f (3)的表达式中，从而用f(1)和f (2)来表示f (3)，最后运用已知条件确定f (3)的取值范围．答案：【例1】解：由题意，作差得(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，所以(a ＋3)(a －5)＜(a ＋2)(a －4)．【例2】解：由a ＞b ＞c ＞0，得a 2a b 2b c 2c ＞0，a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＞0．所以a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a c b ＝a a －b ·a a －c ·b b －c ·b b －a ·c c －a ·c c －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c ． ∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a －b ＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1．同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ＞1． ∴a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a ca ＋b ＞1，即a 2a b 2bc 2c ＞a b ＋c b c ＋a c a ＋b ．【例3】证明：∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －d d． ∴(a －b )d ＝(c －d )b ．又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0，∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且b d＞1， ∴a －b c －d ＝b d＞1， ∴a －b ＞c －d ，即a ＋d ＞b ＋c ．【例4】正解：由⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13[f 2－f 1]，c ＝13f 2－43f 1.∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)． ∵－4≤f (1)≤－1，∴53≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－53f (1)≤203．(1) 又－1≤f (2)≤5，故－83≤83f (2)≤403．(2) 把(1)，(2)两边分别相加，得－1≤83f (2)－53f (1)≤20，∴－1≤f (3)≤20．1对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0．其中真命题的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )．A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a3设a ＞1，－1＜b ＜0，则a ，b ，－a ，－b ，－ab 按由大到小的顺序排列是__________．4若x ∈R ，则x 2－x 与x －2的大小关系是__________．答案：1．C ①∵c 的正、负或是否为零未知，∴无法判断ac 与bc 的大小，故该命题是假命题．②由ac 2＞bc 2，知c ≠0．又c 2＞0，∴a ＞b ．故该命题是真命题．③⎭⎪⎬⎪⎫a <b <0a <0⇒a 2＞ab ，⎭⎪⎬⎪⎫a <b b <0⇒ab ＞b 2， ∴a 2＞ab ＞b 2．故该命题为真命题． ④a ＞b ＞0⇒－a ＜－b ⇒c －a ＜c －b ． ∵c ＞a ，∴c －a ＞0，∴0＜c －a ＜c －b ．两边同乘以1c －a c －b ，得1c －a ＞1c －b ＞0．又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞b c －b ．故该命题为真命题．⑤a ＞b ⇒a －b ＞0，1a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －a ab＞0． ∵a －b ＞0，∴b －a ＜0，∴ab ＜0．又a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故该命题为真命题．综上可知，命题②③④⑤都是真命题．2．D ∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1，∴1－b 2＞0，∴ab －a ＝a (b －1)＞0．∴ab ＞a ．又ab －ab 2＝ab (1－b )＞0，∴ab ＞ab 2．又a －ab 2＝a (1－b 2)＜0，∴a ＜ab 2．故ab ＞ab 2＞a ．3．a ＞－ab ＞－b ＞b ＞－a 依题意，知a ＞－b ＞b ＞－a ，－ab ＞0，且|b |＜－ab ＜|a |，即－b ＜－ab ＜a ，∴a＞－ab＞－b＞b＞－a．4．x2－x＞x－2 运用作差比较法．(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0．所以x2－x＞x－2．。

2018-2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式 5 不等式的应用学案北师大版选修4-5

§5 不等式的应用学习目标 1.了解不等式应用的广泛性.2.能用不等式解决一些生产及生活中的问题．知识点一平均值不等式写出平均值不等式 (1)a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，“＝”号成立．(2)a ＋b ＋c3≥3abc (a ，b ，c ∈R ＋)，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”号成立．知识点二不等式的应用 1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题． 2．解不等式应用问题的四个步骤 (1)审题，必要时画出示意图．(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量之间的不等关系． (3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号． (4)作出问题结论．类型一列不等式解实际应用题例1 某学校为提高办学质量，决定为各班教室配置一台液晶电视机，经过学校研究，决定分别从两种质量相当的电视机品牌中选择功能相同的电视机型号．据了解，甲型号电视机为家电下乡政府补贴品牌，每台享受13%政府补贴优惠政策(即按原价的87%出售)，乙型号电视机的优惠条件是：不超过20台(含20台)时，每台按原价出售，超过20台时，超过的台数，每台按原价的77%出售．如果这两种型号的电视机原价相同，你觉得应该选择哪种型号的电视机更合算？解设学校要购买x (x ∈N ＋)台电视机，甲、乙两种型号的电视机售价总额分别为y 甲元、y 乙元，一台电视机的售价为a 元，则y 甲＝0.87ax ，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ，x ≤20，20a ＋(x －20)×0.77a ，x >20.当x ≤20时，显然选甲型号电视机更合算．当x >20时，y 甲－y 乙＝0.87ax －[20a ＋(x －20)×0.77a ] ＝0.87ax －20a －0.77ax ＋15.4a ＝0.1ax －4.6a .故当x <46时，选甲型号电视机更合算；当x ＝46时，两种型号电视机售价总额相同；当x >46时，选乙型号电视机更合算．反思与感悟利用不等式表示不等关系时，要注意以下两点 (1)根据题意，利用引入的变量表示出其他所涉及的变量．(2)要准确地使用不等号，同时注意实际情况对表示各量的字母取值范围的限制．跟踪训练1 某校园内有一边长为80m ，宽为60m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度(单位：m)的范围是________________．答案 (0,10]解析设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(80－2x )m ，宽为(60－2x )m. 根据题意知(80－2x )(60－2x )≥12×80×60，即4x 2－140×2x ＋12×80×60≥0，整理得x 2－70x ＋60×10≥0，即(x －60)(x －10)≥0，所以0<x ≤10或x ≥60，x ≥60不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度(单位：m)的范围为(0,10]．类型二实际应用问题中的最值问题例2 如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．解设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0＜x ＜1)，则OB 1＝B 1B 2＝x ，如图．由正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1， ∴A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x . 作B 1C 1⊥A 1A 2于点C 1，在Rt△A 1C 1B 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝S ·h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6·34x 2·32(1－x )＝94x 2(1－x )(0＜x ＜1)．则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x (2－2x )≤98·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋(2－2x )33＝13，当且仅当x ＝x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)验证相等条件，得出结论．跟踪训练2 已知球的半径为R ，球内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，求当r 和h 为何值时，内接圆柱的体积最大？解设内接圆柱的体积为V ，又R 2＝r 2＋h 24，∴r 2＝R 2－h 24，∴V ＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎪⎫R 2－h 24h ＝π4(4R 2－h 2)·h＝π4(4R 2－h 2)2·h 2＝π412(4R 2－h 2)2·2h 2≤π412×⎝ ⎛⎭⎪⎫8R 233＝439πR 3，当且仅当4R 2－h 2＝2h 2，即h ＝233R 时，等号成立，此时r ＝63R .∴当h ＝233R ，r ＝63R 时，内接圆柱的体积最大，为439πR 3.1．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山(原路返回)的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是12(v 1＋v 2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t 1，t 2的关系为( ) A ．t 1>t 2 B ．t 1<t 2 C ．t 1＝t 2 D ．不能确定答案 A解析设s 为上山路程，则下山路程也为s .t 1＝s v 1＋s v 2>2s 2v 1v 2＝2s v 1v 2， t 2＝2s12(v 1＋v 2)＝4s v 1＋v 2<4s 2v 1v 2＝2s v 1v 2，∴t 1>t 2.2．某城市为控制用水计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0<q <p <1)( ) A ．先提价p %，再提价q % B ．先提价q %，再提价p % C ．两次都提价q 2＋p 22%D ．两次都提价p ＋q2%答案 C解析由题可知，A ，B 提价均为(1＋p %)(1＋q %)－1，C 提价⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2－1，D 提价⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2－1. 由pq <p ＋q2<p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)－1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2－1<⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2－1，故提价最多的方案是C.3．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0<a 0)，已知船在静水中的速度为v 2(v 2>0)，试比较v 1和v 2的大小．解设水流速度为v (v >0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝sv 2＋v ＋sv 2－v＝2sv 2v 22－v2， ∴平均速度v 1＝2s t ＝v 22－v 2v 2.∵v 1>0，v 2>0，∴v 1v 2＝v 22－v2v 2v 2＝v 22－v 2v 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫v v 22<1， ∴v 1<v 2.利用不等式解决实际应用问题时应注意：(1)要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值．(2)分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量或不等式)．(3)利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 取值范围的制约．一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均销售量(如前10天的平均销售量为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．16解析平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π答案 B解析设圆柱的底面半径为r ，则高h ＝6－4r2＝3－2r .∴V ＝πr 2(3－2r )＝πr ·r (3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝π.3．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为8n，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D ．4楼答案 C解析此人不满意程度越小，楼层越好．设y ＝n ＋8n ，易知函数y ＝x ＋8x的递减区间为(0,22)，递增区间为[22，＋∞)．当n ＝2时，y ＝6；当n ＝3时，y ＝523.因此选3楼不满意度最小．4．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析因为a ＋b ＝1，所以α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋1＋ab≥5，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立，5．若关于x 的方程9x＋(4＋a )·3x＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[－8,4) D ．(－∞，－8]答案 D解析由9x ＋(4＋a )·3x＋4＝0可得出a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋43x －4≤－23x·43x －4＝－8，当且仅当3x＝2时“＝”成立， ∴a ∈(－∞，－8]．6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B 解析由题意xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 二、填空题7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．答案 14解析设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab . 解得ab ≤12.所以直角三角形面积S ＝12ab ≤14.8．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了________天．答案 800解析日平均耗资为32000＋n ·12·⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n ＝32000n ＋n 20＋9920≥232000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当32000n ＝n20，即n ＝800时取等号．9．某产品的总成本c (万元)与产量x (台)之间满足的关系式为c ＝300＋20x －x 2，其中0<x <240，若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为______台．答案 15解析由题意可知300＋20x －x 2≤25x ，解得x ≥15或x ≤－20(舍去)．10．周长为20的矩形绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为________．答案 50π解析设矩形的长为x ，则宽为10－x ，则圆柱的侧面积S ＝2πx ·(10－x )(0<x <10)．∵x >0,10－x >0，∴S ＝2πx ·(10－x )≤2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝2π×25＝50π，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时取等号． 11．制造一个容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．答案 393 392解析设此圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米，则底面面积为πr 2，侧面积为2πrh ，设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r ，∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.三、解答题12．某小区要建一座八边形的休闲区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺草坪，造价为每平方米80元．(1)设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的关系式； (2)当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值．解 (1)设DQ 长为y 米，则x 2＋4xy ＝200， ∴y ＝200－x 24x，∴S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2. (2)∵x >0，∴S ≥38000＋216×108＝118000，当且仅当x ＝10时，等号成立， ∴S min ＝118000.13．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f (x )模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①f (x )＝x150＋2；②f (x )＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解 (1)公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )是增函数； ②f (x )≤x5恒成立；③f (x )≤9恒成立． (2)①对于函数模型f (x )＝x150＋2，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，则f (x )max ＝f (1000)＝1000150＋2＝203＋2<9，所以f (x )≤9恒成立．因为函数f (x )x ＝1150＋2x在[10,1 000]上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x max ＝1150＋15>15，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求． ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，则f (x )max ＝f (1000)＝4lg1000－3＝9，所以f (x )≤9恒成立．设g (x )＝4lg x －3－x5，则g ′(x )＝4lge x －15.当x ≥10时，g ′(x )＝4lge x －15≤2lge －15＝lge 2－15<0，所以g (x )在[10,1 000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1<0，所以4lg x －3－x5<0，即4lg x －3<x 5，所以f (x )≤x5恒成立，故该函数模型符合公司要求．四、探究与拓展14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )是偶函数，所以由f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)知，2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，解得12＜a ＜32. 15．等差数列{a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝1，且b 2S 2＝64，{n a b }是公比为64的等比数列．(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34. (1)解设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎨⎧1n n a a b b＋＝q 3＋nd －1q 3＋(n －1)d －1＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64. ① 由(6＋d )q ＝64知，q 为正有理数，又由q ＝62a 知，d 为6的因数1,2,3,6之一，解①得d ＝2，q ＝8.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明 S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34.。

高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4_5

§5 不等式的应用1．进一步掌握不等式的性质，并应用不等式的性质解决一些简单的实际问题． 2．能用定理2和定理4求函数的最值，并能解决实际应用问题．对定理2、定理4的理解(1)定理2：对任意的两个数a ，b ，有a ＋b2≥______(此式当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．(2)定理4：对任意的三个数a ，b ，c ，有________≥3abc (此式当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号)．【做一做1】已知2x ＋3y＝2(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值为________．【做一做2】函数y ＝x 2＋4＋8x(x ＞0)的最小值为________．【做一做3】已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值是( )．A ．16B ．15C ．14D ．13 答案：(1)ab (2)a ＋b ＋c3【做一做1】6 已知2＝2x ＋3y，∵x ＞0，y ＞0， ∴2＝2x ＋3y ≥26xy，即xy ≥6⎝⎛ 当且仅当2x＝⎭⎪⎫3y，即x ＝2，y ＝3时取“＝”号．∴xy 的最小值为6．【做一做2】3316＋4 ∵x ＞0，∴y ＝x 2＋8x ＋4＝x 2＋4x ＋4x＋4≥33x 2·4x ·4x＋4＝3316＋4．当且仅当x 2＝4x，即x ＝34时取“＝”号，∴所求最小值为3316＋4．【做一做3】A ∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy，即x ＝4，y ＝12时等号成立．故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值为16．1．重要不等式的理解剖析：当a ，b ，c ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab ，a 3＋b 3＋c 3≥3abc ；当a ，b ，c 为正实数时，a ＋b ≥2ab ，a ＋b ＋c ≥33abc ．两组不等式成立的条件是不同的，但等号成立的条件均为a ＝b ＝c ．2．三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或n 个数的平均值不等式都要求是正数，否则不等式是不成立的．“二定”：包含两类求最值问题，一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值；“三相等”：取等号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等．题型一利用均值不等式求函数的最值【例1】(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值；(2)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值．反思：在利用均值不等式求最值时，往往需将所给不等式变形，拆分或拼凑都是常见的方法，但在变化过程中要注意式子的等价性及符号不等式的条件．题型二利用均值不等式解决实际问题【例2】一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，问矩形的长和宽各为多少时，用纸最省？分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等式求最值．反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题．题型三易错辨析【例3】求函数y ＝1－2x －3x的最值．错解：y ＝1－2x －3x＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x ．∵2x ＋3x≥22x ·3x＝26．∴y ≤1－26，故y 的最大值为1－26．错因分析：重要不等式a ＋b ≥2ab 成立的前提条件是a ＞0，b ＞0．以上解题过程中没有注意这个前提条件．反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”．答案：【例1】解：(1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－2x ≤－2－x1－2x＝－2．当且仅当x ＝－22时，取“＝”号， ∴所求最大值为－2． (2)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a28．当且仅当x ＝a4时，取“＝”号．∴所求最大值为a 28．【例2】解：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为：y ＝(x ＋8)⎝ ⎛⎭⎪⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x＝480＋6⎝⎛⎭⎪⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2x ·72×8x＝768．当且仅当x ＝72×8x，即x ＝24时取等号．此时宽为43224＝18 cm ．所以当矩形的长为24 cm ，宽为18 cm 时，用纸最省．【例3】正解：当x ＞0时，y ＝1－2x －3x＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3x ≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时，等号成立．∴y max ＝1－26．当x ＜0时，y ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x ≥1＋2－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＝1＋26，当且仅当－2x ＝－3x ，即x ＝－62时等号成立，∴y min ＝1＋26．1下列函数的最小值是2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2 C ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2D ．y ＝tan x ＋1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π22函数y ＝3x ＋4x2(x ＞0)的最小值是( )．A ．39B ．239C ．339D ．4393函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值与最小值的差是__________．4已知球的半径为R ，球内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，则r 和h 为何值时，内接圆柱的体积最大？答案：1．D 选项A 中，x ＜0时不满足；选项B 中，等号取不到；选项C 中，当x 2＋2＝1x 2＋2时，得到x 2＝－1显然不成立．故选项D 正确．2．C ∵x ＞0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2×3x 2×4x2＝339，当且仅当3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号．3．1639∵y 2＝16sin 2x sin 2x cos 2x ＝8(sin 2x sin 2x ×2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427，∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取“＝”号．∴y max ＝893，y min ＝－893．∴y max －y min ＝1693．4．解：如图，设内接圆柱的体积为V ，又R 2＝r 2＋h 24，∴r 2＝R 2－h 24．则有V ＝πr 2h ＝π(R 2－h24)h＝π4(4R 2－h 2)h ＝π4R 2－h 22h 2＝π412R 2－h 2R 2－h 2h 2≤π412⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2－h 2＋4R 2－h 2＋2h 233＝π412×R 2327＝439πR 3．当且仅当4R 2－h 2＝2h 2．即3h 2＝4R 2，h ＝233R 时，等号成立．此时r ＝63R ．所以当r ＝63R ，h ＝233R 时，内接圆柱的体积最大，为439πR 3．。

2018-2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末复习学案北师大版选修4-5

第一章不等关系与基本不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的4个基本性质及5个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：①根据绝对值的定义；②分区间讨论(零点分段法)；③图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离；②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)；③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)；④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)；⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0)．4．平均值不等式(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．(2)定理2：若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．(3)定理3：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．(4)定理4：若a ，b ，c ∈R ＋，则a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一绝对值不等式的解法例1 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．方法二分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅；当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3，即x ＞1， ∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式解集为{x |x ＞1}． (2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型二不等式的证明例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明．跟踪训练2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号可知，原不等式成立． (2)abc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc，在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，∵ab ＋bc ＋ca ＝1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．类型三利用平均值不等式求最值例3 已知x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为______．答案 3解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟利用基本不等式求最值问题一般有两种类型 (1)当和为定值时，积有最大值．(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为________．答案 4解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x，∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin x cos x ＝4，当且仅当tan x ＝12时取“＝”．类型四恒成立问题例4 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法．跟踪训练4 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ≤0时，不合题意．又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞)．1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的是( ) ①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b |－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab＞2. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”；②恒成立，因为a ，b 均为正数； ③不恒成立，当a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2＝5,4ab －3b 2＝5，a 2＋b 2＝4ab －3b 2. ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．求不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1的解集．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1⇔－1＜1＋x ＋x 22＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋4＞0⇒x ∈R ，x 2＋2x ＜0⇒－2＜x ＜0.∴原不等式的解集为(－2,0)．5．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解设y ＝|x －a |＋|x －2|，则y min ＝|a －2|. 因为不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意x ∈R 恒成立．所以|a －2|≥1，解得a ≥3或a ≤1.1．本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法．要特别注意含绝对值不等式的解法．2．重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．4．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[0，＋∞)答案 C解析作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图所示，当k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1. 综上可知k ∈[0,1]．5．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a <b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0，∴a ≥b . 6．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 二、填空题7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2， ∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2. 8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x22xy.又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝2，当且仅当x ＝2y时等号成立． 10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析 ∵f (x )＝2x是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，设a ，b ∈R ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明方法一 |f (a )－f (b )|<|a －b |⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|2<|a －b |2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2－2ab ＋b 2⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).① 当1＋ab ≤0时，①式显然成立．当1＋ab >0时，①⇔(1＋ab )2<[(1＋a 2)(1＋b 2)]2⇔1＋2ab ＋a 2b 2<1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ⇔2ab <a 2＋b 2， ∵a ≠b ，∴2ab <a 2＋b 2成立．∴①式成立．综上知，原不等式成立．方法二当a ＝－b 时，原不等式显然成立．当a ≠－b 时， ∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＝|a －b |， ∴原不等式成立．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，又a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，所以(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．15．(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时，|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．。

2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式学案北师大版选修4-5

第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质 1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质学习目标1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ；性质2：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质4：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；推论2：a >b >0⇒a 2>b 2推论3：a >b >0⇒a n >b n，n ∈N ＋；推论4：a >b >0⇒a 1n >b 1n ，n ∈N ＋.自主探究1.利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； (2)a >b >0，d >c >0⇒a c >b d； (3)a >b ，ab >0⇒1a <1b.提示 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <d ⇒a －c >b －d 的推导过程是：c <d ⇒－c >－d ，对a >b 和－c >－d 应用不等式的同向不等式的可加性质得：a －c >b －d . (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0d >c >0⇒a c >bd 的推导过程是：d >c >0两边同乘 1cd(cd >0)，则1c >1d>0，应用不等式可乘性质得a c >bd.(3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a <1b 的推导过程是，因ab >0⇒1ab >0，不等式a >b 两边同乘1ab ，根据不等式的乘法性质得：1b >1a，即1a <1b.2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.典例剖析知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b，且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b ，且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0，且c >d >0⇒ a d >bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立. ∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad > bc成立. ∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2，得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√【反思感悟】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc，故选B. 答案 B知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x .【反思感悟】两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.2.比较x 2＋3与3x 的大小，其中x ∈R .解 ∵(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，∴x 2＋3>3x .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.【反思感悟】利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz . 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz ，ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az .故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝32时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1，且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件. 答案 A3.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b一、选择题1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 2解析取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立，选A. 答案 A2.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2－b 2≥0 B.ac ＞bc C.|a |＞|b |D.2a＞2b解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0＞a ＞b 时，C 不成立；由a ＞b 知2a ＞2b成立，故选D. 答案 D3.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0，∴a 2＞a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错. 答案 C4.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y 3＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D5.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3<0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D二、填空题6.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3. 答案 (27，56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63三、解答题8.已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，∵a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴（a －b ）2（a ＋b ）ab >0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .9.已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.10.已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1， ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.§2 含有绝对值的不等式 2.1 绝对值不等式学习目标1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测1.a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.2.|a －b |表示点a －b 与原点间的距离，也表示a 与b 之间的距离.3.a ，b ，c ∈R ，|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间时等号成立.自主探究1.你能证明：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |吗？提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.∴|ab|≥ab显然成立，∴原不等式成立.2.你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.典例剖析知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式【例2】函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<12.证明设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f (x 2)－f (x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<12.【反思感悟】对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7.知识点3 绝对值不等式的应用【例3】若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解法一 ∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.法二式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3.3.若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析根据去绝对值符号后函数的图像求解.由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.答案－6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a ·b |C.|a ＋b |≤|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2解析当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b . 故A 不恒成立. 答案 A2.已知|x 1－a |<ε，|x 2－a |<ε，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a <ε. 证明 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a ＝12|x 1＋x 2－2a |＝12|(x 1－a )＋(x 2－a )|≤12(|x 1－a |＋|x 2－a |) <12(ε＋ε)＝ε.3.设|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<ε.证明 |(x ＋y )－(a ＋b )| ＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |<ε2＋ε2＝ε.一、选择题1.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8 解析利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x |x <0，或x ＝1}C.{x |x >0，或x ＝－1}D.{x |x ≤－1，或x ≥1}解析由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |2＋12|x |≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A4.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |＜|b －c |，则( ) A.ad ＝bc B.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定解析 ∴a ＋d ＝b ＋c ， ∴a 2＋2ad ＋d 2＝b 2＋2bc ＋c 2，a 2＋d 2－b 2－c 2＝2bc －2ad ，∵|a －d |<|b －c |，∴a 2－2ad ＋d 2bc . 答案 C5.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B 二、填空题6.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0，又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]7.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2] 三、解答题8.已知|x ＋1|<ε4，|y －2|<ε4，|z ＋3|<ε4，求证：|x ＋2y ＋z |<ε.证明 |x ＋2y ＋z |＝|x ＋1＋2(y －2)＋z ＋3| ≤|x ＋1|＋|2(y －2)|＋|z ＋3|＝|x ＋1|＋2|y －2|＋|z ＋3|<ε4＋ε2＋ε4＝ε.∴|x ＋2y ＋z |<ε.9.若a ，b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明法一设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，有a ＝－(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，① 若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1，即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.因此，方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.法二假设方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有|a |＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|， |b |＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.将以上两个不等式相加，得|a |＋|b |≥1.这与已知|a |＋|b |<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值均小于1. 10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且当|x |≤1时，|f (x )|≤1，求证： (1)|c |≤1； (2)|b |≤1.证明 (1)由|f (0)|≤1，得|c |≤1. (2)由|f (1)|≤1，得|a ＋b ＋c |≤1，由|f (－1)|≤1，得|a －b ＋c |≤1， ∴|b |＝|（a ＋b ＋c ）＋（－a ＋b －c ）|2≤12(|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c |)≤1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.预习自测1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.2.|x|>a (a>0)⇔x>a或x<－a.3.|x|<a (a>0)⇔－a<x<a.4.a<0时，|x|≤a的解集为∅；|x|≥a的解集为R.5.|f(x)|<a (a>0)⇔－a<f(x)<a.6.|f(x)|>a (a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.7.|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).8.|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).9.|f(x)|<|g(x)|⇔f2(x)<g2(x).10.|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).自主探究1.如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.如何解|ax＋b|>|cx＋d|，|ax＋b|<|cx＋d|型的不等式？提示两边平方后转化成不含绝对值的不等式，解不含绝对值的不等式即可.3.你能归纳出解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤吗？提示(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.典例剖析知识点1 解|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式【例1】解不等式：(1)|x －a |≤b (b >0)；(2)|x －a |≥b (b >0). 解 (1)|x －a |≤b (b >0)⇔－b ≤x －a ≤b ⇔a －b ≤x ≤b ＋a .所以原不等式的解集为{x |a －b ≤x ≤a ＋b }. (2)|x －a |≥b ⇔x －a ≥b 或x －a ≤－b ⇔x ≥a ＋b 或x ≤a －b .所以原不等式的解集为{x |x ≥a ＋b 或x ≤a －b }.1.解不等式：(1)2|x |＋1>7；(2)|1－2x |<5. 解 (1)2|x |＋1>7⇔2|x |>6 ⇔|x |>3⇔x >3或x <－3.∴不等式的解集为{x |x >3或x <－3}. (2)|1－2x |<5⇔|2x －1|<5⇔－5<2x －1<5 ⇔－4<2x <6⇔－2<x <3. ∴不等式的解集为{x |－2<x <3}.知识点2 解|f (x )|<|g (x )|型不等式【例2】解不等式|x －a |<|x －b | (a ≠b ).解由|x －a |<|x －b |两边平方得：(x －a )2<(x －b )2. 整理得：2(a －b )x >a 2－b 2. 因a ≠b ，当a >b 时，x >a ＋b2；当a b 时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12（a ＋b ）；当a 0，|x 2－2x ＋3|<|3x －1|⇔x 2－2x ＋3<|3x －1| ⇔3x －1>x 2－2x ＋3或3x －1<－x 2＋2x －3⇔x 2－5x ＋4<0或x 2＋x ＋2<0.由x 2－5x ＋4<0，得：1<x <4，由x 2＋x ＋2<0，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74<0，该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1，4).知识点3 解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式【例3】解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25，或x >2.【反思感悟】对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.3.解不等式|x ＋1|－|2x －3|＋2>0.解令x ＋1＝0，∴x ＝－1，令2x －3＝0，∴x ＝32，(1)当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)>－(2x －3)－2， ∴x >2与条件x ≤－1矛盾，无解； (2)当－1<x ≤32时，原不等式化为x ＋1>－(2x －3)－2，∴x >0，故0<x ≤32；(3)当x >32时，原不等式化为x ＋1>2x －3－2，∴x <6，故32<x <6.综上，原不等式的解集为{x |0<x <6}.课堂小结解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：(1)根据实数的绝对值的意义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.(2)根据不等式的性质： |x |<a ⇔－a <x <a (a >0).(3)根据|a |2＝a 2(a ∈R )，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.随堂演练1.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4)D.(1，5)解析利用零点分区间法解绝对值不等式. ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件. |x －2|＜1⇔1＜x ＜3.由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 答案 A3.若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解. ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，故a ＝－3.答案－3一、选择题1.如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13解析解不等式1x <2得x <0或x >12.解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13.答案 B2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1}D.{x |x <1且x ≠－1}解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4D.－8解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4. 答案 C5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)D.(－4，－2)∪(0，2)解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5)B.[0，5)C.(－∞，1)D.[0，1]解析由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.解析思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.答案 0≤a ≤149.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.解析|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解去绝对值号，化成不等式组求解. 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.§3 平均值不等式(一)学习目标1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用(两个正数的)平均值不等式解决某些实际问题.预习自测1.定理1(重要不等式)：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b a ，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0，y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值(2)若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.自主探究1.你会证明不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)吗？提示 (1)∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . (2)∵a ＋b2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝（a －b ）22≥0(a >0，b >0)，∴a ＋b2≥ab .2.探究函数y ＝x ＋1x的单调性及函数图像的大体形状.提示定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2，∴当x 1，x 2∈(0，1)时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2， ∴y 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.又y 是奇函数，∴y 在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数.图像如图：典例剖析知识点1 不等式证明【例1】求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3，由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. 【反思感悟】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 又a ，b ，c ∈R *，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b ). 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c ). 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.知识点2 最值问题【例2】设x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解法一 2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.法二设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥83当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83.【反思感悟】利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值. 解由x ＋2y ＋xy ＝30，得y ＝30－x2＋x (0<x <30)，xy ＝30x －x 22＋x ＝－（2＋x ）2＋34（2＋x ）－642＋x＝34－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）＋64x ＋2，注意到(x ＋2)＋64x ＋2≥2 （x ＋2）·64x ＋2＝16，可得xy ≤18，当且仅当x ＋2＝64x ＋2，即x ＝6时等号成立.代入x ＋2y ＋xy ＝30中可得y ＝3.故xy 的最大值为18.知识点3 基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购芯片的平均价格为 20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ，∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab ，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b2>21a ＋1b，∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ，又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的. 2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为________.解析因为3a ＋b＝9，所以a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，所以f (ab )＝3ab≤3.答案 3一、选择题1.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D.答案 D2.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B4.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A. 3－1 B. 3＋1 C.2 3＋2D.2 3－2解析 a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2 （a ＋b ）（a ＋c ）＝2 4－2 3＝2 3－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D5.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2D.a ≥3解析 x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y ，对任意实数x 、y 都成立，则a ≥－y 2－2y －x 2－2x ＝2－(x ＋1)2－(y ＋1)2恒成立，而2－(x ＋1)2－(y ＋1)2≤2，∴a ≥2. 答案 C6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0)B.y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解析 A 中的函数式，x 5与5x 都不一定是正数，故可排除A ；B 中的函数式，lg x 与1lg x都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x ＝1lg x，即x ＝10与1<x <10矛盾，。

(新人教版)新版学年高中数学第一章不等关系与基本不等式学案北师大版选修4-5【提分必备】

第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质 1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质学习目标1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ；性质2：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质4：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；推论2：a >b >0⇒a 2>b 2推论3：a >b >0⇒a n >b n，n ∈N ＋；推论4：a >b >0⇒a 1n >b 1n ，n ∈N ＋.自主探究1.利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； (2)a >b >0，d >c >0⇒a c >b d； (3)a >b ，ab >0⇒1a <1b.提示 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <d ⇒a －c >b －d 的推导过程是：c <d ⇒－c >－d ，对a >b 和－c >－d 应用不等式的同向不等式的可加性质得：a －c >b －d . (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0d >c >0⇒a c >bd 的推导过程是：d >c >0两边同乘 1cd(cd >0)，则1c >1d>0，应用不等式可乘性质得a c >bd.(3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a <1b 的推导过程是，因ab >0⇒1ab >0，不等式a >b 两边同乘1ab ，根据不等式的乘法性质得：1b >1a，即1a <1b.2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.典例剖析知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b，且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b ，且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0，且c >d >0⇒ a d >bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立. ∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad > bc成立. ∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2，得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√【反思感悟】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc，故选B. 答案 B知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x .【反思感悟】两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.2.比较x 2＋3与3x 的大小，其中x ∈R .解 ∵(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，∴x 2＋3>3x .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.【反思感悟】利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz . 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz ，ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az .故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝32时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1，且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件. 答案 A3.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b一、选择题1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 2解析取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立，选A. 答案 A2.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2－b 2≥0 B.ac ＞bc C.|a |＞|b |D.2a＞2b解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0＞a ＞b 时，C 不成立；由a ＞b 知2a ＞2b成立，故选D. 答案 D3.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0，∴a 2＞a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错. 答案 C4.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y 3＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D5.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3<0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D二、填空题6.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3. 答案 (27，56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63三、解答题8.已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，∵a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴（a －b ）2（a ＋b ）ab >0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .9.已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.10.已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1， ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.§2 含有绝对值的不等式 2.1 绝对值不等式学习目标1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测1.a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.2.|a －b |表示点a －b 与原点间的距离，也表示a 与b 之间的距离.3.a ，b ，c ∈R ，|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间时等号成立.自主探究1.你能证明：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |吗？提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.∴|ab|≥ab显然成立，∴原不等式成立.2.你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.典例剖析知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式【例2】函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<12.证明设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f (x 2)－f (x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<12.【反思感悟】对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7.知识点3 绝对值不等式的应用【例3】若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解法一 ∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.法二式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3.3.若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析根据去绝对值符号后函数的图像求解.由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.答案－6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a ·b |C.|a ＋b |≤|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2解析当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b . 故A 不恒成立. 答案 A2.已知|x 1－a |<ε，|x 2－a |<ε，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a <ε. 证明 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a ＝12|x 1＋x 2－2a |＝12|(x 1－a )＋(x 2－a )|≤12(|x 1－a |＋|x 2－a |) <12(ε＋ε)＝ε.3.设|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<ε.证明 |(x ＋y )－(a ＋b )| ＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |<ε2＋ε2＝ε.一、选择题1.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8 解析利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x |x <0，或x ＝1}C.{x |x >0，或x ＝－1}D.{x |x ≤－1，或x ≥1}解析由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |2＋12|x |≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A4.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |＜|b －c |，则( ) A.ad ＝bc B.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定解析 ∴a ＋d ＝b ＋c ， ∴a 2＋2ad ＋d 2＝b 2＋2bc ＋c 2，a 2＋d 2－b 2－c 2＝2bc －2ad ，∵|a －d |<|b －c |，∴a 2－2ad ＋d 2bc . 答案 C5.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B 二、填空题6.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0，又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]7.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2] 三、解答题8.已知|x ＋1|<ε4，|y －2|<ε4，|z ＋3|<ε4，求证：|x ＋2y ＋z |<ε.证明 |x ＋2y ＋z |＝|x ＋1＋2(y －2)＋z ＋3| ≤|x ＋1|＋|2(y －2)|＋|z ＋3|＝|x ＋1|＋2|y －2|＋|z ＋3|<ε4＋ε2＋ε4＝ε.∴|x ＋2y ＋z |<ε.9.若a ，b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明法一设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，有a ＝－(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，① 若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1，即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.因此，方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.法二假设方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有|a |＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|， |b |＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.将以上两个不等式相加，得|a |＋|b |≥1.这与已知|a |＋|b |<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值均小于1. 10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且当|x |≤1时，|f (x )|≤1，求证： (1)|c |≤1； (2)|b |≤1.证明 (1)由|f (0)|≤1，得|c |≤1. (2)由|f (1)|≤1，得|a ＋b ＋c |≤1，由|f (－1)|≤1，得|a －b ＋c |≤1， ∴|b |＝|（a ＋b ＋c ）＋（－a ＋b －c ）|2≤12(|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c |)≤1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.预习自测1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.2.|x|>a (a>0)⇔x>a或x<－a.3.|x|<a (a>0)⇔－a<x<a.4.a<0时，|x|≤a的解集为∅；|x|≥a的解集为R.5.|f(x)|<a (a>0)⇔－a<f(x)<a.6.|f(x)|>a (a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.7.|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).8.|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).9.|f(x)|<|g(x)|⇔f2(x)<g2(x).10.|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).自主探究1.如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.如何解|ax＋b|>|cx＋d|，|ax＋b|<|cx＋d|型的不等式？提示两边平方后转化成不含绝对值的不等式，解不含绝对值的不等式即可.3.你能归纳出解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤吗？提示(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.典例剖析知识点1 解|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式【例1】解不等式：(1)|x －a |≤b (b >0)；(2)|x －a |≥b (b >0). 解 (1)|x －a |≤b (b >0)⇔－b ≤x －a ≤b ⇔a －b ≤x ≤b ＋a .所以原不等式的解集为{x |a －b ≤x ≤a ＋b }. (2)|x －a |≥b ⇔x －a ≥b 或x －a ≤－b ⇔x ≥a ＋b 或x ≤a －b .所以原不等式的解集为{x |x ≥a ＋b 或x ≤a －b }.1.解不等式：(1)2|x |＋1>7；(2)|1－2x |<5. 解 (1)2|x |＋1>7⇔2|x |>6 ⇔|x |>3⇔x >3或x <－3.∴不等式的解集为{x |x >3或x <－3}. (2)|1－2x |<5⇔|2x －1|<5⇔－5<2x －1<5 ⇔－4<2x <6⇔－2<x <3. ∴不等式的解集为{x |－2<x <3}.知识点2 解|f (x )|<|g (x )|型不等式【例2】解不等式|x －a |<|x －b | (a ≠b ).解由|x －a |<|x －b |两边平方得：(x －a )2<(x －b )2. 整理得：2(a －b )x >a 2－b 2. 因a ≠b ，当a >b 时，x >a ＋b2；当a b 时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12（a ＋b ）；当a 0，|x 2－2x ＋3|<|3x －1|⇔x 2－2x ＋3<|3x －1| ⇔3x －1>x 2－2x ＋3或3x －1<－x 2＋2x －3⇔x 2－5x ＋4<0或x 2＋x ＋2<0.由x 2－5x ＋4<0，得：1<x <4，由x 2＋x ＋2<0，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74<0，该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1，4).知识点3 解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式【例3】解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25，或x >2.【反思感悟】对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.3.解不等式|x ＋1|－|2x －3|＋2>0.解令x ＋1＝0，∴x ＝－1，令2x －3＝0，∴x ＝32，(1)当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)>－(2x －3)－2， ∴x >2与条件x ≤－1矛盾，无解； (2)当－1<x ≤32时，原不等式化为x ＋1>－(2x －3)－2，∴x >0，故0<x ≤32；(3)当x >32时，原不等式化为x ＋1>2x －3－2，∴x <6，故32<x <6.综上，原不等式的解集为{x |0<x <6}.课堂小结解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：(1)根据实数的绝对值的意义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.(2)根据不等式的性质： |x |<a ⇔－a <x <a (a >0).(3)根据|a |2＝a 2(a ∈R )，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.随堂演练1.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4)D.(1，5)解析利用零点分区间法解绝对值不等式. ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件. |x －2|＜1⇔1＜x ＜3.由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 答案 A3.若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解. ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，故a ＝－3.答案－3一、选择题1.如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13解析解不等式1x <2得x <0或x >12.解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13.答案 B2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1}D.{x |x <1且x ≠－1}解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4D.－8解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4. 答案 C5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)D.(－4，－2)∪(0，2)解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5)B.[0，5)C.(－∞，1)D.[0，1]解析由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.解析思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.答案 0≤a ≤149.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.解析|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解去绝对值号，化成不等式组求解. 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.§3 平均值不等式(一)学习目标1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用(两个正数的)平均值不等式解决某些实际问题.预习自测1.定理1(重要不等式)：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b a ，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0，y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值(2)若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.自主探究1.你会证明不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)吗？提示 (1)∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . (2)∵a ＋b2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝（a －b ）22≥0(a >0，b >0)，∴a ＋b2≥ab .2.探究函数y ＝x ＋1x的单调性及函数图像的大体形状.提示定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2，∴当x 1，x 2∈(0，1)时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2， ∴y 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.又y 是奇函数，∴y 在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数.图像如图：典例剖析知识点1 不等式证明【例1】求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3，由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. 【反思感悟】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 又a ，b ，c ∈R *，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b ). 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c ). 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.知识点2 最值问题【例2】设x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解法一 2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.法二设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥83当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83.【反思感悟】利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值. 解由x ＋2y ＋xy ＝30，得y ＝30－x2＋x (0<x <30)，xy ＝30x －x 22＋x ＝－（2＋x ）2＋34（2＋x ）－642＋x＝34－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）＋64x ＋2，注意到(x ＋2)＋64x ＋2≥2 （x ＋2）·64x ＋2＝16，可得xy ≤18，当且仅当x ＋2＝64x ＋2，即x ＝6时等号成立.代入x ＋2y ＋xy ＝30中可得y ＝3.故xy 的最大值为18.知识点3 基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购芯片的平均价格为 20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ，∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab ，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b2>21a ＋1b，∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ，又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的. 2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为________.解析因为3a ＋b＝9，所以a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，所以f (ab )＝3ab≤3.答案 3一、选择题1.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D.答案 D2.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B4.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A. 3－1 B. 3＋1 C.2 3＋2D.2 3－2解析 a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2 （a ＋b ）（a ＋c ）＝2 4－2 3＝2 3－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D5.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2D.a ≥3解析 x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y ，对任意实数x 、y 都成立，则a ≥－y 2－2y －x 2－2x ＝2－(x ＋1)2－(y ＋1)2恒成立，而2－(x ＋1)2－(y ＋1)2≤2，∴a ≥2. 答案 C6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0)B.y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解析 A 中的函数式，x 5与5x 都不一定是正数，故可排除A ；B 中的函数式，lg x 与1lg x都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x ＝1lg x，即x ＝10与1<x <10矛盾，。

高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质学案北师大版选修4_5

§1 不等式的性质1．理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义，掌握求差比较法和求商比较法．2．掌握不等式的性质，并能进行证明．3．会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式．1．实数大小的比较(1)求差比较法．①a ＞b ⇔______；②______⇔a －b ＜0；③a ＝b ⇔______．判断两个实数a 与b 的大小归结为判断它们的差a －b 的符号，至于差究竟是多少则是无关紧要的．(2)求商比较法．当a ＞0，b ＞0时，①a b ＞1⇔______；②______⇔a ＜b ；③a b＝1⇔______．答案：(1)①a －b ＞0 ②a ＜b ③a －b ＝0 (2)①a ＞b ②a b＜1 ③a ＝b 【做一做1－1】比较大小：x 2＋3__________3x (其中x ∈R )．【做一做1－2】比较1816与1618的大小．2．不等式的性质(1)性质1：如果a ＞b ，那么______；如果b ＜a ，那么______．(2)性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么______．(3)性质3：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞______．推论：如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞______．(4)性质4：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ____bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ____bc ．推论1：如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞____．推论2：如果a ＞b ＞0，那么a 2____b 2．推论3：如果a ＞b ＞0，那么a n ____b n (n 为正整数)．推论4：如果a ＞b ＞0，那么1n a ____1nb (n 为正整数)．(1)引导学生掌握性质的证明方法，举反例是证明命题错误的主要方法，证明过程体现数学的严谨性．(2)特别注意性质4使用的前提，不等号方向取决于c 的符号．【做一做2－1】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ． (2)如果a ＞b ，那么a c ＞b c．【做一做2－2】若a ＞b ＞c ，则下列不等式成立的是( )． A ．1a －c ＞1b －c B ．1a －c ＜1b －cC ．ac ＞bcD ．ac ＜bc 答案：1．(1)①a －b ＞0 ②a ＜b ③a －b ＝0 (2)①a ＞b ②a b＜1 ③a ＝b【做一做1－1】＞ (x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3－94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34＞0，即x 2＋3＞3x ．【做一做1－2】分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用求商的方法．解：18161618＝⎝ ⎛⎭⎪⎫181616·1162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9816·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98216， ∵982∈(0,1)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫98216＜1． ∵1816＞0,1618＞0，∴1816＜1618．2．(1)b ＜a a ＞b (2)a ＞c (3)b ＋c b ＋d (4)＞＜ bd ＞＞＞【做一做2－1】分析：从不等式的性质找依据，与性质相符的为真，与性质不相符的为假．解：(1)真命题．理由：根据不等式的性质3，由a ＞b ，可得a ＋(－c )＞b ＋(－c )，即a －c ＞b －c ．(2)假命题．理由：由不等式的性质4可知，如果a ＞b ，c ＜0，则a c ＜b c，即不等式的两边同乘以一个数时，必须明确这个数的正负．【做一做2－2】B ∵a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c ＜1b －c．1．比较两个实数的大小剖析：比较两个实数a ，b 的大小，可以转化为a ，b 的差与0的大小比较，这种比较大小的方法称为求差比较法．它的主要步骤是：(1)作差；(2)变形(分解因式，配方等)；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中最关键的是第(2)步，变形要有利于判断差的符号才行．比较两个实数a ，b 的大小，也可以转化为a 与b 的商与1的大小比较，这种比较大小的方法称为求商比较法．它的主要步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)下结论．其中最关键的是第(3)步，在第(4)步中要注意不等号的方向，不等号的方向受分母的符号的影响．2．不等式和等式的基本性质的区别与联系剖析：区别：在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况：若这个数为正数，则不等号方向不变，若这个数为负数，则不等号方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，对等式(或不等式)两边形式的变化相同，讨论的都是两边同时加上或减去，同时乘以或除以(除数不为0)同一个数时的情况．题型一利用作差法比较大小【例1】比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．分析：此题为两个代数式比较大小，可先作差，然后展开，合并同类项后，判断差值的正负．反思：利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．如本题，只需看差－7的正负即可．题型二利用作商法比较大小【例2】已知a ＞b ＞c ＞0，比较a 2a b 2b c 2c 与a b ＋c b c ＋a c a ＋b 的大小．分析：用求差比较法不易变形，所以用求商比较法．反思：用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．题型三利用不等式的性质证明不等式【例3】已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，且a b ＝c d，求证：a ＋d ＞b ＋c ．分析：利用不等式的性质，将已知等式进行适当变形，注意符号的变化．反思：在证明不等式时，往往不等式的性质和比例式的性质联合使用，使式子间转换更迅速．如本题，不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息．因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例性质的应用技巧．题型四易错辨析【例4】已知函数f (x )＝ax 2－c ，－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．错解：依题意，得⎩⎨⎧ －4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5， 12由(1)，(2)利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3,1≤c ≤7，(3)∴由f (3)＝9a －c ，可得－7≤f (3)≤26．错因分析：由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式的性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a ，c 的范围扩大，这样f (3)的范围也随之扩大了．反思：解本题时，利用f (1)，f (2)设法表示a ，c ，然后再代入f (3)的表达式中，从而用f(1)和f (2)来表示f (3)，最后运用已知条件确定f (3)的取值范围．答案：【例1】解：由题意，作差得(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，所以(a ＋3)(a －5)＜(a ＋2)(a －4)．【例2】解：由a ＞b ＞c ＞0，得a 2a b 2b c 2c ＞0，a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＞0．所以a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb ＝a a －b ·a a －c ·b b －c ·b b －a ·c c －a ·c c －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c ． ∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a －b ＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1．同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ＞1． ∴a 2a b 2b c 2ca b ＋c b c ＋a ca ＋b ＞1，即a 2a b 2bc 2c ＞a b ＋c b c ＋a c a ＋b ．【例3】证明：∵a b ＝c d ，∴a －b b ＝c －d d． ∴(a －b )d ＝(c －d )b ．又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0， ∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且bd＞1， ∴a －b c －d ＝b d＞1， ∴a －b ＞c －d ，即a ＋d ＞b ＋c ．【例4】正解：由⎩⎨⎧ a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13[f 2－f 1]，c ＝13f 2－43f 1.∴f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)． ∵－4≤f (1)≤－1，∴53≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－53f (1)≤203．(1) 又－1≤f (2)≤5，故－83≤83f (2)≤403．(2) 把(1)，(2)两边分别相加，得－1≤83f (2)－53f (1)≤20，∴－1≤f (3)≤20． 1对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0．其中真命题的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )．A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a3设a ＞1，－1＜b ＜0，则a ，b ，－a ，－b ，－ab 按由大到小的顺序排列是__________． 4若x ∈R ，则x 2－x 与x －2的大小关系是__________．答案：1．C ①∵c 的正、负或是否为零未知，∴无法判断ac 与bc 的大小，故该命题是假命题．②由ac 2＞bc 2，知c ≠0．又c 2＞0，∴a ＞b ．故该命题是真命题．③ ⎭⎬⎫a <b <0a <0⇒a 2＞ab ， ⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab ＞b 2，∴a 2＞ab ＞b 2．故该命题为真命题．④a ＞b ＞0⇒－a ＜－b ⇒c －a ＜c －b ．∵c ＞a ，∴c －a ＞0，∴0＜c －a ＜c －b ．两边同乘以1c －a c －b ，得1c －a ＞1c －b＞0．又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞b c －b ．故该命题为真命题．⑤a ＞b ⇒a －b ＞0，1a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －a ab＞0． ∵a －b ＞0，∴b －a ＜0，∴ab ＜0．又a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故该命题为真命题．综上可知，命题②③④⑤都是真命题．2．D ∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，b －1＜0,1－b ＞0,0＜b 2＜1，∴1－b 2＞0，∴ab －a ＝a (b －1)＞0．∴ab ＞a ．又ab －ab 2＝ab (1－b )＞0，∴ab ＞ab 2．又a －ab 2＝a (1－b 2)＜0，∴a ＜ab 2．故ab ＞ab 2＞a ．3．a ＞－ab ＞－b ＞b ＞－a 依题意，知a ＞－b ＞b ＞－a ，－ab ＞0，且|b |＜－ab ＜|a |，即－b ＜－ab ＜a ，∴a ＞－ab ＞－b ＞b ＞－a ．4．x 2－x ＞x －2 运用作差比较法．(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1．因为(x －1)2≥0，所以(x －1)2＋1＞0，即(x 2－x )－(x －2)＞0．所以x 2－x ＞x －2．。

2018-2019学年北师大版数学选修4-5同步指导学案：第一章 不等关系与基本不等式 5

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2018学年北师大版高中数学选修4-5课件 第一章 不等关系与基本不等式 1.1.1、2 精品

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2019版高中数学 第一章 不等关系与基本不等式学案 北师大版选修4-5